行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
青少年的數學概念學習研究— 子計畫十一：
青少年的數學方程式概念發展研究
計畫編號：NSC 89-2511-S-110-002
執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日
主持人：吳寶桂 國立中山大學教育研究所
一、中文摘要 本子計劃目的在配合總計劃及其它子計劃來共同建構一個有關我國青少年 (12 歲到 14 歲，即國小六年級至國中二年級的學生)的數學概念發展及學習之資 料庫，以便用來更進一步的了解我國學生在有關數學概念學習上的本土性認知發 展 。 本子計畫分四年進行，第一年度（89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日）重點 在編制一份『一元一次方程式情境測驗』以作為往後偵測國中學生在『數學一元 一次方程式概念』上的認知發展之依據。此項工作係藉由文獻資料的蒐集，與國、 高中數學老師訪談的記錄，以及對已學過一元一次方程式之國二學生所做的開放 性問卷施測的結果，歸納整理出有關數學一元一次方程式之各項子概念及其相對 應之『一元一次方程式概念細圖』。最後，再依據此『一元一次方程式概念細圖』 編制出一份『一元一次方程式情境測驗』。該情境測驗包括九種連續情境，各情 境均含有與一元一次方程式有關之問題，研究者將採一對一個案晤談方式以本測 驗來對學生進行施測。 關鍵詞：一元一次方程式、概念、一元一次方程式情境測驗、國中生、本土化、 概念發展、迷思概念 二、英文摘要 Abstr actIn order to teach mathematics effectively, it is essential for the teachers to fully understand the development of students’ conception and possible misconceptions of mathematics. Therefore, this study plans to investigate the development of the conception of mathematical equations for our adolescents (age 12 to 14, sixth grade to eighth grade). It will identify any possible misconceptions and the reasons for their development. Based on the theories of cognition and development, the findings of this study will
be used to build a “Model for the development of adolescent’s conception of mathematical equations”. At the later stage of this study, a teaching plan based on this model will be made and a teaching demonstration based on this plan will be given.
This is a four-year project. In the first year of this four-year project (August 1, 2000 through July 31,2001), an abundance of literature were searched and reviewed; several middle and high school math teachers were interviewed. After all the results of the literature search and teachers’ interviews were summarized and analyzed, 42 subconcepts that related to the one-variable linear equations were identified. Based on these 42 subconcepts on one-variable linear equation, a “One-Variable Linear Equation Situational Test” was made. After a thorough validity and reliability check, this test will be used for investigating the development of the conception of one-variable linear mathematical equations for our adolescents in the later stage of this study.
Keywor ds: concept, equation, misconception, One-Variable Linear Equation
Situational Test, interview method, middle school student, concept development. 三、緣由與目的 二十一世紀是一個科技整合多元化的世紀，面對電腦網路資訊時代的來臨， 科技不斷推陳出新，科學在現今日常生活中實佔有極其重要的地位。相應於科學 的發展，科學之母--數學知識的需求也隨著水漲船高，基本的『加、減、乘、除』 運算早已不敷使用，而傳統機械式的教學也早已無法面對高科技需求的挑戰。由 此可知，為了提升國人科技水準，就應首先加強一般國民的數學基本知識。唯有 讓學習者具有正確的數學概念，將數學的學習融入學生生活的一部份，方能具備 發展更先進科技的能力。 數學是科學的基礎，因為一切科學的發現，需以一個人類都能共同了解的語 言來溝通，而數學可說是最簡單的共通語言，例如，Albert Einstein 著名的相 對論，只用一些簡單的數學符號，便能表達其複雜的理論。假若沒有數學語言的 輔助，吾人恐將無法瞭解其理論，更遑論應用相對論在自己的專門領域上。今日 電腦網路的發展亦需數學知識的輔助，方能將資訊迅速確實地傳遞。而數學在日 常生活上的應用更是不勝枚舉，就連開門七件事，柴、米、油、鹽、醬、醋、茶， 都與數學有著相當密切的關係。所以數學和人類生活的關係實在是密不可分。 我國向來是聯考引導教學，在這種考試強力趨勢影響下，學校學習的主要目 的往往只是在應付考試，為了要求能在一定時間內達到學習成效，教學模式一直
擺脫不了傳統講授式的形式，教師們過於強調單向知識的灌輸，學生們也只能不 求甚解的一味背誦及反覆練習。但數學學習絕不是只靠苦苦背誦、反覆演練，將 知識累積即可，數學公式也並非是用來死死記憶、緊緊擁抱，數學應是用來解決 問題的一種工具。因此，數學教育的重點應擺在問題解決過程中的思考歷程，近 年來的教育改革，已經開始重視學生思考能力的培養，例如，九年一貫課程改革 所強調學生應該具備的十項基本能力中，便包含了獨立思考與解決問題的能力。 解決問題的能力與過去已習得的經驗知識息息相關，根據過去數十年的研究 結果，一致顯示，在一般正式學科課程開始之前，學生們對於老師所要講授的學 科並非如白板般的毫無所知，實際上他們早已形成許多的『先有概念』，只是這 些 既 有 的 概 念 不 一 定 與 教 師 所 要 傳 授 學 科 的 真 實 知 識 相 符 （ Anderson & Smith,1986; Brown,1988; Duffiy & Jonassen,1991 ;陳瓊森，民 87 ），同時， 這些既存的錯誤概念常會不斷左右個體的學習，如此一來，學生的學習發展將受 到極大干擾。 由是觀之，概念在數學學習上實扮演著重要角色，倘若能對每一數學單元統 整出學生們的概念發展，及其在學習過程中可能產生的迷思，教師們便能據此配 合學生的先有概念，就學生之個別差異，採取適當的教學策略，引導學生主動建 構適合其個體發展的學習方式，方能在學生迷思產生時給予適時的指引，最後將 學生導向正確的概念。 綜合上述，我們可以清楚地知道建立正確概念在數學學習的重要性。本研究 擬針對國中生在數學一元一次方程式概念學習作一深入且詳盡的探討，其中包括 查明在概念發展過程中所可能產生的概念迷失及其形成的可能原因，並進而建立 一套『數學一元一次方程式概念發展模式』。之後，根據此『數學一元一次方程 式概念發展模式』，設計出一套偵測國中學生數學方程式概念迷失之問卷，以提 供教師在一元一次方程式教學、診斷及評鑑時之參考。最後，依據此一『數學一 元一次方程式概念發展模式』，並經過詳盡地實驗及比較後，將發展出一系列最 適合個別差異之一元一次方程式教學方案。所研發之『數學方程式概念發展模式』 及教學策略，亦將於本研究之最後階段，與所同屬總計畫之其它各子計劃之資料 詳加統整後，在各中小學巡迴展示並加以廣泛示範與宣導。 綜而言之，本計劃目的在配合總計劃及其他子計劃來建構有關我國青少年(1 2歲到14歲，即國小六年級至國中二年級的學生)在數學一元一次方程式概念發展 之資料庫，以了解本國學生在數學方程式學習上的本土性認知發展。本計劃的研 究項目綜合如下： 1. 探討我國青少年一元一次數學方程式概念之發展情形。 2. 探討青少年的一元一次數學方程式概念迷思產生的原因。 3. 建立『一元一次數學方程式概念發展模式』及教學策略。 4. 推廣一元一次數學方程式概念發展實徵性研究成果。
四、研究第一年進行方法及步驟 本研究第一年工作重點著重於『一元一次方程式情境測驗』之編制，分四部 份進行：文獻資料蒐集、國高中數學教師訪談、國二學生在『一元一次方程式概 念開放性問卷（1）（2）』之施測、『一元一次方程式概念細圖』之繪製、及『一 元一次方程式情境測驗』之編制。 (一) 文獻資料蒐集 依據國編版國中數學教科書（國立編譯館，民 88）第一冊第三章之一元一 次方程式有關單元及國內外學者對一元一次方程式必要概念的陳述作一歸 納及整理。 (二) 與數學老師訪談 與五位國、高中老師在有關學生學習數學一元一次方程式時所涉及的各項 概念進行初步訪談並請其繪製『一元一次方程式概念圖』。參考五位教師所 繪製之『一元一次方程式概念圖』及在（一）所歸納之概念繪製成初步之 『一元一次方程式概念細圖』。 (三) 國二學生在『數學一元一次方程式概念開放性問卷（1）（2）』之施測 『一元一次方程式概念開放性問卷（1）』（附錄省略）為參考國編版國 中一年級上學期數學教科書（國立編譯館，民 88）、文獻蒐集資料及與具 備十四年國中數學教學經驗之教師商討共同編制而成。共有五題，全為開 放性問題，此試卷主要目的有二：瞭解學生們對已學過之一元一次與二元 一次方程式的概念認知及其迷思；及學生認為教師們對一元一次方程式的 詮釋。 『數學一元一次方程式概念開放性問卷（2）』（附錄省略）亦為一開放 性問卷，主要是參考林義雄、陳澤民所譯『數學學習心理學』（民 75）一書 中所描述之心靈影像圖解法，把所有與一元一次方程式相關之概念，試著以 層次或階級安排繪製成概念細圖。此開放性試卷共有四題，主要目的在於瞭 解學生們對於一元一次之相關概念，並且進一步探究學生在學習一元一次方 程式時曾遭遇到的困難。 對兩班共 60 位國二學生分別隨機施測『數學一元一次方程式概念開放 性問卷（1）』或『數學一元一次方程式概念開放性問卷（2）』，每位同學僅 接受其中一種問卷。 歸納以上結果，並再對 8 位國高中教師作深度訪談，最後對（一）之初 步『一元一次方程式概念細圖』加以修訂成『一元一次方程式概念細圖』 修訂第一版（（附錄省略））。此細圖將作為編制『一元一次方程式情境測驗』 之依據，並且，往後有關資料之內容分析也將以此概念細圖所列之子概念
為基準。 (四) 『一元一次方程式情境測驗』之編制 本情境試題主要是依據前述所繪製之『一元一次方程式概念細圖』（修訂第 一版），並參考坊間有關一元一次方程式之題本，及國編版國中一年級數學教科 書後，撰寫一虛擬故事情節，並安插一元一次方程式之題組於故事中。希望藉由 學生在情境問題的反應、思考歷程及解題方式，去了解在教學前學生們在一元一 次方程概念發展過程與所存在之個別差異。 本情境測驗屬一連貫的虛擬情境，共區分為九個狀況，由簡單到複雜，難度 逐題提昇。測驗編制完成後將採一對一晤談方式進行施測（（附錄省略））。
參考書目
壹、中文部分
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