97指考數學甲

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九十七學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，請勿

在答案卡上使用修正液。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請在規定之欄位以較粗的黑色或藍色原子

筆、鋼珠筆或中性筆作答，並標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（ 一 ）

單選 題及 多選 題： 只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到

，以及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔

7 4 分 ）

一 、 單 選 題 （

1 2 分 ）

說明：第

1 至 2 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題

答對得

6 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣 1.5 分，倒扣到本大題之實得分數為零

為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 已知正整數 n 可以寫成兩個整數的平方和。試問 n 除以 8 的餘數 不可能 為以下哪一選 項 ？ (1) 1 ( 2) 2 ( 3) 4 ( 4) 5 ( 5) 6 2. 在 與水 平面 成 10 _{的 東 西 向 山 坡 上 ， 鉛 直 （ 即 與 水 平 面 垂 直 ） 立 起 一 根 旗 竿 。 當 陽 光} 從 正 西 方 以 俯 角 60 _{平 行 投 射 在 山 坡 上 時 ， 旗 竿 的 影 子 長 為 11 公 尺 ， 如 下 圖 所 示} （ 其 中 箭 頭 表 示 陽 光 投 射 的 方 向 ， 而 粗 黑 線 段 表 示 旗 竿 的 影 子 ） 。 試 問 旗 竿 的 長 度 最 接 近 以 下 哪 一 選 項 ？ (1) 19. 1 公尺 ( 2) 19. 8 公尺 ( 3) 20. 7 公尺 ( 4) 21. 1 公尺 ( 5) 21. 7 公尺 參 考 數 值 ： sin10_0.174

， sin 200.342， cos100.985， cos 200.940， 3 1.732 。

二 、 多 選 題 （

4 8 分 ）

60∘

60∘

東

西 10

∘

說明：第

3 至 8 題，每題各有 5 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，劃記在

答案卡之「解答欄」。每題

8 分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得 1.6 分，每

答錯一個選項，倒扣

1.6 分，完全答對得 8 分；整題未作答者，不給分亦不扣分。在

備答選項以外之區域劃記，一律倒扣

1.6 分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

3. 設 A 為坐標平面上代表旋轉某個角度的二階方陣，且已知 6 1 0 0 1 A _{ } _   。 試 問 A 可能 是 以 下 哪 些 選 項 中 的 方 陣 ？ (1) 0 1 1 0        ( 2) 1 3 2 2 3 1 2 2              (3) 3 1 2 2 1 3 2 2              ( 4) 5 5 cos sin 3 3 5 5 sin cos 3 3      _            (5) 5 5 cos sin 6 6 5 5 sin cos 6 6           _      4. 甲、乙、丙三人參加一投擲公正銅板的遊戲，每一局三人各擲銅板 1 次；在某局中， 當 有 一 人 投 擲 結 果 與 其 他 二 人 不 同 時 ， 此 人 就 出 局 且 遊 戲 終 止 ； 否 則 就 進 入 下 一 局 ， 並 依 前 述 規 則 繼 續 進 行 ， 直 到 有 人 出 局 為 止 。 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ (1) 第一局甲就出局的 機率是 1 3 (2) 第一局就有人出局的 機率是 1 2 (3) 第三局 才有人出局的 機率是 3 64 (4) 已知到第十局 才有人出局，則甲出局的 機率是 1 3 (5) 該遊戲在終止前，至少 玩了六 局的機率大於 1 1000 5. 某 人 進 行 一 實 驗 來 確 定 某 運 動 之 距 離 d 與 時 間 t 的 平 方 或 立 方 成 正 比 ， 所 得 數 據 如 下 ：

為 探 索 該 運 動 的 距 離 與 時 間 之 關 係 ， 令 xlog2t，ylog2d ， 即 將 上 述 的 數 據 ( , )t d 分 別 取 以 2 為 底 的 對 數 變 換 ， 例 如 ： (2 , 53.65) 變 換 後 成 為 (1, 5.74) 。 已 知 變 換 後 的 數 據 ( ,x y1 1), ( ,x y2 2), , ( , x y9 9) 之 散 佈 圖 及 以 最 小 平 方 法 所 求 得 變 數 y 對 變 數 x 的 最 適 合 直 線 （ 或 稱 迴 歸 直 線 ） 為 y a bx  ， 如 下 圖 所 示 ： 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ (1) 若 d14.88 ， 則 3 log 2d4 (2) x 與 y 的相關係 數小於 0.2 (3) 由上圖可以 觀察出 b2.5 (4) 由上圖可以 觀察出 a2 (5) 由上圖可以確定此 運動之距離與時間的立方 約略成正比

6. 設 n 為 正 整 數 ， 方 程 式 _x2_{2x n  的兩 根為0} n a 與 b ， 且n an bn。 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ (1) a_n 對所有 n 皆成立0 (2) a_n b_n 對所有 n 皆成立2 (3) bn1 bn 對 所 有 n 皆 成 立 (4) _lim n n1 ₁ n a a n    (5) lim_n an bn 2 n    7. 設 f x 表 示 實 係 數 多 項 式 函 數'( ) f x 的 導 函 數 ， 已 知( ) y f x'( ) 的 圖 形 是 一 個 通 過 點 (1 , 0) 和點 (2 , 0) 且開口向上的拋物線。試問下列哪些選項是正確的？ (1) f x 一定是三次多項式( ) (2) f x 在 1( )   的範圍內必為遞增x 2 (3) f x 一定恰有兩個極值( ) (4) f x( ) 0 一定有三個實根 (5) ( ) 0f x  在 1  的範圍內一定有實根x 2

8. 在坐標平面上，設 拋物線  通 過 點 (8 , 4) ， 且 其 對 稱 軸 為 直 線 x  。試問下列哪些2 0 選 項 是 正 確 的 ？ (1) 若拋物線  的 頂 點 坐 標 為 (2 , 1) ， 則 其 焦 點 坐 標 必 為 (2 , 4) (2) 若拋物線  的焦點坐標為 (2 , 12) ，則其 頂點坐標必為 (2 , 3) (3) 若拋物線  也通過點 (10 , 11) ，則其 準線方程式必為 y 6 0 (4) 直線 x  上每個點都可能是拋物線  的頂點2 0 (5) 直線 x  上每個點都可能是拋物線  的焦點2 0

三 、 選 填 題 （

1 4 分 ）

說明：A、B 兩題為選填題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（9 – 14）內。每

一題完全答對得

7 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A. 用大小一樣的鋼珠可以 排成正三角 形、正方 形與正五 邊形陣列，其 排列的規律如下圖 所 示 ： 正五邊形陣列 正方形陣列 正三角形陣列 4 每邊 個鋼珠 3 每邊 個鋼珠 2 每邊 個鋼珠 1 每邊 個鋼珠 已 知 m 個 鋼 珠 恰 好 可 以 排 成 每 邊 n 個 鋼 珠 的 正 三 角 形 陣 列 與 正 方 形 陣 列 各 一 個 ； 且 知 若 用 這 m 個 鋼 珠 去 排 成 每 邊 n 個 鋼 珠 的 正 五 邊 形 陣 列 時 ， 就 會 多 出 9個鋼珠。則 n  ， m  。 B. 若 空 間 中 一 球 面 S 與 兩 平 面 z 及4 z 相交 的圓 面積 皆為 36 ， 則 S 與平 面8 z7

相 交 的 圓 面 積 為  。

─ ─ ─ ─ ─ ─ ─以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔

2 6 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號

(一、二)

與子題號((1)、(2))，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題前

一、( 12 分) 設 ( )p x 為三次實係數多項式函數，其圖形通過 (1, 3) , ( 1, 5) 兩 點。若 p x 的圖( ) 形 在 點 (1, 3) 的 切 線 斜 率 為7，而在 點 ( 1, 5) 的 切 線 斜 率 為  ，試求 ( )5 p x 。 二 、 設 ABC 的 三 高 分 別 為 AD 、6 _{BE 、4} CF 。3 ( 1) ( 6 分) 試證： ABC 是 一 鈍 角 三 角 形 。 ( 2) ( 8 分) 試求 ABC 的 面 積 。