1105 式的運算與聯立方程式解答

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1105 式的運算與聯立方程式

班級姓名座號

一、單選題 (25 題每題 4 分共 100 分)

（）1.設x、 y 、k均為實數，若x 1 2x   y 4 x 3y k 0，則k之值為何？ (A) 3 (B)1 (C) 4 (D) 5 【103 年歷屆試題.】解答 D 解析從題意可知 1 0 2 4 0 3 0 x x y x y k              由得x 1 1 x  代入得2

 

   1 y 4 0  y2 1 x  、y2代入得    1 3 2 k 0  k 5 （）2.若 1 2 1 2 4 0 2 4 7 x x x    ，則 x  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2 【092 年歷屆試題.】解答 A 解析 1 2 1 0 1 2 4 0 1 2 0 0 2 4 7 2 4 1 x x x x x x         （依第三行降階） ( 2)   1 ( 1) 0 ( 1) [2 ( 1)] 0 1 2 x x x x            ∴ x  1 《註》本題亦可由三階行列式直接展開來求 x 值 （）3.設 a、b、c、d 為實數，若 x2_{ 1 為 f (x)  ax}3_{ bx}2_{ cx  d 之因式，且 f (x)除以 x  2 餘 6，則 2a  b  (A)  4 (B)  2 (C)2 (D)4} 【099 年歷屆試題.】解答 C 解析 ∵ x2_{1 為 f (x)的因式且 x}2₁_(x_1)(x₁₎ ∴ x  1 與 x  1 皆為 f (x)的因式  f (  1)  0，f (1)  0 即 f (  1)  a  b  c  d  0… f (1)  a  b  c  d  0… ∵ f (x)除以 x  2 餘 6 ∴ f (2)  6 即 f (2)  8a  4b  2c  d  6…    2b  2d  0  d  b    2a  2c  0  c  a 以 d  b，c  a 代入得 8a  4b  2(  a)  (  b)  6  6a3b 6 3 2a b 2 故選(C) （）4.求₂_x3_x2₄_除以_x2₂_x₁_{的商式為 (A) 2} 3 x (B) 2x1 (C) 2x1 (D) 2x3 【隨堂講義補充題.】解答 A

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解析 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 1 2 0 4 2 4 2 3 2 4 3 6 3 8 7 4                x x x x x x x x x x x x x x ∴ 商式為2x3 （）5.已知_x4_x3_{ax b} _除以_x2₁_{的餘式是 2} 1 x   ，則數對



a b 為 ,



(A)



0 , 1



(B)



1 , 0



(C)



1 , 1



(D)



1 , 1



【隨堂講義補充題.】解答 B 解析 2 2 4 3 2 4 3 2 3 2 3 2 2 2 0 1 0 1 0 0 0 ( 1) 0 1 ( 1) 1 x x x x x x x ax b x x x x x ax x x x x a x b x x a x b                         1 2 1 1 a b       _{ }  解得 a 1，b0 ∴



a b,

 

 1 , 0



（）6.若 f (x)  x4_{ 3x}3_{ x}2_{ x  19，則 f (2.002)（求到小數點後第三位）之近似值為 (A)17.172 (B)17.203 (C)17.924 (D)17.002} 【龍騰自命題.】解答 D 解析 1 3 1 1 19 2 2 2 2 2 1 1 1 1 17 2 2 2 1 1 1 1 2 6 1 3 7 2 1 , 5                     f (x)  (x  2)4 5(x  2)3 7(x  2)2 (x  2)  17 f (2.002)≒7  (2.002  2)2 (2.002  2)  17≒17.002 （）7.設(2x3  3x  1)  (3x3  2x2  2)  ax3  bx2  cx  d，其中 a、b、c、d 為常數，則 ad  bc  (A)12 (B)9 (C)7 (D)5 【龍騰自命題.】解答 C （）8.化簡 3 1 4 1 為 (A) 3 4 1 3  (B) 3 4 1 5  (C) 3 3₁₆ _{4 1} 5   (D) 3 3₁₆ _{4 1} 3   【隨堂測驗.】解答 D 解析原式

 

3 3 3 3 3 3 3 3 ₃ ₃ 1 16 4 1 16 4 1 4 1 16 4 1 ₄ ₁           _ 3 3₁₆ _{4 1} 3    （）9.下列各方程式何者有兩相異實根？ (A)x2  4  0 (B)x2  x  4  0 (C)x2  5x  4 0 (D)x2  x 1  0 【龍騰自命題.】解答 C （）10.化簡 10 2 21  (A) 7 3 (B) 7 3 (C) 5 2 (D) 5 2

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【龍騰自命題.】解答 A 解析 102 21 ( 7 3)2  7 3 （）11.方程式a



8x4

 

3 ax 5

 

a 3 5 x



之解為x1，則a (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【隨堂講義補充題.】解答 D 解析 x1代入方程式



8 4

 

3 5

 

3 5



a   a a  3a 15    5 a    （）12.行列式1 2 3 4  (A)10 (B) 2 (C) 10 (D) 15 【隨堂測驗.】解答 C 解析原式      1

 

4 3 2 10 （）13.方程式 x3_{ 2x}2_{ 5x  6  0 的正根為 (A)1、2、3 (B)1、2 (C)1、3 (D)2、3 (E)3} 【課本練習題-自我評量.】解答 C 解析多項式 f (x)  x3 2x2 5x  6 的可能因式有 x  1、x  2、x  3、x  6 ∵ f (1)  1  2  5  6  0 ∴ f (x)有因式 x  1  (x  1)(x2 x  6)  0  (x  1)(x  3)(x  2)  0 三個根為 1、3、  2 其中正根為 1、3 （）14.若 ₃ 1 1 x x ax    不是最簡分式，則 a  (A)2 (B)1 (C)0 (D)1 【龍騰自命題.】解答 A 解析 ₃ 1 1 x x ax    不是最簡分式  x  1 是 x 3_ax_{1 的因式} x  1 代入分母  1  a  1  0  a 2 （）15.x 為整數，若 1 3 4 0 5 15 3 1 x x     ，則 x  (A)2 5 (B)2 (C) 2 5或 2 (D) 5 2或  2 (E)  2 【課本練習題-自我評量.】解答 B 解析 1 3 4 0 5 15 3 1 x x      0  15  12x  0  5x2 4  15  5x2 12x  4  0  (5x  2)(x  2)  0  2 5 x 或 x  2 但是 x 為整數，故取 x  2 （）16.行列式 2 3 1 17 28 19 16 24 8    的值為 (A)  96 (B)0 (C)  1 (D)10 (E)6

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【課本練習題-自我評量.】解答 B 解析原式 2 3 1 8 17 28 19 2 3 1      （第一列與第三列成比例） 8  0  0 （）17. 2 3 5 10 x y ax by        有無限多組解，則 a  b  (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 (E)0 【課本練習題-自我評量.】解答 B 解析 ∵ 方程組有無限多組解 ∴ xy 0 即 2 3 5 3 2 5 0 10 10 a b  b  a   5 30 0 20 5 0 b a         4 6 a b      故 a  b  4  6  10 （）18.已知 f (x)  (2x3_{ 4x}2_{ x  1)(3x}2_{ 5x  2)，則下列敘述何者有誤？ (A)deg f (x)  5 (B)f(0)  2 (C)展開式中，x}2_{項係數為 6 (D)} 展開式中，各項係數和為 8 【龍騰自命題.】解答 D 解析 f (x)  (2x3 4x2 x  1)(3x2 5x  2) (A)deg f (x)  3  2  5 (B)f (0)  1  2  2 (C)x2項係數 4  2  1  (5)  1  3  6 (D)各項係數和 f (1)  (2  4  1  1)(3  5  2)  0 （）19.(x2_{ 3x  5)(3x}2_{ 2x  4)的展開式中，x}2_{項的係數為 (A)5 (B)6 (C)10 (D)19} 【龍騰自命題.】解答 A （）20.設 3 2 4 2 3 4 2 1 ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2) x x A B C D x x x x x   _ _ _ _      ，則 A  B  C  D  (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【龍騰自命題.】解答 A 解析根據連續綜合除法 2x3 x2 1  2(x  2)3 11(x  2)2 20(x  2)  13  2 3 2₄ 1 2 11 ₂ 20 ₃ 13 ₄ ( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x x x   _ _ _ _      ∴ A  2，B  11，C  20，D  13 故 A  B  C  D  2  11  20  13 2 2 1 0 1 2 4 6 12 2 3 6 13 4 14 2 7 20 4 2 11                （）21.設a、 b 、c均為實數，若



ab b



c c



a



 2，則 2 6 3 3 2 2 a b b c c b c a ca ca 之值為何？ (A) 12 (B) 6 (C) 6 (D)12 【105 年歷屆試題.】解答 D

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解析原式





2 2 3 3 3 2 a b b c c b c a c a c a       （第一行提出 2 ，第二列提出3 ，第三列提出



ca



） ( 1)   ( 1)   2 3





1 1 1 a b b c a c c b      6





0 1 0 0 a b a b a c a c b c       （第三列降階展開） 6





1 0 b a b a c a b c        （第一列提出



ba



） 6



 



1 1 0 c a b a b c       6



ca b a



     



_1



b c



0 1_ 6 c



a





ba





bc



6 c



a



_ 



a b



_



bc



 6 a



b b



c c



a



   6

 

2 12 （）22.設 t 為實數，且三元一次聯立方程式



 











1 1 1 1 3 1 5 t x t z t y z t y tz                無解，則 t 可為下列何者？ (A) 2 (B) 0 (C)1 (D) 2 【106 年歷屆試題.】解答 C 解析原方程組：

















1 0 1 1 0 1 3 0 1 5 t x y t z x t y z x t y tz                   1 0 1 0 1 1 0 1 t t t t t       （第一、二行提出



t1



）





2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 t t t     （第一行降階展開）





2 1 1 1 1 1 t t    

 

2



    

2 1 1 1 1 1 1 1 t t t t           若 0，則t 1或1 (1)當t 1時：原方程組： 2 1 3 5 z z z          無解 (2)當t1時：原方程組： 2 1 2 3 2 5 x y z y z    _{ }   _{ }  無解由(1)和(2)可知：當方程組無解時，t可為1或1 故選(C) （）23.方程式 1 1 x x  的解為 x  (A)1 (B)0 (C)1 (D)無解

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【龍騰自命題.】解答 D （）24.行列式 2 3 5 4    (A) 9 (B) 7 (C)3 (D)5 【隨堂講義補充題.】解答 B 解析所求       

   

2 4 3 5 7 （）25.設 a b 3 c d  ，且 4 x y c d  ，則 4 3 4 3 5 5 a x b y c d    (A)30 (B)60 (C)90 (D)120【隨堂講義補充題.】解答 D 解析所求 4 4 3 3 20 15 20 3 15 4 120 5 5 5 5 a b x y a b x y c d c d c d c d         

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