問題解答

1.一單擺擺長 1m，擺錘受重力作用，在鉛直面上做來回擺動， 當擺角為30 度時，測得擺錘速率為 1m/s，求擺錘加速度量值 為多少？(g=10m/s2)答案：根號 26 2.錐動擺擺常不便，而幅角由 37 度變為 53 度時，繩上張力變為 37 度時的幾倍？答案：20/9 請問以上兩題如何推導？ 3. 有一物體從高樓被沿水平方向拋出，以之高樓頂離地的高度危 40 米，而物體 落地處與高樓間之距離亦為40 米，設 g=10m/s2，則物體落地的速度大小為何？ 正解：10 根號 2，為何？ 解答： 1. 將加速度分成切線分量與法線分量 法線加速度就是圓周運動的向心加速度 2 2 2 n v 1 a 1m / s R 1    切線加速度等於切線方向的何力除以質量 o o 2 t mg sin 30 a g sin 30 5m / s m    加速度 2 2 2 n t a a a  1 5  26 2. 如右圖，寫出鉛直方向的牛頓運動定律 T sin mg T mg sin   因此 o o 1 2 T : T sin 53 : sin 37 4 : 3 講義這一題答案有問題。 3. 落地時間 t， 1 2 40 10 t t 8 2      拋出時速率vx， 則 x x 40 v 8 40 v 10 2 8      落地時速度鉛直分量vy  2 10 40  20 2 落地時的速率 2 2 x y v v v  200 800 10 10  θ



一物體以5 公尺/秒之初速在斜角 30°之光滑斜面上， 作仰角60°之斜向拋射運動，如右圖所示，試求物 體自A 到 B 之距離為若干公尺？（g＝10 公尺/秒 2_） 解：y 方向受到重力的斜面分力，加速度 o y a gsin 30 0.5g，為等加速度運動 x 方向不受外力，因此 x 方向為等速度運動 與鉛直面的拋體運動的差別為加速度 g 變為0.5g 因此射程 2 2 o o 0 3 1 2 5 2v sin60 cos60 _{2 2} R 2.5 3 0.5g 0.5 10        求由斜角30 度之斜面拋出，已知球拋出之初速為 15 米/秒， 方向與斜面垂直。若g=10 米/秒2_{，則小球落點與起點之距離為} 多少公尺？請問正解為何為30 米？ 解：先解所經時間t 2 3 (15 )t 5t y 1 ₂ t 2 3 1 x 3 _{(15 )t} 2     _{   }  _ x 1 x v t (15 ) 2 3 15 3 2        r 2 x 30 3      斜面上有Q、R、S、T 四點，QR=RS=ST(自下至上)，自 Q 點正上之 P 點以 V 速度水平拋出一物，物體落於 R 點。若改以2V 速度沿水平方向拋出另一物，物體將落 於斜面上的?點。為何位於 R 與 S 之間，如何計算？ 說明：前後拋體的鉛直位移  y1 y2，因此所經時間t1 t2 前後拋體的水平位移 1 1 2 1 2 2 x v t x 2 x x (2v) t             30o Δy Δx

r



以相同速率、不同仰角斜拋同一質點，得到相同水平射程時，其最大高度分別為 12M 及 8M，若 g=10m/s2_{，則其初速度為若干？} 正解：20m/s。請問是否有更高明的算法可求得正解？ 解：水平射程相同，因此兩次拋射角互餘，因此 2 2 0 1 2 2 2 0 1 1 2 2 2 2 0 2 0 1 v sin 12 2g v 12 8 (sin cos ) 2g v sin v cos 8 2g 2g          _{   }      v0 20m / s 升降機以等速率4m/s 上升，機上一男孩垂直上拋一球，球相對於升降機之初速 為1.96m/s，設球不會撞到天花板，則球吊回男孩手中需多少時間？請問正解為 何為0.3？ 答案應為0.4 才對 物體運動時，僅有法向加速度，則為？請問此種情況只有等速率圓周運動一種 嗎？ 說明：沒有切線加速度則速率保持不變，不一定要是圓周運動，任何等速率曲 線運動皆可。 如圖所示，一小球自高度a 自由落下，打中斜面 A 點彈 性反彈（反彈前後之速率不變），打中斜面B 點，又 反彈至C 點，若 A 到 B 的時間為 t1，B 到 C 的時間為 t2，且斜面夠長，則t1 t2。 說明：選取座標平行斜面方向為 x，垂直斜面方向為 y，如上圖，A 到 B 或 B 到 C 的過程，垂直於斜面方向的加速度ay g cos，為等加速度運動， 令在 A 點碰觸斜面前後速度垂直於斜面方向的分量為vy，則 A 到 B 或 B 到 C 的過程，速度垂直於斜面方向的分量變化皆為vy   0 vy， 因此所經時間 1 2 y y y v 2v t t a gcos     。 y x θ

自地面以初速 v0=40m/s，仰角 X 射出一子彈，恰可越過距拋射點 40m 高 70m 的 塔頂，空氣阻力不計，且 g=10m/s2_{，則 tanX=？請問是否有更高明的求法求得} tanX=3？ 解答： x (40cos )t 40₂ y (40sin )t 5t 70       _{   }  2 2 40 tan 5sec 70 1 tan 8 tan 14 0 tan 3or5                如附圖所示，均質木棒長度為50 cm，細線 A 的長度為 40 cm，細線 B 的長度為 30 cm，在棒的兩端各掛一個與棒等 重的物體。待整個系統平衡時，木棒與水平面的夾角約為 何？ 解答：整體的重心約略在木棒的中點，通過懸吊點的鉛錘線 必須通過重心，因此木棒與水平線的夾角等於如圖 所示的 θ 角，圖中 x 30 3 18 5    ，y 30 4 24 5    ，因此 tan 25 18 7 16o 24 24     _{ } θ _x y