5B2C trigonometry 2 B

16

三角函數

16.1

弧度、 弧長

弧度制的度數 θ : 半徑為r的圓 O,在圓周上取一段弧長P Q= r,⌢ 則P Q⌢ 所對應的圓心角_{∠P OQ}為1弧度。 單位圓圓心角90◦ _{所對的弧長是} π 2 ,以弧長跟半徑的比值用來做為角度的一種度數單位。 即 弧度 π≡ 180◦ _{;2π ≡ 360}◦ _{。 1}弧度_≡ 180◦ π ; 1◦≡ π 180 弧度 。 O s= rθ θ r= 1 P Q 1

弧度

= (180 π ) ◦ _{≈ 57.2956}◦_{;1◦ =} π 180

弧度

≈ 0.0175

弧度

扇形弧長 s_{= r · θ :} 半徑為r 的圓 O,弧度為 θ 所對應的弧長s_{= r · θ}。 扇形的面積 A= 1 2r 2_{θ: 半徑為 r 的圓 O, 弧度為 θ所對應的扇形面積 A=} 1 2r 2_θ。

例題

範例 _1: 將弧度 5π 6 與2 化為度? 5π 6 = 150◦;2 = 360◦ π ≈ 114.59◦ 演練 1a : 將下列弧度化為度數或將度數化為弧度 1. 2π 3 =? 120◦ 2. 330◦ _=? 11π 6 3. −75◦ _=? − 5π 12 4. 450◦ _=? 5π 2 演練 1b : 比較下列角度的大小? a = 1,b = π◦_{,c =} 1 π,d = 15 ◦ a > c > d > b 演練 1c : 17弧度是第幾象限角? 三 範例 _2: 已知一扇形半徑為12公分,圓心角為 60◦_{,求此扇形的弧長及面積?} s= 4π,A = 24π 演練 2a : 已知一扇形半徑為5公分,圓心角為 128◦_{,求此扇形的弧長及面積?} s= 32π 9 ,A= 80π9 演練 2b : 已知一圓半徑為5公分,求圓心角為 5π 6 的扇形面積? A= 320π₃ 演練 2c : 若一扇形的弧長為s公分,扇形面積為A平方公分,且s= A,求此扇形的半徑長? r = 2 2

演練 2e : 弓形為圓的弦與弧所圍的區域,已知圓半徑_10,求圓心角為 π 6 所對應的弓形區域面積? 25 3(π − 3) 範例 3: 半徑為6公分的三圓互相外切(如圖),求陰影區域的周長與面積? s= 6π,A = 36 √ 3 − 18π 一直圓錐的底半徑為8, 高為15, 若由底邊一點沿其斜邊向錐頂點剪開, 展開為 一扇形;求此扇形的圓心角及面積? θ= 16π₁₇;A= 136π 演練 3a : 已知半徑為13,圓心角 θ= 10π 13 的扇形,若將其弧長的兩端點相鄰接,形成一個以圓心O 為頂點的 正圓錐,求此直圓錐的高? 12 演練 3b : 求圖中陰影區域周長與面積? (解:)s = 12 + 6√3 + π;A = 9√3 + 3π 6√3 6 6 演練 3c : 過點 P(6, 0) 與圓 C : x2 _{+ y}2 _{= 9 的切線與圓切於 A, B 兩點 (如圖), 求扇形 OAB 面積?} 3π P A B O 演練 3d : 如圖: 一皮帶套繞著兩圓 C₁, C₂, 已知圓心分別為 O₁, O₂ , 半徑分別為 r₁ = 2,r2 = 7, 連心線段 O₁O₂ = 10, 求此皮帶 ABCD長? 10 √ 3 +32π₃ D C r2− r1 r2 P B r1 O1 O2 A O1O2

演練 3e : 已知兩圓半徑分別為 3, 3√3,連心線段長6,求兩圓重疊區域面積? 15 2π− 9 √ 3 A B 3√_{3 3} O1 O2 6 習題I:2-1 弧度、 弧長 1. 分別將 60◦_,150◦_,18◦ _{化為弧度?} 2. 將弧度 π 9、 2π 5 化為度數? 3. 已知一扇形半徑為12公分, 圓心角為120◦_{, 求此扇形的弧長及面積?} 4. 弧度 a_{= −2,b = 3,c = 4,d = 10 ,}分別為哪一象限角? 5. 已知一扇形的弧長為2公分,扇形面積為4平方公分,求此扇形的半徑為及圓心角? 6. 一扇形半徑為10, 圓心角為 6π 5 , 若將其弧長的兩端點相鄰接, 形成一個以圓心 O 為頂點的正圓錐, 此 正圓錐底面為一圓 O′_{, 求圓 O}′ _{的半徑 r}′ _{及此正圓錐頂點 O 到底面中心 O}′ _{的距離 h(正圓錐的高)?} O O O′ h r′ 7. 如圖:圓半徑為6,弦長為6√3,求其劣弧與弦所圍成的弓形面積為多少平方單位? 6√3 6 6 θ 8. 一皮帶套繞著相同半徑 r= 2 的三個兩兩外切圓,(如圖) 求皮帶長? r r r 9. 在同一圓心角θ上有兩半徑相差6的大小扇形,已知小扇形的弧長為4π,大扇形的弧長為6π,求兩扇形

習題

I:2-1

1. π 3;5π6 ;10π 2. 20◦_;64◦ 3. s = 8π公分,A = 48π平方公 分 4. 3,2,1,2 5. r = 4公分,θ = 1₂ 6. r′ _{= 6, h = 8} 7. _{12π − 9}√3 8. 6r + 2πr = 12 + 4π 9. 30π

16.2

三角函數的性質與圖形

廣義角的三角函數定義: 若廣義角θ 是標準位置角 (x 軸正向為始邊, 原點為夾角的頂點), 在終邊上取一點 P(x, y), r = OP =px2_{+ y}2 _{則三角函數定義為} 正弦函數: sin θ = y r ,餘弦函數: cos θ = x r 正切函數: tan θ = y x ,餘切函數: cot θ = x y 正割函數: sec θ = r x ,餘割函數: csc θ = r y x y O P(x, y) θ x y O P(x, y) θ x y O P(x, y) θ x y O P(x, y) θ 三角函數的基本關係:

1. 平方關係: sin2θ+ cos2θ= 1, tan2θ+ 1 = sec2θ,1 + cot2θ= csc2θ 2. 倒數關係: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1

3. 商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積

tan θ = sin θ_{cos θ} ,cot θ = cos θ_{sin θ} , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ 4. 餘角關係_{: ∠A + ∠B = 90}◦

則sin A = cos B, cos A = sin B , tan A = cot B, sec A = csc B

csc θ sec θ tan θ sin θ cos θ cot θ 1 三角函數的負角關係、 餘角關係、 補角關系: 1. 餘角關係 _{∠A + ∠B =} π

2. 補角關係 _{∠A + ∠B = π = 180}◦_{: sin A = sin B, cos A + cos B = 0}

3. 周角關係 _{∠A + ∠B = 2π = 360}◦ _{: sin A + sin B = 0, cos A = cos B}

4. 反向角關係 _{∠A = π + ∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (}相反數關係)

5. 奇偶性_{: sin(−θ) = − sin θ, cos(−θ) = cos θ;tan(−θ) = − tan θ, cot(−θ) = − cot θ;sec(−θ) =}

sec θ, csc(−θ) = − csc θ

6. 三角函數值相反數_{:sin(−θ) = − sin θ ; cos(π − θ) = − cos θ}

tan(180◦_{− θ) = − tan θ ;cot(π − θ) = − cot θ}

sec(180◦_{+ θ) = − sec θ ;csc(π + θ) = − csc θ} 三角函數化簡公式 _−→ 旋轉木馬記憶法: sin -sin cos -cos tan

-cot -sin sin

cos -cos csc -csc sec -sec sin cos

圖

_1:

三角函數化簡公式

:

旋轉木馬記憶法

1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。(sin(θ + π 2) 比 sin θ 角度多 90◦,就以sin θ為主輻) 2. 以90◦ _{為單位旋轉一輪輻,正向角為逆時針旋轉,負向角為順時針旋轉。} 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。(例:sin(θ +π 2)就是 sin θ逆時針轉90◦,輪輻位置為cos θ) 已知一三角函數求其餘三角函數值方法: 1. 銳角參考角法: 每一標準角θ終邊與x軸所夾之銳角參考角α,θ 角的三角函數值絕對值與α 的三角 函數值相同,再由θ象限角位置決定其三角函數值的正負。 2. 坐標法: 利用 cos θ = x r,sin θ = y r 找出 θ終邊上的點P(x, y)坐標,再依三角函數定義求其餘三 角函數值。 3. 基本關係法: 利用平方關係、 商數關係、 倒數關係求其餘三角函數值。 週期函數: 對每一定義域中的元素 x, f(x + t) = f (x) 恆成立, 另一實數 t′ _{也滿足 f(x + t}′_{) = f (x) ,t}′ _是t 的整數倍,則稱f 是週期為 t的週期函數。 三角函數的圖形及性質:

表

_1:

特別角的三角函數值

x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π sin x 0 1₂ √₂2 √₂3 1 √₂3 √₂2 1₂ 0 cos x 1 √₂3 √₂2 1₂ 0 −1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 x π 7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π sin x 0 ₋1 2 − √ 2 2 − √ 3 2 −1 − √ 3 2 − √ 2 2 − 1 2 0 cos x ₋₁ −√3 2 − √ 2 2 −12 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 x −π 3 −π 4 −π 6 0 π 6 π 4 π 3 tan x ₋√3 ₋₁ −√3 3 0 √ 3 3 1 √ 3 1. 正弦函數 y= f (x) = sin x 圖形 −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 f(x) = sin x (a) 定義域_D與值域_{R: D ={x|x ∈ R},R = {y| − 1 ≤ y ≤ 1}} (b) 週期T = 2π: 滿足 sin(x + t) = sin x, 取 k= 1滿足 t= 2kπ = 2π 為最小值, 正弦函數的 週期為 T = 2π。 (c) 振幅:正弦函數振幅為A= M ax− Min 2 = 1 (d) 對稱: y = sin x 圖形以 x= π 2 + nπ, n ∈ Z 的鉛直線 (過函數圖形最高點或最低點的鉛直 線) 均為其線對稱。 y = sin x 圖形與x軸交點 _{(nπ, 0), n ∈ Z} 為其對稱點 (對稱中心)。 特別是正弦函數 y = f(x) = sin x圖形對稱於原點 (0, 0) , 為奇函數。 2. 餘弦函數 y= f (x) = cos x 圖形 −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π₂ 2π 5π₂ 3π −1 1 f(x) = cos x (a) 定義域_D與值域_{R: D ={x|x ∈ R},R = {y| − 1 ≤ y ≤ 1}} (b) 週期T = 2π: 滿足 cos(x + t) = cos x,取 k= 1滿足 t= 2kπ = 2π 為最小值,餘弦函數的

週期為 T = 2π。 (c) 振幅:正弦函數振幅為A= M ax− Min 2 = 1 (d) 對稱: y = cos x圖形以 x_{= nπ, n ∈ Z} 的鉛直線 (過函數圖形最高點或最低點的鉛直線)均 為其線對稱。 y = cos x 圖形與x軸交點 (π 2 + nπ, 0), n ∈ Z 為其對稱點 (對稱中心)。 特別是餘弦函數 y= f (x) = cos x圖形對稱於y 軸,為偶函數。 3. 正切函數 y= f (x) = tan x圖形 −2π −π−π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π y tan(x)

(a) 定義域_D與值域_R: 由商數關係 tan x = sin x

cos x 所以 D = {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R} (b) 週期T = π: 滿足 tan(x + t) = tan x,取 k= 1滿足 t= kπ = π 為最小值,餘弦函數的週 期為 T = π。 (c) 對稱: y = tan x圖形以(nπ 2 ,0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是 y= f (x) = tan x圖形對稱於 點(0, 0),為奇函數。 (d) 漸近線: 直線 x= π 2 + nπ, n ∈ Z 都是正切函數y= tan x 的漸近線。 4. 餘切函數 y= f (x) = cot x圖形 −2π −π−π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π y cot(x) (a) 定義域_D與值域_R: 由倒數關係 cot x = 1 tan x 所以 D= {x|x 6= nπ, n ∈ Z},R = {y|y ∈ R_} (b) 週期T = π: 滿足 cot(x + t) = cot x,取 k= 1滿足 t= kπ = π 為最小值,餘弦函數的週 期為 T = π。 (c) 對稱: y = cot x 圖形以 (nπ 2 ,0), n ∈ Z 為其對稱點。 特別是y= f (x) = cot x 圖形對稱於 點(0, 0),為奇函數。 (d) 漸近線: 直線 x_{= nπ, n ∈ Z} 都是餘切函數 y= cot x的漸近線。 −2π −π −π 2 π2 π 3π₂ 2π 5π₂ 3π y tan(x) cot(x)

5. 正割函數 y= f (x) = sec x圖形 −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π₂ 2π 5π₂ 3π −1 1 y sec(x) cos(x) (a) 定義域_D與值域_R: 因為 sec x = 1 cos x,cos x 6= 0 , 所以定義域 D= {x|x 6= π 2 + nπ, n ∈ Z_},值域 _{R ={y|y ≤ −1,}或 y_{≥ 1}} (b) 週期T = 2π: 因sec x = 1 cos x,cos x 6= 0,餘弦函數的週期為 2π,故正割函數周期亦為2π。 (c) 對稱: 正割函數y = sec x與y = cos x圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中心) 都相同, 亦為偶函 數。 (d) 漸近線: 直線 x= π 2 + nπ, n ∈ Z 為正割函數圖形的漸近線。 6. 餘割函數 y= f (x) = csc x圖形 −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π₂ 2π 5π₂ 3π −1 1 y csc(x) sin(x) (a) 定義域_D與值域_R: 因為csc x = 1 sin x,sin x 6= 0 ,所以定義域D= {x|x 6= nπ, n ∈ Z},值 域_{R ={y|y ≤ −1,} 或y_{≥ 1}} (b) 週期T = 2π: 因sec x = 1 sin x,sin x 6= 0,正弦函數的週期為2π,故餘割函數周期亦為 2π。 (c) 對稱: 正割函數y = csc x與y = sin x 圖形的對稱軸與對稱點 (對稱中心) 都相同, 亦奇偶函 數。 (d) 漸近線: 直線 x_{= nπ, n ∈ Z} 為餘割函數圖形的漸近線。 函數圖形的平移伸縮: 正弦函數 y= f (x) = a sin(kx + b) + c 考慮正弦函數 y = f (x) = sin x 標準圖形, 與 Y = g(X) = a sin(kX + b) + c 圖形的關係: Y = g_{(X) = a sin(kX + b) + c ⇒}Y − c a = sin(kX + b) , 若 ( x = kX + b y = Y −c b 時,則y = f (x) = sin x與Y = g(X) = a sin(kX + b) + c圖形就會重疊(相 同), 故當 ( X = x− b_k Y = ay + c 時,兩函數圖形是重疊的, 即 g(X) 圖形是 f(x)圖形 ( 向左平移(x軸負向)b 單位,再左右縮小k倍 上下方向(y軸方向)伸展 a 倍後再向上平移 (y軸)c單位

表

_2:

三角函數圖形的特點

函數 y = sin x y= cos x y= tan x y= cot x y= sec x y = csc x

圖形(一週期) −π−π 2 π 2π −1 1 y −π 2 π 2π 3π 2 −1 1 y −π 2 π 2 x_{= −}π 2 x=π 2 y π 2 π x= 0 x= π y −π 2 π 2 π3π 2 x_{= −}π 2 x=π 2 x=3π 2 −1 1 y −π−π 2 π 2 π x_{= −π} x= 0 x= π −1 1 y 定義域 _{R R} x₆₌π 2 + nπ x6= nπ x6= π 2 + nπ x6= nπ 值域 _{[−1, 1] [−1, 1] R R (−∞, −1] ∪ [1, ∞) (−∞, −1] ∪ [1, ∞)} 鉛直漸近線 無 無 x=π 2 + nπ x= nπ x= π 2 + nπ x= nπ 與x軸交於 nπ π 2 + nπ nπ π 2 + nπ 無 無 與y軸交於 0 1 0 無 1 無 週期 2π 2π π π 2π 2π 奇偶性質 奇 偶 奇 奇 偶 奇 對稱 原點 y 軸 原點 原點 y 軸 原點 鉛直對稱軸 x= nπ +π 2 x= nπ 無 無 x= nπ x= nπ + π 2 對稱點 (nπ, 0) (nπ +π 2,0) ( nπ 2,0) ( nπ 2 ,0) (nπ + π 2,0) (nπ, 0)

一般正弦函數

y= f (x) = a sin(kx + b) + c ,

則

                       f(x)

振幅

A _{: |a| =} M ax− min 2 f(x)

週期

T′ _: T |k| = | 2π k | b

與水平平移量有關

_:

觀察圖形波峰、 節點或波谷發生點。

:

如

:

波峰點

x

代入

kx_{+ b ≡} π 2 c

為節點所在的水平線

: y = c = M ax+ min 2 x y 0 |A| −|A| π 4 π 2 3π4 π 5π4 3π2 7π4 2π 2|A| |A| |A| 函數 y= f (x) = sin 2x 圖形

x y 0 −3 −2 −1 1 2 3 π 2 π 3π₂ 2π 週期T = 2π₂ = π 水平平移 = π₂ 振幅A= 3 函數 y_{= f (x) = 3 cos (2x − π)} 圖形 正、 餘弦函數圖形關係: ( y= cos x = sin(x + π 2)

y= sin x , 餘弦y = cos x是正弦 y = sin x函數圖形在x軸方向左平移 π 2 單位。 −2π −π −π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 (π 2,1) (0, 1) y sin(x) cos(x) 正弦函數的平移: −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sin(x) sin(x +π 2) sin(x + π) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 −2 1 2 y sin(x) sin(x) + 1 sin(x +π 2) + 1 sin(x +π 2) − 1 正弦函數的伸縮: −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y sin(x) sin(2x) sin(x 2) −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −2 1 2 y sin(x) 2 sin(x) 1 2sin(x)

例題

範例 1: 已知cos θ = 3 5 且 θ為第四象限角,求θ 的其他三角函數值? (解_{:)sin θ =} −4

5 ,tan θ = −43,cot θ = −43,sec θ = 53,csc θ = −54

演練 1a : 如圖:單位圓中,已知 AP = sin θ, OA = cos θ, 用三角函數表示下列線段長?

2. OD =? sec θ 3. OE =? csc θ 4. CE =? cot θ O x y P D A θ B(1, 0) C(0, 1) _E 演練 1b : 承上圖: 1. 利用上述線段長大小說明: 0 < θ < π

2 時 sin θ < tan θ < sec θ P A < BD < OD

2. 0 < θ < π

2 時,比較 cos θ, cot θ, csc θ 大小? cos θ < cot θ < csc θ

3. 0 < θ < π

2 時,分別先求 △OP A, 扇形OP B ,△OBD面積,進而說明 sin θ < θ < tan θ

演練 1c : 求下列三角函數值? 1. cos 4π 3 =? −12 2. sin4π 3 =? −√23 3. cos 5π 3 =? 1 2 4. sin5π 3 =? −√23 5. tan7π 6 =? √ 3 3 6. cos−19π 6 =? −√₂3 7. sin4π 3 =? −√₂3 8. cot π =? 無定義 9. csc(−7π 2 ) =? 1 10. sec(−π 3) 2 演練 1d : 將下列式子化為最簡單的式子或值?

1. cos x(tan x − sec x) − sin x = -1

2. cot(−x) csc(−x) = cos x 3. 2 sin 2_{x+ sin x − 3} 1 − cos2_{x− sin x} = 2 + 3 csc x 4. cos x 1 + sin x + tan x = sec x 1 1 1

演練 1e : 已知 _{(−3, −4)}為標準位置角θ 終邊上的一點,試求cot θ, sec θ 的值_? cot θ = 3 4,sec θ = −53 演練 1f : 若 x= 3 tan θ 且0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 √ 9 + x2_{=? , 並用 x 表示sin θ 與cos θ ?} (解:)3 sec θ;sin θ = √x 9+x2;cos θ = 3 √ 9+x2 演練 1g : 若 t= tan θ 且0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 1. √1 + t2 sec θ 2. t 1 + t2 sin θ cos θ 3. 1 t√1 + t2 cos θ cot θ 演練 1h : 若 x= 1 2tan θ 且− π 2 < θ < π 2 ,用三角函數表示函數f(x) = x √ 1 + 4x2 ? (解_{:)f (x) = g(θ) =} 1 2sin θ 演練 1i : 令 x= 4 sec θ,用三角函數表示 √ x2_{− 16} x2 =? 1 4sin θ cos θ 演練 1j : 已知圓半徑2,求弦長 2√3 所對應的劣弧弓形面積? 4π 3 − √ 3 範例 _2: 若π _{≤ θ <} 3π 2 且 cot θ = 2 ,求csc θ 及sec(π − θ) 的值? csc θ = −√5, sec(π − θ) = √25 若θ是第三象限角,已知tan θ+cot θ = 25

12,試求:(1) sin θ cos θ =? (2) sin θ+cos θ =? (3) sec θ + csc θ =?

12 25;−75 ;

−35 12

演練 2a : 化簡求 _{tan θ + cot θ − sec θ csc θ} 值? 0

演練 2b : 化簡 tan

2_{θ+ 2}

1 + tan θ − cos

2_θ=? 1

演練 2c : 化簡 _{sec θ csc θ cot θ − cot}2_θ=? 1

演練 2d : 已知 _{sin θ − cos θ =} 1

2,求下列各式的值:(1) sin θ · cos θ (2) tan θ + cot θ (3) sec θ − csc θ ? (解:)(1)3₈ (2) 8₃ (3) 4₃

演練 2e : 若 cos θ = tan θ ,求 sin θ值?

−1+√5 2

範例 3: 利用y = sin x 的圖形,畫出 _{(1) y = 2 + sin x (2) y = sin(x −}π

3)的圖形? (解:) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 −2 2 3 sin(x) sin(x) + 2 sin(x −π 3)

(解:) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 −2 2 3 y= cos(x) y= 2 cos(x) y= cos(2x)

演練 3a : 設 a= sin 1, b = sin 2, c = sin 3, d = sin 4 , 試比較a, b, c, d 的大小? b > a > c > d

演練 3b : 利用 y= sin x 的圖形,作出 y_{= sin |x|}的圖形? (解:) −2π−3π 2−π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y= sin |x| 演練 3c : 利用 y= sin x 的圖形,作出 y_{= | sin x|} 的圖形? (解:) −2π−3π 2−π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 1 y_{= | sin(x)|} 演練 3d : 利用 y= sin x 的圖形,作出 y= sin(x + π 2) 的圖形? (解:) −2π−3π 2 −π − π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 −1 1 y= sin(x) y= sin(x +π 2) ;y = sin(x +π 2) 的圖形如同y= cos(x) 圖形

演練 3e : 設 a= cos 1, b = cos 2, c = cos 3, d = cos 4 , 試比較 a, b, c, d的大小? a >0 > b > d > c

演練 3f : 利用 y= cos x 的圖形,作出 y_{= − cos x}的圖形? (解_:) −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 −1 1 y= cos(x) y= − cos(x) 演練 3g : 利用 y= cos x 的圖形_,作出 y_{= cos(x −} π 2) 的圖形?

(解:) −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π 5π2 −1 1 y= cos(x) y_{= cos(x −}π 2) ;y = cos(x − π₂)的圖形如同y = sin(x) 演練 3h : 下列圖形分別為哪一函數的部分圖形? (1) y = cos(2x) (2) y = 1 2sin(x)+1 (3) y = −2 sin( 1 2x)−3 (4) y = − cos(x − π₂) B,D,C,A −2π−3π 2 −π − π 2 π2 π 3π₂ 2π 5π₂ −6 −4 −2 1 2 −1 1 A B C D 演練 3i : 函數 y_{= − sin(x −}π 2) + 1 , 求此函數的振幅A=? 週期 T=? 此函數圖形可由y= sin(x) 函數圖 形如何平移得到? A=1,T = 2π; 向左 π 2單位, 向上1單位平移 演練 3j : 下列函數: (a) f (x) = 2 sin(1 2x− π 2) (b) f (x) = 1 2cos(2x− π 4)+2 (c) f (x) = − sin[2(x− π 2)]+2 (d) f (x) = sin(x + π) − 1₂ (e) f (x) = −2 cos(4x − π) (f) f (x) = − cos 2(x −π₈)

1. 哪些函數的振幅為2 a,e

2. 哪些函數圖形的週期為 π ? b,c,f

3. 哪些函數圖形的週期為 2π ? d

範例 _4: 將y = sin x和y= cos x的圖形畫在同一平面上,並利用圖形求 (1)在_{0 ≤ x ≤ 2π}時, y = sin x

和 y= cos x 的圖形有幾個交點? (2)在 _{0 ≤ x ≤ 2π}時, 解sin x = cos x 2

個交點; x= π₄,5π₄ (解:) −2π −π −π 2 π 2 π 3π2 2π 5π2 3π −1 (π 2,1) (0, 1) y sin(x) cos(x) 演練 4a : 解三角方程式sin θ = tan θ θ= kπ, k ∈ Z 演練 4b : 求三角方程式sin 2θ = sin θ 的解? θ_{= kπ, k ∈ Z;θ = ±}π_{3 + 2kπ, k ∈ Z}

演練 4c : 在 _{0 ≤ x ≤ 2π} 的範圍內,方程式 4 sin2x_{− 4 sin x − 3 = 0}有幾組解? 2 解 演練 4d : 在 _{0 ≤ x ≤ 2π} 的範圍內,求解 _{sin(x −}π 3) = − 1 2 (解:)x = π 6,3π2 演練 4e : 在 _{0 ≤ x ≤ 2π} 的範圍內,求解 2 sin 2x = 1 (解_{:)x =} π 12, 5π 12, 13π 12, 17π 12 演練 4f : 在 _{0 ≤ x ≤ 2π} 的範圍內,求解 _{2 cos 3x = −1} (解_{:)3x =} 2π 3 + 2kπ,4π3 + 2kπ 即 x= 2π₉ +2kπ₃ , k= 0, 1, 2 或x= 4π₉ +2kπ₃ , k= 0, 1, 2 範例 _5: 在_{−2π ≤ x ≤ 2π} 的範圍,求方程式 sin x = x 6 的實根個數? (解_:)3個實根, −2π −3π 2 −π − π 2 π2 π 3π2 2π −1 1 y 演練 5a : 求方程式 sin x = x2 的實根個數? (解:)2個實根, −3π2 −π − π 2 π2 π 3π₂ −1 1 y 演練 5b : 在 _{−2π ≤ x ≤ 2π} 的範圍, 方程式cos x = x 有幾個實數解? (解:)1個實根, −3π2 −π − π 2 π2 π 3π₂ −1 1 y 演練 5c : 方程式 x_{− sin x = 1}有幾組實數解?

(解:)1個實根 −6 −4 −2 2 4 6 −2 −1 1 2 −1 1 範例 _6: 某城市紀錄歷年資料的月平均溫度(◦_{C)變化曲線如下:}

Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

t

值

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temp(T◦_{C) 28 27 25.5 22 18.5 16 15 16 18 21.5 24 26} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫 若此城市月均溫可用數學模型T _{= f (t) = a sin bπ(t − c) + d} 來擬合資料(a, b, c, d > 0), 則(1) a = 13 2 (2) b = 1 6 (3) c 最小值為 10 (4) d = 43 2 (5) c值可以為22 1,2,3,4,5 演練 6a : 某城市歷年資料的月平均溫度(◦_{C)變化曲線如下:}

Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

t

值

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫 若此城市月均溫可用數學模型 T _{= f (t) = A sin B(t − C) + D} 來表示 (A, B, C, D > 0), 求此數 學模型? f(t) = 13₂ sinπ_{6(t −}9₂) + 20.4 演練 6b : 一工業城,在週一至週末上工的星期中測得空氣污染量可用模型 P(t) = 40 + 12 sin2π 7 (t − 37 12) 來 擬合,其中 t 為距離週日午夜12點的天數,求 1. 最小污染量為多少單位? 28 2. 在觀察期間,什麼時間點,使得污染量為最低? 8:00 Am Monday 演練 6c : 研究觀察某水牛群的數量可用 P(t) = 400 + 250 sin(tπ 2 ) 來擬合研究資料,其中 t為觀察經歷時間 (年),求 1. 初觀察時這群水牛的數量為何? 400 2. 6個月後及2年後,這群水牛的數量為何? 577;400 3. 這群水牛的數量最多為何? 650 4. 首次觀察到這群水牛的數量為最少時,需歷時多久? 數量為多少 3年後;150 5. 首次觀察到這群水牛的數量超過525頭,何時? 經歷多久時間? 1 3 < t < 53 演練 6d : 某地區某天的潮汐情形,可用模型 h(t) = 3 sin(tπ 6 ) (公尺) 來擬合潮汐, 其中 t(小時) 為午夜12點 開始計量時間,問: 1. 當天何時潮汐為滿潮 ₍漲潮至最高點)? 3 am,3 pm 2. 當天何時潮汐為乾潮 (漲潮至最低點)? 9 am,21 pm 3. 當天的潮差(滿潮與乾潮兩者的水位差) 為多少公尺? 6 4. 若一船在當地港口至少需漲潮1.5公尺時才能進出港口,問該船當天下午何時可以進出港口? 13 ∼ 17 點 演練 6e : 人體血壓若為 P(t) = 100 + 20 sin 2πt (毫米汞柱), 其中 t 為時間 (秒); 表示血壓在100上下震盪 20毫米汞柱,這個函數的週期為1秒,這意味著該人的心臟跳動一分鐘60次。 問: 100,120,100,80,100

2. 在第1秒內,血壓最高時,發生時間點為何? t= 0.25 3. 在第1秒內,血壓最低時,發生時間點為何? t= 0.75 演練 6f : 一個歷史悠久的豪宅中一個保全攝影監視器鏡頭可旋轉監看豪宅外一條又長又直的車道入口進入到 豪宅內。 假設車道中心分隔線為一直線, 攝影監視器正前方距離為6英尺與分隔線交點為中心點。 監 視器監看分隔線的中心點右側範圍,若d代表監視器轉動掃描時沿其中心點之車道分隔線的距離。 模 型 d= 6 tan(tπ 30) 表示t 秒時, d 的距離 (英尺) midpoint d 6 ft camera driveway 1. 求 t= 5 秒時_{,d =?} 2 √ 3 2. 求 t= 15秒時,d的位置如何? 監視器鏡頭平行車道 3. 此監視器鏡頭掃描的週期為多少秒? 30 秒 習題_I:2-2 三角函數的性質與圖形 1. 利用坐標法求三角函數值: 若直線 ←→OP 與 x 軸正向夾角為 θ,終邊上點P的坐標如下, 分別求三角函數

sin θ, cos θ, tan θ 值? (a) P (−2, 3) (b) P (3, −4) 2. 先將 θ 化為較簡同界角後,再求其三角函數值? (a) tan9π 4 (b) cos17π 6 (c) sin(−2π₃ ) (d) sec(−7π 4 ) (e) tan(−π₃) (f) csc(−315◦₎ (g) csc(−270◦₎ (h) cot(390◦₎ (i) sec(−3π) (j) tan19π 6 (k) cos(−2π) 3. 將下列式子化為最簡單的式子? (a) csc(−x) cot(−x) =

(b) 4 tan x sec x + 2 sec x 6 tan x sec x + 2 sec x = (c) sin x + 1 tan x + sec x = (d) sin x 1 − cot x+ cos x 1 − tanx = 4. 三角函數的奇偶性質:

(a) cot(−3π₂ ) (b) tan(−37π₄ )

(c) sin(−9π₄ ) (d) tan(−9π

4 )

5. 已知θ角中 sin θ, cos θ, tan θ 的一個三角函數值,求其餘的三角函數值? (a) csc θ = −2, tan θ > 0 (b) tan θ = −4, sin θ < 0 6. sin θ = 1 3, θ 為第二象限角,分別求 a= cos θ ,b = cos(θ − π 3) ,c = sin(θ + π 6) ,d = tan(θ + π 4) 值? 7. 若 θ是第二象限角,且 sin θ = 3_{5 ,} 求cos θ 與tan θ 的值?

8. 已知θ 角的頂點為原點,始邊落在X軸的正向上,終邊通過點P_{(2, −3) ,}試求θ角的六個三角函數值? 9. 若 θ是第三象限角,且滿足_{cos θ − sin θ = 13 ,} 求sin θ cos θ 與 sin θ + cos θ 的值?

10. 已知 _{cos θ = −35 ,} 且θ 為第二象限角,求其他三角函數值? 11. 若 tan θ = 4₃ 求 3 sin θ + 2 cos θ

2 sin θ + 3 cos θ =? (分子分母同除以cos θ) 12. 已知 _{sin θ + cos θ = −}√_2,求下列各式的值_:

(a) sin θ · cos θ = (b) tan θ + cot θ = (c) sec θ + csc θ = 13. 若 x= 2 tan θ,0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 √ 4 + x2 _{=? , 並用x 表示 sin θ與 cos θ ?} 14. 若 x= 3 sec θ且 0 < θ < π 2 ,用三角函數表示 √ x2_{− 9 =? , 並用x 表示 sin θ 與 cos θ ?} 15. 令 x= sin θ,用三角函數表示 x 2 √ 1 − x2 =? 16. 求下列函數的週期 T、 最大值M 與最小值 m (a) y = 3 sin 2x (b) y = 3 2cos(x + π 2) (c) y = 2 sinx 3 + 1 (d) y = 3 cos(x + π 4) − 2 17. 求下列函數的週期: (1) y = cos 2x (2) y = tan(x + π 2)

(a) 若f(x) = sin x , 且f(a) = 1

3,求 f(−a) =? ,f (a) + f (a + 2π) + f (a + 4π) = ? (b) 若f(x) = sec x , 且f_{(a) = −4,}求 f_{(−a) =? ,f (a) + f (a + 2π) + f (a + 4π) = ?}

(c) 若_{cot θ = −2,} 求cotθ_{+ cot(θ − π) + cot(θ − 2π) = ?}

19. 右圖為函數 y = a cos bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數) 求此函數的週期與振幅及 a, b, c 的值? −π 3 π 3 2π3 π 4π3 −1 1 2 3 y 20. 右圖為函數 y = a sin bx + c 的部分圖形 (其中 a, b, c 為正數₎ 求此函數的週期與振幅及 a, b, c 的值_? −π 3 −π6 π6 π3 π2 1 2 3 2 5 2 7 2 y 21. 將圖形 y= cos x , 如何伸縮平移可得到函數y= 2 sin x 的圖形? 22. 利用伸縮平移描繪三角函數圖形_{:y = sin(x −} π 2) 23. 餘弦函數 y= f (x) = a cos bx 的圖形振幅為9.8, 週期為 6π,求常數 a, b值? 24. 方程式 sin x = 1 2 在 0 ≤ x ≤ 4π 範圍內實根的個數? 25. 在 _{−2π ≤ x ≤ 2π} 的範圍,求方程式 sin x = 2x _{的實根個數?} 26. 某城市歷年資料的月平均溫度(◦_{C)變化曲線如下:}

Month Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec

t

值

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Temp(T◦_{C) 31.5 31.8 29.5 25.4 21.5 18.8 17.7 18.3 20.1 22.4 25.5 28.8} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 月份 平 均 溫

若此城市月均溫可用數學模型T _{= f (t) = A sin B(t − C) + D}. 來表示 (A, B, C, D > 0), 求此數學模 型? 27. 研究觀察某甲蟲的數量可用 P(t) = 5 + 2 sin(tπ 3),(單位:千隻) 0 ≤ t ≤ 8為觀察經歷時間 (星期), 求 (a) 剛開始觀察時這群甲蟲的數量為何? (b) 這群甲蟲的數量最多為何? (c) 首次觀察到這群甲蟲的數量為最少時,數量為多少 (d) 觀察到這群甲蟲的數量超過6000隻,何時? 經歷時間?

習題

I:2-2

1a. sin θ = 3 √ 13 13 ,cos θ = −2 √ 13 13 ,tan θ = − 3 2 1b. sin θ = ₋4 5,cos θ = 3 5,tan θ = − 4 3 2a. 1 2b. −√3 2 2c. −√3 2 2d. √2 2e. ₋√3 2f. √2 2g. 1 2h. √3 2i. ₋₁ 2j. √₃3 2k. 1 3a. sec x 3b. 2 tan x+1_{3 tan x+1} 3c. cos x 3d. sin x + cos x 4a. 0 4b. ₋₁ 4c. −√2 2

5a. sin θ = ₋1₂,cos θ = −√23,tan θ = √ 3 3 5b. sin θ = 4√₁₇17,cos θ = √₁₇17 6. a = ₋2√₃2, b = −2√2+√3 6 , c = −2 √ 2+√3 6 , d = 9−4√2 7 7. _{cos θ = −}4₅,_{tan θ = −}3₄ 8. sin θ = ₋√3 13,cos θ = 2 √ 13,tan θ = − 3 2, cot θ = −23, sec θ = √₂13,_{csc θ = −}√₃13

9. sin θ cos θ = 4₉ , sin θ + cos θ = −√317 10. sin θ = 4₅,tan θ = −43,cot θ = −34 , sec θ = −53, csc θ = 54 11. 18₁₇ 12a. 1₂ 12b. 2 12c. ₋₂√2 13. 2 sec θ;sin θ = x √ 4+x2;cos θ = 2 √ 4+x2 14. 3 tan θ;sin θ = √ x2 −9 x ;cos θ = x3 15. sin θ tan θ 16a. T _{= π, M = 3, m = −3} 16b. T = 2π, M = 3₂, m_{= −}3₂ 16c. T _{= 6π, M = 3, m = −2} 17. π, π 18a. ₋1₃; 1 18b. _{−4; −12} 18c. ₋₆ 19. T = 2π₃ ,A = 2,a = 2, b = 3, c = 1 20. T = 2π₃ ,A = 3₂,a = 3₂, b = 3, c = 2 21. y = cos x 圖形向右平移 π 2 單位後,再上下方向伸長兩倍大。 22. y = sin x 圖形向右平移 π 2 單位 −2π−3π 2−π− π 2 π2 π3π22π5π23π −1 1 y y= sin(x) y= sin(x −π 2) 23. a= 9.8, b = 1₃ 24. 利用函數圖形圖解有4個交 點:π 6,5π6,13π6 ,17π6 25. 2個實根 26. A = 7.05, B = π₆,C = 4.5, D = 24.75 27a. 5000 27b. 7000 27c. 3000