2-2-4三角函數的基本概念-廣義角的三角函數

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(1)第二冊 2-4 三角函數的基本概念-廣義角的三角函數【定義】角：看成以頂點為旋轉中心，以其一邊為始邊，旋轉至另一邊(即終邊)而得出。正向角：規定逆時針方向旋轉的旋轉量為正的，旋轉量是正的角就稱為正向角或正角。負向角：規定順時針方向旋轉的旋轉量為負的，旋轉量是負的角就稱為負向角或負角。有向角：正向角與負向角統稱為有向角。廣義角：角度的度數若有正向角與負向角之分且不限於 0° 至 180° 之間，統稱為廣義角。【問題】有了廣義角的定義之後，應該如何定義其六個三角函數值？是否可以仿照銳角三角函數來定義呢？【定義】銳角三角函數的坐標化：若 θ 為銳角，我們將 θ 角的頂點放在坐標平面上的原點上，將始邊放在 x 軸的正向上，再在其終邊上任取一點 P ( x, y ) ，P 點不為原點。然後自 P 點向 x 軸作垂線，令垂足為 Q 點，則 ∆PQO 為直角三角形， ∠POQ = θ 。設 OP = r ，則可定義銳角 θ 的六個三角函數值為： y x y x r r sin θ = , cos θ = , tan θ = , cot θ = , sec θ = , csc θ = 。 r r x y x y 【定義】廣義角三角函數：若 θ 為廣義角，我們將 θ 角的頂點放在坐標平面上的原點上，將始邊放在 x 軸的正向上，再在其終邊上任取一點 P ( x, y ) ， P 點不為原點。然後自 P 點向 x 軸作垂線，令垂足為 Q 點，則 ∆PQO 為直角三角形， ∠POQ = θ 。設 OP = r ，則可定義廣義角 θ 的六個三角函數值為： y x y x r r sin θ = , cos θ = , tan θ = , cot θ = , sec θ = , csc θ = 。 r r x y x y 注意： 1. 以上的三角函數要在它的比值有意義的情況下才能定義，否則視為沒有定義。 2. 當 P 點在 x 軸上時，則 P 點的 y 坐標為 0，此時， cot θ 和 cscθ 的分母為 0，所以這種比值是沒有意義的。 3. 當 P 點在 x 軸上時， P 點的 x 坐標為 0，此時 tan θ 和 secθ 的分母為 0，所以這種比值是沒有意義的。【問題】 1. 銳角三角函數的坐標化定義與所取的 P 點是否有關？為什麼？ 2. 廣義角的倒數關係、商數關係、平方關係等是否還成立？試說明。. 20.

(2) 【問題】 1. 試填入下列各象限角的三角函數值：. θ. 0°. 30°. 45°. 60° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 300° 315° 330°. sin θ cosθ tan θ cot θ secθ cscθ 2. 試填入下列各非象限角的三角函數值：. θ. 0°. 90°. 180°. 270°. 360°. sin θ. 0. 1. 0. -1. 0. cosθ. 1. 0. -1. 0. 1. tan θ. 0. ╳. 0. ╳. 0. cot θ. ╳. 0. ╳. 0. ╳. secθ. 1. ╳. -1. ╳. 1. cscθ. ╳. 1. ╳. -1. ╳. 3. 三角函數值在四個象限的正負為何？. θ. 一. 二. 三. 四. sin θ. ＋. ＋. －. －. cosθ. ＋. －. －. ＋. tan θ. ＋. －. ＋. －. cot θ. ＋. －. ＋. －. secθ. ＋. －. －. ＋. cscθ. ＋. ＋. －. －. 21.

(3) 【定義】同界角：兩個廣義角 α , β 有共同的始邊與終邊，我們將這樣的 α , β 稱為同界角。而兩個同界角之間，因為始邊與終邊相同，因此差別只是所繞的圈數不同，故可得 α − β = 360° × k , k ∈ Z 。可知同界角有相同的三角函數值。最小正同界角：正同界角中最小的。最大負同界角：負同界角中最大的。【性質】將廣義角化成銳角的三角函數值(一般 θ 為任意角，但思考時將 θ 視為銳角想)：編號 1 2(負角) 3 4(補角) 5(同界角) 6 角度象限. Ⅰ. Ⅳ. Ⅲ. Ⅱ. Ⅰ. Ⅳ. 0° + θ. 0° − θ. 180° + θ. 180° − θ. 360° + θ. 360° − θ. sin θ. + sin θ. − sin θ. − sin θ. + sin θ. + sin θ. − sin θ. cosθ. + cosθ. + cosθ. − cosθ. − cosθ. + cosθ. + cosθ. tan θ. + tan θ. − tan θ. + tan θ. − tan θ. + tan θ. − tan θ. cot θ. + cot θ. − cot θ. + cot θ. − cot θ. + cot θ. − cot θ. secθ. + secθ. + secθ. − secθ. − secθ. + secθ. + secθ. cscθ. + cscθ. − cscθ. − cscθ. + cscθ. + cscθ. − cscθ. 角度函數. 7. 8(餘角). 9. 10. Ⅱ. Ⅰ. Ⅳ. Ⅲ. 90° + θ. 90° − θ. 270° + θ. 270° − θ. sin θ. + cosθ. + cosθ. − cosθ. − cosθ. cosθ. − sin θ. + sin θ. + sin θ. − sin θ. tan θ. − cot θ. + cot θ. − cot θ. + cot θ. cot θ. − tan θ. + tan θ. − tan θ. + tan θ. secθ. − cscθ. + cscθ. + cscθ. − cscθ. cscθ. + secθ. + secθ. − secθ. − secθ. 象限角度函數. 22.

(4) 【結論】化銳角： (1)有 θ 考慮(a)函數是否要變(b)由 θ 所在位置考慮正負號。 (2)無 θ 考慮(a)與 x 軸所夾銳角(b)由 θ 所在位置考慮正負號。輔助判別圖形：. P(cosθ,sinθ) (-,+). (+,+). (-,-). (+,-). 23.

(5)