99年數學統測試題C(含解答)

99 年數學統測試題 C

(

Ｂ

) 1. 關於直線

L x: 4y28

，下列敘述何者正確？　(A)斜率為 7　(B)y 截距為 7　(C)通過點

(7,7)　(D)x 截距為 7。

　 　 解 析 ： 已知 :L x4y28， (A)L 的斜率為 1 4 a b    ，(B)令x 代入 L，得0 y ，故 y 截距為 7，7 (C)將點(7,7)代入 L，得 7 28 35 28   ，故直線 L 不通過點(7,7)， (D)令y_{ 代入 L，得}0 x28，故 x 截距為 28。 選項(B)正確。

(

Ｂ

) 2. 關 於 拋 物 線

_{P x: 4y}2_8y

_{， 下 列 敘 述 何 者 正 確 ？ 　 (A) 開 口 向 下 　 (B) 頂 點 在}

_{( 4, 1) }

(C)準線是

y 1

　(D)正焦弦長為 4。

　 　 解 析 ： _x4y2_8y4(y2_{2y    1) 4 x 4 4(y1)}2_， 即( 1)2 1( 4) 4 y  x ， ∵1 0 4 ，故拋物線開口向右， 且頂點為 ( 4, 1)  ，4 | | 1 1 4 16 c   c ， 準線為 4 1 65 16 16 x     ，正焦弦長為 4 | | 1 4 c   。

(

Ｃ

) 3. 下 列各 三角 函數 值， 何者 數值 最小 ？　 (A)

sin 885

　 (B)

cos( 430 ) 

　 (C)

tan131

　 (D)

sin( 2010 ) 

。

　 　

解 析 ： (A) sin885 sin165 sin15 (B) cos( 430 ) cos 70    sin 20 (C) tan131  tan 49 0 (D) sin( 2010 ) sin150    sin 30 。 所以sin 30 sin 20 sin15  ，又 tan 490    ，故 tan131 的數值最小。0

(

Ｂ

) 4. 在坐標平面上的平行四邊形 ABCD（按順序）中，若

_{A B} (4,8)

、

_{A D} (1, 4)

，則

_{| A C | |} B D | 

？　(A)

4 5 17

　(B)18　(C)

8 5 2 17

　(D)36。

　 　 解 析 ： _{A C}  _{A B}  _{B C}  _{A B}  _{A D} (5,12)， B D  B C  C D A D  ( A B ) ( 3, 4)   則 |_{A C} | | _{B D | 5}2_122 _{ ( 3)} 2_{ ( 4)}2 _{13 5 18  。}

(

Ｄ

) 5. 設三直線

L x1: 3y 2 0

，

L2: 3x y  2 0

，

L x y3:   2 0

，且

L1

與

L2

相交於 A 點，則

過 A 點且與

L3

平行的直線，不通過 哪一個象限？　(A)第一象限　(B)第二象限　　(C)

第三象限　(D)第四象限。

　 　 解 析 ： 3 2 3 2 x y x y         的解為 1 1 x y       ，設與L 平行的直線為 x y k3   ， ( 1,1) 代入可得直線為x y   ，則此直線不通過第四象限。2

(

Ｃ

) 6. 已知直線

L: 3x4y 5 0

與圓

2 2 : 2 4 4 0 C x y  x y 

兩者的交點個數為 a，且圓 C 的

圓 心 到 直 線 L 的 距 離 為 b ， 則 下 列 何 者 為 正 確 ？ 　 (A)

a b  3

　 (B)

a b  1

　 (C)

4 a b 

　(D)

a b 5

。

　 　 解 析 ： 圓 C 的圓心為( 2, 4) ( 1, 2) 2 2      ，半徑 1 ₂2 _{( 4)}2 _{4 ( 4) 3} 2 r       圓心到直線 L 的距離為 | 3 8 5 | 10_{2 2} 2 5 3 4 b      r  A B D C y x O ( 4 , 1 )  6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1      1 2 3 4 5  2  3  4   x  6 5 1 6

所以直線與圓相割，並相交於相異兩點，即a ，故2 a b  。4

(

Ａ

) 7. 設 p 與 q 為 方 程 式

2 9 3 log (10x 6x 5) log x 1 0

的 兩 根 ， 則

1

p q





？ 　 (A)

1

6

　 (B)

1

5

(C)

2

3

　(D)

5

7

。

　 　 解 析 ： 2 2 9 9 9 9

log (10x 6x 5) log x log 9 log 1 ，log₉10 2₂ 6 5 log 1₉ 9 x x x     2 2 2 2 10 6 5 1 10 6 5 9 9 x x x x x x         2 _{6 5 0 ( 5)( 1) 0 5} x x x x x           ，x1 故 1 1 1 5 1 6 p q    。

(

Ｃ

) 8. 有一籃球隊共有 12 位選手，其前鋒、中鋒、後衛的人數分別為 4 人、3 人、5 人，現在要選

5 位選手上場比賽，一般籃球比賽中，每隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、1 人、2

人，問共有幾種不同 選法？　(A)120　(B)154　(C)180　(D)225。

　 　 解 析 ： 4 3 5 2 1 2 180 C C C  。

(

Ｄ

) 9. 中山高中 一、二、三年級學生人數的比例分別為 40%、32%、28%，而一、二、三年級男生

人數佔該年級的比例分別為 50%、60%、40%，現從全校學生中任意選取 1 人，則此人為

女生的機率為何？　(A)43.2%　(B)45.4%　(C)47.8%　(D)49.6%。

　 　 解 析 ： 由題意知該校一、二、三年級女生比例分別為 50%、40%、60%， 故P40% 50% 32% 40% 28% 60% 49.6%      。

(

Ｄ

)10. 已知函數

_{f x( )x}2_3x5

_與函數

_{g x( ) | 2} _x_1|

_{圖形相交於兩點，而其 x 坐標分別為 a 與}

b，其中

a b

。若

f x( )

與

g x( )

在

[ , ]a b

上的最小值分別為

m1

與

m2

，則

m1m2 

？　(A)

2

(B)

1

　(C)0　(D)1。

　 　 解 析 ： 首先討論 y| 2x 的圖形，1| 當 1 2 x  時y2x ，當1 1 2 x  時y (2x ，1) 2 _{3 5} | 2 1| y x x y x         的交點為 2 _{3 5 2 1} x  x  x 時， 即x 或 4 時，故題意所求 [ , ] [1,4]1 a b  。 ( ) 2 3 f x  x 在[ , ] [1,4]a b  中 f (1)  ， (4) 51 f   ， 故m1  ，當1 1 2 x  時， ( ) 2g x  x ，1 2 ( ) 2 g x  m ，可得m₁m₂    。1 2 1

(

Ｂ

)11. 聯立不等式

10

1

x y

x y

 



  



的可行解區域是圖(一)的哪一個部份？　

(A)A　(B)B　(C)C　(D)D。

　 　 解 析 ： x y 10斜率為負，解為x y 10及其右側半平面， 1 x y  斜率為正，解為x y  及其左側半平面，1 綜合上述，可行解區域為 B。

(

Ｄ

)12. 設

f x( )

在

[ , ]a b

上 為 一 連 續 函 數 ， 其 中

a b

則 下 列 敘 述 何 者 錯 誤 ？ 　 (A)

b

( )

a

f x dx





( )

a b

f x dx





　 (B)

b

( )

b

( )

a

kf x dx k



a

f x dx





， 其 中 k 為 任 意 常 數 　 (C) 若

a b c 

， 則

( )

b a

f x dx





c

( )

b

( )

a

f x dx



c

f x dx





　(D)

1 1

1

n n b _n a

b

a

x dx

n



_









，其中 n 為任意常數。

y x O 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9  1  1  2  3  4 f x ( ) x2 3x5 y 2  x 1 y  ( 2 x 1 )  1 2 y x A B C D 圖 一( )

　 　 解 析 ： 由公式可知選項(A)、(B)、(C)均正確，而選項(D)中n  。1

(

Ｂ

)13. 在擲單顆骰子遊戲中，若甲每投一次骰子要先付給乙 x 元，且出現點數為奇數時，乙需付

給甲 10 元；出現點數為偶數時，乙需付給甲 40 元，但出現奇數點的機率為出現偶數點機

率的 2 倍，則 x 應訂多少元，此遊戲才是公平的？　(A)15　(B)20　(C)25　(D)30。

　 　 解 析 ： 事　件 奇數 偶數 設 計 公 平 的 遊 戲 ， 其 中 在 各 個 事 件 中 乙 付 給 甲 的 金 額 總 數 需 等 於 甲 付 給 乙 的 金 額 ， 因 為 2 1 60 ( ) 10 40 20 3 3 3 E x       ，所以甲需先付乙 20 元。 機　率 2 3 1 3 乙付給甲的金額 10 40

(

Ａ

)14. 設 A、B、C 為一圓之圓周上三點，若

AB4

、

_BC6

、

_CA8

，則該圓之面積為何？　(A)

256

15

 　(B)

256

13

 　(C)

81

4

 　(D)

81

2

 。

　 　 解 析 ： ( )( )( ) 4 abc s s a s b s c R       ，其中 4 6 8 9 2 s    ，則 9 5 3 1 4 6 8 4R       可得 16 15 R ，所以圓面積為 (16 )2 256 15 15    。

(

Ｂ

)15. 關 於 函 數 的 導 函 數 ， 下 列 何 者 正 確 ？ 　 (A)

f x( ) (4 x5)(6x7)

， 則

f x( ) 24

　 (B)

3 7 ( ) 4 f x  x  x

，則

4 3

7

( )

4

3

f x





x

 　(C)

_{f x( ) (4 x5)}2

_，則

_{f x}_{( ) 2(4 x5)}

_(D)

_{( )}

4

4

1

x

f x

x







，

則

f x( ) 4

。

　 　 解 析 ： (A) ( ) (4f x  x5)(6x7)，則 f x( ) 4(6 x7) 6(4 x5) 48 x58。 (B) _{f x( )}3_x7 _{4x x} 37 _4x，則 4 3 7 ( ) 4 3 f x  x  。 (C) _{f x( ) (4 x5)}2_{，則 f x( ) 2(4 x 5) (4 )x 8(4x 。5)} (D) ( ) 4 4 4( 1) 4 1 1 x x f x x x        ，則 f x( ) 0 。

(

Ｂ

)16. 關於下列各極限，何者正確？　(A)

lim

3

2

1

5

n n n n



_{ 　(B)}

2 100 9 lim 0 5 1 n n n n   _  

　(C)

0.01

lim

0

5

1

n

n

n







(D)

lim

2

1 1

n

n



n

  。

　 　

解 析 ： (A)lim3 2 lim( )3 ( )2 lim( )3 lim( )2 0

5 5 5 5 5 n n n n n n n n n n n  _{     。} (B) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 9 100 9 100 9

lim lim lim 0

5 1 5 1 5 1 ₁ n n n n n _{n n n n} n n n n n n n n n       _{  }   _{   } 。 (C) 0.01 0.01 0.01 1

lim lim lim

5 1 5 1 5 500 n n n n n _n n n n n         。 (D) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) 1

lim 1 lim lim lim 0

1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                       。

(

Ｃ

)17. 設 a、b、c、d 為實數，若

_x2_1

_為

3 2 ( ) f x ax bx cx d

之因式，且

f x( )

除以

x2

餘 6，則

2a b 

？　(A)

4

　(B)

2

　(C)2　(D)4。

　 　 解 析 ： 解一： 令_{f x( )ax}3_bx2_{cx d (x1)(x1)(ax d )，}

將其展開可得_ax3_bx2_{cx d ax } 3_dx2_{ax d ，得 b}  、 c_d   ，a 又∵ (2) 6f  (2 1)(2 1)(2  a d ) 6 2a d  即 22 a b  。2

解二： 2 _{1 ( 1)( 1)} x   x x ， ∵_x2_{ 為1 f x( )ax}3_bx2_{cx d 的因式　∴ (1) 0f  、 ( 1) 0f   ，} ∵ ( )f x 除以x 餘 6　∴ (2) 62 f  故 0 0 8 4 2 0 a b c d a b c d a b c d                     驥 驥 驥  a c b d       驥 驥 驥 驥 驥 驥 驥 驥 驥 驥 ， 代入得 8a4b2a b  6 6a3b 6 2a b  。2

(

Ａ

)18. 令

i 1

。 若

1 i

為 方 程 式

2 2x kx  6 2i 0

的 一 根 ， 則

k

？ 　 (A)

6

　 (B)

4

　 (C)

5 i  

　(D)

 10 2i

。

　 　 解 析 ： 令x  代入，可得1 i _2(1i)2_{k(1    ，即 2(2 )i) 6 2i 0 i    k ki 6 2i ，0} 整理為 (6k i)  (6 k) 0 ，故 6  ，得k 0 k  。6

(

Ａ

)19. 無窮級數

1

1

1

₂

1

₃

1

₄

1

₅

1

_{2 2}

1

₁

3 2

3

2

3

2

k

3

k

 







 

_





_{ ？　(A)}

41

24

　(B)

59

24

　(C)

5

2

　(D)

7

2

。

　 　 解 析 ：1 1 1₂ 1₃ 1₄ 1₅ 1_{2 2}1₁ 3 2 3 2 3 2 k 3 k       _  _ 2 4 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) 2 2 2 k 3 3 3 k    _ _    _ _ 1 1 ₃ 41 1 1 ₂₄ 1 1 4 9      。

(

Ａ

)20. 設 r 為有理數，且

₅

_{4( 40}

3 3

5

₎

2

2

r

_

_

_，則

_r

_？　(A)

8

3

　(B)

10

3

　(C)8　(D)10。

　 　 解 析 ：∵_{4( 40}3 35₎2 _{4( 8 5}3 35₎2 _{4(2 5}3 35₎2 ₄₍53₅₎2 _{25( 5)}3 2 ₅2 ₅32 ₅38 2 2 2 2            ∴_{5 5}83 8 3 r _{   。r}

(

Ｃ

)21. 在坐標平面上，若ABC 之三頂點坐標分別為

A(2,0)

、

B(4,0)

、

C(4,3)

，則

ABC 之三邊

上共有多少點與原點的距離恰為整數值？　(A)2 個　(B)4 個　(C)6 個　(D)8 個。

　 　 解 析 _{： 由圖形可知 AB 與 BC 邊上有 4 個點與原點距離為整數(2,0)、(3,0)、(4,0)、(4,3)，} 又_{OA 、2 OC (4 0)} 2_{ (3 0)}2 _{ ，故令 AC 上任一點與5} 原點的距離為 d，則 2  ，若 d 為整數，則d 5 d 或 4，3 即 AC 上尚存在 2 個點與原點距離分別為 3、4， 同理，可知 BC 上除了 (4,3)C 之外，沒有其他點滿足上述要求， 因此本題共有 6 個點與原點距離為整數。

(

Ａ

)22. 在ABC 中，若 D 點在線段

AC

上且

_{AD DC: 1: 2}

，又

BAD30

，

BDC60

，則

DCB 

的角度為何？　(A)

30

　(B)

45

　(C)

60

　(D)

75

。

　 　 解 析 ： 可依題意作出右圖 ∵AD DC: 1: 2，故可令_{AD 、1 DC ，2} 則可得ABD  、30 _{BD 、1} ADB120 ， 在ABD 中，由正弦定理可知： 1 1 3 1

sin sin( ) sin 30 sin120 3

2 ₂ BD AB AB AB AB A ADB       ， 在BDC 中，由餘弦定理可知： 2 2 2 ₂ 1 2 cos60 1 2 2 1 2 3 2 BC BD CD  BD CD         BC ， y x O A ( 2 , 0 ) ( 3 , 0 ) B ( 4 , 0 ) C ( 4 , 3 ) 5 2 d A _D C B 3 0 ° 3 0 ° 1 2 0 ° 6 0 ° 1 1 2

故BAC 為等腰三角形，故得DCB BAD  。30

(

Ａ

)23. 在ABC 中，若 D 為線段

BC

的中點，且

_AB9

、

_AC5

，則向量

_{A D  B C }

？　(A)

28

(B)

14

　(C)14　(D)28。

　 　 解 析 ： 由向量分點公式可知_{A D} 1( 2  _{A B}  _{A C} ) ，又_{B C} _{A C}  _{A B} ， A D  B C 1( 2  A C  A B ) ( A C  A B ) 1(| 2  A C |2| A B | )2 1(52 9 )2 28 2     。

(

Ｃ

)24. 設

f x( )

為實係數三次多項式，若

f(1) f(1 i) 0

且

f(0) 0

，則下列何者正確 ？　(A)

( 2) 0 f  

　(B)

f(2) 0

　(C)

f(4) 0

　(D)

f(6) 0

。

　 　 解 析 ： 由 (1f   ，可知 (1 ) 0i) 0 f   ，故 ( )i f x 的三根為 1、1 i 、1 i ， 2 ( ) ( 1)[ (1 )][ (1 )] ( 1)( 2 2) f x a x x i x i a x x  x ，其中a ，0 ∵ (0)f  2a 　∴0 a ，則：0 (A) ( 2)f   30a 　(B) (2) 20 f  a 　(C) (4) 300 f  a 　(D) (6) 1300 f  a 。0

(

Ｄ

)25. 求 函 數

f x( ) (cos x3sin )(cosx xsin )x

之 最 小 值 為 何 ？ 　 (A)

2 5

　 (B)

4

　 (C)

7

2



(D)

 5 1

。

　 　

解 析 ： _{f x( ) (cos x3sin )(cosx xsin ) cosx } 2_{x2cos sinx x3sin}2_x

利用半角與倍角公式，可知_cos2 1 cos 2 2 x x  、_sin2 1 cos 2 2 x

x  、2cos sinx xsin 2x， 可得 ( ) (1 cos2 ) sin 2 3(1 cos 2 ) 1 sin 2 2cos 2

2 2

x x

f x    x     x x，

因為_{ 1}2_22 _{sin 2x2cos 2x 1}2_22 _，即 _{5 sin 2} _x_{2cos 2x} ₅ 故 1  5  1 sin 2x2cos 2x  1 5，所以最小值為 5 1 。 B A C D 9 5