1017 數學第一冊複習解答

1017 數學第一冊複習 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.已知△ABC 三頂點為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1)，若直線AD 平分△ABC 的面積，則直線AD 之方程式為何？ (A)3x  y  0 (B)3x

 y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中，AD平分△ABC 的面積 AD  通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點(2 ( 3) 1 ( 1), ) 2 2     ，即( 1, 0) 2  再由 A(  1,3)得AD： 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 2 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x  y  3  0

（ ）2.已知 cos(   )  cos cos  sin sin，若tan 3 4   ，試求 cos2  (A) 7 25 (B) 7 16 (C) 9 16 (D) 24 25 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中tan 3 3 4 4     4 3 x y     _  或 4 3 x y        2 2 4 3 r    或 2 2 ( 4)  ( 3)  255 3 sin 5 y r      ，cos 4 5 x r  

所求 cos2 cos( )  cos cos sin sin cos2 sin2 4 2 3 2 16 9 7

( ) ( )

5 5 25 25 25

      

（ ）3.設 0  x  2，試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大值為何？ (A)1 (B)2 (C)4 (D)5

【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 f(x)  sin2x  2cosx  2  1  cos2x  2cosx  2  (cos2x  2cosx  1)  4  (cosx  1)2 ₄ 但 0  x  2  |cosx|  1 ∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 ₄  ₄ （ ）4.設 A(3,  4)與 B(  1,0)兩點的中點為 P，則 P 與原點(0,0)的距離為何？ (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(3,  4)、B(  1,0)  AB中點 P 坐標為(3 ( 1), 4 0) (1, 2) 2 2      

∴ P 與原點(0,0)的距離為 2 2 (1 0)   ( 2 0)  5

（ ）5.若 tan、tan 為 x2  3x  7  0 的兩根，則 tan(  )  (A) 1 2  (B) 3 8  (C)3 8 (D) 3 7 【092 年歷屆試題.】 解答 C

解析 ∵ tan、tan 為 x2 _3x  ₇  _{0 的兩根} tan tan 3 tan tan 7      _{ }      ∴ tan( ) tan tan 3 3

1 tan tan 1 ( 7) 8              

（ ）6.設 A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12)為坐標平面上之三點，試問△ABC 之重心坐標為何？ (A)(2,2) (B)(4,  2) (C)(9, 3) 2  (D)(18,  6) 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ A(0,6)、B(  12,  24)、C(24,12) ∴ △ABC 之重心坐標為(0 ( 12) 24 6, ( 24) 12) (4, 2) 3 3         （ ）7.若直線 L:ax  by  c  0 的圖形如圖，則點 P(ac,ab)在第幾象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 【093 年歷屆試題.】 解答 D 解析 L:ax  by  c  0 x 截距為 c a  ，y 截距為 c b  由圖示知 c 0 a   且 c 0 b    ac  0 且 bc < 0  a、c 同號且 b、c 異號  a、b 異號，即 ab < 0 ∴ 點 P(ac,ab)為(  ,  )在第四象限

（ ）8.已知 0   、    。下列各選項中，何者恆為正確？ (A)若 cos   cos  ，則    (B)若 cos(    )  0，則    (C) 若 sin   sin  ，則    (D)若 sin(    )  0，則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時，y  cosx 的圖形如下（ ）9.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD（按順序）中，若AB(4,8)、AD(1, 4)， 則|AC||BD| (A) 4 5 17 (B)18 (C) 8 5 2 17 (D)36

【099 年歷屆試題.】 為 1 對 1 函數，即 cos  cos    (B)反例：cos(5 2 ) cos1 0 66  2  ，但 5 2 6 6 (C)反例：sin sin2 3 3  _  ，但 2 3 3  _  (D)反例：sin(  0)  sin  0，但  0 解答 B 解析 (4,8) (1, 4) (5,12) ACAB AD    ( ) (1, 4) (4,8) ( 3, 4) BDBC CD AD BA AD AB AD AB      而 2 2 |AC| 5 12 13， 2 2 |BD| ( 3)  ( 4) 5 故|AC||BD| 13 5 18   故選(B) （ ）10.設兩向量 a 、 b 的夾角為，且| a || b |，| a  b |4，| a  b |3，則 cos  (A) 7 25 (B) 5 13 (C) 3 5 (D) 4 5 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 2 2 2 | a  b | | a | | b | 2 a  b 16 又 2 2 2 | a  b | | a | | b | 2 a b 9 由  得 2 2 2(| a | | b | )25 已知 2 | a || b |  4 | a | 25 | |2 25 4 a   由  得4 7 7 4      a b a b ∴ 2 cos | || | | | a b a b a b a     （∵ | a || b |） 7 7 4 25 25 4  

（ ）11.某湖邊上有三點 A、B 和 C，若從 C 點處測出ACB  60、AC 長為 200 公尺及 BC 長為 100 公尺，則 AB 長為多少公尺？ (A)100 3 (B) 200 3 (C)100 (D)200

【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 如圖所示 由餘弦定理知 2 2 2 _{2 2} 2 cos 200 100 2 200 100 cos 60 AB AC BC  ACBC C       40000 10000 40000 1 30000 2      ∴ AB 30000100 3（公尺） （ ）12.已知△ABC 中，AB5，BC7，AC8，則下列各內積中，何者為最大？ (A) AB AC (B) BC BA (C) CA CB (D) AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  AB BC AC     2 2 2 _{2 2 2} 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BC AC AB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 （ ）13.平面上兩點 A(5,  1)、B(3,4)。若 C 點在 y 軸上，且滿足 ACBC，則 C 點坐標為何？ (A)(0, 1) 10  (B)(0, 1) 15  (C)(0, 1) 15 (D)(0, 1 ) 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 C 點在 y 軸上，設 C(0,t) ∵ ACBC ∴ 2 2 2 2 (5 0)   ( 1 t)  (3 0) (4t)  (5  0)2 (  1  t)2 (3  0)2 (4  t)2  1 10 t  故 (0, 1) 10 C 

（ ）14.在坐標平面上，若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、B(4,0)與 C(4,3)，則△ABC 之三邊上共有多少點與原點的距離恰為整數值？ (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心，作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點， 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為整數值 故選(C) （ ）15.設 ABCD 為一矩形，且BC3AB 。令 P 點與 Q 點為 BC 上之點，且 BPPQQC，如圖。 若DBC  ，且DPC  ，則 tan(  )之值為何？ (A) 1 3 (B) 2 3 (C)1 (D) 2 3 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由於BC3AB，且BPPQQC 設ABx，其中 x  0 則BPPQQCCDx 在△DBC 中，tan 1 3 3 x x    在△DPC 中，tan 1 2 2 x x   故 1 1 tan tan _{3 2} tan( ) 1 1 1 1 tan tan ₁ 3 2              _{ } （ ）16.設 a 與 b 為平面上的兩個向量，已知| a | 1 ，| b |3，且| 3 a 2 b |3，求 a b  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ | 3 a 2 b |3 平方得 2 2 9 | a | 12 a  b 4 | b | 9 又| a | 1 ，| b |3 2 2 9 1 12 a b 4 3 9         12 a b 36

∴ a  b 3 （ ）17.下列敘述何者錯誤？ (A)直線 L:x  2y  4 的斜率為 1 2  (B)方程式 x  4 的圖形是一條通過點(4,5)，且平行 y 軸的直線 (C)通 過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線方程式為 3x  y  1  0 (D)當點 A(  1,1)、B(2,x)、C(3,11)為共線的三點時，則 17 2 x 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 (A)L:x  2y  4 的斜率為 1 2  (B)x  4 的圖形如下， 通過點(4,5)，且平行 y 軸的直線 (C)通過點 A(1,2)、B(  2,3)的直線： 2 3 2 ( 1) 3 7 0 2 1 y   x  x y    (D) 1 1 2 ( 1) 3       AB x x m ， 11 1 5 3 ( 1) 2      AC m ∵ A、B、C 三點共線 ∴ m_AB m_AC 即 1 5 17 3 2 2 x x  _{  } （ ）18.關於直線 L：x  4y  28，下列敘述何者正確？ (A)斜率為 7 (B)y 截距為 7 (C)通過點(7,7) (D)x 截距為 7 【099 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (A)斜率 1 4   (B)令 x  0 代入直線 L 得：0  4y  28  y  7，故 y 截距為 7 (C)點(7,7)代入直線 L 得：7  4  7  28，故直線 L 不會通過點(7,7) (D)令 y  0 代入直線 L 得：x  0  28  x  28，故 x 截距為 28 （ ）19.設 a ， b ， c 為平面上的三個向量且「」表向量的內積，若 a(3 b  c )9且 a b 6，則 a c ？ (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 【097 年歷屆試題.】 解答 D 解析 a(3 b  c )9 3 a  b  a  c 9 3 6  a c 9 18 9 9 a c    （ ）20.設 a (4,3)， b ( , )x y 為平面上兩向量，且 x2  y2  40，則此二向量內積 _a  _{b 的最大值為何？ (A)10 10 (B)12 10} (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】

解答 A 解析 2 2 (4,3) | | 4 3 5 a   a    2 2 ( , ) | | 40 2 10 b  x y  b  x y   設 a 與 b 的夾角為

則 a  b | a || b | cos 5 2 10 cos 10 10 cos10 10 （∵  1  cos 1） 故 a  b 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 a  b   x y  x y 由柯西不等式： (42 32)(x2 y2)  (4x  3y)2  25  40  (4x  3y)2  (4x  3y)2 1000  0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 a  b 的最大值為10 10 （ ）21.已知 ( ,1)P a 、 ( 1, )Q  b 為平面上兩點。若 P 為直線 : 3L x4y2上一點，且直線 PQ 與直線 L 垂直，則a b (A) 7 (B) 9 (C)11   (D)13 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ P a( ,1)為L: 3x4y2上一點 ∴ 3   a 4 1 2  a2，則P(2,1) 直線PQ的斜率 1 1 2 ( 1) 3       PQ b b m 直線L的斜率 3 3 4 4     m ∵ PQL ∴ m_PQ  m 1  1 3 1 3 4 b_{  }  b5 故a b   2 5 7 （ ）22.已知 a、b 為實數。若直線 2x  ay  b  0 通過 10x  2y  5  0 與 6x  y  7  0 之交點，且斜率為 2，則 a  b  (A)  12 (B)  10 (C)10 (D)12 【102 年歷屆試題.】 解答 A

解析 直線 2x  ay  b  0 的斜率為 2 2 a 1 a      則此直線為 2x  y  b  0…… 解 10 2 5 6 7 x y x y            2   2 9 9 2 x   x  9 2 x  代入 10 ( 9) 2 5 20 2 y y         則交點為( 9, 20) 2   交點( 9, 20) 2   代回 2 ( 9) ( 20) 0 2 b        b  11 故 a  b  1  (  11)  12

（ ）23.在△ABC 中，若 D 點在線段 AC 上且 AD ：DC1：2，又∠BAD  30，∠BDC  60，則∠DCB 的角度為何？ (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令ADt、DC2t，其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形  DBt 由餘弦定理知，在△BCD 中， 2 2 2 2 cos ( ) BC DB DC  DB DC  BDC  t2 (2t)2 2  t  2t  cos60 3t2  BC 3t 由正弦定理，在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sinC12  ∠C  30或 150（不合） 故∠DCB  30 故選(A) （ ）24.已知平面上四點坐標為 (57,23)A 、 (7, 2)B  、 (5,12)C 、 ( , )D x y 。若向量 7 3 4 4   AD AB AC，則x y (A) 4 (B) 2 (C) 2 (D) 4 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 AD(x57,y23) (7 57, 2 23) ( 50, 25)        AB (5 57,12 23) ( 52, 11)       AC 7 3 4 4   AD AB AC 7( 50, 25) 3( 52, 11) 4 4      

( 350, 175) ( 156, 33) 4 4 4 4       ( 97, 71) 2 2    由 與 ： 則 57 97 2    x  17 2  x 71 23 2    y  25 2   y 故 17 ( 25) 4 2 2       x y 〈另解〉 7 3 4 4   AD AB AC 4   4AD7AB3AC  4(DA)7(BA) 3( CA)  4D7B3C7(7, 2) 3(5,12)  (49, 14) (15,36)  (34, 50) 4   (17, 25) 2 2   D  17 2  x ， 25 2   y 故 17 ( 25) 4 2 2       x y

（ ）25.設sin



 45 sin15



  k cos 45 cos



 15



，則k之值為何？ (A) 0 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 【103 年歷屆試題.】 解答 B

解析 ∵ sin



   45



sin 45，cos



  15



cos15 ∴ 原式可化簡如下

 sin 45 sin15   k cos45 cos15 

 kcos45 cos15  sin 45 sin15 cos 45



  15



cos 60 1 2   