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(1)

向量

向量(vector,有些專科教科書稱為矢量)是一個具有方向性的數值,它具 有兩個基本特性:大小與方向;一般所使用的數值只能表是大小的特性,稱為純 量(scalar)。在數學中,向量是幾何與代數間的橋梁。

向量的表示法

向量有數種表示方式,每種方式都有不同的用途。

向量符號與名稱

在印刷文件中,我們以粗體英文字母,如 A,代表向量的名稱;但在手寫 時,則以上方帶有箭頭的英文字母,如 A 代表向量。

注意:

在手寫時, Ar 代表名稱為 A 的向量;A 則代表名稱為 A 的純量,或者 是向量 Ar 的大小。在印刷文件中,A 代表名稱為 A 的向量;A(斜體)則代 表名稱為 A 的純量,或者是向量 A 的大小。

圖示法

在圖形中,向量通常使用如下具有箭頭的線段表示: A 線段的長度代表向量的大小,箭頭所指的方向代表向量的方向。這個向量的起點 在沒有箭頭的一端;終點則在有箭頭的一端。

端點法

在某些狀況下,我們也會將向量定義如下: P = AB 以手寫方式表示則是 AB Pr= P A B

分量法

分量法是向量最標準的表示方法。如下圖所示,在 x-y 座標中,一向量 A 由 終點開始沿 x 方向前進 4 個單位;沿 y 方向前進 2 個單位後到達終點: 4 2 A x y 在印刷文件終,依據標準的寫法,是: A = 4i + 2j 若是手寫,則是: j i Ar=4r+2r 其中,i 與 j (手寫則分別是 ir 與 jr)分別是沿 x 與 y 方向的單位向量(unit vector,也就是大小為 1 的向量)

注意:

不能將 j i Ar=4r+2r 寫成 A = 4i + 2j 首先,A 不是向量,其次 i 與 j 也不是單位向量。特別是 i 有可能被誤為 1 − 或者是電流。

(2)

注意:

從現在開始,我們不能再將向量 A = 4i + 2j 寫成 A = (4, 2) 或 <4, 2> 這是中學或專科時代暫時使用的表示法,會與座標混淆。 上述向量更不能寫成 A = (4i, 2j) 在上圖中我們也可以發現:向量只管起點與終點的相對位置,不管起點與終 點在哪裡,所以下圖中的各向量都一樣,只要這些向量起點對終點的關係都是「右 四上二」: 4 2 4 2 4 2 在 A = 4i + 2j 中,i 前面的 4 稱為 x 方向的分量(component)或投影 (projection),簡稱 x 分量,j 前面的 2 稱為 y 方向的分量,簡稱 y 分量。 分量也可以為負值,所以以下幾個向量就是指向不同方向: -3i + 3j 4i + 2j -4i - 2j i - 4j 所以若令 A = Axi + Ayj 當 Axx 分量)為正時,向量會指向右方;Ax 為負時,向量會只向左方。當 Ay (y 分量)為正時,向量為只向上方;Ay 為負時,向量會指向下方。所以當 x 與 y 都為正時,向量會指向右上方。此外,若 x 或 y 為 1 時,可以不寫出數值, 如 i + 4j 就不需寫成 1i + 4j。 也有一些向量在 x 或 y 方向的分量為 0: 4i -2i j -4j 這時候我們就不需要寫出分量為 0 的那一項。如 4i + 0j 就不是符合習慣的寫 法。 比較特殊的兩個向量 i 與 j 就分別是沿 x 與 y 方向,大小為 1 的向量。 在 x-y-z 空間座標中,我們則是用 k (手寫則是 kr)代表 z 方向的單位 向量。所以下圖中的向量 A = i -3j + 4k 就代表從起點開始沿 x 方向前進 1,沿 y 方向前進 -3 (相當於沿 –y 方向前進 3),再沿 z 方向前進 4 (先後順序 不會影響結果)才能到達終點: x y z O 4 1 -3 1 -3 A = i -3j + 4k

(3)

注意:

x-y 平面座標其實可以當成 x-y-z 空間座標中 z = 0 的特例,但我們不必 特意將 x-y 座標中的 A = 4i + 2j 特意寫成 A = 4i +2j + 0k,不過這兩個向量 是一樣的。 總結以上的描述方式,以分量法描述的向量基本寫法為:

A = A

x

i + A

y

j + A

z

k

向量A x 分量 y 分量 z 分量 x 單位向量 z 單位向量 y 單位向量

注意:

在某些書籍中也會以 iˆ 、 jˆ 與 kˆ 或 xˆ 、 yˆ 與 zˆ 代表沿各座標軸單位 向量。但無論如何,在使用時必須維持前後一致(至少整張考卷要維持一致)。

注意:

向量 A = Axi + Ayj + Azk 的各分量 Ax、Ay 與 Az 都是純量,所以它們有時 又稱為純量分量(scalar component)。

向量的大小與方向(由分量式求大小與方向)

向量具有大小(magnitude)與方向兩個特性,對一個 x-y 平面上的向量 A = Axi + Ayj 根據畢氏定理,它的大小是: 2 2 y x A A A= A = + 這是因為 AxAy 剛好是斜邊為 A 的直角三角形直角的兩邊: Ax Ay A x y

注意:

大小不能為負值。 我們通常以絕對值符號 | | 代表符號中向量的大小。 至於空間中的向量 A = Axi + Ayj + Azk 的大小則是 2 2 2 z y x A A A A= A= + + 這是因為如下圖所示:

(

2 2

)

2 2 2 z y x z xy A A A A A A= A= + = + + x y z O Az Ax Ay 所以向量 A = 2i – 3j 的大小為

( )

(4)

而向量 B = i +4j -6k 的大小則是

( )

6 53 4 1 6 4 = 2+ 2+ 2 = + =i j k A

注意:

向量的大小本身是一個純量。 在數學中,向量的方向角定義為向量所指的方向對 +x 方向的夾角,並以逆 時鐘方向為正(也就是朝 +x 方向為 0 度): x y θ A Ax Ay A

注意:

在某些領域中,並不遵循數學的定義。如在航海或航空領域中,方向角是 以朝北(地圖中為朝上)為 0 度,順時鐘方向為正。但要轉換成數學的定義 並不難。 如上圖所示: x y A A = θ tan 所以 x y A A 1 tan− = θ 上述關係適用於 θ 為銳角,也就是 -90o≤ θ ≤ 90o(或 –π/2≤ θ ≤ π/2 )時。譬 如: A = 2i + 3j 的方向角是 θ = tan-1(3/2) = 56.3o(可以用計算機求得) B = 2i – 3j 的方向角是 θ = tan-1(-3/2) = -56.3o 但是當 θ 為鈍角,也就是 θ > 90oθ < -90o (或 θ > π/2 或 θ < -π/2) 上述關係就不適用。好在當 θ 為鈍角時,Ax < 0,所以很容易從分量判斷出,這 時候方向角就是 o 180 tan1 ± = θ − x y A A (通常選擇 θ 在 ± 180o 範圍內者) 所以 C = -2i + 3j 的方向角是 tan-1(3/-2) ± 180o = 123.7o 或 -236.3o (差 360o,其實都一樣,但我們取絕對值較小的 123.7o D = -2i - 3j 的方向角是 tan-1(-3/-2) ± 180o = -123.7o 或 236.3o (差 360o,其實都一樣,但我們取絕對值較小的 -123.7o 上述各向量的方向角如下圖所示: A = 2i + 3j x y θ = 56.3° θ = -56.3° B = 2i - 3j C = -2i + 3j D = -2i - 3j 56.3° θ= 180 ° - 56.3° = 123.7 ° 56.3° θ= -180 ° + 56.3° = -123.7 ° 若使用計算機計算,我們可以發現無論 θ = 56.3oθ = -123.7o都可以得 到 tanθ = 1.5 = 3/2,所以單以 θ = tan-1 (A y/Ax) = tan-1(3/2)(相當於求 θ 在甚麼時 候會讓 tanθ = 3/2)還不足以判斷方向角,還必須利用 Ax 的正負值判定方向角 θ 是銳角還是鈍角後,再決定是否要將計算機所算得的θ 值 ± 180o 整理以上的結果,向量 A = Axi + Ayj 的方向角 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < ± ≥ = θ − − 0 180 tan 0 tan 1 1 x x y x x y A A A A A A 若 若 o

(5)

注意:

在方向角公式的 tan-1 中,x 分量 A x 放在分母,而且可用來判斷方向角 是銳角還是鈍角。

根據大小與方向求向量

我們也可以反過來,根據已知或給定的大小求得向量的分量式。再回到前面 的圖形: x y θ A Ax Ay A 根據三角函數關係,我們可以得到: Ax = Acosθ Ay = Asinθ 其中 θ 就是方向角,A 就是向量大小,於是在 θ 與 A 給定的條件下可以得到 向量: A = Axi + Ayj = Acosθ i + Asinθ j 譬如,若已知一向量大小為 5,方向角為 50o,就可以得到此向量為:

A = 5cos50oi + 5sin50oj = 3.21i + 3.83j 其中 cos50o 與 sin50o 可以用計算機求得。 不過在許多狀況下,方向角必須使用幾何關係間接求得。以下圖為例: x y A A = 3 35° x y A A = 3 35° 方向角θ = 90 ° - 35° = 65 ° 若向量 A 與 y 軸的夾角是 35o,必須使用幾何關係得到向量的方向角(向量 與 x 軸或 +x 方向的夾角)為 90o- 35o = 65o,由於向量的大小 A = 3,所以 A = 3cos65oi + 3sin65oj = 1.27i + 2.72j

下圖所示為幾種夾角給定狀況,無論如何都要根據幾何關係得到向量與 +x 方向的夾角,也就是方向角,再根據方向角求得向量分量式: 50° 方向角 θ = 180 ° - 50° = 130 ° x y 方向角 θ = 90 ° + 45° = 135 ° x y 45° 20° 方向角 θ = -90 ° - 20° = -110 ° 15° 方向角 θ = -180 ° + 15° = -165 °

(6)

數學背景:三角函數

對如下圖所示的直角三角形而言,若其中一銳角為 θ,斜邊(直角的對邊, 也就是最長的一邊)為 r,θ 的對邊為 b,鄰邊為 a: θ a b 根據三角函數的定義: r b = θ sin (對邊除斜邊) r a = θ cos (鄰邊除斜邊) a b = θ tan (對邊除鄰邊) 不過在一般使用上,以下的關係反而比較常用: b = rsinθ (相當於前面的 Ay = Asinθ) a = rcosθ (相當於前面的 Ax = Acosθ) b = atanθ 由於 cosθ 是使用 θ 角的兩邊計算,θ 正是這兩邊的夾角,所以 cos 是三角 函數中最常使用者。 三角函數中最重要的幾個恆等公式為:

sin2θ + cos2θ = (b/r)2 + (a/r)2 = (a2 + b2)/r2 = r2/r2 = 1 (根據畢式定理:a2 + b2 = r2

tan θ = b/a = (b/r)/(a/r) = sin θ/cos θ

sin(90o - θ) = cos θ(使用另一個銳角 90o - θ 建立三角函數) cos(90o - θ) = sin θ(使用另一個銳角 90o - θ 建立三角函數) 因為 tanθ 可以根據 sinθ 與 cosθ 計算,所以 tanθ 的使用機會較其他兩函數

少。此外,還特別要知道: sin0 = 0 (相當於 b = 0) cos0 = 1 (相當於 b = 0,此時 a = r) sin90o = 1 (相當於 a = 0,此時 b = r) cos90o = 0 (相當於 a = 0) 當 θ 不在 0o 到 90o 範圍內時,我們可以用以下關係配合下圖得到 sin θ 與 cos θ 值: x = rcos θ(r 恆為正) y = rsin θ(r 恆為正) θ = 150 ° r x y 30 ° 譬如,當 θ = 150o 時,上圖中的向量指向第 II 象限,在這個象限中 x 為負,

y 為正,所以 cos θ = x/r 為負,sin θ = y/r 為正。而且這個時候,|cos150o| = |x|/r

= cos 30o = sin60o,所以 cos150o = cos30o;同理,| sin150o|=|y|/r = sin30o,所 以 sin150o = sin30o = cos60o

那麼是否可以證明 sin210o = -sin30o = -cos60o 以及 cos210o = -cos30o = -sin60o。 比較特殊的關係則是: sin(-θ) = -sinθ cos(-θ) = cosθ 上述關係是因為 θ 變成負值時,x 值不變(所以 cos θ = x/r 不變);但 y 值 會正負對調(所以 sin θ = y/r 正負對調)

(7)

θ −θ x y -y 由於 r 是三角形中最長的一邊,所以 sinθ 與 cosθ 必然在 -1 與 1 之間 (r 在分母)。tanθ 就沒這限制,但是當 θ = 90o 或 -90o 時,tan θ 就會變 成無窮大(因為 tan θ = sin θ/cos θ 中的 cos θ 此時為 0)。

技巧:

許多數學與物理公式中,在定義時通常會寫成如下的形式: C B A= 這種形式也相當於: B = AC 第二種形式往往比較常使用到(但也並不一定),而且比較不容易記錯(至少 不會將分子分母記顛倒)。

譬如我們定義 cosθ = a/r ,但是使用 a = rcosθ 的狀況就比較常在問題中 出現。 許多物理公式也有這種情況,如: 平均速度 = 位移/時間 => 位移 = 平均速度× 時間 平均加速度 = 速度變化/時間 => 速度變化 = 平均加速度× 時間 密度 = 質量/體積 => 質量 = 密度 × 體積 電流 = 電位差/電阻 => 電位差 = 電流× 電阻 電流 = 電量/時間 => 電量 = 電流× 時間

哪些物理量需要用向量描述?

在物理中有一些具有方向性質的物理量需要用向量描述: ‧ 位置(position) r ‧ 位移(displacement) Δr ‧ 速度(velocity)v ‧ 加速度(acceleration)a ‧ 力(force)F ‧ 動量(momentum)p ‧ 衝量(impulse)I ‧ 力矩(torque)τ ‧ … 其中位置 r 的大小 r = |r|,就是離原點的距離;位移 Δr 的大小 |Δr| 就是 兩點間的距離(這時不能寫成 Δr,否則會被誤認為兩點到原點距離的差)。

位置向量

若一點 P 在空間中的位置為 (x, y, z),即表示由原點 O 到點 P 的向量為 r = OP = xi + yj +zk 此向量即為點 P 的位置向量(position vector)。反過來說,若點 P 的位置向 量為 xi + yj + zk,即表示它的位置是 (x, y, z)。 位置向量與其他向量不同的特點在於它的起點位於原點。

向量相加

若兩向量 A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk 這兩個向量的和就是: A + B = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk) = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j +(Az + Bz)k

譬如,若 A = 2i -3k,B = -i + 2j,則 A + B = (2i + 0j – 3k) + (-i + 2j + 0k) = (2 -1)i + (0 + 2)j + (-3 + 0)k = i + 2j – 3k,基本上是將各分量逐一相加。

(8)

A = 2i + 3j B = -i +2j 可以看出向量相加相當於是將兩向量相連(必須是一個向量的終點連接另一向量 的起點)後所形成三角形的另一邊。這種方法稱為「三角形法」。

注意:

如下圖的狀況就可能得到錯誤的結果: A B 這不是A + B 因為圖中的兩向量並不是「頭尾相連」。正確的做法應如下圖所示: A B B 將向量 B 平移(向量平移並不會改變)到使其起點與 A 的終點相連後再使用 「三角形法」得到 A + B。 另一種方法稱為「平行四邊形法」,使用於兩向量起點相同時: A B B A 令 A 與 B 為平行四邊形相鄰的兩邊,且具有相同的起點,A + B 就是平行四 邊形的對角線。我們可以將圖中的向量 B 平移(向量不會因平移而改變)到使 其起點與 A 的終點相連,使用「三角形法」也可以得到相同的結果。

技巧:向量不會因為平移而改變

在圖示法中,我們可以將向量平移到適當位置,比較容易在圖示中得到運 算結果。在上述向量相加的例子中,我們可以將兩向量中的一個平移到使其起 點與另一向量終點相連的位置,再以「三角形法」得到兩向量相加的結果。

技巧:

若使用端點是,AB(點 A 到點 B 的向量) + BC(點 B 到點 C 的向 量) = AC(點 A 到點 C 的向量)也可以看出向量相加的關係 。 在物理中,向量相加通常用在以下兩種狀況:

(9)

‧ 某人第一次移動 A = 2.00i + 3.00j m 後再移動 B = –i + 2.00j m,兩次移動 的總位移是 C = A + B = (2.00 – 1.00)i + (3.00 + 2.00)j m = 1.00i + 5.00j m。參照前面已出現的圖形,這時可以使用「三角形法」在圖中繪出總位 移。

‧ 兩個力 F1 = 2.00i + 3.00j N 以及 F2 = -i + 2.00j N 作用於一物體上。此物 體所受淨力(net force)或合力(resultant force)為 ΣF = F1 + F2 = 1.00i + 5.00j N。如下圖所示,這種合力問題通常以「平行四邊形法」顯示。 F1 F2 F1+F2

注意:帶有單位的向量與座標

如同純量,在物理問題中向量也具有單位,如前面的位移,較嚴謹的寫法 應該是 A = 2.00 mi + 3.00 mj,每個分量都應該附有單位。但我們可以將它簡 化為 A = 2.00i + 3.00j m,將單位加在最後即可。 同理,在必要狀況下,座標也有需要單位的時候,較嚴謹的寫法為 (2.00 m, 3.00 m),但我們也接受 (2.00, 3.00) m 這種寫法。 很明顯,向量的相加也遵循純量相加的交換律與結合律: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A B A B C A B C A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C 在前面的位移問題中,上述關係就相當於無論移動的先後順序都不會影響最後的 總移動量;在淨力問題中則相當於各種力加上的先後順序不會影響作用於物體上 的淨力。 其實一個以分量式表示的向量,如 A = 2i + 3j 就是向量 2i 與 3j 相加的結 果,2i 與 3j 又稱為向量 A 在 x 與 y 方向的分向量(vector component,有別 於 2 與 3 分別是這兩個方向的 scalar component):

2i 3j

負向量、等向量與零向量

如下圖所示,向量 A 與 –A 的大小相同但方向相反,若 A = Axi + Ayj,

(10)

A -A Ax Ay -Ax -Ay 比較特殊的例子則是 –i 的方向與 i 相反,但大小與 i 相同,因此 –i 是沿 –x 方向的單位向量(大小為 1 的向量)。 在物理中,負向量使用於反作用力,若 F12 為 2 對 1 的作用力,F21 為 1 對 2 的作用力,根據牛頓第三定律,作用力與反作用力大小相同方向相反,因 此 F12 = -F21。 當兩個向量相等,如 A = B,這兩個向量的方向與大小完全相同,也可以說 這兩個向量所有分量都相同。若 A = Axi + Ayj + Azk,B = Bxi + Byj + Bzk,倘若 A = B,則 Ax = Bx,Ay = By 且 Az = BzA B Ax Ay Bx By 反過來說,若兩向量方向與大小相同,或者是所有分量都相同,兩向量即相等。

注意:

兩個向量只有大小相同,但方向不同,這兩個向量還是不同。 零向量則是一個大小為 0 的向量,這種向量沒有方向可言,且所有的分量 均為 0,通常只要寫成 0 即可,無需寫成 0i + 0j + 0k。所以在含有向量的運算 中,0 可能是向量,也可能是純量。

腦筋急轉彎:

數個向量頭尾相連圍成一個多邊形,這些向量的總和是甚麼?

向量相減

在向量運算中,A – B 相當於 A + (-B),也就是向量 A 加上與 B 相反的

向量:若 A = 2i + 3j,B = i - 5j,A – B = A + (-B) = (2i + 3j) + (-i + 5j) = (2 – 1)i + (3 –(-5))j = i + 8j。寫成通式就是: A – B = (Ax – Bx)i + (Ay – By)j + (Az – Bz)k 下圖中顯示 A – B 的圖示結果: A B -B A – B = A + (-B) A - B 最基本的方法是將向量 B 顛倒(變成 -B)後,再將 –B 平移到使其起點與 A 的 終點相連,再以「三角形法」得到 A – B = A + (-B)。如果嫌這個方法不夠快, 可以在 A 與 B 起點相連的狀況下,直接從 B 的終點繪製一個向量到 A 的終 點,就可得到向量 A – B。

注意:

在圖示法中,若要顯示 A – B 的向量,要先使 A 與 B 的起點相連後, 再繪製由 B 終點到 A 終點的向量,這個順序恰好與運算式的順序相反,若弄 顛到,所得到的結果會恰好與正確結果相反。向量相減有「相對於」的意義, A – B 就是 A 相對於 B 的向量,從下面幾個例子將更容易明瞭。 向量的相減在物理問題中有許多用途: ‧ 求相對位置:倘若兩點 P1 與 P2 的座標位置分別為 (x1, y1, z1) 與 (x2, y2, z2),這兩點的位置向量就分別為 r1 = OP1 = x1i + y1j + z1k 與 r2 = OP2 =

(11)

x2i + y2j + z2k,P2 相對於 P1 的位置就是由 P1 到 P2 的向量 P1P2 = OP2 – OP1 = r2 – r1 = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k(剛好也是 OP2 = OP1 + P1P2)。在物理中,通常以 r21 = r2 – r1 代表 P2 相對於 P1 的位置, 也就是由 P1 到 P2 的向量(記住,這兩種說法順序顛倒)。 (1) 舉例而言,若點 A 位於 (2, -1),點 B 位於 (3, 2),則由點 A 到點 B 的向量則是 AB = (3 – 2)i + (2 – (-1))j = i + 3j(各分量恰好是終點 座標減去起點座標)。也可以求到 BA = -i – 3j,恰好是 –AB。 (2) 其實位置向量,如 OP1 本身就是 (x1 – 0)i + (y1 - 0)j + (z1 – 0)k,也 就是點 P1 位置向量相對於原點位置向量(0)的相量。若這樣想就 不會將連接兩點的向量減顛倒。 ‧ 求位移:若一物體原來的位置向量是 ri,經一段時間後,移動到 rf (下 標 i 與 f 分別代表 initial「開始」與 final「結束」),此物體在這段時 間內的位移就是 Δr = rf – ri,也就是說,位移本身就是物體移動後位置相 對於移動前位置的相對向量。在物理中符號 Δ 有「相減」或「相對」的 意思,而且通常是「後減前」。 ‧ 求相對速度:若物體 A 的速度為 vA,物體 B 的速度為 vB,物體 B 相 對於物體 A 的速度就是 vBA = vB – vA。 ‧ 代數運算: (1) 若 有 三 個 力 F1、F2 與 F3 作 用 於 一 物 體 上 , 並 形 成 力 平 衡 (equilibrium)狀態,即作用於物體上的淨力為 0(此時物體成靜止 或等速運動,即速度不改變),也就是 ΣF = F1 + F2 + F3 = 0。若 F1 與 F2 為已知,可得 F3 = -F1 – F2。 (2) 若某物體移動三次後回到原來位置,每次移動位移 Δr1、Δr2 與 Δr3,於是 Δr1 + Δr2 + Δr3 = 0。若 Δr1 與 Δr2 為已知,可得 Δr3 = - Δr1 - Δr2。

純量與向量相乘

如下圖所示,將任何一個實數 a 乘上向量 A 所得到的向量 aA 就是將向 量 A 的大小乘上 |a| 倍,但方向仍與 A 平行。若 a < 0,就會得到方向相反的 向量: A 2A -2A A/2 -A/2

注意:向量乘法符號

絕對不能將 aA 寫成 aA 或 a× A,因為在向量運算中 • 與 × 代表 其他的運算。(若是純量計算就沒差別) 其實在分量式中,如 3i – 4j 中的 3i 就是將沿 +x 方向的單位向量(大小 為 1)的向量放大為原來的三倍;而 -4j 就是將沿 +y 方向的單位向量反向後 (讓它沿 –y 方向)再放大為原來的 4 倍。 在物理中,純量與向量相乘有以下用途: ‧ 牛頓第二定律:ΣF = ma,其中 ΣF 為作用於一物體的淨力,m 為物體質 量,a 為物體加速度。 ‧ 動量 p = mv,其中 v 為物體速度。

沿任何方向的單位向量

單位向量是大小為 1 的向量,並不僅限於 i、j 與 k,這三個向量只是沿 三個座標軸的向量。而單位向量可以沿任何方向。一向量 A 的大小為 A,沿 A 方向的單位向量(與 A 平行且同向,大小為 1 的向量)就是 eA = A/A = A/|A| 更進一步,沿 A 方向,大小為 k 的向量就是 keA = kA/A 舉例而言,有一向量 A = 2i – 6j + 2k,則 A = |A| = 22+

( )

62+22 = 44 於是沿 A 方向的單位向量就是:

(12)

而沿 A 方向,大小為 5.00 的向量則是: 5eA = (5.00)( 0.302i – 0.905j + 0.302k) = 1.51i - 4.52j + 1.51k

綜合應用:

令 +x 方向朝東,+y 方向朝北,一個登山隊自原點 O 出發,第一晚宿營 在出發點東方 10.0 km,北方 5.00 km 處,我們將第一晚宿營位置定名為 A。 第二天登山隊向北朝西 50o 方向走了 8.00 km 到達點 B,因為發生山難無法前 進。已知最近的搜救隊位於點 C,位置在原點北方朝東 20o 方向 6.00 km 處。 搜救隊必須朝哪個方向(方向角為何?)行走多遠才能找到待援的登山隊。假設 高度方向的位移可以忽略。我們可依序進行以下向量運算就可以得到所要的答 案。若將已知的條件繪製成下圖,就可以知道我們最後要求向量 CB 的大小與 方向角,但在此之前必須先知道 CB = ? x y O A B 50 ° C 10.0 km 5. 0 0 k m 20 ° ? ? (1) 第一晚宿營位置,點 A 的座標為:(10.0, 5.00) km (2) 第一天登山隊位移,也就是向量 OA = 10.0i + 5.00j km (3) 第二天的登山隊位移 AB 的方向角(對 +x 方向) = 90o + 50o = 140o (4) 第二天的位移 AB = (8.00 km)(cos140oi + sin140oj) = -6.13i + 5.14j km (5) 發生山難處的位置向量 OB = OA + AB = (10.0i + 5.00j) + (-6.13i + 5.14j)

= 3.87i + 10.14j km

(6) 發生山難的點 B 座標為 (3.87, 10.14) km

(7) 搜救隊的位置向量 OC 的方向角為 90o - 20o = 70o

(8) 搜救隊的位置向量 OC = (6.00 km)(cos70oi + sin70oj) = 2.05i + 5.64j km (9) 搜救隊的座標位置為 (2.05, 5.64) km

(10) 所以 CB = OB – OC = (3.87i + 10.14j) – (2.05i + 5.64j) = 1.82i + 4.50j km

(11) 搜救隊要走的距離 CB = |CB| = 1.822+4.502 = 4.85 km (12) CB 的方向角 θ = tan-1(4.50/1.82) = 68o,也就是東朝北 68o。因為 CB 的 x 分量為正,因此方向角無需再加減 180o 若是用傳統的幾何方法,必須要交替使用 γ − + = 2 2 2 cos 2 a b ab c 以及 b a β = α sin sin 兩種公式,其中 a、b 與 c 為三角形三邊長,α、β 與 γ 為這三邊所對的角。

施力者與受力者間的關係

在許多物理問題中,施力者與受力者之間的最用力方向大多沿連接施力者與 受力者間直線的方向,這些作用力包括重力、張力與靜電力等。譬如一人(施力 者)位於 A(-2, 3) m,以繩索拉一位於 B(2, 1) m 的物體(受力者),施力大小 F = 5.00 N,我們想知道向量 F = ? x y A B 由於,張力在 A 到 B 的連線上,而且是由 B 朝 A 方向(因為是 A 施力 拉 B),所以先要得到向量 BA = OA – OB = (-2i + 3j) – (2i + j) = -4i + 2j m。其 次求 AB 的大小(也就是 A 到 B 的距離)AB =

( )

42+22 = 20

m。沿 AB 的單位向量也就是沿 F 的單位向量 e = AB/AB = (-4i + 2j)/ 20 = -0.894i + 0.447j。於是 F = Fe = (5.00)(-0.894i + 0.447j) = -4.47i + 2.24j N。

另一種方式就是求 BA 的方向角 = tan-1(2/-4) + 180o = 153.4o(還是得先求 BA),這個方向角也就是 F 的方向角(二者都在 AB 連線上),於是 F = F(cos153.4oi + sin153.4oj) = (5.00)( cos153.4oi + sin153.4oj) = -4.47i + 2.24j N。

(13)

x y A B 153.4 ° 上述第二種方法似乎比較簡單。但若遇到三度空間中的問題,如 A 在 (1, 3, -2) m,B 在 (2, 0, 5) m 時(F 還是 5.00 N)就沒法使用了,這時只能使用第一 種方法,所得到的結果是:F = -0.651i + 1.95j – 4.56k N

向量內積

向量內積是一個相當特殊的向量運算,它的定義是 θ = •B ABcos A 其中 A = |A|,B = |B| 分別是兩向量的大小, θ 則是兩向量起點相連時的夾角。 由於內積使用運算符號 • ,所以又稱「點積」(dot product)。這種乘法所得 到的結果是純量,且乘數與被乘數都是向量。由於這種乘法所得的結果是純量, 所以也稱為「純量積」(scalar product)。而前述純量與向量的相乘運算所得到 的結果是向量。

注意:向量乘法符號

B A• 絕不能寫成 AB,後者這種沒有運算符號的乘法只適用於純量與向 量相乘的運算。 如下圖所示,向量內積所得的結果相當於將其中一向量在另一個向量上的投 影量(如在 A 方向上的 Bcosθ 或在 B 方向上的 Acosθ)乘上另一個向量的大 小: θ B A B θ B A B 所以: B A// = • B AA B// = • B A 其中 A// = cosA θ 為 A 在 B 方向的投影量或分量,B//= cosB θ 為 B 在 A 方向的投影量或分量。 有關兩向量的夾角 θ,當 A 與 B 平行時,θ = 0o,cos θ = cos0o = 1;當 A 與 B 垂直時,θ = 90o,cos θ = cos90o = 0。所以兩垂直向量的內積為 0,因為 其中任一向量在另一向量上沒有分量。 我們先探討沿各軸單位向量 i、j 與 k 之間的內積關係。這幾個向量的大 小都是 1(單位向量的大小為 1),因此 |i| = |j| = |k| = 1。 由於 i、j 與 k 都互相垂直,所以: i• j = j • i = j • k = k • j = k• i = i • k = 0 此外,這些向量自己跟自己內積(自己跟自己平行): i• i = |i||i|cos0o = (1)(1)(1) = 1 同理, j• j = k• k = 1 上述關係將成為我們使用分量式進行內積運算的基礎。 倘若 A = Axi + Ayj + Azk,B = Bxi + Byj + Bzk,則使用展開法: A• B = (Axi + Ayj + Azk)• ( Bxi + Byj + Bzk) = AxBx (i• i) + AxBy (i• j) + AxBz (i• k) + AyBx (j• i) + AyBy (j• j) + AyBz (j• k) + AzBx (k• i) + AzBy (k• j) + AzBz (k• k) = AxBx (i• i) + AyBy (j• j) + AzBz (k• k) (只保留非 0 的項目) = AxBx + AyBy+ AzBz 最後的結果是各分量相乘後再加總。 若 A = -i + 3k,B = 2i + j + 2k,則 A• B = (-i + 0j + 3k) • (2i + j + 2k) = (-1)(2) + (0)(1) + (3)(2) = -2 + 0 + 6 = 4。 由前面各關係不難看出 A• B = B • A

(14)

此物體位移 Δr 後,此力對物體所作的功(work)為 W = F • Δr。所以功(以 及可由功轉換的能 energy)都是純量,倘若 F 與物體位移方向垂直,則 W = 0。 當然若 F = 0,或者是物體不移動(Δr = 0),W 也是 0。 在數學中,內積常用來計算兩向量或線段間的夾角。譬如說空間中三角形的 三頂點分別為 A(1, 0, 2),B(0, 2, 3) 以及 C(1, 4, -1) ,若要求 ∠ A 的角度,可 以先建立兩個都以點 A 為起點的向量:AB = OB – OA = (0-1)i + (2-0)j + (3-2)k = -i + 2j + k,AC = OC – OA = (1-1)i + (4 – 0)j + (-1-2)k = 4j – 3k。於是: AB• AC = (-i + 2j + k) • (0i + 4j – 3k) = (-1)(0)+(2)(4) +(1)(-3) = 5 此外 AB = |AB| =

( )

12+22+12 = 6 AC = |AC| = 02+42+

( )

−32= 25 = 5 又根據原來內積的定義: AB• AC = |AB||AC|cosθ 其中 θ 是 AB 與 AC 的夾角 ∠ A ,於是 cos θ =

( )

( )

6 1 5 6 5 = = • AC AB AC AB (若算出來超過 -1 到 1 的範圍,必然有誤) ∠ A = θ = 65.9o 6 1 cos1 = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 倘若兩向量的內積值大於 0,則表示這兩個向量的夾角為銳角;若小於 0, 則表示兩向量夾角為鈍角。這是因為當 -90o < θ < 90o(θ 為銳角)時,cos θ < 0,在其他狀況下(θ 為銳角或直角)cos θ ≥ 0。特別是在兩向量垂直時,可以 得到此二向量的內積為 0。

技巧:用向量內積檢定兩向量是否垂直

A• = 0,只要能確定 A 與 B 都不為 0,就可以判定此 A 與 B 互B 相垂直。此外,若 A• > 0,A 與 B 的夾角為銳角;當 B A• < 0,A 與 BB 的夾角為鈍角。

向量外積

向量運算中還有一個更特殊的運算—向量外積。向量外積使用符號 × ,兩 向量的外積為 A× B,所得的計算結果是一個同時與 A 與 B 垂直的向量,它的 大小為: |A× B| = ABsinθ 其中 A = |A|,B = |B|,θ 則是 A 與 B 起點相連時兩者間的夾角。現在的問題 是與 A 與 B 同時垂直的方向有兩個,這時就要使用「右手定則」判斷: 如上圖左所示,將右手姆指之外的四根手指由 A 朝 B 捲曲,豎起拇指的方向 就是 A × B 的方向。另一種方式如上圖右所示,以右手食指朝 A ( × 之前的向 量)方向,中指朝 B( × 之後的向量),豎起拇指的方向就是 A × B 的方向。 所以向量外積並不符合交換律,若將參與運算的兩個向量顛倒,就會得到與 正確結果相反的向量: B × A = -(A × B)

技巧:兩平行向量的外積必然為零

兩平行向量 A 與 B 的夾角可能是 θ = 0o(同向)或 180o(反向),但 無論如何 sino = 0,即使這兩個向量的大小均不為 0,但因為 |A × B| = ABsinθ = 0,所以這兩個向量的外積為 0(當向量大小為 0 時,就不用過問它的方向 了)。

(15)

注意:向量外積必須注意相乘的順序

向量外積與其他乘法最大運算不同在於 B× A ≠ = A× B 而是 B× A = -(A× B) 所以相乘時次序顛倒會得到方向相反的結果。矩陣的乘法也是必須注意相乘的 次序。 由於向量外積使用運算符號 × ,所以又稱為「叉積」(cross product);由 於所得的結果是向量,所以又稱為「向量積」(vector product)。

注意:各種向量乘法的區別

型式與名稱 運算符號 基本型態 純量與向量相乘 無 (純量)(向量) = (向量) 內積 點積 純量積 • (向量) • (向量) = (純量) 外積 叉積 向量積 × (向量) × (向量) = (向量) 我們再看看沿各軸方向單位向量 i、j 與 k 之間的外積計算結果。由於 sin0o = 0,所以可以確定: i× i = j × j = k× k = 0 (自己跟自己的夾角為 0) 我們再檢視 i × j 的結果,由於這兩個向量分別沿 x 與 y 軸方向,所以 夾角 θ = 90o,sin90o = 1,於是可以得到外積後的向量大小: | i× j | = |i||j|sin90o = (1)(1)(1) = 1 如下圖所示,由於一般常用的 x-y-z 也是尊詢右手定則,所以 i× j 的結果 必定是沿 z 軸方向,再加上此結果的大小為 1,所以: i× j = k 同理,我們可以得到以下關係: i× j = k j× k = i k× i = j j× i = -k k× j =- i i× k = -j 上述關係也將做為使用分量式計算的基礎。 若 A = -i + 3j + 2k,B = 2j – 3k,使用展開法可以得到:

A× B = (-i + 3j + 2k)× (2j – 3k) = (-1)(2)(i× j) + (-1)(-3)( i× k)

+ (3)(2)(j× j) + (3)(-3)(j× k) + (2)(2)( k× j) + (2)(-3)( k × k) = (-1)(2)(i× j) + (-1)(-3)( i× k) + (3)(-3)(j× k) + (2)(2)( k× j) (保留非零的項目) = -2k + 3(-j) – 9i +4(-i) = -13i -3j -2k 我們可以將上述結果與 A 或 B 進行內積運算,看看結果是否為 0(若為 0 表示計算所得結果確實與 A 或 B 垂直): (A× B) • A = (-13i -3j -2k) • (-i + 3j + 2k) = (-13)(-1) + (-3)(3)+(-2)(2) = 13 – 9 – 4 = 0 (A× B) • B = (-13i -3j -2k) • (0i + 2j – 3k) = (-13)(0) + (-3)(2)+(-2)(-3) = 0 – 6 + 6 = 0

(16)

技巧:

ijk 外積的規則

i、j 與 k 外積的規則似乎不太容易記憶,可以使用以下兩種方法幫助記 憶。 將 i、j 與 k 沿順時鐘方向排成一圈,當遇到如 j× k 時,依序找到 j 與 k 再找到 i,如果這三個向量也是依順時鐘方向排列,外積結果就是 +i;若是 兩個參與外積的向量是依逆時鐘方向排列,其結果前面就要加上負號: i j + k i x j = k i j + k jx k = i i j + k k x i = j i jk jx i = -k i jk kx j = -i i jk i x k = -j 另一種方式就是寫出「ijkijk」,然後依運算順序找出組合,若組合方向為 正向,外積結果為正;若組合方向為逆向,外積結果為負: i j k i j k i x j = k i j k i j k j x k = k i j k i j k k x i = j i j k i j k k x j = -i i j k i j k jx i = -k i j k i j k i x k = -j i j k i j k 我們還可以用行列式法計算向量外積,若 A = Axi + Ayj + Azk,B = Axi + Ayj + Azk,則:

(

)

i

(

)

j

(

)

k k j i B A y z z y z x x z x y y x z y x z y x AB AB AB AB AB AB B B B A A A = − + − + − = × 所以在剛才的計算中,我們可以用: k j i k j i B A 13 3 2 3 2 0 2 3 1 =− − − − − = ×

技巧:使用展開法與行列式法的時機

根據經驗,若 A 與 B 共有 6 個非零分量時,用行列式法較快;但若有 一個零分量,則使用兩種方式都差不多;但若有兩個或兩個以上零分量時,使 用展開法較快。 若參與外積運算的兩向量 A 與 B 不是互相平行,且都在 x-y 平面上,所 得到的外積運算結果必然垂直於 x-y 平面,只有 z 方向的分量。譬如 A = 2i – j,B = -i + 3j ,則 A× B = 6k – k = 5k。在這種狀況下,我們通常以順時鐘或逆 時鐘方向區分。若 z 分量為正,是逆時鐘方向;z 分量為負,是順時鐘方向。 像剛才的計算結果是 5k,所以是逆時鐘方向。這裡所謂的逆時鐘方向是因為沿 k (或 z)方向的分量是得自於在 x-y 平面上逆時鐘排列的兩向量外積的結果。 x y z A B Ax B 逆時鐘排列 x y z B A Ax B 順時鐘排列 前面曾提到 A× B 所得的向量大小 |A× B | = ABsinθ。在幾何中,若以 A 與 B 為平行四邊形的兩邊長,θ 為此二邊的夾角,此平行四邊形的面積就是 ABsinθ (平行四邊形面積 = 底× 高,在此我們以 A 為底,Bsinθ 為高;若以 B 為底, Asinθ 為高也通):

(17)

A B θ A 面積 = ABsinθ A B θ A 面積 = Absinθ/2 所以向量外積可拿來計算平行四邊形面積 = |A× B|。如上圖右所示,我們以 A 與 B 為三角形兩邊,三角形面積就是 |A× B|/2。 如下圖所示,我們想求由 OABC 四點所圍成四邊形的面積,O、A、B 與 C 四點的座標分別為 (0, 0), (3, 0), (4, 3) 與 (1, 4)): x y O(0, 0) A(3, 0) B(4, 3) C(1, 4) 由於四邊形 OABC 不是平行四邊形,所以我們必須將這個四邊形分割成兩 個三角形,OAC 與 ABC,將它們面積相加後得到 OABC 的面積。我們可以依 照下列順序運算得到所要的答案: (1) OA = 3i (2) OC = i + 4j (3) OA × OC = (3i) × ( i + 4j) = (3)(4)(i × j) = 12k (4) |OA × OC | = 12 (5) 三角形 OAC 面積 = |OA× OC |/2 = 6 (6) AB = OB – OA = (4i + 3j) – 3i = i + 3j (7) AC = OC – OA = (i + 4j) – 3i =-2i + 4j (8) AC × AB = (-2i + 4j) × (i + 3j) = (-2)(3)(k) + (1)(4)(-k) = -10k (9) |AB× AC| = 10 (注意:大小必須是正數) (10) 三角形 ABC 面積 = |AB × AC |/2 = 5

(11) 四邊形 OABC 的面積 = 三角形 OAC 的面積 + 三角形 ABC 的面積 = 6 + 5 = 11 × B 所得到的向量同時與 A 與 B 垂直,所以向量外積可用來求與 如下圖所示,有一新潮建築物採用傾斜三角形屋頂,屋頂三頂點座標如圖所 示。我們想在頂點 A 豎立一旗桿,旗桿與屋頂垂直,旗桿長度為 3.00 m,我們 想知道旗桿頂點 D 的位置。 O x y z A(0, 0, 3) m B(8, 0, 8) m C(0, 4, 6) m D 我們可以依照下列順序運算得到所要的答案: (1) AB = OB – OA = (8i + 8k) – (3k) = 8i + 5k m (2) AC = OC – OA = (4j + 6k) – (3k) = 4j + 3k m (3) 由於旗桿向量 AD 垂直於屋頂面,所以必然同時垂直於 AB 與 AC,所 以我們必須求得與 AB 與 AC 同時垂直的向量,這時我們就要計算 AB× AC = (8i + 5k) × (4j + 3k) = (8)(4)k + (8)(3)(-j) + (5)(4)(-i) = -20i – 24j + 32k m2 還有一個與 AB 及 AC 同時垂直的向量:

AC× AB = -(AB× AC) = 20i + 24j - 32k m2

我們選擇前面一個,因為 -20i – 24j + 32k 的 z 分量(32)為正,而 AD 的 z 分量也應該朝正 z 方向(旗桿必須朝上方)。 (4) |AB× AC| =

(

−20

) (

2+ −24

)

2+322= 2000=44.7 m (5) 沿 AD 方向的單位向量(也是沿 AB× AC 的單位向量) eAD = 2000 32 24 20i j k AC ΑΒ AC ΑΒ =− − + × × = -0.447i - 0.537j + 0.716k (6) AD = (3.00 m)eAD = (3.00 m)( -0.447i - 0.537j + 0.716k) = -1.34i – 1.61j + 2.15k m (7) OD = OA + AD = 3k + (-1.34i – 1.61j + 2.15k) = -1.34i – 1.61j +5.15k m (8) 旗桿頂點 D 點座標為 (-1.34, -1.61, 5.15) m (9) 家庭作業:回去求求屋頂面積 ABC = ? 在物理中,向量外積有以下用途: ‧ 力矩 τ = r× F,r 為力臂向量,也就是由支點到施力點向量,F 為施力。 如前所述,若 r 與 F 都在 x-y 平面上,τ 只有 z 方向的分量,可以用

(18)

‧ 在旋轉物體上,一點速度 v = ω× r,其中 ω 為物體旋轉速度向量(朝轉 軸方向,以右手定則判定),r 為轉軸上任一點到該點向量。 ‧ 在磁場中,電荷所受的磁力 F = qv× B,其中 q 為電荷帶電量,v 為電荷 速度,B 為磁場向量。

技巧:兩平行向量的外積必然為零

在上述物理關係中,只要參與外積運算的兩個物理量互相平行,就可以得 到 0 的計算結果。當然,任何一個物理量若為 0 也會得到 0。

學理背景:為什麼要用分量法

若只是進行加減計算,或與純量相乘,向量寫成座標形式 A = (Ax, Ay, Az) 還可勉強應付。但是在進行內積與外積計算時,必須寫成分量式 A = Axi + Ayj + Azk 才能清楚顯示答案是怎麼來的。

參考文獻

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