0930 高職數學第一冊歷屆試題解答

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0930 數學第一冊歷屆試題 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知△ABC 三頂點為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1),若直線AD 平分△ABC 的面積,則直線AD 之方程式為何? (A)3x  y  0 (B)3x  y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中,AD平分△ABC 的面積 AD通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點(2 ( 3) 1 ( 1), ) 2 2     ,即( 1, 0) 2  再由 A(  1,3)得AD: 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 2 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x y  3  0

( )2.若 A(1,3)、B( 4,7)及 C(x,y)為平面上三點,且3BC2AC,則(x,y)為何?(A)(15,  14)(B)(  15,14)(C)(  14,15) (D)(14,  15)

【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ A(1,3)、B( 4,7)、C(x,y) ( 4, 7) ( 1, 3) BC x y AC x y      又3BC2AC (3x 12,3y  21)  (2x 2,2y  6) 3 12 2 2 3 21 2 6 x x y y         x  14,y  15 ∴ (x,y)  (  14,15)

( )3.下列各等式何者恆為正確? (A)cos(x  y)  cos(y  x) (B)cos0  0 (C)sin2x  2sinx (D)tan(x  y)  tanx  tany

【091 年歷屆試題.】 解答 A

解析 由題目及公式,可得

(A)cos(x y)  cos[  (y x)] cos(y x)正確(∵ cos(  )  cos) (B)cos0  0 錯誤(∵ cos0  1)

(C)sin2x 2sinx 錯誤(∵ sin2x 2sinxcosx)

(D)tan(x y) tanx tany 錯誤(∵ tan( ) tan tan 1 tan tan x y x y x y     ) ( )4.已知 A(1,  1)與 B(  2,3)為平面上的兩點,設長度為 3 的向量 v ( , )a b 與向量 AB 同方向,則 2a  b  (A)  3 (B) 6 5  (C)6 5 (D)3 【093 年歷屆試題.】

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解答 B 解析 AB  ( 2 1,3 ( 1))   ( 3, 4)( )5.若兩點 A(0,0)、B(a,b)對稱於直線 x  2y  5,則 a  b  (A)2 (B)4 (C)6 (D)8【092 年歷屆試題.】 又|AB|( 3) 242 5 AB  之單位向量 ( 3 4, ) 5 5 u AB   ∵ v ( , )a bAB同方向且長度為 3 3 4 9 12 3 3( , ) ( , ) 5 5 5 5  vABu    即 9 5 a  , 12 5 b ∴ 2 2( 9) 12 6 5 5 5 a  b    解答 C 解析 ∵ A(0,0)、B(a,b) AB中點 ( , ) 2 2 a b MAB的斜率m1 b a又 L:x 2y  5 的斜率 2 1 2 m∵ A、B 對稱於直線 L 1 2 2 5 ( , ) 2 2 2 2 1 1 1 2 a b a b M L b m m a                (∵ 在 上) (∵ ) 2 10 2 0 a b a b         由    2 得 5a  10  a  2 a 2 代入得 b  4 ∴ a b  2  (  4)  6 ( )6.設 A(  4,4)與 B(1,  1)為坐標平面上之兩點,若點 C 在 AB 上且 2AC3BC,則點 C 的坐標為何? (A)(  3,3) (B)(  2,2) (C)(  1,1) (D)(0,0) 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ C 在AB上且2AC3BCAC BC: 3 : 2 設點 C 坐標為(x,y) 則 2( 4) 3 1 1 3 2 x       , 2 4 3( 1) 1 3 2 y      ∴ 點 C 的坐標為(  1,1)

( )7.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形如圖所示,則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限?

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

【100 年歷屆試題.】 解答 A

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開口向上  a  0

頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c  0 與 x 軸有 2 個交點 b2

4ac  0

因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限

( )8.設兩直線 L1:3x  y  4  0 與 L2:x  3y  4  0,則 L1與 L2交角為銳角的角平分線方程式為何? (A)x  y  2  0 (B)x  y  0 (C)2x  y  3  0 (D)2x  y  0 【101 年歷屆試題.】 解答 A 解析 L1與 L2交角的角平分線為 2 2 2 2 | 3 4 | | 3 4 | 3 1 1 3 x y xy    |3x y  4|  |x 3y  4|  3x y  4  (x 3y  4)  3x y 4 (x 3y  4)  0  2x 2y 0 與 4x 4y  8  0  x y 0 與 x y  2  0 其中 x y 0 的斜率為 1,x y  2  0 的斜率為  1 由圖形可知 L1與 L2交角為銳角的角平分線,斜率為負,故所求為 x y  2  0 ( )9.設 x  4 與 3x  4y  0 兩直線所夾的銳角為,則 sin  (A)1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 如下圖所示 設 3x 4y  0 斜角為,則 tan 3 4 m   ∵  為銳角 cos 4 5    又 90

∴ sin sin(90 ) cos 4 5       ( )10.已知 L1、L2為與直線 3x  4y  0 平行的二直線。若 L1過點(  29,23),L2過點(31,23),則此二平行線間的距離為何? (A)23 (B)36 (C)48 (D)60 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1:3x 4y k1 0,L2:3x 4y k2 0 ∵ L1過點(  29,23) ∴ 3  (  29)  4  23  k1 0  k1 5 ∵ L2過點(31,23) ∴ 3  31  4  23  k2 0  k2 185 則 L1:3x 4y  5  0,L2:3x 4y  185  0

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因此二平行線 L1、L2間的距離 1 2 2 2 | 5 ( 185) | 180 ( , ) 36 5 3 4 d L L       

( )11.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,點 A、B、C 的坐標分別為(5,2)、(1,3)、(  4,3),則 D 點之坐標為何? (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9) 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y         x 0,y  2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3)  x  5  (  4)  1  0  y  2  3  3  2 ∴ D 點坐標為(0,2) ( )12.試問在坐標平面上,過點(2,  1)且與直線 1 3 4 x y   垂直的直線方程式為何? (A)4x  3y  9 (B)4x  3y  10 (C)3x  4y  9 (D)3x  4y  10 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 4 3 12 3 4 x y x y      ∵ 所求直線 L 垂直 4x 3y  12 故設 L:3x 4y k 又 L 過點(2,  1)  3  2  4(  1)  k k  10 ∴ 所求直線方程式為 3x 4y  10 ( )13.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上,且滿足 ACBC,則 C 點坐標為何? (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D)(0, 1 ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上,設 C(0,t) ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C( )14.設 a 與 b 為平面上的兩個向量,若| a |2、| b |3且 ab 3,則| 3 a 2 b |(A)3(B)6(C)9(D)12 【094 年歷屆試題.】 解答 B

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解析 ∵ 2 2 2 2 2 | 3 a 2 b | 9 | a | 4 | b | 12 ab  9 2     4 3 12 3 36 ∴ | 3 a 2 b | 366 ( )15.若直線 24x  7y  53 與二直線 x  0、x  7 分別交於 A、B 二點,則線段 AB 的長度為何?(A)24 7 (B) 53 7 (C)25(D)53 【100 年歷屆試題.】 解答 C 解析 對於直線 24x 7y  53, (1)令 x  0 代入 0  7y  53  53 7 y  ,則 (0, 53) 7 A(2)令 x  7 代入 24  7  7y  53  115 7 y ,則 (7,115) 7 B 因此 2 53 115 2 2 2 (0 7) ( ) ( 7) ( 24) 25 7 7 AB          ( )16.設 u , v 為平面上的兩個單位向量,若其內積為1 2,則 u 與 v 的夾角為何? (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ uv 為單位向量 則| u | 1 ,| v | 1 ,且 1 2 uv  設 uv 的夾角為 又 uv | u || v | cos 1 1 1 cos 2      cos 1 2    ∴  60 ( )17.在△ABC 中,若 D 為線段 BC 的中點,且AB9、AC5,則向量內積 AD BC (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BDDC1:1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  ABAC  AB AC   ABAC 1 92 1 52 28 2 2       

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( )18.設向量 a (3, 4),向量 b// a ,且 ab  50,則| 2 a 3 b | (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ ab 互相平行且 ab   50 0 ∴ ab 互為反向,即夾角為 180 2 2 | a | 3 4 5 | || | cos180 5 | | ( 1) 5 | | 50 aba b    b     b    | b | 10 2 2 2 2 2 | 2 a 3 b | 4 | a | 12 ab 9 | b |     4 5 12 ( 50) 9 10  400 故| 2 a 3 b | 40020 〈另解〉 ∵ b// a ∴ 可設 bt a ,其中 t 為實數 bt(3, 4)(3 , 4 )t t (3, 4) (3 , 4 ) 3 3 4 4 25 ab   t t     t t tab  50 ∴ 25t  50  t  2 則 b   (3 ( 2), 4 ( 2))    ( 6, 8) 而2 a 3 b 2(3, 4)   3( 6, 8) (6,8) ( 18, 24)  ( 12, 16) 故 2 2 | 2 a 3 b | ( 12)  ( 16)  40020 ( )19.設A

 

0,0 、B

 

2, 2 為平面上二點,若點P m n 在線段

,

AB 上,且AP PB: 3:1,則 m n 之值為何? (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 點P m n

,

AB上且AP PB: 3:1 ∴ 3 1 3 1 B A P  

   

3 2, 2 0,0 4  

 

6,6 4  3 3, 2 2        故 3 2 m , 3 2 n ,則 3 3 3 2 2 m   n

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若 sin   sin  ,則    (D)若 sin(    )  0,則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時,y cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數,即 cos  cos    (B)反例:cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ,但 5 2 6 6 (C)反例:sin sin2 3 3   ,但 2 3 3   (D)反例:sin(  0)  sin  0,但  0 ( )21.若

 

2 2 sec csc 2 2 x x f x   的週期為 P ,求 P 之值為 (A) 2  (B) (C) 2 (D)2 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析

 

sec2 csc2 2 2 x x f x   2 2 2 2 2 2 sin cos 1 1 2 2

cos sin sin cos

2 2 2 2 x x x x x x     2 2 2 1 1

sin cos sin cos

2 2 2 2 x x x x               2 2 2 2 sin 2sin cos 2 2 x x x               

2cscx

2 4csc2xycscx的圖形如下: 則 2 4csc yx的圖形如下: 故 f x

 

的週期P

( )22.設、k 為實數,若 sin 和 cos 為方程式 3x2  2x  k  0 之兩根,則 k  (A) 5 6  (B) 5 12  (C)5 6 (D) 5 12 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ sin、cos 為 3x2 2x k  0 之兩根

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2 sin cos 3 sin cos 3         k    

由 兩邊平方得sin2 2sin cos cos2 4

9     4 1 2sin cos 9      代入 得1 2 4 3 9 k    2 5 3 9 k    ∴ 5 6 k  ( )23.設 為實數,若sin cos 1 3

  ,則 tan  cot  (A) 5 4  (B) 9 4  (C)5 4 (D) 9 4 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ sin cos 1 3    2 1 2 (sin cos ) ( ) 3      1 1 2sin cos 9      sin cos 4 9      ∴ tan cot 1 9 sin cos 4        

( )24.下列各三角函數值,何者數值最小? (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010)

【099 年歷屆試題.】 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0 cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0

tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0 由上可知 tan131的值最小 ( )25.設三角形的三邊長為 7 、 24 、 25 ,其內切圓半徑為 r ,外接圓半徑為 R ,求r R  (A) 0.12 (B) 0.24 (C) 0.25 (D) 0.48【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1)三角形的面積: ∵ 2 2 2 7 24 25 ∴ 此三角形為直角三角形 面積為1 24 7 84 2   (2)三角形的外接圓半徑R: 由正弦定理可知: 25 2 sin 90 R  25 2 1  R  25 2 R

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(3)三角形的內切圓半徑r: 令 1

7 24 25

28 2 s     三角形面積rs  84 r 28  r3 由(2)和(3)可知: 3 6 0.24 25 25 2 r R   

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