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1-3雙曲線的性質

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Academic year: 2021

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(1)

[ 多 ][- . ] 選題 雙曲線 .下 列哪些圖形有對稱軸﹖ 拋 物 線 橢圓 雙曲線     y = sinx 之  y = x3 圖形   ABCD 解答: .已 的 x - y = 0﹐ 中 (1 , 1)﹐ 且過 (3 , 0)﹐ 線等知軸雙曲 漸為近一條線 標的心坐 點 試 的  x + y = 0 為的 的 y 的些確正是下列敘﹖述問哪 相直垂互線兩漸近 線近漸條一外另 貫軸在直線 =1 上 點 點  (1 , 3 -1) 為的  (1 , 6 -1) 為的 頂點個一 一個焦點﹒   AC 解答: .設 y = f(x) 及 y = g(x) 的 y = f(x) + g(x) 形向則﹐下向個一﹐上口都圖個一﹐線物拋是開 的 圖形可能出現下列哪些情形﹖ 兩 條 拋 物 線 一條拋物線 條線直一 橢圓 雙曲線﹒        BC 解答: .設 a 與 b 為 x2 ay2 2bx - 4y= 0 的 二二次方程式於關﹐數實元  a = 0b = 0﹐ 則是 一拋物線 若 是 a = 0 且 b = 0  若是 a = 1  若是 拋物線﹐則 一則﹐圓 一橢圓﹐則 a > 0  若是 a < 0﹒ 一雙曲線﹐則   ACDE 解答: .在 ( - 1 , 1)﹐(3 , 1) 為 (3 , 4) 平面上﹐以標坐 焦點﹐且通過點 畫  (1 , 1) ( - 1 , 4) (3 , - 2) ( - 1 , -2) (3 , 1)﹒ 雙會﹖點些哪列下過通也曲一曲雙此問試﹒線線   BCD 解答:

.下  xy= 1 xy= 2 xy = 2x+3 x2y2 1 xy + 6 = 2x+3y 何者列﹖線曲雙軸等表 -

  ABCD 解答: [ 計 ][- . ] 算題 雙曲線 .貫 x 軸 x = 2 上 P(8 , 7)﹑Q(3 , - 1)兩 在軸 上﹐共軛軸在 - 且過通﹐ 點的雙曲線方程式﹒   解答: 375 ) 2 ( 16 x 2 - 15 2 y 1 .雙 2 曲線 2 a x2 2 b y =1 的 F1﹑F2﹐ 若 P 滿 F1PF2 = 90° 且PF1 =2PF2 ﹐ 焦點兩 一上線曲雙點 ∠足 2 1F F =10﹐求 a﹐b之 值﹒   a = 5 , b= 2 5 解答: .平 F(1 , 0)與 L﹕x- 4 = 0﹐ 有 P(x , y)﹐ 到 F 的 P 到 L 點面定一上 直線一 動點一 距離是 直線 距 P 的 離的兩倍﹐求動點 軌跡方程式﹒   (x - 8)2 y2=33 解答: .設 L1﹕x + y - 2 = 0﹐L2﹕x - y - 4 = 0 分 A﹑B 兩 AB 二線的直直原與點通過線 交於別 點﹐求 中 點所形成圖形的方程式﹒   x2y2-3x- y = 0 解答: .設 C﹕(x + 4)2 y236﹐點 A(4 , 0)﹐有 C通 A 點 C 相 C Γ 上 Γ 的 的軌跡在圓錐曲線心 ﹐求試 圖形及方程式﹒

(2)

  解答: 9 2 x 7 2 y 1 .設 C1﹕(x - 5)2 +y2=16﹐C2﹕(x + 5)2 +y2=4﹐ 動 C 與 C1﹑C2同 C 二圓 圓 時外切﹐若動圓 的 Γ 上 Γ 的 心均在圓錐曲線圓 ﹐求試 圖形及方程式﹒   解答: 1 2 x 24 2 y 1 .設 F ( - 1 , 2)﹐F(3 , 1)﹐P 為 為PF - FP  = k 的 上一點﹐令面平一同任 下件條各列圖依別分﹐形求 k 的 範圍﹒ (1) 若是 (2) 若是 (3) 若沒 雙曲線﹐ 條﹐線射二 有圖形﹒   (1)0 < k < 17 ﹐(2)k = 17 ﹐(3)k > 17 或 k < 0 解答: .試 雙式程方之線曲求依﹐件條各列下﹒ (1) 中 x 軸 ( - 4 , 2) (﹐ -7 , 6)﹒ 心在原點﹐貫軸在 上﹐且過 (2) 以 4﹐ 兩 2 15 ﹐且 y 軸 中心﹐正焦長為為點原弦 為點離距的間焦 焦點在 上﹒ (3) 兩 焦點與橢圓 6 2 x 36 2 y 1 的 2 3 ﹒ (4) 以 橢圓 9 2 x 16 2 y 1 之 (5) 兩 (1 , - 2)﹐(5 , - 2)﹐ 而 3 ﹒ 在焦點 漸近之一的斜率是線 (6) 二 2x- y = 0 與 2x+ y - 4 = 0﹐ 且 (6 , 0)﹒ 漸近線 過點 (7) 中 (2 , - 1)﹐ 一 2x+ 3y- 1 = 0﹐ 雙 (1 , 0) 且 心 漸近線 曲線過 等軸﹒ (8) 二 3x4y = 0﹐ 正 漸近線 焦弦長 2 9 ﹒   (1) 解答: 380 33x2 - 95 8y2 =1 (2)﹐ - 6 2 x 9 2 y 1 (3) 3 2 x 27 2 y 1 (4) 9 2 x 7 2 y 1 (5) (x - 3)2 3 ) 2 (y 2 =1 (6)﹐ 24 ) 1 (x 2 - 96 ) 2 (y 2 =1 (7)﹐ (2x +3y- 1)(x - y - 8)= 5﹐ - (8) 16 2 x 9 2 y 1 或 2 2 2 27 16 x2 2 2 81 64 y =1 .設 A﹐B﹐C 三 A(5 , 0)﹐B( -5 , 0)﹐線 AC 的 3 10 ﹐線 BC 的 10 面上坐標平 若﹐點 段 長為度 段 長度為 (1) 求 A﹐B 為 C 的 以 焦點﹐且通過 橢圓方程式﹒ (2) 求 A﹐B 為 C 的 以 通過且﹐點焦 雙曲線方程式﹒   (1) 橢 解答: 圓 40 2 x 15 2 y 1﹐(2) 雙 曲線 10 2 x 15 2 y 1 .雙 ﹕ 4x2 y2+8x+ 4y+ 4 = 0﹐ 則 曲線 (1)上 P 到 ﹒ 點一任 二焦點離差的絕對值為距 (2) 焦 點坐標﹒ (3) 正 焦弦長﹒ (4) 漸 近線方程式﹒

(3)

(5) 對 稱軸方程式﹒   (1)4﹐(2)(-1 , 2 5 )﹐(3)1﹐(4)2x + y = 0 2﹐ x - y + 4 =0﹐(5)x+ 1 = 0﹐y- 2 = 0 解答: .求 9x2 16y2 18x - 96y + 9 = 0 的 線曲雙   解答: 16 ) 1 (x 2 - 9 ) 3 (y 2 =1 .方 (k - 2)x2y2k + 3 表 y 軸 k 值 程式   - 3 < k < 2 解答: .二 L1﹕ x -2y= 0﹐L3 2﹕ x +2y= 0﹐3 直線 (1) 求 L1﹐L2為 (5 , 0) 之 以 為點焦一﹐線近漸二 雙曲線方程式﹒ (2) 求 L1﹐L2之 8 之 到 為離積距 合式程方的所集之成所點有﹒   (1)117x2 52y2900 (2)9 x2 4y2  104 :答解 .一 P(x , y) 到 2x  y = 0 距 5﹐ 求 P 的 動點 二直線 為積乘之離 軌跡之方程式﹒   解答: 25 4x2 - 25 2 y 1 或- 25 4x2 + 25 2 y 1 .設 C1與 C2有 y = x 為C2之 ( 6 , 3 ) 為C1與C2 橢圓 雙曲線 點﹐相同的已個兩焦線直知 漸線﹐點一近 之 C1的 2 一交點﹒若 方程式為 2 a x 2 2 b y =1﹐ 其  a> b﹐ 求 a2﹐b2 中   a212﹐b26 解答: .求 F(3 , 1)的 y = 到 距離是到直線 2 1 的 距離的 3 2 倍 P 的 的所有點 軌跡方程式﹒   - (x - 3)2 解答: 2

(

1)

3

y

1 .點 A(4 , 0)﹐B(10 , 0)﹐ 圓 C﹕x2 y264﹐直 L﹕x+12= 0﹐ 求 (1) 與 L 相 C 外 線直 切且與圓 軌式程方跡的心圓之圓切﹒ (2) 過 A 且 C 相 圓與 軌式程方跡圓的心圓動之切﹒ (3) 過 B 且 C 相 圓與 軌式程方跡圓的心圓動之切﹒   (1)y240(x + 10) (2) 解答: 16 ) 2 (x 2 + 12 2 y 1 (3) 16 ) 5 (x 2 - 9 2 y 1 .設 m 是 m 之 x2 就試實﹐數 值論﹕雙曲線討 2 2 y =1 與 y = mx + 1 的 直線 相交情形﹒   (1) - 3 <m < 3 (m≠ 2 ) 時 ﹐ (2)m = 3 :答解 ﹐有二相異交點 時 (3)m > 3 或m < 3 時 )﹐﹐切相(點一於交相 - ﹐不相交 .設 2x+ y = 3 與 x2y21 相 P﹑Q﹐ 求 (1)PQ (2)PQ 線直 線曲雙   (1)(2 , - 1)﹐(2) 解答: 3 30 2 .試 x 軸 60° 角﹐而 x2 4y2 4 相 與求 成 雙與線曲   y = 3 x 11 解答: [ 單 ][- . ] 選題 雙曲線

(4)

.在 A(2 , - 1)﹐B( - 10 , 4) 為 P 面﹐平標坐上 各的中項選在列下﹐定二點

點 AP +BP =15 APBP =15 APBP  =15 AP- 成所﹖線曲雙一為者何﹐形圖的構

BP =10  APBP  =10﹒

  E 解答:

.在 log(x2 y2xy+ 1) + log6 = log(5x2 2y2 6xy + 10) 之 (x , y) 足坐標平面上滿

形 成什麼圖形﹖ 二 相 交 直 線 二平行直線 物線拋 雙曲線 橢圓﹒        E 解答: .設 k 為 y2 2ky - kx2 -4x+ 6 = 0 之 x 軸 k 式方若﹐數一實程  k > 1 + 3  0 < k < 1 + 3  1 - 3 < k < 1 + 3 ( 但 k≠0) 1 - 3 < k < 1 為圍範 + 3 ( k≠0 ) k < 2  - 2 < k < 1 - 3 或1 + 3 < k﹒ 但 或 -   B 解答: .適 (h , k) 可 y = x2+hx+ h - k2 x 軸 D 為 (h , k) 當對數取選 物拋線使 在 構問試﹒域區的成所平點的應對所上面﹕ (1) 區 D 的 域 邊界是何種圖形﹖ 圓 橢圓 拋物線 曲線雙 兩條直線﹒    (2) 區 D 中 2h- 3k之 (h , k) 為  ( 域 使﹐ 值最大點之坐標的 何﹖ 5 2 , - 5 3 ) (2 , 1) ( 5 18 , - 5 3 ) (2 , - 1) (0 , - 4)﹒ (3)2h - 3k在 D 上  1 9 7  區域 的最大值為何﹖ 5 13 12﹒ (4)2h - 3k在 D 上 2 1 0  - 1  - 2﹒ 區域 的最小值為何﹖   (1)B﹐(2)C﹐(3)B﹐(4)D 解答: [ 填 ][- . ] 充題 雙曲線 .雙 ﹕ 4x2 y2+8x+ 4y+ 4 = 0﹐ 則 曲線 (1)上 P 到   ﹒ 點任一 絕為值二對的離距點焦差      (2) 焦 點坐標﹒ (3) 正 焦弦長﹒ (4) 漸 近線方程式﹒ (5) 對 稱軸方程式﹒   (1)4﹐(2)(-1 , 2 5 )﹐(3)1﹐(4)2x + y = 0 2﹐ x - y + 4 =0﹐(5)x+ 1 = 0﹐y- 2 = 0 解答: .設 x2 4y2 +6x- 24y - 8 = 0 的 x2 ay2 +bx+ cy+ d = 0﹐ 則 (a , b 雙線曲 , c , d) =  ﹒        ( - 4 , 6 , - 24 , - 46) 解答: .雙 (x1)2(y5)2 (x1)2(y5)2 6 化   線曲|      ﹐   ﹒ 共軛雙曲線方程式為        - 解答: 16 ) 1 (x 2 + 9 2 y 1﹐ 頂 ( -1 , 3)與 ( - 1 , - 3)﹐ 共 點 軛雙曲線 16 ) 1 (x 2 - 9 2 y 1 .設 k 為 y2 2ky - kx2 -4x+ 6 = 0 之 x 軸 k 式方若﹐數一實程 之   ﹒ 範圍為     

(5)

  0 < k < 1 + 3 解答: .兩 (2 , -4) (2 , 6)﹐ ﹐貫 6 之   ﹒ 為點焦 軸長為 為積之離距線近漸兩到一任上線曲雙點        解答: 25 144 .雙 xy= 3x+ 2y+ 2 之   ﹒ 線曲 二漸近線方式為程        x - 2 = 0 與 y - 3 = 0 解答: .設 L﹕y= kx+ 1 與 x2 2y2 +4x+ 6 = 0 相 k 之   線直 雙曲線      ﹒   0 (﹐ -2 , 1) 解答: .一 P(- 1 , 2)﹐雙 點 曲線 4 2 x 3 2 y 1﹐ 若 P 的 m 的 ﹒   - 1 < m < 解答: 3 7 .直 L 交 9x2 16y2 72x = 0 於 A﹐B 二 AB 之 M( - 2 , 1), 則 L 線 線曲雙 的   ﹒ 方程式為        27x + 8y+46= 0 解答: .雙 9x2 4y2 18x + 12y - 144 = 0 之     線曲             ( -1 , 解答: 2 3 )﹐3x -2y+ 6 = 0﹔3x +2y= 0 .與 橢圓 6 2 x 36 2 y 1 共 2 3 的   ﹒ 雙曲線方程式        解答:- 3 2 x 27 2 y 1 .兩  1﹕ 3 (x2 - y2) = 2xy 與 2﹕x2-y2= c ( c > 0 ) P﹐ 則 (1)2在P 之 L2 線曲 點交之 切線 之   ﹒ (2)1在P 之 L1與L2之   ﹒ 斜率為      線切 銳角為夾        3 ﹐ 30° 解答: .一 (12 , 0)﹐ 中 (0 , 0)﹐ 共 10﹐則   ﹒ 點頂 心 軸長為軛 為式方程的線曲雙        解答: 144 2 x 25 2 y 1 .中 (0 , 0)﹐ 貫 x 軸 A(4 , 1)﹐B(6 ,  3 )﹐ 則   ﹒ 心 在軸 過且﹐上 雙曲線方程式為的        解答: 6 2 x 3 5y2 =1 .漸 y - 3x= 0﹐y+3x = 0﹐ 一 (2 , 0)﹐ 則   ﹒ 線近 點頂 雙曲的方程式為線        解答: 4 2 x 36 2 y 1 .二 F(2 , 2)﹐F'(- 2 , - 2), 貫 2 2 ﹐   ﹒ 點焦 =長軸 為式程方的線雙則曲        x2 4xy + y26 = 0 解答:

(6)

.二 F(-1 , 1)﹐F'(- 1 , - 5)﹐P 為 PFPF =4﹐ 令 P 的 Γ﹐(1)Γ 點定 滿﹐點一任上面平足 軌跡為 的   ﹒ (2)Γ 的   ﹒ 程式方為      正弦長為焦        (1)

解答: 4 22  y

5 12  x =1﹐(2)5 .雙 9x2 16y2 36x + 32y + 164 = 0 的 G﹐ 則 G 的   線﹕曲        (7 , 1)﹐( -3 , 1) 解答: .若 橢圓﹕ 1 2 2  k x k y  7 2 =1 與 雙曲線﹕ 42 2 x 24 2 y 1 共 k =  ﹒ 焦點﹐則        9 解答:- .設 F﹐F' 為 2 雙曲線﹕ 2 a x 2 2 b y 1 (a>0﹐b>0) 二 FF = 10﹐P 在 FPF'= 雙曲線上﹐且∠ 90°﹐ FP  =2PF ﹐則   ﹐   ﹒ 二曲近線為的雙線漸      軛雙曲線為共        2xy= 0﹐ 解答: 5 2 x 20 2 y 1 .雙 y - x - 1 = 0﹐y+x+1= 0﹐ 一 (2 , 0)﹐ 則   ﹒ 線的近漸線為曲二 為點焦 曲線為雙       

解答: 9 2 2 y 2 -

9 1 2 x 2 = 1 .過 (0 , 0) 的 (1 , 1)﹐ 漸 x+2

y

3 = 0﹐ 則   ﹒ 為﹐軸心曲線雙其等中 線近為 雙曲線為        (x + 2y-3)(2x- y - 1) = 3 解答: .F(3 , 1)﹐L﹕y = 2 1 ﹐ P 滿 PF = 動點 足 3 2 .d(P , L)﹐則 P 的   ﹒ 軌跡方程式為       

解答: 1 3 2  x

3 12  y 1 .求 (2x + y -1)(2x- y + 6) = 6 之   ﹒ 線雙曲 共軛雙線為曲        解答: 2

7

(

)

2

6

y

- 2

5

4(

)

4

6

x

=1 .一 (x + 1)2 y29 相 (4 , 0)﹐ 求   與圓動        解答: 4 9 ) 2 3 (x 2 - 4 2 y 1 .過 x+y = 2﹐x- y = 2 交 P﹐Q 兩 PQ 的   ﹒ 與一線直點的原 於 求試﹐點 中點跡方程式為軌        x2y2=2x 解答: .二 F(3 , 0)﹐F'(-3 , 0)﹐貫 2﹐ 則   ﹒ 點焦 =長軸 為式程方的曲雙線        解答: 1 2 x 8 2 y 1 .漸 3x- 2y= 0﹐3x+2y = 0﹐ 焦 (0 , 3)﹐ 則   ﹒ 近線 點 雙曲線方程式為的     

(7)

  解答: 2

13

81

y

- 2

13

36

x

=1 .一 (0 , 3)﹐ 焦 (0 , 5)﹐ 中 (0 , 0)﹐ 則   ﹒ 點頂 點 心 雙線的方程式為曲        解答: 9 2 y 16 2 x 1 .貫 = 10﹐二 F(15 , 2)﹐F'( - 11 , 2)﹐ 則   ﹒ 長軸 點焦 雙曲的方程式為線       

解答: 25 2 2  x

144 2 2  y 1 .漸 2x- y = 0﹐2x+y = 4﹐ 且 (6 , 10)﹐ 則   ﹒ 近線 過 雙曲線方程式為的        (2x -y)(2x+ y - 4) =36 解答: [ 證 ][- . ] 明題 雙曲線 .設 2 雙曲線 2 a x 2 2 b y 1 的 F 1(c , 0)﹐F2( - c , 0)﹐點 P(x1 , y1) 為 PF1 = 上任一點﹐試證線雙曲 a x a c - 1 ﹐PF2 = a x a c + 1 ﹒   解答:略 .設 x2y2a2 F 雙曲線 1﹑F2﹐ 若 P 為 O 為 PF1PF2PO2 ﹒ ﹐點一任上線曲雙 心﹐試證中   解答:略 .設 P 為 2 雙曲線 2 a x2 2 b y =1 上 P 任一點﹐過 作 二積面的形邊四行平成圍所線近漸與二線直二此證試﹐線行平的線近漸為 2 ab ﹒   解答:略 .設 P 為 2 雙曲線 2 a x2 2 b y =1 上 P 作 ab﹒ 過﹐一點 為積面的形角三圍所近線漸二線切證試﹐線切一與   解答:略

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