0930 高職數學第一冊歷屆試題解答

0930 數學第一冊歷屆試題 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.已知△ABC 三頂點為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1)，若直線AD 平分△ABC 的面積，則直線AD 之方程式為何？ (A)3x  y  0 (B)3x  y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中，AD平分△ABC 的面積 AD  通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點(2 ( 3) 1 ( 1), ) 2 2     ，即( 1, 0) 2  再由 A(  1,3)得AD： 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 2 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x  y  3  0

（ ）2.若 A(1,3)、B(  4,7)及 C(x,y)為平面上三點，且3BC2AC，則(x,y)為何？(A)(15,  14)(B)(  15,14)(C)(  14,15) (D)(14,  15)

【092 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ A(1,3)、B(  4,7)、C(x,y) ( 4, 7) ( 1, 3) BC x y AC x y  _{  }     _{  }  又3BC2AC  (3x  12,3y  21)  (2x  2,2y  6) 3 12 2 2 3 21 2 6 x x y y       _{  }   x  14，y  15 ∴ (x,y)  (  14,15)

（ ）3.下列各等式何者恆為正確？ (A)cos(x  y)  cos(y  x) (B)cos0  0 (C)sin2x  2sinx (D)tan(x  y)  tanx  tany

【091 年歷屆試題.】 解答 A

解析 由題目及公式，可得

(A)cos(x  y)  cos[  (y  x)]  cos(y  x)正確（∵ cos(  )  cos） (B)cos0  0 錯誤（∵ cos0  1）

(C)sin2x  2sinx 錯誤（∵ sin2x  2sinxcosx）

(D)tan(x  y)  tanx  tany 錯誤（∵ tan( ) tan tan 1 tan tan x y x y x y     ） （ ）4.已知 A(1,  1)與 B(  2,3)為平面上的兩點，設長度為 3 的向量 v ( , )a b 與向量 AB 同方向，則 2a  b  (A)  3 (B) 6 5  (C)6 5 (D)3 【093 年歷屆試題.】

解答 B 解析 AB  ( 2 1,3 ( 1))   ( 3, 4)（ ）5.若兩點 A(0,0)、B(a,b)對稱於直線 x  2y  5，則 a  b  (A)2 (B)4 (C)6 (D)8【092 年歷屆試題.】 又_|AB| _{( 3)} 2₄2 ₅ AB  之單位向量 ( 3 4, ) 5 5 u AB   ∵ v ( , )a b 與AB同方向且長度為 3 3 4 9 12 3 3( , ) ( , ) 5 5 5 5  v  ABu    即 9 5 a  ， 12 5 b ∴ 2 2( 9) 12 6 5 5 5 a  b    解答 C 解析 ∵ A(0,0)、B(a,b)  AB中點 ( , ) 2 2 a b M 且AB的斜率m₁ b a  又 L:x  2y  5 的斜率 ₂ 1 2 m  ∵ A、B 對稱於直線 L 1 2 2 5 ( , ) 2 2 2 2 1 1 1 2 a b a b M L b m m a                （∵ 在 上） （∵ ） 2 10 2 0 a b a b      _{ }  由    2 得 5a  10  a  2 a  2 代入得 b  4 ∴ a  b  2  (  4)  6 （ ）6.設 A(  4,4)與 B(1,  1)為坐標平面上之兩點，若點 C 在 AB 上且 2AC3BC，則點 C 的坐標為何？ (A)(  3,3) (B)(  2,2) (C)(  1,1) (D)(0,0) 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ C 在AB上且2AC3BC  AC BC: 3 : 2 設點 C 坐標為(x,y) 則 2( 4) 3 1 1 3 2 x       ， 2 4 3( 1) 1 3 2 y      ∴ 點 C 的坐標為(  1,1)

（ ）7.設 a、b、c 為實數，且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形如圖所示，則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限？

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

【100 年歷屆試題.】 解答 A

開口向上  a  0

頂點在 y 軸右側  a、b 異號  b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向  c  0 與 x 軸有 2 個交點  b2_

4ac  0

因此 abc  0，故 P (b2 4ac , abc)在第一象限

（ ）8.設兩直線 L1：3x  y  4  0 與 L2：x  3y  4  0，則 L1與 L2交角為銳角的角平分線方程式為何？ (A)x  y  2  0 (B)x  y  0 (C)2x  y  3  0 (D)2x  y  0 【101 年歷屆試題.】 解答 A 解析 L1與 L2交角的角平分線為 2 2 2 2 | 3 4 | | 3 4 | 3 1 1 3 x y _ x y    |3x  y  4|  |x  3y  4|  3x  y  4  (x  3y  4)  3x  y  4 (x  3y  4)  0  2x  2y  0 與 4x  4y  8  0  x  y  0 與 x  y  2  0 其中 x  y  0 的斜率為 1，x  y  2  0 的斜率為  1 由圖形可知 L1與 L2交角為銳角的角平分線，斜率為負，故所求為 x  y  2  0 （ ）9.設 x  4 與 3x  4y  0 兩直線所夾的銳角為，則 sin  (A)1 5 (B) 2 5 (C) 3 5 (D) 4 5 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 如下圖所示 設 3x  4y  0 斜角為，則 tan 3 4 m   ∵  為銳角 cos 4 5    又 90

∴ sin sin(90 ) cos 4 5       （ ）10.已知 L1、L2為與直線 3x  4y  0 平行的二直線。若 L1過點(  29,23)，L2過點(31,23)，則此二平行線間的距離為何？ (A)23 (B)36 (C)48 (D)60 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 設 L1：3x  4y  k1 0，L2：3x  4y  k2 0 ∵ L1過點(  29,23) ∴ 3  (  29)  4  23  k1 0  k1 5 ∵ L2過點(31,23) ∴ 3  31  4  23  k2 0  k2 185 則 L1：3x  4y  5  0，L2：3x  4y  185  0

因此二平行線 L1、L2間的距離 _{1 2} 2 2 | 5 ( 185) | 180 ( , ) 36 5 3 4 d L L       

（ ）11.若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，點 A、B、C 的坐標分別為(5,2)、(1,3)、(  4,3)，則 D 點之坐標為何？ (A)(1,8) (B)(0,2) (C)(2,7) (D)(3,9) 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 利用平行四邊形對角線互相平分 設 D 點坐標為(x,y) 又 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3) ∵ AC中點BD中點 5 ( 4) 2 3 1 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y         x  0，y  2 ∴ D 點坐標為(0,2) 《另解》 設 D 點坐標為(x,y) 又知 A(5,2)、B(1,3)、C(  4,3)  x  5  (  4)  1  0  y  2  3  3  2 ∴ D 點坐標為(0,2) （ ）12.試問在坐標平面上，過點(2,  1)且與直線 1 3 4 x y   垂直的直線方程式為何？ (A)4x  3y  9 (B)4x  3y  10 (C)3x  4y  9 (D)3x  4y  10 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 1 4 3 12 3 4 x y x y      ∵ 所求直線 L 垂直 4x  3y  12 故設 L:3x  4y  k 又 L 過點(2,  1)  3  2  4(  1)  k  k  10 ∴ 所求直線方程式為 3x  4y  10 （ ）13.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上，且滿足 ACBC，則 C 點坐標為何？ (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D)(0, 1 ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上，設 C(0,t) ∵ ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C  （ ）14.設 a 與 b 為平面上的兩個向量，若| a |2、| b |3且 a b 3，則| 3 a 2 b |(A)3(B)6(C)9(D)12 【094 年歷屆試題.】 解答 B

解析 ∵ 2 2 2 2 2 | 3 a 2 b | 9 | a | 4 | b | 12 a b  9 2     4 3 12 3 36 ∴ | 3 a 2 b | 366 （ ）15.若直線 24x  7y  53 與二直線 x  0、x  7 分別交於 A、B 二點，則線段 AB 的長度為何？(A)24 7 (B) 53 7 (C)25(D)53 【100 年歷屆試題.】 解答 C 解析 對於直線 24x  7y  53， (1)令 x  0 代入 0  7y  53  53 7 y  ，則 (0, 53) 7 A  (2)令 x  7 代入 24  7  7y  53  115 7 y ，則 (7,115) 7 B 因此 2 53 115 2 2 2 (0 7) ( ) ( 7) ( 24) 25 7 7 AB          （ ）16.設 u ， v 為平面上的兩個單位向量，若其內積為1 2，則 u 與 v 的夾角為何？ (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【097 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ u ， v 為單位向量 則| u | 1 ，| v | 1 ，且 1 2 u  v  設 u 與 v 的夾角為 又 u  v | u || v | cos 1 1 1 cos 2      cos 1 2    ∴  60 （ ）17.在△ABC 中，若 D 為線段 BC 的中點，且AB9、AC5，則向量內積 AD BC (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BD：DC1：1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  AB AC  AB AC   AB  AC 1 ₉2 1 ₅2 ₂₈ 2 2       

（ ）18.設向量 a (3, 4)，向量 b// a ，且 a b  50，則| 2 a 3 b | (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ a 與 b 互相平行且 a b   50 0 ∴ a 與 b 互為反向，即夾角為 180 2 2 | a | 3 4 5 | || | cos180 5 | | ( 1) 5 | | 50 a  b  a b    b     b    | b | 10 2 2 2 2 2 | 2 a 3 b | 4 | a | 12 a b 9 | b |     4 5 12 ( 50) 9 10  400 故| 2 a 3 b | 40020 〈另解〉 ∵ b// a ∴ 可設 b t a ，其中 t 為實數 則 b t(3, 4)(3 , 4 )t t (3, 4) (3 , 4 ) 3 3 4 4 25 a  b   t t     t t t ∵ a b  50 ∴ 25t  50  t  2 則 b   (3 ( 2), 4 ( 2))    ( 6, 8) 而2 a 3 b 2(3, 4)   3( 6, 8) (6,8) ( 18, 24)  ( 12, 16) 故 2 2 | 2 a 3 b | ( 12)  ( 16)  40020 （ ）19.設A

 

0,0 、B

 

2, 2 為平面上二點，若點P m n 在線段



,



AB 上，且AP PB: 3:1，則 m n 之值為何？ (A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ 點P m n



,



在AB上且AP PB: 3:1 ∴ 3 1 3 1 B A P  

   

3 2, 2 0,0 4  

 

6,6 4  3 3, 2 2        故 3 2 m ， 3 2 n ，則 3 3 3 2 2 m   n

若 sin   sin  ，則    (D)若 sin(    )  0，則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時，y  cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數，即 cos  cos    (B)反例：cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ，但 5 2 6 6 (C)反例：sin sin2 3 3  _  ，但 2 3 3  _  (D)反例：sin(  0)  sin  0，但  0 （ ）21.若

 

2 2 sec csc 2 2 x x f x   的週期為 P ，求 P 之值為 (A) 2  (B) (C) 2 (D)_2 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析

 

sec2 csc2 2 2 x x f x   2 2 2 2 2 2 sin cos 1 1 _{2 2}

cos sin sin cos

2 2 2 2 x x x x x x     2 2 2 1 1

sin cos sin cos

2 2 2 2 x x x x      _{ }        2 2 2 2 sin 2sin cos 2 2 x x x     _{ }   _{ }         _



_2cscx



2 _4csc2_x 而ycscx的圖形如下： 則 2 4csc y x的圖形如下： 故 f x

 

的週期P

（ ）22.設、k 為實數，若 sin 和 cos 為方程式 3x2  2x  k  0 之兩根，則 k  (A) 5 6  (B) 5 12  (C)5 6 (D) 5 12 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ sin、cos 為 3x2 2x  k  0 之兩根

2 sin cos 3 sin cos 3  _{  }     _  k    

由 兩邊平方得_sin2 _{2sin cos cos}2 4

9     4 1 2sin cos 9      代入 得1 2 4 3 9 k    2 5 3 9 k    ∴ 5 6 k  （ ）23.設 為實數，若sin cos 1 3

  ，則 tan  cot  (A) 5 4  (B) 9 4  (C)5 4 (D) 9 4 【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ sin cos 1 3    2 1 2 (sin cos ) ( ) 3      1 1 2sin cos 9      sin cos 4 9      ∴ tan cot 1 9 sin cos 4        

（ ）24.下列各三角函數值，何者數值最小？ (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010)

【099 年歷屆試題.】 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0 cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0

tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0 由上可知 tan131的值最小 （ ）25.設三角形的三邊長為 7 、 24 、 25 ，其內切圓半徑為 r ，外接圓半徑為 R ，求r R  (A) 0.12 (B) 0.24 (C) 0.25 (D) 0.48【106 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1)三角形的面積： ∵ 2 2 2 7 24 25 ∴ 此三角形為直角三角形 面積為1 24 7 84 2   (2)三角形的外接圓半徑R： 由正弦定理可知： 25 2 sin 90 R  25 2 1  R  25 2 R

(3)三角形的內切圓半徑r： 令 1



7 24 25



28 2 s     三角形面積rs  84 r 28  r3 由(2)和(3)可知： 3 6 0.24 25 ₂₅ 2 r R   