1115 不等式解答

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1115 不等式 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知 x、y 均為實數且滿足不等式 x  0,y  0,4x  3y  18,x  3y  9,則 x  y 的最小值為何? (A)4 (B)5 (C)6 (D)9 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中,不等式組: 0, 0 4 3 18 3 9 x y x y x y          畫出可行解區域 (1)4x  3y  18… 9 0 2 6 0 x y (2)x  3y  9… 0 9 3 0 x y 由、解聯立:  得 3x  9  x  3  y  2 ∴ B(3,2) 頂點 A(9,0)、B(3,2)、C(0,6)  A(9,0)  x  y  9  0  9 B(3,2)  x  y  3  2  5(最小) C(0,6)  x  y  0  6  6 故得 x  y 最小值 5 ( )2.在不等式組 0 0 2 3 7 4 5 3 x y x y x y        , 之限制條件下,f (x , y)  6x  4y 之最大值為 (A)28 3 (B)8 (C)12 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 0 0 2 3 7 4 5 3 x y x y x y        , f (x , y)  6x  4y 以(2 , 1)代入得 f (2 , 1)  6  2  4  16 為最大值 ( )3.不等式 x2  3x  18  0 的解為 (A)  3  x  6 (B)  6  x  3 (C)  6  x   3 (D)x   3 或 x  6 (E)x   6 或 x  3 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 將 x2  3x  18 因式分解得(x  6)(x  3) 故(x  6)(x  3)  0   3  x  6 ( )4.在 0 0 2 36 2 39 x y x y x y            , 之條件下,f (x , y)  39x  23y 在下列哪 一點有最大值? (A)(11 , 14) (B)(14 , 11) (C)(18 , 0) (D)(0 , 39 2 ) 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 36 2 39 0 0 x y x y x y              滿足方程式之區域為斜線部分 而 A(0 , 39 2 )、B(11 , 14)、C(18 , 0)、O(0 , 0) ∵ 線性函數 f (x , y)  39x  23y 故 f (0 , 39 2 )  0  23  39 2  448.5 f (11 , 14)  39  11  23  14  751 f (18 , 0)  39  18  0  702 f (0 , 0)  0  0  0 ∴ f (x , y)在 B 點(11 , 14)有最大值 ( )5.在面積 3000 平方公尺的建築用地上,以不超過 2000 萬元的建築經費建造甲、乙兩種不同形式的住宅,已知甲種每 戶占地 200 平方公尺、造價 400 萬元、可獲利 200 萬元;乙種 每戶占地 300 平方公尺、造價 100 萬元、獲利 250 萬元,則在 此建地建築甲、乙兩種住宅,總共最多可獲利多少元? (A)3000 萬元 (B)2600 萬元 (C)2500 萬元 (D)1000 萬元 【龍騰自命題.】 解答 B

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- 2 - 解析 設建造甲種住宅 x 戶,乙種住宅 y 戶,則獲利函數為 f (x , y)  200x  250y(萬元),限制條件為 0 0 400 100 2000 200 300 3000 x y x y x y        ,  0 0 4 20 2 3 30 x y x y x y            , 可行解區域如圖斜線部分: 各頂點坐標分別為(0 , 0)、(5 , 0)、(3 , 8)、(0 , 10) 又 f (0 , 0)  0,f (0 , 10)  2500 f (3 , 8)  2600,f (5 , 0)  1000 ∴ 最多可獲利 2600 萬元 ( )6.某工廠製造甲、乙種產品,均須使用 A、B、C 三種原 料,製造 1 噸的甲產品須 A、B、C 三種原料分別為 2 噸、3 噸、1 噸,且可獲得 2 萬元的利潤;製造 1 噸的乙產品須使用 A、B、C 三種原料分別為 4 噸、1 噸、5 噸,且獲利 3 萬元。 現工廠內 A、B、C 三種原料均有 30 噸的庫存,該工廠製造 x 噸甲產品、y 噸乙產品時,將可獲得最大的利潤為 p 萬元,則 (A)x  3 (B)y  5 (C)p  27 (D)p  25 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 由題意知:利潤函數 f (x , y)  2x  3y(萬元) 且限制條件為 0 0 2 4 30 3 30 5 30 x y x y x y x y              , 不等式組所成區域如圖中斜線部分: 由不等式組兩兩聯立解得多邊形各頂點坐標分別為(0 , 0)、(10 , 0)、(9 , 3)、(5 , 5)、(0 , 6) 又 f (x , y)  2x  3y 則 f (0 , 0)  0,f (10 , 0)  20,f (9 , 3)  27,f (5 , 5)  25, f (0 , 6)  18 ∴ 當 x  9,y  3,最大利潤 p  27 ( )7.若不等式 x2  ax  b  0 的解為  3  x  4,則 a  b  (A)  13 (B)1 (C)7 (D)  1 (E)11 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 ∵  3  x  4  (x  3)(x  4)  0  x2  x  12  0 不等式 x2  ax  b  0 與 x2  x  12  0 比較係數得 a   1、b   12  a  b   1  (  12)   13 ( )8.設 x、y 皆為整數,則不等式組 1 2 1 x y x y            之解有幾組? (A)12 (B)10 (C)8 (D)7 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 1 2 1 x y x y            整數解有 10 組:(2 , 0)、(1 , 0)、(0 , 0)、(1 , 0)、(2 , 1)、(1 , 1)、(0 , 1)、(2 , 2)、(1 , 2)、(2 , 3) ( )9.在坐標平面上,不等式組 2x  y  4  0,x  0,y  2 所圍成的區域面積等於 (A)6 (B)9 (C)12 (D)15 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 圖解不等式 2 4 0 0 2 x y x y            面積  1(3 0) [4 ( 2)] 2     = 9 ( )10.設 A(1 , 4)、B(3 , 2)在直線 L:x  ay  5  0 之異側, 則 a 的可能值為 (A)1 (B)2 (C)1 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設 f (x , y)  x  ay  5 由兩點(1 , 4)、(3 , 2)在直線 x  ay  5  0 異側  f (1 , 4)  f (3 , 2)  0  (1  4a  5)(3  2a  5)  0  (4a  6)(2a  8)  0  4  a  3 2  ∴ a 的可能值為2

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- 3 - ( )11.設 a  0  b 且 c  0,則下列何者恆真? (A)a  b  0 (B)ac  bc (C)1 1 ab (D)a 2  b2 【龍騰自命題.】 解答 C ( )12.已知不等式組 0 0 2 0 2 10 0 2 3 6 0 x y x y x y x y                  , ,其圖形為幾邊形? (A)三 (B)四 (C)五 (D)六 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 不等式組的圖形如下: 故為四邊形 ( )13.已知不等式組 0 0 2 0 2 10 0 2 3 6 0 x y x y x y x y                  , ,下列何者不是其圖形的頂點 坐標? (A)(0 , 2) (B)(3 , 0) (C)(10 , 0) (D)(4 , 2) 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 頂點坐標為(0 , 2)、(3 , 0)、(10 , 0)、(2 , 4) ∴ (4 , 2)不是此圖形的頂點 ( )14.滿足不等式組 3 5 5 11 2 2 5 3 10 x x x x         之整數共有幾個? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 3 5 5 11 2 2 5 3 10 x x x x          3 10 10 22 5 5 x x x          7 32 1 x x         32 7 1 x x           取 32 1 7 x     其中的整數有4、3、2,共有 3 個 ( )15.設 a  0,b  0,若 3a  2b  12,且 ab 的最大值為 M, 則 M  (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 【龍騰自命題.】 解答 B ( )16.若在聯立不等式 2 0 3 7 4 0            x y x y x y 的條件下,目標函數 ( , )2 3 2 f x y x y 的最大值為 M ,最小值為m,則   M m (A) 5 (B) 3 (C) 3 (D) 5 【104 年歷屆試題.】 解答 B 解析 聯立不等式的圖解如下: 其頂點為(0,0)、(4,1)、(1, 2), 而 f(0,0)      2 0 3 0 2 2 (4,1)     2 4 3 1 2 3 f (1,2)      2 1 3 2 2 6 ff x y( , )的最大值M 3,最小值m 6 故M     m 3 ( 6) 3 ( )17.若不等式 x2  bx  c  0 的解為 x  12 或 x  3,則(b,c)  (A)(15,36) (B)(15,36) (C)(15,36) (D)(15,36) 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 不等式 x2  bx  c  0 的解為 x  12 或 x  3  (x  12)(x  3)  0  x2  15x  36  0 因此 b  15、c  36,而(b,c)  (15 , 36) ( )18.不等式 x2  2x  k  0 的解為所有實數,則 k 的範圍為 (A)k  1 (B)k  1 (C)k  1 (D)k  1 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 x2  2x  k  0 的解為所有實數  判別式  0  (2)2  4k  0  k  1 ( )19.不等式 x2  10x  25  0 的解為 (A)x  5 (B)x  5 (C)5  x  5 (D)x  5 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 原式  (x  5)2  0,但是根據實數性質(x  5)2  0 因此得(x  5)2  0  x  5

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- 4 - ( )20.設ab0,則 a 9 4 b b a        的最小值為 (A)36 (B)25 (C)16 (D)9 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 利用柯西不等式

 

2 2 2

 

2 9 4 9 4 a b a b b a b a                       

2 2 3 25    ∴ a 9 4 b b a        的最小值為25 ( )21.設 k 為實數,若任意實數 x 均使 kx2  2x  k 恆為正數, 則 k 之範圍為何? (A)k  1 (B)0  k  1 (C)  1  k  0 (D)k   1 【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ kx2  2x  k 恆為正數 2 2 0 0 ( 2) 4 0 4 4 0               k k k k k 0 0 ( 1)( 1) 0 1 1 k k k k k k              或 ∴ k 的範圍為 k  1 ( )22.已知正數a、 b 滿足a2b4,則 ab 的最大值為 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 利用算幾不等式 2 2 2 a b a b 2 2ab   4 2ab   2 ab   ∴ ab的最大值為2 ( )23.設 a、b 為實數,若不等式 ax2  4x  b  0 之解為 1 5 2 x 2    ,則 a  b  (A) 1 2  (B) 1 4  (C) 1 6  (D) 1 8  【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 5 2 x 2     (2x  1)(2x  5)  0  4x2  8x  5  0  2 5 2 4 0 2 xx  與 ax2  4x  b  0 比較得 a  2, 5 2 b  ∴ 2 ( 5) 1 2 2 a   b   ( )24.下列何者為不等式 3x2  3x  6 之解? (A)x   2 或 x  1 (B)  2  x  1 (C)  1  x  2 (D)x   1 或 x  2 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 3x2  3x  6  3x2  3x  6  0 3 x2  x  2  0  (x  1)(x  2)  0   1  x  2 ( )25.點

 2, 3

在下列哪一條直線的右側? (A)x y 0 (B)x2y 1 0 (C) 2x  y 1 0 (D) 3x2y 2 0 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 (A)    2 3 5 0 (B)     2 6 1 7 0 (C)     4 3 1 2 0 (D)    6 6 2 2 0

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