1130 第一二冊解答

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1130 第一、二冊 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知 0   、    。下列各選項中,何者恆為正確? (A)若 cos   cos  ,則    (B)若 cos(    )  0,則    (C)若 sin   sin  ,則    (D) 若 sin(    )  0,則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時,y cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數,即 cos  cos    (B)反例:cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ,但 5 2 6 6 (C)反例:sin sin2 3 3   ,但 2 3 3   (D)反例:sin(  0)  sin  0,但  0 ( )2.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形 如圖所示,則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四 象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y ax2 bx c 的圖形 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c  0 與 x 軸有 2 個交點 b2 4ac 0

因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限

( )3.化簡8(cos170 sin170 ) 4(cos50 sin 50 ) i i        (A)1 3i (B)1 3i (C)0 (D) 1  3i 【龍騰自命題.】 解答 D ( )4.求 1 3 60 ( ) 2 i  之值為 (A)260 (B)230 (C)  260 (D)  230 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 60 30 30 30 1 3 4 4

( ) ( 1 3 ) [2(cos sin )] 2 (cos 40 sin 40 )

3 3 2 i ii   i      30 30 2 (cos 0 isin 0) 2    ( )5.已知 a、b 為實數。若直線 2x  ay  b  0 通過 10x  2y  5  0 與 6x  y  7  0 之交點,且斜率為 2,則 a  b  (A)  12 (B)  10 (C)10 (D)12 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 直線 2x ay b  0 的斜率為 2 2 a 1 a      則此直線為 2x y b  0…… 解 10 2 5 6 7 x y x y            2   2 9 9 2 x   x  9 2 x  代入 10 ( 9) 2 5 20 2 y y         則交點為( 9, 20) 2   交點( 9, 20) 2   代回 2 ( 9) ( 20) 0 2 b        b  11 故 a b  1  (  11)  12 ( )6.在△ABC 中,若 D 點在線段 AC 上且 AD :DC1:2, 又∠BAD  30,∠BDC  60,則∠DCB 的角度為何? (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令ADtDC2t,其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形 DBt 由餘弦定理知,在△BCD 中, 2 2 2 2 cos ( ) BCDBDCDB DC  BDC t2 (2t)2 2 t 2t cos60 3t2  3 BCt 由正弦定理,在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sinC12  ∠C  30或

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- 2 - 150(不合) 故∠DCB  30 故選(A) ( )7.若點 P(2,a)在第四象限,且與直線 4x  3y  1  0 的距 離為 3,則 a  (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4 【龍騰自命題.】 解答 B ( )8.關於函數 f(x)  ax2  bx  c,ac  0 之圖形,下列敘述 何者錯誤? (A)為一拋物線 (B)與 x 軸至少有一個 交點 (C)當 b2  4ac 時,與 x 軸僅有一個交點 (D) 當 b  0,與 x 軸的交點不可能只有一個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (A)∵ f(x) ax2 bx c,ac 0 ∴ f(x)為二次函 數,為一拋物線 (B)f(x)與 x 軸可能:無交點,一個交點,或二個交點 (C)當 b2 4ac 時,頂點坐標 2 4 ( , ) ( ,0) 2 4 2 b ac b b a a a     , 恰與 x 軸交於頂點 (D)當 b  0 時,頂點坐標 2 4 ( , ) (0, ) 2 4 b ac b c a a    ∵ c 0 ∴ 與 x 軸交點不只一個 ( )9.設 0    90,則下列式子何者有誤?

(A)sin ( )2 cos ( ) 12

2 2

(B)(sec  tan )(sec 

tan )  1 (C)sin  cos  1 (D)cot(90   )  tan 【龍騰自命題.】 解答 C ( )10.化簡 100 100 ( 3i) ( 3i)  (A)1 (B)  1 (C)2100 (D)  2100 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 原式 100 11 11 100 100 100 2 (cos sin ) 2 (cos sin )

6 i 6 6 i 6         100 4 4 100 2 2 100

2 (cos sin ) 2 (cos sin ) 2 3 i 3 3 i 3

     

( )11.△ABC 中,已知A  60、C  90、c  20,a  (A)5 (B) 5 3 (C)10 (D)10 3 【龍騰自命題.】 解答 D ( )12.行列式1 2 3 4  (A)10 (B) 2 (C) 10 (D) 15 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 原式      1

 

4 3 2 10 ( )13.在 x  0、y  0、3x  4y  12、2x  y  6 的條件下,f (x , y)  5x  3y 的最大值為 (A)9 (B)15 (C)12 (D)78 5 (E) 88 5 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 圖解聯立不等式,並將可行解區域的頂點一一求出,如 圖所示。 f (0 , 0)  5  0  3  0  0 f (0 , 3)  5  0  3  3  9 f (12 6, 5 5)  5  12 5  3  6 5 78 5 f (3 , 0)  5  3  3  0  15 故 f (x , y) 5x 3y 的最大值為78 5 ( )14. 1 3 60 ( ) 2 i

  (A)1 (B)1 (C)i (D)i

【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ( 1 3 )60 2 i   ( 1 3 )60 2 2 i 4 4 60 (cos sin ) 3 i 3    cos80 isin80 1  0i  1 ( )15.若cos 1 3   且 0 2  

  ,則 3sin cos cos

4 4 2    的值為 (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 原式 3sin cos 3sin 3 1 ( )1 2 2

2 2 2 4 4 3 2

 

    

( )16.設ycosx,下列何者是 y 的正確範圍? (A) 1  y 1 (B) 1  y 1 (C)y 1或y1

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- 3 - (D)y 1或y1 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 由ycosx之函數圖形可知。 ( )17.若方程組 9 5 ax y x by        的解

   

x y,  2,1 ,則 a b  (A) 8 (B) 9 (C)10 (D)11 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 將x2,y1代入方程組中得 2 1 9 2 5 a b         5 3 a b      ∴ a b 8

( )18.tan(180   )sin(90   )  cos(  180)cot(  180) 可化簡得 (A)sec (B)  sec (C)csc (D)  csc

【龍騰自命題.】 解答 C

解析 tan(180 )sin(90 )  cos( 180)cot( 180) 1

tan cos ( cos ) cot csc sin              ( )19.若三元一次聯立方程式

 

5 1 3 1 2 3 1 ax ay ax y a z a y a z                恰有 一解,則a可能為下列何值? (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 【105 年歷屆試題.】 解答 D 解析 三元一次聯立方程式的係數行列式: 0 1 1 0 1 2 3 a a a a a a        (第一行提出a) 1 0 1 1 1 0 1 2 3 a a a a a       

 

1   1 0 0 1 1 0 1 2 3 a a a a a a        (第一行降階展開) 1 1 1 1 2 3 a a a a a        (第一行提出

a1

1 1 1 1 2 3 a a a a      

1

1

2 3

   

1 1

a aa a          

1



2

a a a    ∵ 聯立方程式恰有一解 ∴ 由克拉瑪公式知: 0 即a a

1



a2

0  a0,1,2 由題目的選項,故a可能的值為3

( )20.設 a、b、c 表△ABC 三邊長,若 b2  (c  a)2  ca,則 B 等於 (A)300 (B)120 (C)330 (D)60 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 b2 (c a)2 ca b2 (c2 2ac a2)  ca ∴ b2 c2 a2 2ac ca ∴ ac a2 c2 b2 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac      ∴ B  60 ( )21.已知不等式 2

1 0 xaxa  無實數解,則實數a的 範圍為 (A)a 2 2 2或a 2 2 2 (B)a 2 2 2或a 2 2 2 (C) 2 2 2   a 2 2 2 (D) 2 2 2   a 2 2 2 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 ∵ x2ax

a 1

0恆成立 ∴ D 

 

a 2    4 1

a 1

0 2 4 4 0 a a     2 2 2 a 2 2 2      ( )22.設 a b 10 c d   ,則 6 3 2 a b c d   (A) 120 (B) 60 (C)60 (D)120 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 所求

 

3 2 a b 6 1 a b c d c d           

 

2 6 1 a b 6 1 10 60 c d          〈另解〉 已知ad 

bc

10 所求6ad

 

3b 2c

 

6 adbc

  6 10 60 ( )23.行列式 4 1 6 0 2 1 3 7 0    (A)65 (B)66 (C)67 (D)68 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 所求 4 2 1 3 1 6 4 7 3

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67 7 0 2 1             ( )24.設 A(  1,  4),則過 A 點且平行 x 軸之直線斜率為 (A)  4 (B)1 4 (C)0 (D)不存在 【龍騰自命題.】 解答 C ( )25.設 ( 1, 3)A,B(  2,0),則 AB 的斜角為 (A)30 (B)60 (C)120 (D)150

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- 4 - 【龍騰自命題.】

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