1017 數學第一冊複習解答

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1017 數學第一冊複習 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知△ABC 三頂點為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1),若直線AD 平分△ABC 的面積,則直線AD 之方程式為何? (A)3x  y  0 (B)3x

 y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中,AD平分△ABC 的面積 AD通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點(2 ( 3) 1 ( 1), ) 2 2     ,即( 1, 0) 2  再由 A(  1,3)得AD: 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 2 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x y  3  0

( )2.已知 cos(   )  cos cos  sin sin,若tan 3 4   ,試求 cos2  (A) 7 25 (B) 7 16 (C) 9 16 (D) 24 25 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中tan 3 3 4 4     4 3 x y      或 4 3 x y        2 2 4 3 r    或 2 2 ( 4)  ( 3)  255 3 sin 5 y r      ,cos 4 5 x r  

所求 cos2 cos( )  cos cos sin sin cos2 sin2 4 2 3 2 16 9 7

( ) ( )

5 5 25 25 25

      

( )3.設 0  x  2,試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大值為何? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5

【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 f(x)  sin2x 2cosx  2  1  cos2x 2cosx  2  (cos2x 2cosx  1)  4  (cosx  1)2 4 但 0  x  2  |cosx|  1 ∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 4 4 ( )4.設 A(3,  4)與 B(  1,0)兩點的中點為 P,則 P 與原點(0,0)的距離為何? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(3, 4)、B(  1,0)  AB中點 P 坐標為(3 ( 1), 4 0) (1, 2) 2 2      

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∴ P 與原點(0,0)的距離為 2 2 (1 0)   ( 2 0)  5

( )5.若 tan、tan 為 x2  3x  7  0 的兩根,則 tan(  )  (A) 1 2  (B) 3 8  (C)3 8 (D) 3 7 【092 年歷屆試題.】 解答 C

解析 ∵ tan、tan 為 x2 3x 7 0 的兩根 tan tan 3 tan tan 7             ∴ tan( ) tan tan 3 3

1 tan tan 1 ( 7) 8              

( )6.設 A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12)為坐標平面上之三點,試問△ABC 之重心坐標為何? (A)(2,2) (B)(4,  2) (C)(9, 3) 2  (D)(18,  6) 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12) ∴ △ABC 之重心坐標為(0 ( 12) 24 6, ( 24) 12) (4, 2) 3 3         ( )7.若直線 L:ax  by  c  0 的圖形如圖,則點 P(ac,ab)在第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L:ax by c  0 x 截距為 c a,y 截距為 c b  由圖示知 c 0 a   且 c 0 b    ac 0 且 bc < 0 a、c 同號且 b、c 異號 a、b 異號,即 ab < 0 ∴ 點 P(ac,ab)為(  ,  )在第四象限

( )8.已知 0   、    。下列各選項中,何者恆為正確? (A)若 cos   cos  ,則    (B)若 cos(    )  0,則    (C) 若 sin   sin  ,則    (D)若 sin(    )  0,則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時,y cosx 的圖形如下( )9.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD(按順序)中,若AB(4,8)、AD(1, 4), 則|AC||BD| (A) 4 5 17 (B)18 (C) 8 5 2 17 (D)36

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【099 年歷屆試題.】 為 1 對 1 函數,即 cos  cos    (B)反例:cos(5 2 ) cos1 0 66  2  ,但 5 2 6 6 (C)反例:sin sin2 3 3   ,但 2 3 3   (D)反例:sin(  0)  sin  0,但  0 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD ABAD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13, 2 2 |BD| ( 3)  ( 4) 5 故|AC||BD| 13 5 18   故選(B) ( )10.設兩向量 a 、 b 的夾角為,且| a || b |,| ab |4,| ab |3,則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 2 2 2 | ab | | a | | b | 2 ab 16 又 2 2 2 | ab | | a | | b | 2 ab 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     (∵ | a || b |) 7 7 4 25 25 4  

( )11.某湖邊上有三點 A、B 和 C,若從 C 點處測出ACB  60、AC 長為 200 公尺及 BC 長為 100 公尺,則 AB 長為多少公尺? (A)100 3 (B) 200 3 (C)100 (D)200

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【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 如圖所示 由餘弦定理知 2 2 2 2 2 2 cos 200 100 2 200 100 cos 60 ABACBCACBCC       40000 10000 40000 1 30000 2      ∴ AB 30000100 3(公尺) ( )12.已知△ABC 中,AB5,BC7,AC8,則下列各內積中,何者為最大? (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  ABBCAC     2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BCACAB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 ( )13.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上,且滿足 ACBC,則 C 點坐標為何? (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D)(0, 1 ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上,設 C(0,t) ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C

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( )14.在坐標平面上,若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、B(4,0)與 C(4,3),則△ABC 之三邊上共有多少點與原點的距離恰為整數值? (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心,作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點, 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為整數值 故選(C) ( )15.設 ABCD 為一矩形,且BC3AB 。令 P 點與 Q 點為 BC 上之點,且 BPPQQC,如圖。 若DBC  ,且DPC  ,則 tan(  )之值為何? (A) 1 3 (B) 2 3 (C)1 (D) 2 3 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由於BC3AB,且BPPQQCABx,其中 x  0 則BPPQQCCDx 在△DBC 中,tan 1 3 3 x x    在△DPC 中,tan 1 2 2 x x   故 1 1 tan tan 3 2 tan( ) 1 1 1 1 tan tan 1 3 2                ( )16.設 a 與 b 為平面上的兩個向量,已知| a | 1 ,| b |3,且| 3 a 2 b |3,求 a b  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ | 3 a 2 b |3 平方得 2 2 9 | a | 12 ab 4 | b | 9 又| a | 1 ,| b |3 2 2 9 1 12 a b 4 3 9         12 ab 36

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ab 3 ( )17.下列敘述何者錯誤? (A)直線 L:x  2y  4 的斜率為 1 2  (B)方程式 x  4 的圖形是一條通過點(4,5),且平行 y 軸的直線 (C)通 過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線方程式為 3x  y  1  0 (D)當點 A(  1,1)、B(2,x)、C(3,11)為共線的三點時,則 17 2 x 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 (A)L:x 2y  4 的斜率為 1 2  (B)x  4 的圖形如下, 通過點(4,5),且平行 y 軸的直線 (C)通過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線: 2 3 2 ( 1) 3 7 0 2 1 y   x  xy    (D) 1 1 2 ( 1) 3       AB x x m , 11 1 5 3 ( 1) 2      AC m ∵ A、B、C 三點共線 ∴ mABmAC 即 1 5 17 3 2 2 x x ( )18.關於直線 L:x  4y  28,下列敘述何者正確? (A)斜率為 7 (B)y 截距為 7 (C)通過點(7,7) (D)x 截距為 7 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (A)斜率 1 4   (B)令 x 0 代入直線 L 得:0 4y  28  y 7,故 y 截距為 7 (C)點(7,7)代入直線 L 得:7  4  7  28,故直線 L 不會通過點(7,7) (D)令 y 0 代入直線 L 得:x  0  28  x 28,故 x 截距為 28 ( )19.設 a , b , c 為平面上的三個向量且「」表向量的內積,若 a(3 bc )9且 ab 6,則 ac ? (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 a(3 bc )9 3 abac 9 3 6  ac 9 18 9 9 ac    ( )20.設 a (4,3), b ( , )x y 為平面上兩向量,且 x2  y2  40,則此二向量內積 ab 的最大值為何? (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】

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解答 A 解析 2 2 (4,3) | | 4 3 5 a   a    2 2 ( , ) | | 40 2 10 bx ybxy   設 ab 的夾角為

ab | a || b | cos 5 2 10 cos 10 10 cos10 10 (∵  1  cos 1) 故 ab 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 ab   x yxy 由柯西不等式: (42 32)(x2 y2)  (4x 3y)2  25  40  (4x 3y)2  (4x 3y)2 1000  0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 ab 的最大值為10 10 ( )21.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Qb 為平面上兩點。若 P 為直線 : 3L x4y2上一點,且直線 PQ 與直線 L 垂直,則a b (A) 7 (B) 9 (C)11   (D)13 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ P a( ,1)為L: 3x4y2上一點 ∴ 3   a 4 1 2  a2,則P(2,1) 直線PQ的斜率 1 1 2 ( 1) 3       PQ b b m 直線L的斜率 3 3 4 4     mPQLmPQ  m 1  1 3 1 3 4 b  b5 故a b   2 5 7 ( )22.已知 a、b 為實數。若直線 2x  ay  b  0 通過 10x  2y  5  0 與 6x  y  7  0 之交點,且斜率為 2,則 a  b  (A)  12 (B)  10 (C)10 (D)12 【102 年歷屆試題.】 解答 A

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解析 直線 2x ay b  0 的斜率為 2 2 a 1 a      則此直線為 2x y b  0…… 解 10 2 5 6 7 x y x y            2   2 9 9 2 x   x  9 2 x  代入 10 ( 9) 2 5 20 2 y y         則交點為( 9, 20) 2   交點( 9, 20) 2   代回 2 ( 9) ( 20) 0 2 b        b  11 故 a b  1  (  11)  12

( )23.在△ABC 中,若 D 點在線段 AC 上且 AD :DC1:2,又∠BAD  30,∠BDC  60,則∠DCB 的角度為何? (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令ADtDC2t,其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形 DBt 由餘弦定理知,在△BCD 中, 2 2 2 2 cos ( ) BCDBDCDB DC  BDC t2 (2t)2 2  t 2t  cos60 3t2  BC 3t 由正弦定理,在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sinC12  ∠C  30或 150(不合) 故∠DCB  30 故選(A) ( )24.已知平面上四點坐標為 (57,23)A 、 (7, 2)B  、 (5,12)C 、 ( , )D x y 。若向量 7 3 4 4   AD AB AC,則x y (A) 4 (B) 2 (C) 2 (D) 4 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 AD(x57,y23) (7 57, 2 23) ( 50, 25)        AB (5 57,12 23) ( 52, 11)       AC 7 3 4 4   AD AB AC 7( 50, 25) 3( 52, 11) 4 4      

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( 350, 175) ( 156, 33) 4 4 4 4       ( 97, 71) 2 2    由 與 : 則 57 97 2    x  17 2  x 71 23 2    y  25 2   y 故 17 ( 25) 4 2 2       x y 〈另解〉 7 3 4 4   AD AB AC 4   4AD7AB3AC  4(DA)7(BA) 3( CA)  4D7B3C7(7, 2) 3(5,12)  (49, 14) (15,36)  (34, 50) 4   (17, 25) 2 2   D  17 2  x , 25 2   y 故 17 ( 25) 4 2 2       x y

( )25.設sin

 45 sin15

  k cos 45 cos

 15

,則k之值為何? (A) 0 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 【103 年歷屆試題.】 解答 B

解析 ∵ sin

   45

sin 45,cos

  15

cos15 ∴ 原式可化簡如下

 sin 45 sin15   k cos45 cos15 

kcos45 cos15  sin 45 sin15 cos 45

  15

cos 60 1 2   

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