1021 第一冊 歷屆數學複習解答

1021 第一冊 歷屆數學複習 班級 姓名 座號 （ ）1.坐標平面上兩點 P(1,3)和 Q(2,5)的直線距離為何？ (A) 3 (B) 5 (C)3 (D)5 解答 B 解析 PQ (1 2) 2 (3 5)2  1 4  5 （ ）2.設 a 與 b 為兩向量， a ( , )x y ，x、y 為實數，且| a | 13， (3, 2) b   ，則 a 與 b 之內積的最大值為何? (A) 13 (B) 65 (C)13 (D)65 解答 C 解析 由題目中，| a | 13， b (3, 2) 2 2 | b | 3 ( 2) 9 4 13        所求 a 、 b 的內積：

| | | | cos 13 13 cos 13cos

a  b  a  b 



  







∵  1  cos 1（最大）

故當 cos 1 代入 13cos 得 13，是為最大內積（ ）3.已知△ABC 三頂點 為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1)，若直線AD平分△ABC 的面積，則直線AD 之方程式為何？ (A)3x  y  0 (B)3x  y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 解答 D 解析 由題目中，AD平分△ABC 的面積 AD  通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點(2 ( 3) 1 ( 1), ) 2 2     ，即 1 ( , 0) 2  再由 A(  1,3)得AD： 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 ₂ 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 ₂ 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x  y  3  0 （ ）4.三個半徑為 2 的圓，兩兩外切且內切於正三角形，如圖，則此正三 角形之邊長為何？ (A)6 (B)42 3 (C)8 (D)44 3 解答 D 解析 如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30，BQD  30 已知圓半徑 r  2，則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 （ ）5.試問在坐標平面上原點至點(sin15,sin75)的距離為何？ (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 解答 D

解析 d (sin15 0)2(sin 75 0)2  sin 152  sin 752 

2 2 sin 15 cos 15 1      （ ）6.設 a 、 b 、 c 為平面上之三個向量且 a (cos 30 ,sin 30 )  ， (cos150 ,sin150 ) b   ，c (cos 270 ,sin 270 ) ，試求 a b  c  (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,1) (D)(0,0) 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 a  b  c      

（ ）7.若 tan、tan 為 x2  3x  7  0 的兩根，則 tan(  )  (A) 1 2  (B) 3 8  (C)3 8 (D) 3 7 解答 C

解析 ∵ tan、tan 為 x2 _3x  ₇  _{0 的兩根} tan tan 3 tan tan 7      _{ } 









∴ tan( ) tan tan 3 3

1 tan tan 1 ( 7) 8





 





       

（ ）8.在△ABC 中，設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、c，若 B  120，a  5，c  3，則△ABC 的外接圓面積為何？ (A) 7

3



(B)49 3



(C) 7 3



(D) 49 3



解答 D 解析 b2 _c2 _a2 _2cacosB  ₃2 ₅2 ₂  ₃  ₅  _cos120 ₉  ₂₅  ₍  ₁₅₎  49 49 7 b    又 2 sin b R B  7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R



 







（ ）9.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD（按順序）中，若AB(4,8)、 (1, 4) AD ，則|AC||BD| (A)4 5 17 (B)18 (C)8 52 17 (D)36 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD AB AD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13，_|BD| _{( 3)} 2 _{( 4)}2 ₅ 故|AC||BD| 13 5 18   （ ）10.設兩直線 L1：3x  y  4  0 與 L2：x  3y  4  0，則 L1與 L2交角 為銳角的角平分線方程式為何？ (A)x  y  2  0 (B)x  y  0 (C)2x  y  3  0 (D)2x  y  0 解答 A 解析 L1與 L2交角的角平分線為 2 2 2 2 | 3 4 | | 3 4 | 3 1 1 3 x y x y     |3x  y  4|  |x  3y  4|  3x  y  4  (x  3y  4)  3x  y  4 (x  3y  4)  0  2x  2y  0 與 4x  4y  8  0  x  y  0 與 x  y  2  0 其中 x  y  0 的斜率為 1，x  y  2  0 的斜率為  1 由圖形可知 L1與 L2交角為銳角的角平分線，斜率為負，故所求為 x  y  2  0 （ ）11.若直線 L:ax  by  c  0 的圖形如圖，則點 P(ac,ab)在第幾象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 解答 D 解析 L:ax  by  c  0 x 截距為 c a  ，y 截距為 c b  由圖示知 c 0 a   且 c 0 b    ac  0 且 bc < 0  a、c 同號且 b、c 異號  a、b 異號，即 ab < 0 ∴ 點 P(ac,ab)為(  ,  )在第四象限 （ ）12.設拋物線 x2  2x  4y  1  0 之頂點為 V 且與直線 L：y  1 相交於 A、B 二點，則△ABV 之面積為何？(A)1(B)2(C)4(D)8

解答 B 解析 拋物線 x2 _2x  _4y  ₁  ₀   4y  x2 _2x  ₁ ( 4)    1 2 1 1 4 2 4 y x  x 頂點 V( 2 1 1 1 1 4 ( ) 2 _, 4 4 2 1 1 2 4 4 4         )  (1 , 0) 令 y  1，代入拋物線 x2 _2x  _4y  ₁  ₀  x2 _2x  ₄  ₁  ₁  ₀  _x2 _2x  ₃  ₀  (x  3)(x  1)  0  x  3 或  1 取 A(3 , 1)、B(  1 , 1)，則AB   3 ( 1) 4，頂點 V(1 , 0)到 L： y  1 的距離為 1 △ABV 的面積 1 2   4  1  2 底AB 高

（ ）13.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，若 A、B、C 三點的坐標分 別為(  5,4)、(0,  5)、(4,  8)，則 D 點應落在下列哪一個象限？ (A)第一 象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解答 B 解析 設 D(x,y) 由平行四邊形對角線互相平分的性質知：AC中點BD中點 5 4 4 ( 8) 0 ( 5) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y            5  4  x  x  1 4  (  8)  y  5  y  1 ∴ D(  1,1)落在第二象限 （ ）14.已知四邊形 ABCD（按順序）中，AB8，BC5，AD3， 且ABC  ADC  60，則CD之長為多少？ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解答 D 解析 設CDx 在△ABC 中，_AC2₈2₅2   _{2 8 5 cos 60} ₄₉ 在△ADC 中， 2 _{2 2 2} 3 2 3 cos 60 3 9           AC x x x x 由 和 知 x2 _3x  ₉  ₄₉  _x2 _3x  ₄₀  ₀  _(x  _8)(x  ₅₎  ₀  x  8 或  5（不合） 故CD8 （ ）15.設 a 與 b 為平面上的兩個向量，已知| a | 1 ，| b |3，且 | 3 a 2 b |3，求 a b  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解答 D 解析 ∵ | 3 a 2 b |3 平方得 2 2 9 | a | 12 a  b 4 | b | 9 又| a | 1 ，| b |3 2 2 9 1 12 a b 4 3 9         12 a  b 36 ∴ a  b 3 （ ）16.設三直線 L1：x  3y  2  0，L2：3x  y  2  0，L3：x  y  2  0， 且 L1與 L2相交於 A 點，則過 A 點且與 L3平行的直線，不通過哪一個象限？ (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解答 D 解析 3 2 0 3 2 0 x y x y            3  得 x  1，代回得 y  1  A 點坐標為(  1,1) 設過 A 點且與 L3平行的直線為 L：x  y  k  0 A(  1,1)代入 L： 1  1  k  0  k  2 則 L：x  y  2  0，圖形如下，不通過第四象限

（ ）17.若 2  3cos2  0，則 sin4  cos4 (A) 5 3  (B) 2 3  (C)2 3(D) 5 3 解答 C

解析 2  3cos2 0  3cos2 2  cos 2 2 3



 

sin4 _cos4 _(sin2 ₎2 _(cos2 ₎2 _(sin2 _cos2 _)(sin2 _cos2 ₎

 1  (sin2 _cos2 ₎  _sin2 _cos2 _(cos2 _sin2 ₎

 cos2 ( 2) 2 3 3     （ ）18.在△ABC 中，若 D 為線段BC的中點，且AB9、AC5，則 向量內積AD BC  (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BD：DC1：1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  AB AC  AB AC   AB  AC 1 2 1 2 9 5 28 2 2       

（ ）19.已知向量 a  



6,8



且與 b 之夾角為60，則向量 a 在 b 上的正射影長為何？ (A)5 (B)7 (C)5 3 (D)10 解答 A 解析 如圖， a 在 b 上的正射影為 c 而 a 

 

6 282 10，則正射影長 1 cos 60 10 5 2 c  a      〈另解〉

 

2 ₂ 6 8 10 a     a 在 b 上的正射影長為 cos 60 a b a b b b      cos 60 a b b     cos 60 a    10 1 5 2    （ ）20.設 0  x  2，試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大值為何？ (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 解答 C

解析 f(x)  sin2_x  _2cosx  ₂  ₁  _cos2_x  _2cosx  ₂  _(cos2_x  _2cosx  ₁₎ 

4

 (cosx  1)2 ₄

但 0  x  2  |cosx|  1

∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 ₄  ₄

（ ）21.若tan csc





  1 6cos



，其中為第三象限角，則tan  (A)2 2 (B) 3 (C) 3 (D)2 2

解答 A

解析 tan csc





  1 6cos



 sin 1 1 6cos cos sin



_







    1 1 6cos cos



  



cos   2 1 cos



6cos



 2

6cos



cos



 1 0 



3cos



1 2cos





 1



0

 cos 1 3



  或1 2 ∵  為第三象限角 ∴ cos



0 故cos 1 3



  用cos 1 3



  來作直角三角形 取斜邊3，鄰邊 1 則對邊 2

 

2 3 1 2 2       因此tan 2 2 2 2 1



   

（ ）22.若 sin230  k，則 tan50  (A) 1 k2 k   (B) 2 1 k k   (C) 1 k2 (D) 2 1 1 k   解答 B

解析 sin230 sin(180 50)  sin50 k sin 50

1 k k       如圖所示： 故 2 2 tan 50 1 1 k k k k        （ ）23.下列各三角函數值，何者數值最小？ (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010) 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0 cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0

tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0

由上可知 tan131的值最小

（ ）24.設平面二向量 u 



2cos ,sin







， v 



sin ,2cos







且其內 積 u v 1，若0 2





  ，則之值可能為何？ (A) 12



(B) 6



(C) 4



(D) 3



解答 A 解析

u v 



2cos ,sin





 

 sin , 2cos







2cos sin





sin



2cos



  

 2 2sin cos





2sin 2

∵ u v 1 ∴ 2sin 2



1  sin 2 1 2



 又0 2





  2 02

 

 而sin sin5 1 6 6 2



_

  則2 6





 或5 6



 12





 或 5 12



故選(A) （ ）25.已知 為第三象限角，且tan 3 4



 ，則 2sin 1 3 4cos





 _  (A) 1 31 (B)13 7 (C)11 (D)31 解答 C 解析 ∵  為第三象限角且tan 3 4



 ∴ sin 3 5  



， 4 cos 5



  所求 3 11 2 ( ) 1 5 5 ₁₁ 4 1 3 4 ( ) 5 5           