國立台灣師大附中九十七學年度第二學期高三期末考數理班數學科試卷
一、填充題（每格六分，共七十八分）
1.若（x－1）2
是多項式 x15
＋ax2
＋b 的因式，則數對 ( a，b) ＝ _____________。
2.設多項式函數 f（x）＝x4
－4x3
－8x2
＋30，
(1)函數 f（x）的遞增範圍為 _____________。
(2)若函數 f（x）在區間 [－1，2] 上的最大值為 M，最小值為 m，則數對( M，m) ＝ _____________ 。
(3)若方程式 f(x) = a 有兩個相異實根和兩個共軛虛根，則實數 a 的範圍為 _____________。
3.函數 f（x）＝x3
＋ax2
＋bx＋c 在 x＝0 與 x＝2 分別有極大與極小值，且極大值是 4，則數對( a，b，c) ＝ _____________ 。
4.已知三次函數 g（x）＝－x3
＋ax2
＋3ax＋5 沒有臨界值，則實數 a 的範圍為 _____________。
5.設對任意實數 x，函數 f(x)＝x4
– 4m3x＋12＞0 恆成立，則實數 m 的範圍為 ______________。
6.設拋物線 y＝1－x2 與 x 軸交於 A、B 兩點， AB 與其上方的拋物線所圍部分作內接梯形 ABCD，則此梯形的最大面積為
_____________。
7.已知直線 y = mx 與曲線 y = x －6x + 5x 交於相異三點，若此直線與曲線所圍成的兩個區域面積相等，則常數 m = 3 2
________________。
8. 3
n n
1
lim
∞
→ ［（n＋1）
2＋（n＋2）2＋（n＋3）2＋……＋（n＋n）2］＝ ______________。
9.計算定積分(1) 2 2
2 (x 1)(x 3)(x 2) d
− + + +
∫
x ＝ ______________。
(2)
∫
3
0 x－2 ＋2x）dx
（ ＝ ______________。
10.設兩曲線 y＝x2 、y＝x 之圖形所圍成的區域為 R，將 R 繞 x 軸旋轉 360o
，則所得的旋轉體體積為 ______________。
1
國立台灣師大附中九十七學年度第二學期高三期末考數理班數學科答案卷
二、計算題（計三題，共二十二分）：須詳細列式始給分 班號 座號 姓名
1.設函數 g（x）為四次多項式函數，其圖形以（0，0）和（2，16）為兩個反曲點，且通過點（2，16）的切線平行於 x 軸，
求此 g（x）。 ( 六分 )
2.在拋物線 y＝－x2
＋4x－3 上分別以（0，－3）及（3，0）兩點為切點作切線，
(１)求此二切線方程式。 ( 四分 )
(２)求此二切線與拋物線所圍區域面積。 ( 六分 )
3.求兩曲線 ( y － 2)2 ≤ 4x 與 x ≤ 4 所圍區域繞 x 軸旋轉之旋轉體體積。 ( 六分 )
一、填充題作答欄（每格六分，共七十八分）
1. 2(1) 2(2) 2(3)
3. 4. 5. 6.
7. 8. 9(1) 9(2)
10.
2
國立台灣師大附中九十七學年度第二學期高三期末考數理班數學科答案卷
二、計算題（計三題，共二十二分）：須詳細列式始給分 班號 座號 姓名
1.設函數 g（x）為四次多項式函數，其圖形以（0，0）和（2，16）為兩個反曲點，且通過點（2，16）的切線平行於 x 軸，
求此 g（x）。 ( 六分 )
g（x）＝x4－4x3
＋16x ( 請老師斟酌分段給分 )
2.在拋物線 y＝－x2
＋4x－3 上分別以（0，－3）及（3，0）兩點為切點作切線，
(１)求此二切線方程式。 ( 四分 )
(２)求此二切線與拋物線所圍區域面積。 ( 六分 )
(１) 2x＋y－6＝0 及 4x－y－3＝0 ( 請老師斟酌分段給分 )
(２)此二切線之交點為（
2
3
，3），而所求之面積為
∫
2
3
0
2
dx
3
x
4
x
3
x
4 －）－（－ ＋ －）］
（
［ ＋
∫
3 2
2
3（－2x＋6）－（－x ＋4x－3）］dx
［
3
＝
∫
2
3
0
2
dx
x ＋
∫
3 2
3 x －6x＋9）dx
（
2
＝
3
x3
⎪
⎪
⎪2
3
0＋（ 3
x3
－3x2
＋9x）
⎪
⎪
⎪ 3
2
3
＝
8
9
＋（9－27＋27）－（
8
9
－
4
27
＋
2
27
）＝
4
9
( 請老師斟酌分段給分 )
3.求兩曲線 ( y － 2)2 ≤ 4x 與 x ≤ 4 所圍區域繞 x 軸旋轉之旋轉體體積。 ( 六分 )
90π
一、填充題作答欄（每格六分，共七十八分）
1. (－
2
15
，
2
13
) 2(1)
－1≤x ≤0 或 x 4 ≥
2(2)
（30，－18）
2(3) －98＜x＜27 或
x ＞30
3.
(－3，0，4 )
4.
－9＜a＜0 5. － 2 ＜m＜ 2 6.
32
27
7.
－3 8. 3
7
9(1) 2752
15 9(2) 2
23
10. 2
15π
