98指考數學甲

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九十八學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，請勿

在答案卡上使用修正液。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請在規定之欄位以較粗的黑色或藍色原子

筆、鋼珠筆或中性筆作答，並標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）單選題只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到，以及 6，7，8，9，0 等格

子；多選題只用

1，2，3，4 等四個格子，而不需要用到，以及 5，6，7，8，9，0

等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

0 -3 1 3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔

7 4 分 ）

一 、 單 選 題 （

1 8 分 ）

說明：第

1 至 3 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題

答對得

6 分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣 1.5 分，倒扣到本大題之實得分數為零

為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 數 學 教 科 書 所 附 的 對 數 表 中 ， log 4.34 0.6375 、log4.350.6385。 根 據log4.34和

35 . 4 log 的 查 表 值 以 內 插 法 求 log4.342， 設 求 得 的 值 為

p

， 則 下 列 哪 一 個 選 項 是 正 確 的 ？ (1) (0.6375 0.6385) 2 1   p (2) p0.20.63750.80.6385 (3) p0.80.63750.20.6385 (4) p 0.63750.002 (5) p 0.63850.002 2. 擲一均勻硬幣，若連續三次出現同一面就停止 。設：

a

為 恰 好 投 擲 三 次 停 止 的 機 率 ； b 為在第一次是反面的情況下，恰好在第四次停止 的條件機率； c為 在 第 一 、 二 次 都 是 反 面 的 情 況 下 ， 恰 好 在 第 五 次 停 止 的 條 件 機 率 。 則 下 列 哪 一 個 選 項 是 正 確 的 ？ (1) a b c  (2) a b c  (3) a b c  (4) a b c  (5) a b c  2

-3. 複 數 ₁ cos sin 4 4 z   i  、 ₂ cos sin 3 3 z   i  與 它 們 的 乘 積 z z 在 複 數 平 面 上 對 應 的 點 分 別1 2 為P 、 Q 與 R 。則 QPR 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 ？

(1)

12 

(2)

10 

(3)

9 

(4)

8 

(5)

6 

二 、 多 選 題 （

3 2 分 ）

說明：第

4 至 7 題，每題各有 4 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，劃記在

答案卡之「解答欄」。每題

8 分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得 2 分，每答

錯一個選項，倒扣

2 分，完全答對得 8 分；整題未作答者，不給分亦不扣分。在備答

選項以外之區域劃記，一律倒扣

2 分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4. 設 a , b 為實數。如果空間中某一平面通過 ( ,0,0)a , (0, ,0)b , (0,0,3) , (1,2,3) 這些點，則下列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ (1) a , b 有可能都是正數 (2) a , b 有可能是一個正數一個負數 (3) a , b 有可能都是負數 (4) a , b 有可能只有一個等於0

5. 在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為 (0,0,0) 、(1,0,0) 、(1,1,0) 、(0,1,0) 、(0,0,1) 、 (1,0,1) 、 (1,1,1) 與 (0,1,1) 。若 A 、 B 分別為此正立方體兩稜邊的中點，則 向 量 AB 可能為下列哪些選項？ (1) (1,0,0) (2) ( ,0,0)1 2 (3) ( ,0,1)1 2 (4) (0, 1, 1) 2 2   6. 設y f x( )是 一 個 實 係 數 四 次 多 項 式 ， 其 函 數 圖 形 在 ( 1, 2) 和 (1, 2) 各 有 一 個 反 曲 點 ， 且 知 在 ( 1, 2) 和 (1, 2) 此 函 數 圖 形 切 線 的 斜 率 分 別 為1 和 1 ，則下列哪些選項是正確的？ (1) x 是1 f x( )的 因 式 (2) f x( )的 常 數 項 不 等 於 零 (3) f(  x) f x( ) (4) ( )f x 的首項係數是 1 4

-7. 已 知 丟 某 枚 銅 板 ， 其 出 現 正 面 的 機 率 為 p ， 出 現 反 面 的 機 率 為 (1p)， 將 此 枚 銅 板 丟 擲 n 次 ， 在 丟 擲 過 程 中 ， 正 面 第 一 次 出 現 時 ， 可 得 獎 金 1 元， 正面 第二 次出 現時 ，可 再 得 獎 金2 元，正面第三次出現時，可 再得獎金 3 元，以此 類推。試問下列哪些選項 是 正 確 的 ？ (1) 若 n 次丟擲中出現正面 k 次，總共得到 獎金1₍ 2 ₎ 2 k k 元 (2) 丟擲銅板第二次之 後，累計得獎金 1 元的機率為_{2(p p} 2₎ (3) 總共得到 獎金 2 元的機率為 ( 1) 2_{(1 )} 2 2 n n n p p    (4) 總共得到 獎金1₍ 2 ₎ 2 n n 元 的 機 率 為 1 ( n n) n p  _p

三 、 選 填 題 （

2 4 分 ）

說明：

A 至 C 題為選填題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（8–15）內。每一

題完全答對得

8 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A. 在 A 、 B 兩支旗竿底端 連線段中的某一點 測得 A 旗竿頂端的仰角為 29_{、B 旗竿 頂端的} 仰 角 為 15_{。在 底 端 連 線 段 中 的 另 一 點 測 得A 旗竿 頂端的仰角 為 26}_{、B 旗竿 頂端的仰角} 為 19_{。 則 A 旗竿高 度和 B 旗竿高 度的 比值約為（四捨五入到 小數點 後第一位）。}  15 ₁₉ ₂₆ ₂₉ cot 3.73 2.90 2.05 1.80

B. 對矩陣 4 9 3 7 a b      作 列 運 算 若 干 次 後 得 到 1 0 1 0 1 1      ， 則 ( , )a b  ( , )。 C. ABC為 邊 長 為 5 的 正 三 角 形 ， P 點 在 三 角 形 內 部 ， 若 線 段 長 度 PB 且4 PC ， 則3 cos ABP  （ 四 捨 五 入 到 小 數 點 後 第 二 位 ， 2 的 近 似 值 是 1.414 ， 3 的 近 似 值 是 1.732 ）。

─ ─ ─ ─以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─

6

-第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔

2 6 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號

(一、二)

與子題號

((1)、(2))，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末

一. 設 R 代表坐標平面上 由下列兩個不等式所定 義的區域， 2 2 ₄ 1 x y y        求 函 數 x 在區域 R 上的最大值與最小值。（13 分）y 二. 設四次多項式 _{f x( )x(1x)(1x}2₎ (1) 選取積分區間 a x b  ，使得定積分 b ( ) a f x dx



達到最大值，並求此最大值；（7 分） (2) 設c ，求證0 c ( ) cf x dx 



恆 為 負 值 。 （6 分）