3B02 週期性數學模型

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(1)

生活上有許多波動與函數息息相關, 例如將繩子一端固定在牆壁、另一手作上 下規律的振動,得到的這個規律波形是以 正弦函數為基礎去變形的圖形。本單元將 介紹各正弦函數的圖形,並探討它的特 性。

甲 正弦函數的圖形

生活上有許多重複出現而具有週期性的現象,例如:圖 2 為荷蘭版畫家艾薛 爾利用重複出現的飛獅,不互相重疊、無空隙、反覆且連續地鋪滿的作品。 ▲圖 2 ▲圖 3 此外,聲音的波動也具有週期性的現象,例如:圖 3 是利用示波器接收震動 的音叉所顯示之聲波。事實上,這個規律的波形是以正弦函數為基礎的圖形,那 麼,什麼是正弦函數呢? 給定一個廣義角 x,三角比

sinx

的值即隨之唯一確定,因此它是 x 的函數, 稱為正弦函數。接下來我們先介紹正弦函數的圖形,並藉此討論它的特性。 描繪函數圖形最直接的方法就是描點法。首先對某些特殊的 x 值(弳)求出 其對應的函數值

y

sin

x

,列表如下。 ▲ 圖 1

(2)

x 0

6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

5

4

3

2

7

4

2

y 0

1

2

2

2

3

2

1

3

2

2

2

1

2

0

2

2

1

2

2

0 接著,利用計算機算出上表中

x y

,

的(近似)值,再將點

 

x y

,

逐一標示於坐標 平面上。如果描點數夠多,並用平滑曲線將這些點連起來,就可得到

y

sin

x

0

 

x

2

上的圖形(如圖 4 所示)。 ▲圖 4 除此之外,也可以利用單位圓來描繪正弦函數的圖形。 首先,在坐標平面上,以原點 O 為圓心,作一單位圓,再以 x 軸正向為始邊, 作一廣義角

,如圖 5 所示。因為廣義角

的終邊與單位圓交於

P

cos ,sin

 

, 所以

sin

是 P 點的 y 坐標。 ▲圖 5 接著,當

由 0 逐漸增加到

2

時,P 點會繞單位圓一圈,此時 P 點的 y 坐標 (即

sin

值)的變化情形可用圖 6(a)中的線段顏色(紅色表正,綠色表負)與長 短(

sin

的絕對值愈大,長度愈長)來表示。 最後,利用這些 P 點的 y 坐標,就可描繪出函數

y

sin

x

0

 

x

2

上的圖 形,如圖 6(b)所示。

(3)

(a) (b) ▲圖 6 無論從描點或是用單位圓的方式,都可觀察正弦函數

y

sin

x

的圖形有以下 的現象: (1) 當 x 從 0 增加到

2

時,

y

sin

x

的值從 0 增加到 1。 (2) 當 x 從

2

增加到

時,

y

sin

x

的值從 1 減少到 0。 (3) 當 x 從

增加到

3

2

時,

y

sin

x

的值從 0 減少到

1

(4) 當 x 從

3

2

增加到

2

時,

y

sin

x

的值從

1

增加到 0。 由同界角的換算公式

sin 2

 

x

sin

x

可知:當變數 x 的值增加

2

時,正 弦函數的值會重複的出現;因此,

y

sin

x

2

 

x

4

上的圖形與在

0

 

x

2

上的圖形完全相同,其餘範圍以此類推。也就是說,只要把

y

sin

x

0

 

x

2

上所畫的圖形複製並逐次向右或向左平移

2

單位,就可得到

sin

y

x

的全部圖形(如圖 7 所示)。 ▲圖 7 像這樣圖形會重複出現的函數,我們稱函數

y

sin

x

為週期函數。又

y

sin

x

0

 

x

2

範圍內的圖形沒有重複,且將其複製並向右及向左平移

2

單位的倍數

(4)

可得

y

sin

x

的全部圖形,我們稱

2

是函數

y

sin

x

的週期。 在函數關係中,x 取值的範圍稱作該函數的定義域,而其對應值 y 的範圍稱 作該函數的值域。由圖 7 觀察發現:正弦函數的定義域為全體實數 ,且值域在

1

與 1 之間(含端點)。 接著再進一步討論正弦函數

y

sin

x

的特性: (1) 定義域:因為對任意實數

x

,sin

x

都有定義,所以其定義域為全體實數 。 (2) 值 域:因為正弦函數的值涵蓋每個在

1

與 1 之間的實數,所以其值域為

y

   

1

y

1

。 (3) 週 期:由圖形知其週期為

2

(4) 振 幅:從圖 7 中發現正弦函數圖形在 x 軸上方或下方擺動的最大距離為 1; 此時稱正弦函數

y

sin

x

的振幅為 1。 (5) 對稱性:由換算公式

sin

 

 

x

sin

x

知其圖形對稱於原點。 【例题 1】 已知

0

 

x

2

,觀察

y

sin

x

的圖形,求滿足

sin

x

0

的 x 之範圍。 Ans: 【詳解】 因為當

 

x

2

時,

y

sin

x

的圖形在 x 軸下方,所以可得

2

x

 

(5)

【隨堂練習 1】 已知

  

x

3

,觀察

y

sin

x

的圖形,求滿足

sin

x

0

的 x 之範圍。 Ans: 【詳解】 由正弦函數的圖形可得, 當

  

x

0,

 

x

2

時,

sin

x

0

(6)

乙 正弦函數圖形的平移

借助

y

sin

x

的圖形及圖形平移的概念,可以畫出與

y

sin

x

相關的函數之 圖形。先來看鉛直上下平移的圖形。 【例题 2】 利用

y

sin

x

的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 (1)

y

sin

x

1

。 (2)

y

sin

x

2

Ans: 【詳解】 (1) 因為對每一個 x,y=sinx+1 的值 總是比 y=sinx 多 1, 所以 y=sinx+1 的圖形可由 y=sinx 的圖形向上平移 1 單位得到, 如下圖所示。 故函數

y

sin

x

1

的週期是

2

, 最大值為 2,最小值為 0。 (2) 因為對每一個 x,y=sinx-2 的值總是比 y=sinx 少 2,所以 y=sinx-2 的圖形可由 y=sinx 的圖形 向下平移 2 單位得到,如下圖所示。

(7)

故函數

y

sin

x

2

的週期是 2π, 最大值為1,最小值為3。 【隨堂練習 2】 利用

y

sin

x

的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 (1) y=sinx-1。 (2) y=sinx+

1

2

。 Ans: 【詳解】 (1) 因為對每一個x,y=sinx-1 的值總是比 y=sinx 少 1, 所以 y=sinx-1 的圖形可由 y=sinx 的圖形向下平移 1 單位得到, 如下圖所示: 故函數 y=sinx-1 的週期是

2

, 最大值為 0,最小值為

2

(8)

(2) 因為對每一個x, y=sinx+

1

2

的值總是比

y

sin

x

1

2

, 所以 y=sinx+

1

2

的圖形可由

sin

y

x

的圖形向上平移

1

2

單位得到, 如下圖所示: 故函數 y=sinx+

1

2

的週期是

2

, 最大值為

3

2

,最小值為

1

2

。 接著來看水平左右平移的圖形。 【例题 3】 利用

y

sin

x

的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 (1)

sin

3

4

y

x

(2)

sin

2

y

x

Ans: 【詳解】 (1) 觀察

3

4

x

代入

sin

3

4

y

x

的值

(9)

事實上,將

3

4

x t

 

代入

sin

3

4

y

x

的值 與

x t

代入

y

sin

x

的值相等; 因此

sin

3

4

y

x

的圖形可由

y

sin

x

的圖形 往右平移

3

4

單位得到,如下圖所示。 故函數

sin

3

4

y

x

的週期是

2

, 最大值為 1,最小值為

1

。 (2) 觀察

2

x



代入

sin

2

y

x

的值與

0

x

代入

y

sin

x

的值相等;事實上, 將

2

x t

 

代入

sin

2

y

x

的值與

x t

代入

y

sin

x

的值相等; 因此

sin

2

y

x

的圖形可由

sin

y

x

的圖形往左平移

2

單位得到, 如下圖所示。

(10)

故函數

sin

2

y

x

的週期是

2

, 最大值為 1,最小值為

1

【隨堂練習 3】 利用

y

sin

x

的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 (1)

sin

2

y

x

。 (2)

sin

3

2

y

x

。 Ans: 【詳解】 (1) 觀察

2

x

代入

sin

2

y

x

的值與

0

x

代入

y

sin

x

的值相等; 一般而言,將

2

x t

 

代入

sin

2

y

x

的值 與

x t

代入

y

sin

x

的值相等; 因此

sin

2

y

x

的圖形

(11)

可由

y

sin

x

的圖形往右平移

2

單位得到, 如下圖所示: 故函數

sin

2

y

x

的週期是

2

, 最大值為 1,最小值為

1

。 (2) 觀察

3

2

x



代入

sin

3

2

y

x

的值與

0

x

代入

y

sin

x

的值相等;一般而言, 將

3

2

x t

 

代入

sin

3

2

y

x

的值與

x t

代入

y

sin

x

的值相等; 因此

sin

3

2

y

x

的圖形 可由

y

sin

x

的圖形往左平移

3

2

單位得到, 如下圖所示: 故函數

sin

3

2

y

x

的週期是

2

, 最大值為 1,最小值為

1

(12)

關於正弦函數圖形平移的概念,我們以流程圖表示如下。 例如:函數

sin

2

3

y

x

 

的圖形可由

y

sin

x

的圖形往右平移

3

單位,向上 平移 2 單位得到。 利用以上的流程圖來做一道正弦函數圖形平移的例題。 【例题 4】 問:

sin

3

4

y

x

的圖形如何由

y

sin

x

的圖形平移得到? (1) 往左平移

3

4

單位 (2) 往右平移

3

4

單位 (3) 往左平移

5

4

單位 (4) 往右平移

5

4

單位。 Ans: 【詳解】 因為

sin

3

sin

3

4

4

y

x

x

 

, 所以

sin

3

4

y

x

 

的圖形可由

sin

y

x

的圖形往右平移

3

4

單位得到, 也就是說,其圖形可由

y

sin

x

往左平移

3

4

單位得到。 又因為同界角的三角比會相等,即

(13)

3

3

5

sin

sin

2

sin

4

4

4

y

x

x

 

x

, 所以

sin

5

4

y

x

的圖形可由

y

sin

x

的圖形 往右平移

5

4

單位得到。 故選(1)(4)。 【隨堂練習 4】 問:

sin

5

y

x

的圖形如何由

y

sin

x

的圖形平移得到? (1) 往左平移

5

單位 (2) 往右平移

5

單位 (3) 往左平移

9

5

單位 (4) 往右平移

9

5

單位。 Ans: 【詳解】 將

sin

5

y

x

化成

sin

5

y

x

 

 

 

 

, 可得

5

h



。 因為同界角的三角比會相等, 又

9

5

5

的同界角,所以可得

9

5

h

。 故選(1)(4)。 來看一道從圖形判斷平移的例題。

(14)

【例题 5】 已知下圖為

y

sin

 

x h

一個週期的圖形, 其中

0

 

h

2

,求 h 的值。 Ans: 【詳解】 因為

y

sin

 

x h

的圖形可由

y

sin

x

的圖形 往右平移 h 單位得到,所以從題目的圖形可知:

2

3

h

【隨堂練習 5】 已知下圖為

y

sin

 

x h

一個週期的圖形, 其中

0

 

h

2

,求 h 的值。 Ans: 【詳解】 因為

y

sin

x h

y

sin

x

往左平移 h 單位,

3

(15)

丙 正弦函數圖形的伸縮

借助 y=sinx 的圖形及圖形伸縮的概念,來畫出與 y=sinx 相關的函數之圖 形。 【例题 6】 利用

y

sin

x

的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 (1)

y

2sin

x

(2)

1

sin

2

y

x

Ans: 【詳解】 (1) 因為對每一個 x,y=2sinx 的值總是 y=sinx 的 2 倍, 所以 y=2sinx 圖形振幅為 y=sinx 圖形振幅的 2 倍, 如下圖所示。 故函數

y

2sin

x

的週期是

2

, 最大值為 2,最小值為

2

。 (2) 因為對每一個

,

1

sin

2

x y

x

的值總是

y

sin

x

1

2

倍, 所以

1

sin

2

y

x

圖形振幅為

y

sin

x

圖形振幅的

1

2

倍, 如下圖所示。

(16)

故函數

1

sin

2

y

x

的週期是

2

,最大值為

1

2

,最小值為

1

2

【隨堂練習 6】 利用

y

sin

x

的圖形畫出

y

3sin

x

的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 Ans: 【詳解】 因為對每一個 x,

y

3sin

x

的值總是

y

sin

x

的 3 倍, 所以

y

3sin

x

圖形振幅為

y

sin

x

圖形振幅的 3 倍, 如圖所示: 故函數

y

3sin

x

的週期是

2

, 最大值為 3,最小值為

3

(17)

再來看一題水平伸縮的圖形。 【例题 7】 利用

y

sin

x

的圖形畫出下列各函數的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 (1)

y

sin2

x

。 (2)

sin

2

x

y 

Ans: 【詳解】 (1) 觀察

4

x

代入 y=sin2x 的值與

2

x

代入 y=sinx 的值相等; 事實上,將

2

t

x 

代入 y=sin2x 的值與

x t

代入 y=sinx 的值相等; 因此 y=sin2x 的週期只有 y=sinx 的

1

2

, 如下圖所示。 故函數

y

sin2

x

的週期是

, 最大值為 1,最小值為

1

。 (2) 觀察

2

x

代入

sin

2

x

y 

的值與

x

4

代入

y

sin

x

的值相等;事實上, 將

x

2

t

代入

sin

2

x

y 

的值與

x t

代入

y

sin

x

的值相等;

(18)

因此

sin

2

x

y 

的週期為

y

sin

x

的兩倍, 如下圖所示。 故函數

sin

2

x

y 

的週期是

4

, 最大值為 1,最小值為

1

【隨堂練習 7】 利用

y

sin

x

的圖形畫出

y

sin4

x

的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 Ans: 【詳解】 觀察

4

x

代入

y

sin4

x

的值與

x

代入

y

sin

x

的值相等; 一般而言,將

4

t

x 

代入

y

sin4

x

的值與

x t

代入

y

sin

x

的值相等; 因此

y

sin4

x

的週期為

y

sin

x

1

4

倍, 如下圖所示:

(19)

故函數

y

sin4

x

的週期是

2

, 最大值為 1,最小值為

1

。 關於正弦函數圖形伸縮的概念,我們以流程圖表示如下: 例如:函數

y

3sin2

x

的圖形可由

y

sin

x

的圖形鉛直伸縮為原來的 3 倍(振幅 變為 3),水平伸縮為原來的

1

2

倍(週期變為

2

2

 

)後得到。 利用以上的流程圖來做一道正弦函數圖形伸縮的例題。 【例题 8】

4sin

3

x

y

 

 

 

的週期、最大值及最小值。 Ans: 【詳解】 根據圖形伸縮的概念,得函數

4sin

3

x

y

 

 

 

的 振幅為 4,週期為

2

1

6

3

 

。 故最大值為 4,最小值為

4

(20)

【隨堂練習 8】 已知

y

sin

bx

的週期為

3

,其中

b

0

,求 b 的值。 Ans: 【詳解】 根據圖形伸縮的概念, 得函數

y

sin

bx

的週期為

2

3

b

 

。 故

2

3

b 

。 來看一道從圖形判斷伸縮的例題。 【例题 9】 已知右圖為

y a bx

sin

一個週期的圖形,其中

0,

0

a

 

b

,求 a 與 b 的值。 Ans: 【詳解】 根據圖形伸縮的概念,得函數

y a bx

sin

振幅為 a,週期為

2

b

; 又由圖形可知:函數

y a bx

sin

的 振幅為 2,週期為

2

3

。 故得

a

 

2,

b

3

【隨堂練習 9】 已知右圖為

y

sin

bx

一個週期的圖形, 其中

b

0

,求 b 的值。

(21)

Ans: 【詳解】 根據圖形伸縮的概念, 得函數

y

sin

bx

的週期為

2

b

; 又由圖形可知: 函數

y

sin

bx

的週期為

5

。 故得

2

5

b 

。 形如

y a

sin

bx c

 

d

(其中

a b c d

, , ,

均為常數)的函數圖形可經由

sin

y

x

的圖形平移與伸縮得到;又因為伸縮可能會改變圖形的振幅與週期,所 以在實際操作上,我們會先處理伸縮再進行平移。 【例题 10】 (1) 利用

y

sin

x

的圖形畫出

y

3sin2

x

的圖形。 (2) 利用(1),畫出函數

3sin 2

2

1

3

y

x

的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 Ans: 【詳解】 (1) 根據形伸縮的概念,依以下步驟畫出

y

3sin2

x

(22)

步驟 1:振幅變為 3 倍 步驟 2:週期變為

2

2

 

(2) 將函數

3sin 2

2

1

3

y

x

改寫為

3sin 2

1

3

y

x

, 依據先伸縮再平移的步驟, 可得函數

3sin 2

2

1

3

y

x

的圖形 是由

y

sin

x

先伸縮至

y

3sin2

x

後, 再平移得到, 如下圖所示。 往左平移

3

單位,向上平移 1 單位 故根據以上的圖形可知, 函數

3sin 2

2

1

3

y

x

的週期是

(23)

【隨堂練習 10】 模仿例題 10 的做法,在下圖畫出函數

2sin

2

2

x

y 

的圖形, 並求其週期、最大值及最小值。 Ans: 【詳解】 依據先伸縮再平移的步驟,透過底下的流程畫出圖形:

sin

y

x

的圖形 2

y

2sin

x



振幅變為 倍

 

的圖形 2

2sin

2

x

y



週期變為 倍

 

2

2sin

2

2

x

y

 

向下平移 單位

的圖形 故函數

2sin

2

2

x

y 

的週期是

4

, 最大值為 0,最小值為

4

。 接著介紹三角函數圖形的應用,先介紹應用函數圖形比較函數值的大小。

(24)

【例题 11】

利用

y

sin

x

的圖形比較

a

sin1,

b

sin2,

c

sin3,

d

sin4

的大小。

Ans:

【詳解】

a

sin1,

b

sin2,

c

sin3,

d

sin4

可知

    

1,

a

2, , 3,

b

c

 

4, d

四點分別落在

sin

y

x

的圖形上。 因為

1.57,

3.14,

3

4.71

2

2

所以四點的約略位置如下圖所示。 又因為

1.57

2

,可知 2 比 1 更接近

2

, 所以點

 

2, b

比點

 

1, a

高, 即

b a

。綜合可得

b a c d

  

【隨堂練習 11】

利用

y

sin

x

的圖形比較

sin

2

,

sin

9

,

sin

11

5

8

5

a

b

c

的大小。

Ans:

【詳解】 由

(25)

2

sin

sin0.4 ,

5

9

sin

sin1.125 ,

8

11

sin

sin

sin0.2

5

5

a

b

c

可知

0.4 , , 1.125 ,

a

 

b

0.2 , c

三點分別落在

y

sin

x

的圖形上。 三點的約略位置如下圖所示: 由上圖中三點位置的高低,得

a c b

 

。 因為

y

sin

x

為週期

2

的週期函數,所以求方程式

sinx k

(其中 k 為實數) 所有的解,只要先求出在

0

 

x

2

範圍內的解,再利用同界角的概念,即可得 到所有的解。我們以底下例題來做說明。 【例题 12】

0

 

x

4

的範圍內,求方程式

sin

1

2

x 

的解。 Ans: 【詳解】 首先,因為「方程式

sin

1

2

x 

的解個數」與 「

y

sin

x

1

2

y 

兩圖形的交點數」相等, 所以在同一坐標平面上的

0

 

x

4

範圍內, 描繪

y

sin

x

1

2

y 

的圖形,如下圖所示。

(26)

接著,由上圖可知:在

0

 

x

2

範圍內,

sin

y

x

1

2

y 

的圖形恰有兩個交點, 即方程式

sin

1

2

x 

恰有兩個解。 又因為

sin

sin

5

1

6

6

2

,所以這兩解即為

6

5

6

。 最後,利用同界角的概念可推得在

2

 

x

4

範圍內的解為

13

2

6

6

 

5

2

17

6

6

 

。 故在

0

 

x

4

的範圍內,方程式

sin

1

2

x 

有 4 個解, 分別為

,

5 13 17

,

,

6 6

6

6

x

   

【隨堂練習 12】

0

 

x

4

範圍內,求方程式

sin

1

2

x

的解。 Ans: 【詳解】 首先,在

0

 

x

2

範圍內,

sin

y

x

1

2

y 

的圖形恰有兩個交點, 即方程式

sin

1

2

x

恰有兩個解。 接著,因為

sin

7

sin

11

1

6

6

2



, 所以這兩個解即為

7

6

11

6

(27)

2

 

x

4

範圍內的解為

7

2

19

6

6

 

11

2

23

6

6

 

。 故方程式

sin

1

2

x

有 4 個解, 分別為

7 11 19

,

,

,

23

6

6

6

6

x

   

。 由例題 12 可知,利用函數的圖形可以判斷方程式解的個數;我們再來看一個 較複雜的方程式例子。 【例题 13】 (1) 在同一坐標平面上,於

  

10

x

10

的範圍內, 描繪

y

sin

x

10

x

y 

的圖形。 (2) 利用(1),求方程式

sin

10

x

x

解的個數。 Ans: 【詳解】 (1) 在同一坐標平面上, 描繪

y

sin

x

10

x

y 

的圖形,如下圖所示。 (2) 因為

y

sin

x

的振幅為 1, 所以只須考慮直線

10

x

y 

  

10

x

10

範圍內的圖形即可;也就是說,

(28)

sin

y

x

10

x

y 

的交點僅會落在連接

 

10, 1 , 10,1

  

兩點的線段上。 因此由圖形可知,

y

sin

x

10

x

y 

有 7 個交點。 故方程式

sin

10

x

x

有 7 個解。 【隨堂練習 13】 利用

y

sin

x

的圖形,求方程式

12sinx x

解的個數。 Ans: 【詳解】 將方程式化為

sin

12

x

x

, 並在同一坐標平面上,描繪

y

sin

x

12

x

y 

的圖形, 如下圖所示: 因為

y

sin

x

的振幅為 1, 所以只須考慮

12

x

y 

  

12

x

12

範圍內的圖形即可;

(29)

也就是說,

y

sin

x

12

x

y 

的交點 會落在連接

 

12, 1 , 12,1

  

兩點的線段上。 因此由圖形可知,兩圖形有 7 個交點。 故方程式

12sinx x

有 7 個解。 最後,來看一題有關風力發電機的實際例子。 【例题 14】 風力發電機某葉片的頂端為 P 點,開始運轉時,P 點恰在離 地最高的位置上,x 秒後,P 點離地的高度 y(公尺)可表為

40sin

67

2

2

y

 

x

 

問: (1) P 點離地最高與最接近地面分別為多少公尺? (2) 此發電機的葉片轉一圈需幾秒? Ans: 【詳解】 (1) 因為當

x

0

時,

40sin

67

2

2

y

 

x

 

有最大值

40sin

67 107

2

 

所以P 點離地最高為 107 公尺。 因為當

x

2

時,

40sin

67

2

2

y

 

x

 

有最小值

3

40sin

67

40 67 27

2

   

所以P 點最接近地面為 27 公尺。

(30)

(2) 根據圖形平移與伸縮的概念,

40sin

67

2

2

y

 

x

 

之週期為

2

2

2

4

2

   

 

。 故此發電機的葉片轉一圈需 4 秒。 【隨堂練習 14】 遊樂區中有一圓形摩天輪,逆時針方向運轉一圈需時 15 分鐘。當摩天輪開始運轉時,甲車廂恰在離地最近 的位置上,x 分鐘後,甲車廂離地的高度 y(公尺)可 表為

20sin

22

2

y

bx

 

其中 b 是正數。試求 b 的值。 Ans: 【詳解】 函數

20sin

22

2

y

bx

 

的週期為

2

b

。 又因為摩天輪逆時針方向運轉一圈需時 15 分鐘, 所以

2

15

b

,解得

2

15

b

。 最後,來看一題生活實例。

(31)

【例题 15】 海水受到月球引力的影響會發生漲落的潮汐現象。假設下圖是某港口在一天 24 小時海水漲落的水深記錄圖。 經過長期的觀測得知,上圖的水深 y(公尺)與時間 x(小時) 的關係可表為

y a bx c

sin

其中

a b c

, ,

都是正數。根據上圖求

a b c

, ,

的值。 Ans: 【詳解】 根據圖形平移與伸縮的概念, 函數

y a bx c

sin

的圖形之振幅為 a, 週期為

2

b

,且向上平移 c 單位。 又由圖形可知: 振幅為 3,週期為 12,且向上平移 10 單位。 故解得

3,

,

10

6

a

b

c

【隨堂練習 15】 下圖是使用示波器觀測某交流電發電機的電壓 v(伏特)與 時間 t(秒)所形成的波形,其中橫軸每格為 0.025 秒。

(32)

上圖的電壓 v 與時間 t 的關係可表為

v a bt

sin

其中 a 與 b 都是正數。 (1) 求 a 與 b 的值。 (2) 已知每一週期發電機的線圈會轉一圈, 問:每秒鐘線圈轉的圈數為多少? Ans: 【詳解】 (1) 從圖中得知,函數的週期為

0.025 4 0.1

 

秒, 且振幅為 10。 因為函數

v a bt

sin

的週期為

2

b

, 振幅為a, 所以得

2

20 ,

10

0.1

b

 

a

, 即

v

10sin20

t

。 (2) 因為每一週期發電機的線圈會轉一圈, 表示每 0.1 秒發電機的線圈會轉一圈, 所以每秒鐘線圈會轉

1

10

0.1

圈。

(33)

除了本單元介紹的正弦函數之外,在生活中可以常常見到週期性的圖形,例 如圖 8 的心電圖,從重複的圖形中,可以反映出心臟跳動的規律,是醫療上常見 的診療技術。 ▲圖 8 週期性圖形也常常應用於藝術作品,例如原住民的圖騰,不僅在頭飾或服裝 上常看見(如圖 9(a)所示);在陶藝或工藝的作品上(如圖 9(b)(c)所示),也 可以看到其蹤跡。 ▲圖 9 早年臺灣的房子也會在馬賽克磁磚或窗花上看見週期性的圖形,如圖 10(a)(b) 所示。 (a) (b) ▲圖 10 (a) (b) (c)

(34)

觀念澄清

0. 關於函數

y

2sin3

x

,下列敘述對的打「」 (1) 最大值為 2。 (2) 週期為

2

3

(3) 圖形對稱於直線

6

x

(4) 圖形對稱於原點。 (5) 與

y

1

的圖形有無限多個交點。 Ans: 【詳解】 (1) ○:函數

y

2sin3

x

的最大值為 2。 (2) ○:函數

y

2sin3

x

的週期為

2

3

。 (3) ○:函數

y

2sin3

x

的圖形對稱於波峰或波谷, 故會對稱於直線

6

x

。 (4) ○:函數

y

2sin3

x

的圖形會對稱於原點。 (5) ○:函數 y=2sin3x 與 y=1 的圖形會有無限多個交點。

一、基礎題

(35)

1. 下圖可以是哪個函數的圖形?(多選) (1)

sin

2

y

x

(2)

sin

2

y

x

(3)

sin

3

2

y

x

(4)

y

sin

x

1

Ans: 【詳解】 (1)

sin

2

y

x

的函數圖形是

y

sin

x

的圖形 往右平移

2

,此圖錯誤。 (2)

sin

2

y

x

的函數圖形是

y

sin

x

的圖形 往左平移

2

,此圖正確。

(3)

sin

3

sin

3

2

sin

2

2

2

y

x

x

 

x

, 此圖正確。 (4) y=sinx+1 的函數圖形是 y=sinx 的圖形 往上平移 1,此圖錯誤。 故選(2)(3)。 2. 求下列各函數的週期、最大值及最小值: (1)

y

3sin

x

(2)

sin

3

x

y 

(3)

y

5sin3

x

Ans: 【詳解】

(36)

(1)

y

3sin

x

的週期為 2π, 最大值為 3,最小值為

3

。 (2)

sin

3

x

y 

的週期為

2

1

6

3

 

, 最大值為 1,最小值為

1

。 (3)

y

5sin3

x

的週期為

2

3

, 最大值為 5,最小值為

5

3. 下列哪些函數經過左右或上下平移後會與

y

sin

x

的圖形重合 (1)

sin

3

y

x

(2)

y

sin2

x

(3)

y

5sin

x

(4)

sin

2

y

x

Ans: 【詳解】 (1)

sin

3

y

x

的函數圖形是

y

sin

x

的圖形 往右平移

3

,平移後會與

y

sin

x

的圖形重合。 (2) y=sin2x 的週期為

,平移後不會 與 y=sinx 的圖形重合。 (3) y=5sinx 的振幅為 5, 平移後不會與

y

sin

x

的圖形重合。 (4)

sin

2

y

x

的函數圖形是

y

sin

x

的圖形 往左平移

2

,平移後會與

y

sin

x

的圖形重合。 故選(1)(4)。

(37)

4. 設函數

sin

4

y

x

的圖形可由

y

sin

x

的圖形 往右平移 h 單位後得到。選出所有 h 可能的值。 (1)

4

(2)

4

(3)

9

4

(4)

7

4

Ans: 【詳解】 函數

sin

4

y

x

的圖形可由

y

sin

x

的圖形 往右平移

4

,可得

4

h

。 因為同界角的三角比會相等, 又

9

4

7

4

皆為

4

的同界角, 所以可得

9

4

h

7

4

。 故選(2)(3)(4)。 5. 求下列各函數的週期、最大值及最小值: (1)

y

4sin

x

2

(2)

sin 3

2

y

x

(3)

2sin

1

3

y

x

 

Ans: 【詳解】 (1)

y

4sin

x

2

的週期為 2π, 最大值為 4+2=6,最小值為

  

4 2

2

。 (2)

sin 3

2

y

x

的週期為

2

3

最大值為 1,最小值為

1

(38)

(3)

2sin

1

3

y

x

 

的週期為 2π,

最大值為

2 1 1

 

,最小值為 2-1=3。

6. 利用

y

sin

x

的圖形比較

sin ,

sin

3

,

sin

7

5

5

5

a

b

c

的大小。

Ans:

【詳解】

sin ,

sin

3

,

sin

7

5

5

5

a

b

c

可知

0.2 , , 0.6 ,

a

 

b

1.4 , c

三點分別落在

sin

y

x

的圖形上,三點的約略位置如下圖所示: 因為

0.5

2

,可知

0.6

0.2

更接近

2

,所以

b a

。 故

b a c

 

7.

  

2

x

2

範圍內,求方程式

sin

3

2

x

的解。 Ans: 【詳解】 首先,在

0

 

x

2

範圍內,

sin

y

x

3

2

y 

的圖形恰有兩個交點, 即方程式

sin

3

2

x

恰有兩個解。 接著,因為

sin

sin

2

3

3

3

2

(39)

所以這兩個解即為

3

2

3

。 最後,利用同界角的概念 可推得在

  

2

x

0

範圍內的根為

5

2

3

3

 

2

2

4

3

3

 

。 故方程式

sin

3

2

x

有 4 個根, 分別為

,

2

,

5

,

4

3 3

3

3

x

 

8. 求方程式

sin

12

x

x

解的個數。 Ans: 【詳解】 在同一坐標平面上, 描繪

y

sin

x

12

x

y

的圖形, 如下圖所示: 因為

y

sin

x

的振幅為 1, 所以只須考慮

12

x

y

  

12

x

12

範圍內的圖形即可; 也就是說,

y

sin

x

12

x

y

的交點會落在 連接

12,1 , 12, 1

 

兩點的線段上。 因此由圖形可知,

y

sin

x

12

x

y

有 9 個交點。 故方程式

sin

12

x

x 

有 9 個解。

(40)

9. 已知電流強度 I(安培)與時間 t(秒)的關係可表為

10sin 100

6

I

t

(1) 求電流強度 I 的週期。 (2) 求電流強度 I 的最大值與最小值。 (3) 當

1

40

t 

秒時,電流強度 I 為多少安培? Ans: 【詳解】 (1) 函數

10sin 100

6

I

t

的週期為

2

0.02

100

(秒)。 (2) 函數

10sin 100

6

I

t

的最大值為 10(安培), 最小值為

10

(安培)。 (3) 當

1

40

t 

秒時,電流強度

1

2

3

10sin 100

10sin

10

5 3

40 6

3

2

I

  

  

(安培)。

二、進階題

10. 已知右圖為

y

sin

 

x h

一個週期的圖形, 其中

0

 

h

2

,求 h 的值。 Ans:

(41)

【詳解】 因為

y

sin

x h

y

sin

x

的圖形往右平移 h 單位, 所以由圖形可知:

7

5

h

11. 在

0

 

x

2

範圍內,方程式

sin

1

3

x

有多少個解? 又這些解的總和為何? Ans: 【詳解】 在同一坐標平面上,描繪

y

sin

x

1

3

y 

的圖形, 如圖所示: 因為在

0

 

x

2

的範圍內,兩圖形有 2 個交點, 所以方程式

sin

1

3

x

有 2 個解。 又因為在

 

x

2

範圍內的圖形 對稱於直線

3

2

x

,所以 1 2 1 2

3

3

2

2

x x

x x

    

, 即 2 個解的總和為

3

(42)

12. 已知 a>0,b>0,函數 y=asinbx 的圖 形通過最高點

P

 

3, 2

及最低點

9, 2

Q

,且與直線 y=1 交於 A,B, C 三點,如右圖所示,求 (1) a,b 的值。 (2)

AB

的長度。 (3)

BC

的長度。 Ans: 【詳解】 (1) 因為 y=asinbx 的最大值為 2,最小值為2, a>0,所以

a

2

。 因為 y=asinbx 的週期為 2(9-3)=12,b>0, 所以

2

12

b

,即

6

b

。 (2) 由(1)得

2sin

6

y

x

, 令

2sin

1

6

x



,則

sin

1

6

x

2



。 由

6

x

6



,解得

x

1

,即

A  

1, 1

; 由

7

6

x

6

,解得

x

7

,即

B

7, 1

。 故

AB   

7

 

1 8

。 (3) 由

11

6

x

6

,解得 x=11,即

C

11, 1

。 故

BC  

11 7 4

數據

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參考文獻

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