第08期試題與參考解答

(1)

中學生通訊解題第八期

問題編號 89801

(2)

設 a,b,c,d 為任意數，且 a+b=c,b+c=d,c+d=a，若 b 是一個自然數，試求 a+b+c+d 的最大值？參考解答一： a+b=c---(1) b+c=d---(2) c+d=a---(3) 則(1)+(2)+(3)  2b+c=0 c=-2b 代入(1)得 a=-3b 由(1)+(3)得 b=-d 故 a+b+c+d=-3b+b-2b-b=-5b -5≦ 即最大可能值為-5（此方法由北市仁愛國中吳宗哲提供）參考解答二： a+b=c---(1) b+c=d---(2) c+d=a---(3) 則(1)+(3)  a+b+c+d = a+c b=-d---(4) 由題意 b 為正整數b1d1 (4)代入(1) a-d=c ---(5) (4)代入(2) c-d=d c=2d ---(6) (6)代入(5) a-d=2d a=3d ---(7) 則 a+b+c+d=3d-d+2d+d=5d -5≦ 故 a+b+c+d 最大值為-5（此方法由北市永吉國中黃紹倫提供）問題編號 89802

(3)

設 a 為任意數，符號[a]表示不大於 a 的最大整數，符號(a)表示 a－[a]，試求下列聯立方程式的解？





























)

3 (

6 .

2 )

y

(

]

x

[

z

)

2 (

7 .

7 )

x

(

]

z

[

y

)

1 (

5 .

1 )

z

(

]

y

[

x

參考解答： (1)+(2)+(3)  2(x+y+z)=11.8  x+y+z=5.9---(4)

(2)+(1)  x+y+z+[y]+(x)=9.2  [y]+(x)=3.3 [y]=3, (x)=0.3 (2)+(3)  x+y+z+[z]+(y)=10.3  [z]+(y)=4.4 [z]=4, (y)=0.4 (3)+(1)  x+y+z+[x]+(z)=4.1  [x]+(z)=-1.8=-2+0.2  [x]=-2,(z)=0.2 x=∴ 1.7, y=3.4, z=4.2 問題編號 89803 實驗室的木盒裡有 n 種不同法碼，每種法碼個數有足夠多個，且每個重量分別為 1 克,克,….,克。今有 A1,A2,…..An 等 n 位同學依照下列規則從木盒裡取出法碼並將之放在天平上。他們的取法為：A1同學每種法碼取 1 個,A2同學第 1 種法碼不取,其餘每種法碼各取 3 個，……，An同學前 n-1 種法碼不取,第 n 種碼法取 2n-1 個。試問所有同學取的法碼在天平上顯示的總重量是不是整數？參考解答：總重量 =1×(1+ + + +…+ + )+3×(+ + +…++ )+ 5×(+…+ )+…….+(2n-3)×(+ )+(2n-1)×( ) =×[1+3+5+……+(2n-1)]+ ×[1+3+5+….(2n-3)]+…..+ ×(1+2+3)+×(1+3)+1×1 =×n2_+×(n-1)2_+…..+×32_+×22_+1×1 =n+(n-1)+…..+3+2+1= 故總重量為整數

(4)

已知圓 C,直線 L 及定點 A,如圖所示：利用幾何作圖在直線 L 及圓 C 上各找出一點 P 與 Q,使AP₊PQ_{之值最小？} 參考解答：＜作法＞ 1.作定點 A 關於直線 L 之對稱點 A/ 2.將圓 C 之圓心 O 與 A/_{連線，分別交直線 L 與圓 C 於 P,Q 兩點} 則 P,Q 兩點即為所求＜證明＞在直線 L 及圓 C 上各任取一點 P/_{及 Q}/_, 連接(,(,(,(,(,則(=(,(=( _{∵任意兩點間以直線連接之路徑為最短} _{∴(+(+(=((+(+(=(+(+(} _{∵(=(=半徑} _∴(+((+( 故 P,Q 兩點即為所求問題編號 89805 A L C A A/ L P Q C P/ Q/ O

(5)

設 C 是線段 AB 上的任意一點，在線段 AB 的同側分別以AB、AC，CB為直徑畫三個半圓，如圖：設 D 為以AB為直徑的半圓上的一點，且CD垂直AB，又設 E 和 F 依次是以 AC 和 CB 為直徑的半圓上的點且EF是這兩個半圓的公切線的一段。試證：ECFD 是一個矩形參考解答一：如右圖， 1.



CD切圓 P、圓 Q 於 C，又EF為外公切線



KE KCKF。 2.令AP=R，QB=r，



CDAB，AB為直徑，



CD2=ACCB  CD==2 又EF為圓 P、圓 Q 之外公切線，所以EF==2。因此，CD=EF 。 3.由 1.2.可推得KE KC KF =KD  ECFD 為矩形。參考解答二：如右圖 (1)連接AD ,BD分別交兩個小圓於 E/、F/ 連接_{、、，與交於 G} (2)



ADB=AE/_C=BF/_C=90



_CE/_D=CF/_D=90 四邊形 E/_CF/_{D 為矩形。} (3)取_{的中點 O，連}

 CAE/_=AE/_{O 且 CAE}/_=DCE/_{(同弧的圓周角與弦切角)}

又



G 為矩形 E/_CF/_{D 兩對角線之交點}



_{=，F}/_E/_C=DCE/

.AE/_O=CAE/_=DCE/_=F/_E/_C

故AE/_O=F/_E/_C

OE/_F/_=F/_E/_C+CE/_{O =AE}/_O+CE/_{O =AE}/_C=90

所以_{，同理 。}

A

C

B

E

F

D

A _P _C Q _B D F E K A _O _C _B D F(F/₎ E(E/₎ G O/