行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
對流及濃度效應對固化過程氣泡成長之影響(3/3)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2212-E-110-004- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 07 月 31 日 執行單位： 國立中山大學機械與機電工程學系(所) 計畫主持人： 魏蓬生 計畫參與人員： 林佳賢,黃昶誠,陳冠宇,何慶炎 報告類型： 完整報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 94 年 8 月 16 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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對流及濃度效應對固化過程氣泡成長之影響
(3/3)
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計畫類別：■個別型計畫 □整合型計畫
計畫編號：NSC 93-2212-E-110-004
執行期間： 93 年 8 月 1 日 至 94 年 7 月 31 日
計畫主持人：魏蓬生
共同主持人：
計畫參與人員：林佳賢,黃昶誠,陳冠宇,何慶炎
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□ 赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□ 出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立中山大學機械與機電工程學系
中 華 民 國 94 年 8 月 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫期中成果報告(3/3)
對流及濃度效應對固化過程氣泡成長之影響
計畫編號：NSC 93-2212-E-110-004
執行期限：93 年 8 月 1 日至 94 年 7 月 31 日
主持人：魏蓬生 國立中山大學機械與機電工程學系
計畫參與人員：林佳賢,黃昶誠,陳冠宇,何慶炎
國立中山大學機械與機電工程學系
一、中文摘要 微米加工或機械製造譬如鑄造, 銲接, 及晶體成長等過程, 工件中經常發生氣孔. 氣孔之分佈及尺寸大小, 決定了工件之美 觀,更直接影響加工品質. 雖然液體中氣泡 因過熱,或濃度過飽和,而產生之研究已臻 完整,然而氣泡因移動固液界面濃度偏析, 造成濃度過飽和而產生,其相互影響之研究 極為缺乏.本研究延伸已往成果,除以顯微 鏡觀察玻璃管內,譬如純水或其它透明之液 體,非穩態固化過程單一及多個微小氣泡在 界面成核, 成長及為固體吸收, 形成氣孔 之過程外,將更直接深入提出理論模式與現 象解釋. 由於研究範圍深且廣, 此計畫分 為三年.工作目標第一年為規劃採購設置干 涉儀以量測觀察濃度,溫度,流場分佈. 第 二年以既有之顯微鏡及數位照相機,同時連 續觀察單一及多個氣泡,因濃度過飽和而成 核, 成長,及陷於固體過程,受環繞濃度流 場分佈影響之動態變形.本研究是最後一年 為是以數值分析模擬過飽和液體在固化過 程中界面氣泡成長的流場與濃度場。本論文 結 果 將 有 助 於 了 解 及 改 善 氣 泡 生 成 之 機 構，對於科技產業將有相當大的幫助。 關鍵詞：氣泡動力學,固化過程,製造加工 產生之氣孔 二、英文摘要Manufacturing processes such as casting,
welding, and crystal growth are usually accompanied with porosities in workpieces. The distribution, size, shape, and volume fraction of porosities determine the extent of any degradation in mechanical properties. The first and second years of this three years’ project are to setup an interferometer and microscopy to measure distributions of solute gas and temperature around the bubbles and observe bubble growth on the solidification front. This study is the last year of this project. The work numerically simulates flow and concentration fields in a supersaturated liquid in front of the solidification front during freezing. The supersaturated liquid usually produces bubbles. The research is based on micro theory to analyze different phenomena of a single bubble, which involve the unsteady interactions between flow and concentration fields. The results contribute to an improved understanding of bubble dynamics generally encountered in technological industries.
Keywords: Bubble dynamics, solidification process, pores induced in manufacturing 二、緣由與目的 固化過程中，固液界面液體中氣體的濃 度高於氣體的溶解度時，就會產生氣泡。氣 泡產生形成的孔隙通常會造成應力集中和 降低材料所能承受的負載能力。水溶液在結 冰過程和細胞的生存與否亦與過飽和濃度 氣泡生成息息相關[1]。冶金術中固化過程 例如，鑄造、焊接、接合生物，及金屬塗層 等無可避免亦產生氣孔[2,3]。 氣體在固體的熔解度小於液體的溶解 度，因此固液界面的液體濃度會增加。當固 液界面上液體的氣體濃度達到過飽和狀態 此時氣泡產生，陷入固體中並愈來愈大[4]。 水結成冰不透明是因為水在結冰持續的吸 收氣體，因此冰中會有氣孔的產生 [5]。氣 體在固體的濃度 Cs 通常遠小於氣體在相鄰 固體的液體的濃度Cλ(Cs /Cλ =kp <1)，故 氣孔在結晶過程中，氣體會不斷的累積在移 動的固液界面上[6]。焊接時氣孔產生的原 因，如果氣體在液體的濃度低於液體在凝固 點的標準濃度時，就沒有氣孔的產生。氣孔 為液體中的氣體（二氧化碳、氧氣）所構成 [7]。雖然壓力驟降可能會有氣孔產生，但 固液界面氣體的溶解度的差異才是造成氣 孔的主因[8]。就熱力學而言，物質由液相 變為固相必要的前提為一小團的架構單位 出現，而此架構單位的周圍是過飽和狀態， 這一小團是架構單位出現就是氣孔發生的 原因[9,10]。 多年來，科學家已經開始研究氣體在固 化過程中影響力，持續的燃燒氧化把氣體從 金屬裡趕走並讓金屬在槽裡凝固，接著迅速 地溶解，就可以使鋁中的氣孔減少[11]。以 金屬來做到上述步驟，並且觀察，過程相當 複雜。例如以去離子水煮沸後在大氣中冷 卻，並使之結冰，依然存有很多氣孔。因此， 將水煮沸後在置於大氣中冷卻，接著使其降 溫形成有方向性的結冰，就可觀察到界面的 氣孔的長成[12]。
Vasconcellos and Beech[13]探討二氧 化碳溶於水並形成 blowhole 的現象，當在 blowhole 的 周 圍 溶 質 的 濃 度 大 於 在 blowhole wall 的濃度時，溶質會產生擴散 並造成體積的改變.固化很慢時，體積會不 斷的增大並造成 blowhole 的半徑不斷改 變。Wilcox and Kuo[14]的研究中發現氣泡 的增加會隨著結晶成長速度增加，增大周圍 的壓力，減少液體在固體上的高度。而增加 液體表面的高度也增加或減少氣泡的產生 取決於隨著溫度的增加氣體的溶解度是增 加或是減少。
Bianchi and Viskanta[15]研究在不同 的固化速度之下的氣體濃度變化情形，利用 integral analysis 來預測在不同的界面速 度之下氣體的濃度，了解在溶融材料中氣體 所允許的最大溶解度以避免氣泡的形成。固 液界面的成長是由界面相變化潛熱的吸收 與釋放，溶質雜質釋放以及表面張力與固液 幾何形狀、弧度等因素的影響結果，因此在 固化過程中常會發生界面不穩定性現象。 Shibatcaet(1978) 和 Mcffadden and Coriell(1984)人分別已經完成固化過程中 固液界面不穩定性的實驗觀察以及理論分 析[16]。在晶體成長的固化過程中，因過冷 現象引起的不規則界面形狀的理論首先由 Rutter and Chalmer(1953)提出[17]。以最 簡 單 雙 元 合 金 方 向 性 正 常 固 化 的 例 子 而 言，它的控制參數包括了固體與液體兩者的 溫度梯度，固化成長速度，以及液體內最初 的溶質濃度。固化界面會以一個與外部熱源 有關特定的速度成長，此熱源產生固液界面 區域的溶解和晶體分離。在理想的環境下， 液體的溫度梯度與晶體成長的分向是互相 平行的，所以成長中的固液界面也是為水平 的。溶質在晶體熔解的界面上如果不是被釋 放出來，就是會選擇性的合在一起，這種情 形會在一些較不常見的金屬(kp>1)才會發 生。從合金的相平衡圖，數學分析上已發展 出有關毛細效應的水平界面穩定性的判斷 準則，並得知被擾動的界面會動態發生。 本研究乃探討在固化過程中，在各種不
同條件之下，氣泡形成時其衝擊速度、濃度 分布、流場分布等相互之間的關係。 三、理論模式 L S X ξ Water Ice 圖一：氣泡示意圖 固化系統如圖 1 所示，在一管內裝入深 L 的溶液，溶液由下方開始凝固， s 為固體成 長的高度。未固化前，氣體濃度為均勻分布. 固液界面視為平面.假設固液界面上液體的 氣體濃度，與界面下固體的氣體濃度能維持 定比例關係(Cs =kpCλ). 固化系統如圖 2 所示,基本假設為 1. 非穩態，氣泡是軸對稱的，形狀為圓。 2. 氣泡是塊狀(Lumped system)。 3. 固化速度為常數。 根據上述假設,連續、動量與濃度方程式為 0 ) sin v ( sin r 1 ) v r ( r r 1 r 2 2 ∂θ θ = ∂ θ + ∂ ∂ θ (1) + − + ∂ ∂ − = − βg(C C∞)cosθ r p ρ 1 r v Dt Dvr θ2 ) r cot v 2 v r 2 r v 2 v ( 2 r 2r 2 − 2 θ θ ∂ ∂ − − ∇ ν θ θ (2) )sinθ C βg(C θ p ρr 1 r v v Dt Dvθ r θ ∞ − − ∂ ∂ − = + ) sin r v v r 2 v ( 2 2 r 2 2 θ − θ ∂ ∂ + ∇ ν + θ θ (3) C D Dt DC = ∇2 (4) 邊界條件： 氣泡表面所描述的形狀: ) t ( R r= , where R=R0 +btn (5) 圖二：氣泡示意圖 在氣泡表面的邊界條件: 在氣泡表面剪力為 λ ∂ ∂ − = ∂ ∂ t c c vr σ r µr , wherevt =vθ (6) 在氣泡表面質量守恆 in v g in n v ) ( )v v ( − =− ρ +ρ ρ where dt dR vin = (7) 在氣泡裡氣體密度ρg, ρv 是水蒸氣的密度. 方 程 式 (7) 在 氣 泡 表 面 的 法 線 向 量 速 度 r n v v = (8) 氣泡理的氣體密度是根據狀態方程式所決 定 T R P g g g = ρ , where R 2 Pg = σ (9) 氣泡理的氣體濃度與氣體壓力有關是滿足
Henry’s law c g KC P = (10) 通過氣泡表面的溶解氣體須滿足質量守恆 ) v v ( C n C D C vin g c n in g =− ρ∂∂ +ρ − ρ − (11) 接觸角表示 ψ − = ψ tan 1 dt / ds dt / sin dR (12) 在固液界面的邊界條件 dt ds ) ( ) sin v cos v ( r θ− θ = ρ−ρs ρ θ 0 cos v sin vr θ+ θ θ= ) k 1 ( C dt ds ) C r sin r C (cos D = c − p θ ∂ ∂ θ − ∂ ∂ θ − (13) 在軸對稱的邊界條件 0 vθ = vr =0 θ ∂ ∂ C =0 θ ∂ ∂ at θ=0 (14) 在最遠處邊界條件的考慮 0 x u = ∂ ∂ 0 x w = ∂ ∂ 0 x C= ∂ ∂ (15) 初始條件的定義是在穩態的臨界狀態下 0 vr = , vθ =0 ) D ) a s z ( dt ds exp k k 1 1 ( C C p P − − + − + = ∞ (16) 數值分析 要解統御方程式(1)至(4)，運用有限差分法 離散化時，必須先將物理域(physic domain) 建立格點，但是由於物理域邊界都是曲線， 此外由於氣泡會隨時間改變，因此利用座標 轉換的技巧，將物理域的曲線邊界轉變成計 算域(computer domain)的矩形，且計算域 不再隨時間變動。分別將統御方程式與邊界 條件進行座標轉換，再運用有限差分法進行 離散化，就可以對統御方程式進行求解，求 解後再將結果轉換成原本的座標系統。 座標轉換 將原本的球座標轉(r,θ,t)成計算域座標 (ξ,θ*,τ)表示式 2 0 R tD = τ , 0 R R r− = ξ , ) t , r ( φ θ = θ∗ ∞ ≤ ξ ≤ 0 0≤θ∗ ≤1 (17) 無因次轉換 根據連鎖法，流力制衡方程式可得下列 通式 * Φ * * * 22 * * 1 * * 1 * * * S J )] θ Φ (G θ ) θ * Φ * 12 G ξ * Φ * 11 (G ξ Sc[ ) Φ (V θ ) Φ (U ξ ) Φ (J t + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∗ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ (18) where ) S S S S S ( J 1 S * 2 * 1 * 0 * * t * Φ Φ Φ Φ = + + + + 2 0 * 2 0 2 0 0 * 0 0 * R J J , ) R D ( p p , D R t t , R R R , R r r , R D = ρ = = = = Φ = Φ ∗ ∗ ∗ , R D g g , C C C , ScD 3 0 2 * = = = ρ µ ∞ ∗ * s s =ρρ ρ ,t* =τ ,U=U*DR0 , D V V= * , D V V , D U U*1= 1 1*= 1 , 2 0 2 2 0 11 * 11 R sin r R q q = = θ, q =q* =sinθ 22 22 , θ = = sin 1 q q * 33 33 , ∗ ∗ ∗ ∗ ∂ φ ∂ φ = = θ = = = r θ q G G , sin r q G G 2 * 11 12 12 *2 11 11 11 G22 G22 q222 φ = = ∗ ∗ , ∞ β = C β * , GrC* =β*g* Eq. (18) leads to 當Φ*=1
0 S V U1 1 = − θ ∂ ∂ + ξ ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ (19) where ] V ) ( r U ) r ( U [ S * 2 * 2 * * * * 2 * * θ ∂ φ ∂ φ + φ θ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ + ∂ φ ∂ θ ∂ ∂ φ θ − = ∗ 當Φ*=v*r * v * r 22 r 12 r 11 r 1 r 1 r * r S J )] θ v (G θ ) θ v G ξ v (G ξ Sc[ ) v (V θ ) v (U ξ ) v (J t + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (20) where ) S S S S S ( J 1 S r t vr0 vr1 vr2 * * v = ∗+ ∗+ ∗ + ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ + ξ ∂ ∂ = r 2 r * t J v t v J dt dR S ] v V ) ( r v U ) r ( v U [ S * 2 * r * 2 * * r * * * 2 * r * * θ ∂ φ ∂ φ + φ θ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ + ∂ φ ∂ θ ∂ ∂ φ θ − = ∗ )] v θ v 1 θ( sin r ) θ v r φ θ ξ v ( θ cos θ sin [r dt da )] θ cos θ sin v θ sin (v q θ v q 1 ) θ v 1 (v Sc[g 1)cosθ (C Gr J ) θ p r θ ξ p ( J r v J S * θ * * r 2 * * * r * 2 * r 2 * * * θ 2 r 33 θ 22 θ r 22 * * C * 2 * * 2 θ vr0 − ∂ ∂ φ − ∂ ∂ ∂ φ ∂ − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ φ + ∂ ∂ φ + − − + ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ − ∂ ∂ − = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ )] v r q v q ( r [ Sc S r 2 11 r 11 2 vr1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − = ) v q ( Sc S r * 3 22 vr2 ∗ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ θ ∂ φ ∂ φ = 當Φ*=v*θ * v * θ 22 θ 12 θ 11 θ 1 θ 1 θ * θ S J )] θ v (G θ ) θ v G ξ v (G ξ Sc[ ) v (V θ ) v (U ξ ) v (J t + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (21) where ) S S S S S ( J 1 S*vθ = * ∗t + ∗+ ∗vθ0 + ∗vθ1 + ∗vθ2 ∗ ∗ θ ∗ ∗ ∗ θ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ + ξ ∂ ∂ = J v t v J dt dR S 2 * t ] v V ) ( r v U ) r ( v U [ S * 2 * * 2 * * * * * 2 * * * θ ∂ φ ∂ φ + φ θ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ + ∂ φ ∂ θ ∂ ∂ φ θ − = θ ∗ θ θ )] v θ v 1 θ( sin r ) θ v r φ θ ξ v θ( cos θ sin [r dt da θ)] cos v θ cos θ sin (v q θ v q 1 ) θ v 1 (v Sc[g 1)sinθ (C Gr J ) θ p 1 ( r J r v v J S * r * * θ 2 * * * θ * 2 * θ 2 * * * 2 θ r 33 r 22 r θ 22 * * C * * * θ r * vθ0 + ∂ ∂ φ − ∂ ∂ ∂ ∂ φ − ∂ ∂ + + + ∂ ∂ φ − ∂ ∂ φ − − − − ∂ ∂ φ − − = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ )] v r q v q ( r [ Sc S 2 11 11 2 v 1 ∗ ∗ θ ∗ ∗ ∗ θ ∗ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − = θ ) v q ( Sc S * 3 22 v 2 ∗ ∗ θ ∗ ∗ θ ∂ ∂ θ ∂ φ ∂ φ = θ 當Φ* =C*
* c * 22 12 11 1 1 * S J ) θ C (G θ ) θ C G ξ C (G ξ ) C (V θ ) C (U ξ ) C (J t + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (22) where ) S S S S S ( J 1 S*c = * *t + *+ c*0+ *c1+ *c2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ + ξ ∂ ∂ = J C t C J dt dR S 2 * t ] C V ) ( r C U ) r ( C U [ S * 2 * * 2 * * * * * 2 * * * θ ∂ φ ∂ φ + φ θ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ + ∂ φ ∂ θ ∂ ∂ φ θ − = ∗ )] C 1 ( sin r ) C r C ( cos sin r [ dt da S * * 2 * * * * 2 * 2 * * * * 0 c θ ∂ ∂ φ θ − θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ θ θ = ) C r q C q ( r S 2 11 11 2 1 c ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − = ∗ ∗ ∗ θ ∂ ∂ θ ∂ φ ∂ φ = 223 * * 2 c q C S 建立格點 本文中在計算域的格點劃分方式，是採取非 等間距式，在兩相鄰間的距間成一個固定的 比例。在靠近氣泡附近與固液界面變化及影 響較大，所以格點劃分上比較密集。如此一 來可以不用畫分太多格點以減少電腦的運 算時間，也不至於影響其準確性的問題。 統御方程式的差分方程式的建立 由於採用的是非等間距格的原因，在進行統 御方程式的離散化時，微分項的差分結果與 等間距的差分結果有所不同。 考慮在計算座標的ξ方向，任取相鄰兩間 圖三 計算域的格點圖 圖四 物理域的格點圖 距，分別為 W,P,E 三點，其中 W 與 P 點間的 間距為∆ξ1，E 與 P 點間的間距為∆ξ2.方程 式(19)至(22)整理可得 ) sin q q ( Sc t J a a a a a 2 * 33 * 22 * * S N W E Pr θ + + ∆ + + + + = ) cos q q ( Sc t J a a a a a 2 * 33 * 22 * * S N W E P θ + + ∆ + + + + = θ
∑
+ = nb *rnb r Pr * ra a v Av v ) p r p ( J* * 2 * ** θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ − or) p r p ( a J a Av v a v * * * 2 * Pr * Pr r * rnb nb * r θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ − + =
∑
(23) 同理可得 * * * P * P * nb nb * p r a J a Av v a v θ ∂ ∂ φ − + = θ θ θ θ θ∑
(24) 因此 ) p r p ( J vˆ v * * * 2 * * r * r * r θ ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ θ − ξ ∂ ∂ γ − = (25) * * * * * * p r J vˆ v θ ∂ ∂ φ γ − = θ θ θ (26) where Pr 1 a r = γ , θ θ γ P a 1 = Pr * * ˆ a Av v a vr nb rnb r∑
+ = , θ θ θ θ P nb nb a Av v a v =∑
+ * * ˆ . 將方程式(25)，(26)代回(19)∑
+ = * * * P nb nb P PPP a P b a (27) 計算流程 由於能量方程式與速度有所相關，因此在求 解中，動量與能量方程式一起解，以節省運 算時間，並可由速度來判斷濃度分佈是否合 乎物理意義。計算程序為 1.給定氣泡形狀的參數 R,s0,固化速度 U，和 材料的相關參數 Re , , Cg , kp , k , Grc , D , Sc , , s β ρ ρ 等。 2.建立計算域、物理域。 3.給予猜值，壓力、速度、濃度。 4.利用 S.O.R.求解動量方程式、濃度方程 式、壓力方程式。 5.得解之值當下一次時間的猜值 6.回到步驟 3.再計算下一個時間。 7.當速度、壓力求解結束，最後再去求解流 線方程式（驗證項）。 四.結果與討論 (1) 本文是採用 NAPPLE 算則，可以適用在 交 錯 性 與 非 交 錯 性 網 格 系 統 。 早 期 研 究 Patanker and Spalding 在 1972 年發表的 SIMPLE 數值計算法則雖然成功的以壓力場 的計算取代原有的連續方程式，可是壓力解 的收斂緩慢困難，因此改以 NAPPLE 法則， 壓力場直接由壓力聯結方程式求得，而不需 壓力修正方程式，此方式也較為簡易。 (2) 在比對中如圖十一驗證圖所示，給予 條件：接觸角 151°，H=5，在此條件下應會 產生漩渦。在本程式執行中，時間 10-6 加上 固 化 速 度 10-1 m/s ∼ 10-2 m/s （ RE ＝ 100 — 1000）所給定的範圍小，此時會有漩渦出 現，但收斂上會有問題，因而變動其格點。 相對地，當時間越小或固化速度越小，其所 執行的時間就必須更長、而範圍就需大，因 為其變化速度慢。 (3) 圖五在第一次 TIME STEP 裡在最遠處之 所以會翹起來，原因是初始速度是靜止狀 態，由於瞬間下來的速度太大，為了達到平 衡，會造成逆向壓力梯度(couette flow)剪 力方向成反向。 圖五 第一次時間下的速度圖 (4) 由圖六的剪力圖可看出合理的物理圖 形，當角度大於 90°時其剪力會有反流現 象，原因來自於逆向壓力所帶動之力。圖六 剪力圖 (5) 在圖八的驗證壓力圖上，所給的接觸 角止到ηc =1，但在比對上接觸角是 0.5， 所以圖七的壓力圖與圖八驗證壓力圖有所 差異。 圖七 壓力圖 圖八 驗證壓力圖(參考論文[36]) (6) 在速度流線上所給定的範圍上有所誤 差，而其比對上所給的參數未能達到比對上 的要求，雖然圖九速度圖在分析上都符合物 理意義，可是無實驗來證明，因此需靠驗證 方式來證明。 圖九 速度圖 （7）圖十是壓力、速度求解完成後再計算 流線方程式所得的圖形，所設條件，在最遠 處給予速度，氣泡表面與固液界面流線為
零，因為受氣泡影響速度向外流出，根據質 量守恆原理，有流進就會有流出，所以圖形 分佈情形是符合物理現象。 圖十一是參考論文裡的圖形，目的是與本研 究所執行出來的流線做比對之用。 圖十 流線圖 圖十一 驗證流線圖(參考論文[36]) 圖十二 張力分佈圖 (10) 濃度分佈討論
圖十三 濃度初始條件分佈情形 圖十三是氣泡隨時間變化的初始條件分佈 情形。 當無氣泡時，濃度（雜質）都會聚集在固液 界面上成一直線而達到穩態，若有氣泡生成 時，固液界面會移動，其濃度如同速度場會 受氣泡干擾而吸附在氣泡表面與固液界面 上。 (11) 驗證的內容是對流項忽略 Re＜＜1，因 此在比對上 Re 所給的參數值需要很小，因 為本文的研究包含對流項與傳導項，所以給 予很小的 Re 值，這樣對流項才會忽略不計。 (12) 在驗證過程中，條件是 steady，本文 所探討的是 unsteady，因此在變化過程中需 要 很 久 時 間 ， 讓 它 從 unsteady 變 化 steady，因此Δt 項是主控項，目的在於收 斂到 steady。 五.結論 1. 本研究提供了一個了解環繞氣泡周圍流 場變化的模式。根據發表過的論文來做驗 證，經由驗證方式來證明本探討的數學模式 是符合物理意義的。 2. 在比對中如驗證圖所示，經由圓柱系統 轉至球系統座標，以及在物理域上的不同， 在比較上花了很多時間，雖然比對上的條件 都已ㄧ致，但還有問題存在，如圖形上給定 的範圍 H=5 在圖形上有誤，不可能為 10，兩 者的物理圖形是不同，其中是否有問題存在 這是需要探討的。 3. 在驗證上發現兩點差別，第一驗證圖是 由無氣泡與有氣泡所組合成的圖形，而本文 研究只探討有氣泡時的狀況。第二在最遠處 驗證圖是水平，本研究是雙曲線這就是兩點 最大不同處。所以研究過程中，在改變範圍 上有很大空間，因為範圍越大，越接近水 平，因此只要能驗證最遠處的那條流線，其 內部的位置應該就能比對。 參考文獻
[1] G. Cipp, CH, Korber,Investigation of the behavior of dissolved gases during freezing, CRY. BIOLOGY 24, p489-503(1987)
[2] W. Kurz and D. J. Fish, Fundamentals of solidification, 3rd,1989 Chapter1.
[3] C. D. Sulfredge and L. C. Chow, void formation in radial solidification of Cylinders, 114 p32-39(1992).
[4] P.S.Wei, Shape of a pore trapped in solid during solidification, International Journal of Heat and Mass Transfer 43, p263-280(2000). [5] A.E. Cartr, Air bubble in ice Proceedings of the physical society(London), 77, p757-768(1960).
[6] Ya. E.. Geguzin and A.S. Deyuba, Gas evolution and capture of gas bubbles at the crystallizations front when growing crystals from the melt, Sov. Phys. Crystallogr 22 p197-199(1977).
[7] G..M. Grigorenko, Formation of pores in welds, Avt.Svarka 10,p13-17(1970).
[8] M. V. A. Bianchi and R. Viskanta, Gas segregation during solidification processes. Int. J. Heat Mass Transfer 40, p2035-2043(1997). [9] Christensen, R., 1970,Crystal-Ambient Phase Equilibrium,chapter2, pp.63-93.
[10] P. E. A. Stercing, Phase trams formations in metals and alloys chapter 4, pp.186-197. [11] L. W. Eastwood, Gas in light alloys,Chapter1, Wiley
[12] B. Chalmers, How water Freezes, Scientific American 200 p114-122 (1958)
delevelopment of blowholes in the ice/water/carbon dioxide system. Journal of crystal growth 28,85-92(1978).
[14] W.R. Wilcox, V.H.S. Kuo. Gas bubble nucleation during crystallization. J. Crystal Growth .19,211-228(1973).
[15] M. V. A. Bianchi and R.Viskanta. Gas segregation during solidification processes. Int. J. Heat Mass Transfer.40,2035-2043(1997). [16] K. Shibate ,T. Sato, and G. Ohira, 1978, The Solute Distributions in Dilute Al-Ti Alloys during Unidirectional Solidification, J. Cryatal Growth, rol.44, p435-445
[17] Rutter, J. W., and Chalmer, B., 1951, A Prismatic Sabstructur Formed during Solidification of Metals, Canadian J. Physics, vol, 31 p15-39
[18] V. R. Voller, and L. Shadabi. Enthalpy method for tracking a phase change boundary in two dimension. Int. Comm. Heat Mass Transfer.11,239-249(1984).
[19] V. R. Voller. A fixed grid numerical modeling methodology for convection -diffusion mushy region phase-change problems. J. Heat Mass Treansfer, 30,1709-1719(1987).
[20] S. E. Hibbert, N. C. Markatos and V. R. Voller. Computer simulation of moving- interface,convective,phase-change processes. Int. J. Heat Mass Transfer, 31, P1785-1795(1988).
[21] C. Prakash and V. Voller. On the numerical solution of continuum mixture model equations describing binary solid-liquid phase-change. Numerical Heat Transfer Part B. 15,171-189(1989).
[22] S. L. Lee and R. Y. Tzong, Artifical pressure for pressure-linked equation. J. Heat Mass Transfer. 35,2705-2716(1993).
[23] Hermann Schlichting. Boundary layer theory 7th(1979)
[24] B. J. Noye. Proceedings of the 1st Boundary Element Technology Conference,
South Australian Institute of Technology, Adelaide, Australia, November 1985.
[25] A.E.Carte,. Air bubble in ice Proceedings ofthe physical society (London) 77,757-768(1960).
[26] G. Cipp and C. H. Korber, Investigation of the behavior of dissolved gases daring freezing, CRY. BIOLOGY24, 489-503(1987). [27] C.D. Sulfredge and L.C.Chow. Void formation in radial solidification of cylinders, 144,31-39(1992).
[28] P.S.Wei,. Shape of a pore trapped in solid during solidification , International Journal of Heat and Mass Transfer 43,263-280(2000). [29] Ya. E.Gefuzin, and A.S. Dzyub, Gas evolution and capture of gas bubbles at the crystallization front when growing from the melt.Sov. Phys. Crystallogr.22,197-199(1977). [30] M. V. A. Bianchi and R. Viskanta, Gas segregation during solidification processes. Int. J. Heat Mss Transfer 40,2035-2043(1997). [31] M.M. Rahman et al.A pressure-correction method for solving fluid flow problems on a collocated grid Numerical Heat Transfer. Part B.63-84(1997).
[32] B. Lewis and J.C. Anderson, Nucleation and Growth of Thin Films. Academic Press. New York,1978.
[33] S. van Stralen and R. Cole Boiling Phenomena, 2 vol Hemisphere Pub. New York,1979.
[34] V. P. Carey Liquid-Vapor Phase Change Phenomena, Taylor and Francis, New York,1992.
[35] S. V. Patankar Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere, New York,1980. [36] P. S. Wei and C. Y. Ho., 2002, Analytical solution of a creeping flow impinging on a spherical cap-shaped bubble on a flat solid surface, Metall. Trans. B, Vol. 33, pp. 235
[37] C. Flemings, 1970, Solidification Processing, Materials Science and Engineering Series.
