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99 5 四技二專 數學 C 卷解析

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Academic year: 2021

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99-5 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十九學年四技二專第五次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

99-5-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D B A A C A B C B D C C B A B D C A C A D D A D B 1. ∵DC平分∠ACB,∴ 5 8 = = AC BC DA BD 則 D 點為BA上之內分點,由內分點公式得 D: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + − + − ⋅ = − = + − + ⋅ = 13 41 5 8 ) 2 ( 8 ) 5 ( 5 13 18 5 8 ) 6 ( 8 6 5 y x

2. sin(π+θ)=−sinθ, π θ) sinθ 2 3 cos( − =− θ θ) tan tan(− =−

∴原式=−tanθ−sinθ−(−sinθ)=−α

3. 令a+b=13kb+c=10kc+a=15k 解聯立得⇒a=9kb=4kc=6k ∴ 108 101 2 cos 2 2 2 = − + = ac b c a B 4. ∵ ⊥ ⇒ 0 ……(1) ∵ 代入(1)整理得θ = 45° 5. 2 3 2 2 3 1 cos sin 2 1 ) cos sin ( θ− θ 2 = − θ θ= − = − 2 1 3 4 3 2 4 2 3 2 cos sinθ− θ = − = − = − 6. 根據餘式定理,令x=−1代入 )] ( ) 4 3 ( ) ( ) 5 2 [( xf x + x2− h x ,所得之值即為所求 即[(−2−5)f(−1)+(3−4)h(−1)]=(−7)f(−1)−h(−1) 又f(−1)=−8,h(−1)=−11,故所求為56+11=67 7. ) 12 sin 12 (cos 3 1 π π i Z = + , ) 4 sin 4 (cos 6 2 π π i Z = + (A) 3 12 3 4 12 ) ( 1 2 π π π π π = + = + = × Z Z Arg (B) Z1× Z2 =3×6=18 (C) Z Z i ) 9 9 3i 3 sin 3 (cos 18 2 1× = + = + π π (D) Z1+ Z2 ≠8 8. ∵ 3 4 sin 3 4 cos 2 3 2 1 π π i i Z =− − = + 3 4 sin 3 4 cos ) 3 4 sin 3 4 (cos π +i π n = nπ +i nπ ⇒ ∵ n i) 2 3 2 1 (− − 為實數⇒ n =0⇒n 3 4 sin π 最小值為 3 9. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = = ⇒ = 1 4 4 0 1 4 x x x x ;令兩交點P(0,1)、Q(1,4) 10 3 12+ 2 = = PQ 10. 原式 81 1 log ) 81 79 7 5 5 3 3 1 ( log3 × × × × = 3 = LL 4 3 log3 4=− = − 11. ∵ ⎩ ⎨ ⎧ − = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = + = = + = 3 50 22 24 23 9 1 1 25 1 10 d a d a a d a a 0 3 3 50 ) 1 ( 1+ − = − + < = ⇒an a n d n⇒ n>17.~,∴n=18 12. 2 1 1 2 ) 1 2 ( 1 2 2 2 1 100 100 99 2 = − − = + + + + = L k 又log2100=100×log2=100×0.301=30.1 ∴log2100首數為 30,則2100為 31 位數 而2100−1亦為 31 位數 13.

∞ = ∞ = + − + = + + 0 0 ] ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 [ ) 3 )( 2 ( 1 n n n n n n ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 4 1 3 1 3 1 2 1 + − + + + − + − = n n L

∞ = = + − = 0 2 1 ] ) 3 ( 1 2 1 [ n na+ b=3 14. 設A( p,0)、B( q0, ),∵mAPmBP=−1 5 2 1 2 1 2 1 + − = ⇒ − = − − ⋅ + − ⇒ q q p p ∴ 16 25 ) 4 5 ( ) 5 2 ( 2 1 2 1 2 2 + − − = + − = = ΔOAB pq p p p 16 25 ) (Δ max = ⇒ OAB

(2)

99-5 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 15. 令 L:3x+2y+k=0⇒(1,2)代入得k=−7 L: + =1⇒ 7 2 7 3 y x ∴ 7 1 = − b a 16. (a) 2x−7 >5⇒x<1或x>6 (b) 2 17 2 3 10 7 2 10 10 7 2x− ≤ ⇒− ≤ x− ≤ ⇒− ≤x≤ 由(a)(b)得 1 2 3 < ≤ − x 或 2 17 6< x≤ ∴x=−1,0,7,8四個整數 17. 圓心P(2,0),則AP= (4−2)2+32 = 13>2(半徑) ∴A 在圓外;且自 A 所作切線段長 3 4 13 2 2 = − = − r AP 又直線5x− y12 +16=0過 A,且與圓心 P 之距離 r = = − + + = 2 ) 12 ( 5 16 10 2 2 ∴是圓 C 之切線 故僅(C)不真(∵ 13<4) 18. 令直線方程式為y=mx, ⎩ ⎨ ⎧ = + − = ) 2 ( 1 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 2 L L L L y x mx y 由(1)、(2)式聯立得(m2+4)x2−8x+3=0 ∵直線與橢圓只相交於一點,∴ x 只有一解 故判別式 3 2 0 3 ) 4 ( 4 ) 8 (− 2− m2+ ⋅ = ⇒m=± 19. 若一數為 5 的倍數則其個位數為 0 或 5 (1) 末位排“0”,□□□0,則有P35 (2) 末位排“5”,□□□5 因首位不得為 0,故排法計有P14× P24×1 ∴總共排法依加法原理 1 ! 2 ! 4 4 ! 2 ! 5 1 4 2 4 1 5 3 +P ×P × = + × × P 108 48 60 3 4 4 3 4 5× × + × × = + = = 種 20. 設一般項為 12(2 3)12− (−1) ⇒36−3r+(−r)=0 x x Cr r r 1760 ) 1 ( 8 ) ( ) 2 ( 9 912 9 1 3 3 12 9 − ⇒ ⋅ ⋅ − =− ⇒ = ⇒r C x xC 21. 已 知 9 1 ) ( 7 1 ) ( 4 1 ) (A = P B = P C = P 、 、 ; 三 人 各 射 一 箭,至少一人射中紅心的機率,即一人射中或二人、 或三人均射中紅心的機率= 1−(三人均未射中紅心的 機率) 7 3 )] 9 1 1 ( ) 7 1 1 ( ) 4 1 1 ( [ 1− − × − × − = = 22. 幣值mi 機率pi 期望值 i i p m E= × 2 元 ⎩ ⎨ ⎧ → → 1 1 1 1 8 3 120 45 16 2 10 2 = = C C 4 3 8 3 2× = 10 元 ⎩ ⎨ ⎧ → → 1 5 1 5 12 1 120 10 16 2 5 2 = = C C 6 5 12 1 10× = 6 元 ⎩ ⎨ ⎧ → → 1 1 1 5 12 5 120 50 16 2 5 1 10 1 = = C C C 2 5 12 5 6× = 11 元 ⎩ ⎨ ⎧ → → 1 1 1 10 12 1 120 10 16 2 1 1 10 1 = = C C C 12 11 12 1 11× = 15 元 ⎩ ⎨ ⎧ → → 1 5 1 10 24 1 120 5 16 2 1 1 5 1 = = C C C 8 5 24 1 15× = 期望值總和(

mi×pi) 8 45 8 5 12 11 2 5 6 5 4 3+ + + + = 23. ) 1 ( ) 3 ( lim log ) 1 )( 3 ( ) 3 )( 3 ( lim log 3 3 3 3 + + = + − + − → → x x x x x x x x 2 log 1 2 3 log3 = − 3 = 24. 函數對x 微分 m 3x2 dx dy= =x=1代入得斜率m=3 ∴y−3=3(x−1)⇒3xy=0→切線方程式 → = − + ⇒ − − = − ( 1) 3 10 0 3 1 3 x x y y 法線方程式 與 x 軸之交點為B(0,0)、C(10,0) ∴ 15 3 0 0 3 1 10 0 1 2 1 = = ΔABC a 25. ( 1) 0 0,1 3 4 2 = ⇒ = − ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = x x x x y x x y 如下圖右所示之交集區域,由定積分得 6 1 3 ) 4 ( 1 0 1 0 2+ =

x x dx xdx

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