問題解答

(1)

1.一單擺擺長 1m，擺錘受重力作用，在鉛直面上做來回擺動，當擺角為30 度時，測得擺錘速率為 1m/s，求擺錘加速度量值為多少？(g=10m/s2)答案：根號 26 2.錐動擺擺常不便，而幅角由 37 度變為 53 度時，繩上張力變為 37 度時的幾倍？答案：20/9 請問以上兩題如何推導？ 3. 有一物體從高樓被沿水平方向拋出，以之高樓頂離地的高度危 40 米，而物體落地處與高樓間之距離亦為40 米，設 g=10m/s2，則物體落地的速度大小為何？正解：10 根號 2，為何？解答： 1. 將加速度分成切線分量與法線分量法線加速度就是圓周運動的向心加速度 2 2 2 n v 1 a 1m / s R 1    切線加速度等於切線方向的何力除以質量 o o 2 t mg sin 30 a g sin 30 5m / s m    加速度 2 2 2 n t a a a  1 5  26 2. 如右圖，寫出鉛直方向的牛頓運動定律 T sin mg T mg sin   因此 o o 1 2 T : T sin 53 : sin 37 4 : 3 講義這一題答案有問題。 3. 落地時間 t， 1 2 40 10 t t 8 2      拋出時速率vx，則 x x 40 v 8 40 v 10 2 8      落地時速度鉛直分量vy  2 10 40  20 2 落地時的速率 2 2 x y v v v  200 800 10 10  θ



mg T a

(2)

一物體以5 公尺/秒之初速在斜角 30°之光滑斜面上，作仰角60°之斜向拋射運動，如右圖所示，試求物體自A 到 B 之距離為若干公尺？（g＝10 公尺/秒 2_）解：y 方向受到重力的斜面分力，加速度 o y a gsin 30 0.5g，為等加速度運動 x 方向不受外力，因此 x 方向為等速度運動與鉛直面的拋體運動的差別為加速度 g 變為0.5g 因此射程 2 2 o o 0 3 1 2 5 2v sin60 cos60 ₂ ₂ R 2.5 3 0.5g 0.5 10        求由斜角30 度之斜面拋出，已知球拋出之初速為 15 米/秒，方向與斜面垂直。若g=10 米/秒2_{，則小球落點與起點之距離為} 多少公尺？請問正解為何為30 米？解：先解所經時間t 2 3 (15 )t 5t y 1 ₂ t 2 3 1 x 3 ₍₁₅ _)t 2     _ _ _{ }  _ x 1 x v t (15 ) 2 3 15 3 2        r 2 x 30 3      斜面上有Q、R、S、T 四點，QR=RS=ST(自下至上)，自 Q 點正上之 P 點以 V 速度水平拋出一物，物體落於 R 點。若改以2V 速度沿水平方向拋出另一物，物體將落於斜面上的?點。為何位於 R 與 S 之間，如何計算？說明：前後拋體的鉛直位移  y1 y2，因此所經時間t1 t2 前後拋體的水平位移 1 1 2 1 2 2 x v t x 2 x x (2v) t             30o Δy Δx

r



Δx ① ②

(3)

以相同速率、不同仰角斜拋同一質點，得到相同水平射程時，其最大高度分別為 12M 及 8M，若 g=10m/s2_{，則其初速度為若干？} 正解：20m/s。請問是否有更高明的算法可求得正解？解：水平射程相同，因此兩次拋射角互餘，因此 2 2 0 1 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 0 2 0 1 v sin 12 2g v 12 8 (sin cos ) 2g v sin v cos 8 2g 2g          _ _{ } _      v0 20m / s 升降機以等速率4m/s 上升，機上一男孩垂直上拋一球，球相對於升降機之初速為1.96m/s，設球不會撞到天花板，則球吊回男孩手中需多少時間？請問正解為何為0.3？答案應為0.4 才對物體運動時，僅有法向加速度，則為？請問此種情況只有等速率圓周運動一種嗎？說明：沒有切線加速度則速率保持不變，不一定要是圓周運動，任何等速率曲線運動皆可。如圖所示，一小球自高度a 自由落下，打中斜面 A 點彈性反彈（反彈前後之速率不變），打中斜面B 點，又反彈至C 點，若 A 到 B 的時間為 t1，B 到 C 的時間為 t2，且斜面夠長，則t1 t2。說明：選取座標平行斜面方向為 x，垂直斜面方向為 y，如上圖，A 到 B 或 B 到 C 的過程，垂直於斜面方向的加速度ay g cos，為等加速度運動，令在 A 點碰觸斜面前後速度垂直於斜面方向的分量為vy，則 A 到 B 或 B 到 C 的過程，速度垂直於斜面方向的分量變化皆為vy   0 vy，因此所經時間 1 2 y y y v 2v t t a gcos     。 y x θ

(4)

自地面以初速 v0=40m/s，仰角 X 射出一子彈，恰可越過距拋射點 40m 高 70m 的塔頂，空氣阻力不計，且 g=10m/s2_{，則 tanX=？請問是否有更高明的求法求得} tanX=3？解答： x (40cos )t 40₂ y (40sin )t 5t 70       _{ } _ _  2 2 40 tan 5sec 70 1 tan 8 tan 14 0 tan 3or5                如附圖所示，均質木棒長度為50 cm，細線 A 的長度為 40 cm，細線 B 的長度為 30 cm，在棒的兩端各掛一個與棒等重的物體。待整個系統平衡時，木棒與水平面的夾角約為何？解答：整體的重心約略在木棒的中點，通過懸吊點的鉛錘線必須通過重心，因此木棒與水平線的夾角等於如圖所示的 θ 角，圖中 x 30 3 18 5    ，y 30 4 24 5    ，因此 tan 25 18 7 16o 24 24     _{ } θ _x y