1130 第一二冊解答

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1130 第一、二冊班級姓名座號

一、單選題 (25 題每題 4 分共 100 分)

（）1.已知 0   、    。下列各選項中，何者恆為正確？ (A)若 cos   cos  ，則    (B)若 cos(    )  0，則    (C)若 sin   sin  ，則    (D) 若 sin(    )  0，則   

【100 年歷屆試題.】解答 A

解析 (A)當 0  x  時，y  cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數，即 cos  cos    (B)反例：cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ，但 5 2 6 6 (C)反例：sin sin2 3 3  _  ，但 2 3 3  _  (D)反例：sin(  0)  sin  0，但  0 （）2.設 a、b、c 為實數，且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形 如圖所示，則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【100 年歷屆試題.】解答 A 解析對於 y  ax2 bx  c 的圖形 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側  a、b 異號  b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向  c  0 與 x 軸有 2 個交點  b2_4ac₀

因此 abc  0，故 P (b2_{4ac , abc)在第一象限}

（）3.化簡8(cos170 sin170 ) 4(cos50 sin 50 ) i i        (A)1 3i (B)1 3i (C)0 (D) 1  3i 【龍騰自命題.】解答 D （）4.求 1 3 60 ( ) 2 i  之值為 (A)260_(B)230 (C)  260 (D)  230 【龍騰自命題.】解答 B 解析 60 30 30 30 1 3 4 4

( ) ( 1 3 ) [2(cos sin )] 2 (cos 40 sin 40 )

3 3 2 i i  i   i   _{  } _ _ _ _ 30 30 2 (cos 0 isin 0) 2    （）5.已知 a、b 為實數。若直線 2x  ay  b  0 通過 10x  2y  5  0 與 6x  y  7  0 之交點，且斜率為 2，則 a  b  (A)  12 (B)  10 (C)10 (D)12 【102 年歷屆試題.】解答 A 解析直線 2x  ay  b  0 的斜率為 2 2 a 1 a      則此直線為 2x  y  b  0…… 解 10 2 5 6 7 x y x y            2   2 9 9 2 x   x  9 2 x  代入 10 ( 9) 2 5 20 2 y y         則交點為( 9, 20) 2   交點( 9, 20) 2   代回 2 ( 9) ( 20) 0 2 b        b  11 故 a  b  1  (  11)  12 （）6.在△ABC 中，若 D 點在線段 AC 上且 AD ：DC1：2， 又∠BAD  30，∠BDC  60，則∠DCB 的角度為何？ (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】解答 A 解析令ADt、DC2t，其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形  DBt 由餘弦定理知，在△BCD 中， 2 2 2 2 cos ( ) BC DB DC  DB DC  BDC  t2_(2t)2₂_t_2t_cos60_3t2  3 BC t 由正弦定理，在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sinC12  ∠C  30或

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－ 2 － 150（不合） 故∠DCB  30 故選(A) （）7.若點 P(2,a)在第四象限，且與直線 4x  3y  1  0 的距 離為 3，則 a  (A)  1 (B)  2 (C)  3 (D)  4 【龍騰自命題.】解答 B （）8.關於函數 f(x)  ax2_{ bx  c，ac  0 之圖形，下列敘述} 何者錯誤？ (A)為一拋物線 (B)與 x 軸至少有一個 交點 (C)當 b2_{ 4ac 時，與 x 軸僅有一個交點 (D)} 當 b  0，與 x 軸的交點不可能只有一個 【龍騰自命題.】解答 B 解析 (A)∵ f(x)  ax2 bx  c，ac  0 ∴ f(x)為二次函 數，為一拋物線 (B)f(x)與 x 軸可能：無交點，一個交點，或二個交點 (C)當 b2 4ac 時，頂點坐標 2 4 ( , ) ( ,0) 2 4 2 b ac b b a a a     ， 恰與 x 軸交於頂點 (D)當 b  0 時，頂點坐標 2 4 ( , ) (0, ) 2 4 b ac b c a a    ∵ c  0 ∴ 與 x 軸交點不只一個 （）9.設 0    90，則下列式子何者有誤？

(A)sin ( )2 cos ( ) 12

2 2

 _  _ _{(B)(sec  tan )(sec }

tan )  1 (C)sin  cos  1 (D)cot(90   )  tan 【龍騰自命題.】解答 C （）10.化簡 100 100 ( 3i) ( 3i)  (A)1 (B)  1 (C)2100 (D)  2100 【龍騰自命題.】解答 D 解析原式 100 11 11 100 100 100 2 (cos sin ) 2 (cos sin )

6 i 6 6 i 6         100 4 4 100 2 2 100

2 (cos sin ) 2 (cos sin ) 2 3 i 3 3 i 3

     

（）11.△ABC 中，已知A  60、C  90、c  20，a  (A)5 (B) 5 3 (C)10 (D)10 3 【龍騰自命題.】解答 D （）12.行列式1 2 3 4  (A)10 (B) 2 (C) 10 (D) 15 【隨堂測驗.】解答 C 解析原式      1

 

4 3 2 10 （）13.在 x  0、y  0、3x  4y  12、2x  y  6 的條件下，f (x , y)  5x  3y 的最大值為 (A)9 (B)15 (C)12 (D)78 5 (E) 88 5 【課本練習題-自我評量.】解答 D 解析圖解聯立不等式，並將可行解區域的頂點一一求出，如圖所示。 f (0 , 0)  5  0  3  0  0 f (0 , 3)  5  0  3  3  9 f (12 6, 5 5)  5  12 5  3  6 5 78 5 f (3 , 0)  5  3  3  0  15 故 f (x , y)  5x  3y 的最大值為78 5 （）14. 1 3 60 ( ) 2 i

  __{(A)1 (B)1 (C)i (D)i}

【龍騰自命題.】解答 A 解析 ₍ 1 3 ₎60 2 i   _₍ 1 3 ₎60 2 2 i  _ _ 4 4 60 (cos sin ) 3 i 3  _   cos80 isin80 1  0i  1 （）15.若cos 1 3   且 0 2  

  ，則 3sin cos cos

4 4 2    的值為 (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 【龍騰自命題.】解答 B

解析原式 3_sin _cos 3_sin 3 _{1 ( )}1 2 2

2 2 2 4 4 3 2

  _

    

（）16.設ycosx，下列何者是 y 的正確範圍？ (A) 1  y 1 (B) 1  y 1 (C)y 1或y1

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－ 3 － (D)y 1或y1 【隨堂測驗.】解答 B 解析由ycosx之函數圖形可知。（）17.若方程組 9 5 ax y x by        的解

   

x y,  2,1 ，則 a b  (A) 8 (B) 9 (C)10 (D)11 【隨堂測驗.】解答 A 解析將x2，y1代入方程組中得 2 1 9 2 5 a b         5 3 a b      ∴ a b 8

（）18.tan(180   )sin(90   )  cos(  180)cot(  180) 可化簡得 (A)sec (B)  sec (C)csc (D)  csc

【龍騰自命題.】解答 C

解析 tan(180 )sin(90 )  cos( 180)cot( 180) 1

tan cos ( cos ) cot csc sin              （）19.若三元一次聯立方程式







 



5 1 3 1 2 3 1 ax ay ax y a z a y a z                恰有一解，則a可能為下列何值？ (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 【105 年歷屆試題.】解答 D 解析三元一次聯立方程式的係數行列式： 0 1 1 0 1 2 3 a a a a a a        （第一行提出a） 1 0 1 1 1 0 1 2 3 a a a a a       

 

1   1 0 0 1 1 0 1 2 3 a a a a a a        （第一行降階展開） 1 1 1 1 2 3 a a a a a        （第一行提出



a1



）





1 1 1 1 2 3 a a a a      



1



1



2 3

   

1 1



a a  a a     _      _



1



2



a a a    ∵ 聯立方程式恰有一解 ∴ 由克拉瑪公式知： 0 即a a



1



a2



0  a0，1，2 由題目的選項，故a可能的值為3

（）20.設 a、b、c 表△ABC 三邊長，若 b2  (c  a)2  ca，則 B 等於 (A)300 (B)120 (C)330 (D)60 【龍騰自命題.】解答 D 解析 b2 (c  a)2 ca  b2 (c2 2ac  a2)  ca ∴ b2_ c2 a2 2ac  ca ∴ ac  a2 c2 b2 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac      ∴ B  60 （）21.已知不等式 2





1 0 x ax a  無實數解，則實數a的範圍為 (A)a 2 2 2或a 2 2 2 (B)a 2 2 2或a 2 2 2 (C) 2 2 2   a 2 2 2 (D) 2 2 2   a 2 2 2 【隨堂講義補充題.】解答 D 解析 ∵ x2ax



a 1



0恆成立 ∴ D 

 

a 2    4 1



a 1



0 2 ₄ ₄ ₀ a a     2 2 2 a 2 2 2      （）22.設 a b 10 c d   ，則 6 3 2 a b c d   (A) 120 (B) 60 (C)60 (D)120 【隨堂講義補充題.】解答 C 解析所求

 

3 2 a b 6 1 a b c d c d           

 

2 6 1 a b 6 1 10 60 c d          〈另解〉已知ad 



bc



10 所求6ad

 

3b 2c

 

6 adbc



  6 10 60 （）23.行列式 4 1 6 0 2 1 3 7 0    (A)65 (B)66 (C)67 (D)68 【隨堂講義補充題.】解答 C 解析所求 4 2 1 3 1 6 4 7 3



13



67 7 0 2 1             （）24.設 A(  1,  4)，則過 A 點且平行 x 軸之直線斜率為 (A)  4 (B)1 4 (C)0 (D)不存在【龍騰自命題.】解答 C （）25.設 ( 1, 3)A ，B(  2,0)，則 AB 的斜角為 (A)30 (B)60 (C)120 (D)150

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－ 4 －【龍騰自命題.】