1021 第一冊 歷屆數學複習解答

全文

(1)

1021 第一冊 歷屆數學複習 班級 姓名 座號 ( )1.坐標平面上兩點 P(1,3)和 Q(2,5)的直線距離為何? (A) 3 (B) 5 (C)3 (D)5 解答 B 解析 PQ (1 2) 2 (3 5)2  1 4  5 ( )2.設 ab 為兩向量, a ( , )x y ,x、y 為實數,且| a | 13, (3, 2) b   ,則 ab 之內積的最大值為何? (A) 13 (B) 65 (C)13 (D)65 解答 C 解析 由題目中,| a | 13, b (3, 2) 2 2 | b | 3 ( 2) 9 4 13        所求 ab 的內積:

| | | | cos 13 13 cos 13cos

abab

  

∵  1  cos 1(最大)

故當 cos 1 代入 13cos 得 13,是為最大內積( )3.已知△ABC 三頂點 為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1),若直線AD平分△ABC 的面積,則直線AD 之方程式為何? (A)3x  y  0 (B)3x  y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 解答 D 解析 由題目中,AD平分△ABC 的面積 AD通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點(2 ( 3) 1 ( 1), ) 2 2     ,即 1 ( , 0) 2  再由 A(  1,3)得AD: 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 2 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x y  3  0 ( )4.三個半徑為 2 的圓,兩兩外切且內切於正三角形,如圖,則此正三 角形之邊長為何? (A)6 (B)42 3 (C)8 (D)44 3 解答 D 解析 如圖所示 ∵ △PQR 為正三角形  RPQ RQP  60  APC  30,BQD  30 已知圓半徑 r  2,則CDAB  2 r 4 cot 30 3 2 3 PCAC   r  cot 30 3 2 3 DQBD   r  2 3 4 2 3 4 4 3 PQ PC CD DQ          ∴ 此正三角形的邊長為44 3 ( )5.試問在坐標平面上原點至點(sin15,sin75)的距離為何? (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 解答 D

解析 d (sin15 0)2(sin 75 0)2  sin 152  sin 752 

2 2 sin 15 cos 15 1      ( )6.設 abc 為平面上之三個向量且 a (cos 30 ,sin 30 )  , (cos150 ,sin150 ) b   ,c (cos 270 ,sin 270 ) ,試求 abc  (A)(1,0) (B)(0,1) (C)(1,1) (D)(0,0) 解答 D 解析 (cos30 ,sin 30 ) ( 3 1, ) 2 2 a     3 1 (cos150 ,sin150 ) ( , ) 2 2 b      (cos 270 ,sin 270 ) (0, 1) c      ∴ ( 3 3 0,1 1 1) (0,0) 2 2 2 2 abc      

( )7.若 tan、tan 為 x2  3x  7  0 的兩根,則 tan(  )  (A) 1 2  (B) 3 8  (C)3 8 (D) 3 7 解答 C

(2)

解析 ∵ tan、tan 為 x2 3x 7 0 的兩根 tan tan 3 tan tan 7       

∴ tan( ) tan tan 3 3

1 tan tan 1 ( 7) 8

 

       

( )8.在△ABC 中,設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、c,若 B  120,a  5,c  3,則△ABC 的外接圓面積為何? (A) 7

3

(B)49 3

(C) 7 3

(D) 49 3

解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB 32 52 2 3 5 cos120 9 25 ( 15)  49 49 7 b    又 2 sin b R B  7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R

 

( )9.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD(按順序)中,若AB(4,8)、 (1, 4) AD ,則|AC||BD| (A)4 5 17 (B)18 (C)8 52 17 (D)36 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD ABAD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13,|BD|( 3) 2 ( 4)2 5 故|AC||BD| 13 5 18   ( )10.設兩直線 L1:3x  y  4  0 與 L2:x  3y  4  0,則 L1與 L2交角 為銳角的角平分線方程式為何? (A)x  y  2  0 (B)x  y  0 (C)2x  y  3  0 (D)2x  y  0 解答 A 解析 L1與 L2交角的角平分線為 2 2 2 2 | 3 4 | | 3 4 | 3 1 1 3 x y xy     |3x y  4|  |x 3y  4|  3x y  4  (x 3y  4)  3x y  4 (x 3y  4)  0  2x 2y 0 與 4x 4y  8  0  x y 0 與 x y  2  0 其中 x y 0 的斜率為 1,x y  2  0 的斜率為  1 由圖形可知 L1與 L2交角為銳角的角平分線,斜率為負,故所求為 x y  2  0 ( )11.若直線 L:ax  by  c  0 的圖形如圖,則點 P(ac,ab)在第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 解答 D 解析 L:ax by c  0 x 截距為 c a,y 截距為 c b  由圖示知 c 0 a   且 c 0 b    ac 0 且 bc < 0 a、c 同號且 b、c 異號 a、b 異號,即 ab < 0 ∴ 點 P(ac,ab)為(  ,  )在第四象限 ( )12.設拋物線 x2  2x  4y  1  0 之頂點為 V 且與直線 L:y  1 相交於 A、B 二點,則△ABV 之面積為何?(A)1(B)2(C)4(D)8

解答 B 解析 拋物線 x2 2x 4y 1 0   4y  x2 2x 1 ( 4)    1 2 1 1 4 2 4 yxx頂點 V( 2 1 1 1 1 4 ( ) 2 , 4 4 2 1 1 2 4 4 4         )  (1 , 0) 令 y 1,代入拋物線 x2 2x 4y 1 0 x2 2x 4 1 1 0 x2 2x 3 0 (x 3)(x  1)  0  x  3 或  1 取 A(3 , 1)、B(  1 , 1),則AB   3 ( 1) 4,頂點 V(1 , 0)到 L: y  1 的距離為 1 △ABV 的面積 1 2   4  1  2 底AB

(3)

( )13.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,若 A、B、C 三點的坐標分 別為(  5,4)、(0,  5)、(4,  8),則 D 點應落在下列哪一個象限? (A)第一 象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解答 B 解析 設 D(x,y) 由平行四邊形對角線互相平分的性質知:AC中點BD中點 5 4 4 ( 8) 0 ( 5) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y            5  4  x x  1 4  (  8)  y  5  y  1 ∴ D(  1,1)落在第二象限 ( )14.已知四邊形 ABCD(按順序)中,AB8,BC5,AD3, 且ABC  ADC  60,則CD之長為多少? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解答 D 解析 設CDx 在△ABC 中,AC28252   2 8 5 cos 60 49 在△ADC 中, 2 2 2 2 3 2 3 cos 60 3 9           AC x x x x 由 和 知 x2 3x 9 49 x2 3x 40 0 (x 8)(x 5) 0 x  8 或  5(不合) 故CD8 ( )15.設 ab 為平面上的兩個向量,已知| a | 1 ,| b |3,且 | 3 a 2 b |3,求 ab  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解答 D 解析 ∵ | 3 a 2 b |3 平方得 2 2 9 | a | 12 ab 4 | b | 9 又| a | 1 ,| b |3 2 2 9 1 12 a b 4 3 9         12 ab 36 ∴ ab 3 ( )16.設三直線 L1:x  3y  2  0,L2:3x  y  2  0,L3:x  y  2  0, 且 L1與 L2相交於 A 點,則過 A 點且與 L3平行的直線,不通過哪一個象限? (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解答 D 解析 3 2 0 3 2 0 x y x y            3  得 x  1,代回得 y  1  A 點坐標為(  1,1) 設過 A 點且與 L3平行的直線為 L:x y k  0 A( 1,1)代入 L: 1  1  k  0  k  2 則 L:x y  2  0,圖形如下,不通過第四象限

( )17.若 2  3cos2  0,則 sin4  cos4 (A) 5 3  (B) 2 3  (C)2 3(D) 5 3 解答 C

解析 2  3cos2 0  3cos2 2  cos 2 2 3

 

sin4 cos4 (sin2 )2 (cos2 )2 (sin2 cos2 )(sin2 cos2 )

 1  (sin2 cos2 ) sin2 cos2 (cos2 sin2 )

 cos2 ( 2) 2 3 3     ( )18.在△ABC 中,若 D 為線段BC的中點,且AB9、AC5,則 向量內積AD BC  (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BDDC1:1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  ABAC  AB AC   ABAC 1 2 1 2 9 5 28 2 2       

(4)

( )19.已知向量 a  

6,8

且與 b 之夾角為60,則向量 ab 上的正射影長為何? (A)5 (B)7 (C)5 3 (D)10 解答 A 解析 如圖, ab 上的正射影為 ca

 

6 282 10,則正射影長 1 cos 60 10 5 2 ca      〈另解〉

 

2 2 6 8 10 a     ab 上的正射影長為 cos 60 a b a b b b      cos 60 a b b     cos 60 a    10 1 5 2    ( )20.設 0  x  2,試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大值為何? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 解答 C

解析 f(x)  sin2x 2cosx 2 1 cos2x 2cosx 2  (cos2x 2cosx 1)

4

 (cosx  1)2 4

但 0  x  2  |cosx|  1

∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 4 4

( )21.若tan csc

  1 6cos

,其中為第三象限角,則tan  (A)2 2 (B) 3 (C) 3 (D)2 2

解答 A

解析 tan csc

  1 6cos

 sin 1 1 6cos cos sin

    1 1 6cos cos

  

cos   2 1 cos

6cos

 2

6cos

cos

 1 0 

3cos

1 2cos



 1

0

 cos 1 3

  或1 2 ∵  為第三象限角 ∴ cos

0 故cos 1 3

  用cos 1 3

  來作直角三角形 取斜邊3,鄰邊 1 則對邊 2

 

2 3 1 2 2       因此tan 2 2 2 2 1

   

( )22.若 sin230  k,則 tan50  (A) 1 k2 k   (B) 2 1 k k   (C) 1 k2 (D) 2 1 1 k   解答 B

解析 sin230 sin(180 50)  sin50 k sin 50

1 k k       如圖所示: 故 2 2 tan 50 1 1 k k k k        ( )23.下列各三角函數值,何者數值最小? (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010) 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0 cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0

tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0

由上可知 tan131的值最小

( )24.設平面二向量 u

2cos ,sin

v

sin ,2cos

且其內 積 uv 1,若0 2

  ,則之值可能為何? (A) 12

(B) 6

(C) 4

(D) 3

解答 A 解析

(5)

uv

2cos ,sin

 

 sin , 2cos

2cos sin

sin

2cos

  

 2 2sin cos

2sin 2

uv 1 ∴ 2sin 2

1  sin 2 1 2

 又0 2

  2 02

 

 而sin sin5 1 6 6 2

  則2 6

 或5 6

 12

 或 5 12

故選(A) ( )25.已知 為第三象限角,且tan 3 4

 ,則 2sin 1 3 4cos

 (A) 1 31 (B)13 7 (C)11 (D)31 解答 C 解析 ∵  為第三象限角且tan 3 4

 ∴ sin 3 5  

, 4 cos 5

  所求 3 11 2 ( ) 1 5 5 11 4 1 3 4 ( ) 5 5           

數據

Updating...

參考文獻

Updating...

相關主題 :