2-2 最大公因數與最小公倍數

(1)

[ 多 ][- ． ] 選題最大公因數與最小公倍數

.設 a 、 b 、 c 均 (A) 若 c|a 或 c|b ， c|ab 　 (B) 若 a|c 且 b|c ， ab|c 　，下列何者為真？　數整為則則

(C) 若 (a,c)=(b,c) ， a=b 　 (D) 若ab|c ， a|c 且 b|c 　 (E) 若 c|a 且 c|b ， (a,b)|c 。 則則則

　 AD 解答：

.設a,b,c都 p 為 (a,b)表 a 與 b 的 (A) 若零異整數，於的是，數質何？立成恆者因列下則，數公最大

(a,c)=1 且 bc ， (a,b)=1 (B) 若 (a,c)=1 ， (a,b)=(a,bc) (C)若 pab ， pa 或 pb (D) 若 則則則

(a,b)=1 ， (a+b,a－b)=1 (E)若 (a,b)=1 ， (a－ b,ab)=1 。 則則

　 ABCE 解答：

　 CDE 解答：

.下 (a,b)表 a 、 b 之最 (A) 若 (a,b)=1 ， (a+b,ab)=1　 (B) 若 ？述列敘確正者何公因數。　大則

(a,b)=1 ， (a+b,a-b)=1 　 (C) 若a|bc ， a|b 或 a|c 　 (D) 若 (a,b)=1 ， (2a,3b)=1 　 (E) 若 則則則

a|b,b|c， a|c 。 則　 ADE 解答： [ 計 ][- ． ] 算題最大公因數與最小公倍數 .(1) 試 (713,1173) 與 [713,1173] (2)若(713,1173)=d,試 m,n, 使 最大公因數求數公倍小最求一組整數得 713m+1173n=d. 　 23,36363,m=-23,n=14 解答： .設 528 , 最 5797 , 求 . 數的和是然二自公倍數是小此二數　 341,187 解答： .兩 12 , 其 5040 , 求 . 自個二然為位因公大最數數乘積為此二數　 60,84 解答： .設 a,b 為 , 若二正整數 2  b a = 5 12   b a

, 最 [a,b]=144 , 最 (a,b)>4 , 求 a,b . 小公倍數大公因數二正整數

　 a=72,b=16 解答：

.設 a,bN,a<b , 若 (a,b)+[a,b]=15 , 則 (a,b)共 ? 數對多少組

　 2 組解答： .求 (540,504,810)與 [540,504,810]. 最大公因數最小公倍數　 18,22680 解答： .二 a 與b, 其 _{14 , 二}2 _{14, 設}_a2 __b2 _之 ₁₄2₍_p_₁₀2 __q_₁₀__r₎ _, 自數然為和 _為_數_因_公_大_最_之_者 _為_值_小_最其 p,q,r為 , 求 p,q,r . 中阿拉伯數碼　 p=1,q=0,r=6 解答：

.設 a,b,cN 且a+3b=2c,2_a2 ₊_c2 ₌₃_b2 _， _{[a,b,c]=300，} _a,b,c之 _又 _求 _值_。

　 a ＝20,b＝60,c ＝ 100 解答：

.設 a,b,cN ， (a,b)=5,(b,c)=2,(c,a)=3 ， [a,b]=30,[b,c]=120,[c,a]=120, 求 a+b+c= ？ 　

解答

： 49

(2)

.設 a,b,cN ， 6a+21b －20c=0,3a－7b+4c=0,且 (a,b,c)+[a,b,c]=3025 ， a,b,c之 求值。　

解答

： a＝ 200,b ＝ 300,c ＝ 375

.設 x,y 是 , 且₍ ₂_₁₎2x _{ (1} ₂ _)y+14 ₂ _{=0, 求 x,y 。} 有數理

　解答： , 14₅ 5 3 _  y x [ 單 ][- ． ] 題選最大公數與最小公倍數因 .設 a,bN ， 5 除 a 餘 2 ， 5 除_a2 _{+b 餘 3 ，} _{5 除 b 之} _{(A)0 (B)1 (C)2 (D)3} 若以以 _則_以 _餘_數_為 (E)4。　 E 解答： .若 6 後 S ， S= (A){0,1,2,3,4} (B){0,1,3,4} (C){0,1,3,4,5} 整之平方除以正所有數集為合得數餘之所，則 (D){0,1,3} (E){0,1} 。　 B 解答： .若將 4369 1 +₅₉₁₁1 化 (A)100487 (B)100489 (C)10280 (D)25825159 最簡分數為則其分母為何？， (E)25825161 。　 A 解答： .下 2100 除 10 的 (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 (E)8 。列何者是以餘數？　 D 解答：

.設 a,b,cN ， (A)(a,b)=(b,a)　 (B)((a,b),c)=(a,(b,c)) 　 (C)(a,a)=a 　(D)[a,[a,b]]=a 則下列何者不恆真？　

(E)[a,(a,b)]=a 。

　Ｄ解答：

[ 填 ][- ． ] 充題最大公因數與最小公倍數

.1001與 10101 的 ________. 最小公倍數為

　 111111 解答：

.設a,bZ,若 (a,b)=3 , 則 (a+b,a-b)=_______. 最大公因數

　 3 解答：

.設a,bZ,若 (a,b)=1 , 則 (2a+b,a+2b)=________. 最大公因數

　 1 解答：

.設a,bN,a<b,若 ab=360 且 [a,b]=120 , 則 (a,b)=___________, 又 a,b 之 ______. 最大公因數值為

　 a=3,b=120 或 a=15,b=24 解答： .設 n 為 240 的 , 若 (n,120)=8 , 則 n 共 _____ 個 . 不大於自然數此種有　 16 解答： .兩 5814 與 6018 的 _______. 整數最大公因數為　 102 解答： .4171與 5723 的 (4171,5723)=________ 。最大公因數　解答： 97 .設nN， 1n240 且 (n,240)=10 的 n 有 _______ 個 滿足。　解答： 8 2

(3)

.若 a 為 1000 的 465 除 30 ， a 與 465 的 _________ 。於大數，自然被且後的數為餘則最大公因數為　解答： 15 .設 a,b,q1,q2,q3皆為正整數，且滿足           24 q 582 4098 582 q 4098 b 4098 bq a 3 2 1 ， a,b 的 _________ 。則最大公因數為　解答： 6 .設 a,bN,a<b,a+b=120,(a,b)=24 ， a 的　。則可能值為　　　 24 或 48 解答：

.二 4176 、 1566 之 a1,a2,……,an 求a1+a2+a3+……+an=　。數正所為列排大而小由數因公有　　

　 1170 解答：

.驗 619 為　個證要用少最，數質　　自然數。

　 9 解答：

.設 a,bN ， ab=288 ， [a,b]=48 ， |a-b|= 　。則　　

　 42or12 解答：

.1987是　。質數嗎？　　

　解答：是

.已 63 ， 140 ，　兩正整數的和為知為公數倍小最求此二數　　。

　 28,35 解答：

.設x,y,z為 4x-y+z=x+2y-z=y+5z-2x 且 (x,y,z)+[x,y,z]=91 ， x-y+z=　。整數，若則　　

　 7 解答： .有 96 條西式為：自公路最方的起始點，先向東走方燈東路西向的公路旁裝置燈一及種植樹木，裝置路公 100 尺裝置第一盞路燈，之後每間隔公 146 裝自走東向先，點始起方西最路公：置尺式方的木樹植種；燈路盞一為公 150 公 2 公　之尺隔間後每，木樹棵一第植種，長全路公若棵式方此依。一植種尺里，則有　　處同時有路燈及樹木。　 6 解答：

.a 、 b 為兩 a>b ， (a,b)=42,[a,b]=420且 a+b=294 ， a= 　。自然數，若則　　

　 210 解答： .設 1092 ， 3528 ，　；兩數整為正和之最小公倍數為其公＝數因數大最的兩此則　　此　。兩數之較大者＝　　　 84,588 解答： .若 n 為 281 除 n 餘 17 ， 881 除 n 餘 23 ， n= ？　。自然數，以以則　　　 33 或 66 解答： .1771之　，1 到 2000 之　。最因質大為數　　大質數為最　　　 23,1999 解答： .(221,323)= 　，[221,323]= 　（　　　　之）積寫數因質成。　 17,13×17×19(4199) 解答：

.a,b,c為 (a,b,c)+[a,b,c]=465， a:b:c=6:10:15 ， a= 　。正整數，且求　　

(4)

　 90 解答：

.a,bN ， a>b ， a+b=144,(a,b)=24 ， a-b=　。且若則　　

　 96 解答： .三 4 天 6 天 9 天 8 月 31 每大老弟兄回家一次，老二每每三，老次家回一回家一次。三人於今年日 9 月 1 日　。聚，自相家回後期在應相日聚次第起三　　　 11 月 11 日解答： .有 144,最 24, 求正整數和為二為公數因大此二數　 24,120 解答： .a 為 1000 的 , 且 391 除 68, 則 a 與 391 的。於大然數自被之數為餘最大公因數為　 17 解答：

.a,b



N,ab34,



a,b



_{255, 求} (a,b) 。序對

　 (85,51) 解答： .試 (725，2987) = 。求最大公因數　 29 解答： [ 綜 ][- ． ] 合題最大公因數與最小公倍數 .記 (a,b)=1 的 a 與 b 的 1 ， a 與 b 互 a 與 b 是 號意義表為數因公大最又稱質。其中整數且 ab0 。 (1) 時之？假真的述敘題，此各列下斷判小 b a 是 (2)a 與 b 除 1 及 1 最簡分數－

外 (3)abcac(cZ) (4)(a+b,ab)=1 (5)[a,b]=ab 。 別無其它公因數

　解答：全真

.a,b,c為 (a,b)=2,(b,c)=5,(c,a)=3,[a,b]=[c,a]=120,[b,c]=30， a,b,c之。正整數，若求值

　 a=24,b=10,c=15 解答：

.設a,b,c為 a|bc 。 (a,b)=1， a|c 。整數，且證明：若則

　解答：略 .若 a ， b 均 x3_{–ax + 817 = 0 與x}2_{–bx + 3553 = 0有} _{p ，} _{(1) 817和} 為式程整數且方 _一_共_的_質_數_根_同 _則_： 3553 的 = (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 23 。 (2) p = (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 23 。 最大公因數 (3) b = (A) 206 (B) 216 (C) 226 (D) 228 。 　 (1) C (2) C (3) A 解答： [ 證 ][- ． ] 明題最大公因數與最小公倍數

.設a,bN,若 (a,b)=1, 則(a+b,ab)=1,試 . 證明之

　解答：略

.設 a,bZ ， a,b 不 0 ， m,nZ， am+bn=1， (a,b)=1 。 全為若存在使得試證：

　解答：略

.設 a,bZ ， a,b 不 0 且 (a,b)=1 ， (a+b,ab)=1 。 全為求證：

　解答：略