三角函數的基本概念

(1)

2-1 銳角三角函數

高中數學第二冊

三角函數的基本概念

座號：

姓名：

(2)

-0-2-1 銳角三角函數

第二章三角函數的基本概念

1.銳角三角函數的定義﹕ ABC △ 為直角三角形，其中C為直角。令斜邊AB c ，A的鄰邊AC b ，A的對邊BC a （如圖），則﹕ 互為倒數互為倒數互為倒數 (1) A的正弦函數﹕ sinA A a c   的對邊  斜邊 (2) A的餘弦函數﹕ cosA A b c   的鄰邊  斜邊 (3) A的正切函數﹕ tanA A a A b     的對邊的鄰邊 (4) A的餘切函數﹕ cotA A b A a     的鄰邊的對邊 (5) A的正割函數﹕ secA c A b    斜邊的鄰邊 (6) A的餘割函數﹕ cscA c A a    斜邊的對邊 2.特別角的三角函數值﹕ 函數角度

0

30

45

60

90

sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos ₁ 3 2 2 2 1 2 0 tan ₀ 1 3 1 3 無意義 cot 無意義 3 1 1 3 0 sec ₁ 2 3 2 2 2 無意義 csc _無意義 ₂ 2 2 2 3 1

(3)

2-1 銳角三角函數例1：直角△ ABC_中，  C 90 _，A為較大的銳角，且兩股長分別為5、12，求A的六個三角函數值【練習題】已知△ ABC為直角三角形，其中  C 90 ，AB5，AC4，寫出B 的六個三角函數值。例2：設△ ABC為一直角三角形，  C 90 ，已知cos 15 17 A ，求 sin cos 1 tan 1 cot A A A A   之值。【練習題】已知直角△ ABC中，  C 90 ，A為銳角且cos 4 5 A ，求 sin cos 1 cot 1 tan A A A A   之值。

例3：求



1 cos30 tan 45 1 csc60 

 

cot 45



=？

(4)

【練習題】(1)求_{tan 60}cos30__{2cot 45}tan 45_=？

(2)求sin60 cos30 tan 45 cot 45 sec60 csc30  ？

(3)求 2tan30₂

1 tan 30   ？

例4：已知∠A 為銳角且 sinA =

2

(5)

2-1 銳角三角函數

【練習題】在△ABC 中，C=90，若

cos

12

13 A



，則tanA=？secB=？

例5：若 是一個銳角且 tan =2，求2sin_2sin



_

－_＋cos_cos



_

的值

例 6 ：若已知 tan400.84 ，如右圖，在距離樹根 20 公尺 A 處測得 A=40，試估計大樹的高度。

(6)

例7：試利用下圖求出 tan15的值。

(7)

2-2 三角函數的基本關係

第二章三角函數的基本概念

2-2 三角函數的基本關係 觀念：由銳角三角函數的定義及畢氏定理，可以推得以下的基本關係式﹕ 1. 平方關係﹕ (1) _sin2 _A__cos2 _A_₁_. (2) _tan2_A_{ }_{1 sec}2 _A_. (3) _{1 cot}_ 2 _A__csc2_A_. 註﹕圖中倒三角形▼上面兩頂點的函數平方和等於下面頂點的平方. 2. 倒數關係﹕ (1) csc 1 sin A A  （即sinAcscA1）. (2) cot 1 tan A A  （即tanAcotA1）. (3) sec 1 cos A A  （即cosAsecA1）. 註﹕六邊形中任兩對頂點函數的乘積等於1. 3. 商數關係﹕ (1) tan sin cos A A A

 （即sinAcosAtanA）. (2) cot cos

sin

A A

A

 （即cosAsinAcotA）.

註﹕六邊形中任一頂點函數恰等於左右兩頂點函數的乘積.

4. 餘角關係﹕對於任一銳角A﹐其餘角為90 A﹐則 (1) sin 90



A



cosA. (2) cos 90



A



sinA. (3) tan 90



A



cotA. (4) cot 90



A



tanA. (5) sec 90



A



cscA. (6) csc 90



A



secA.

練習題1：完成下列空格：

(1)

1 cos43

= 　　 43  、 tan18cot18= .

(8)

-6-2-2 三角函數的基本關係

(2)

cos18

sin18



 

、 tan18cos18= .

(3) sin2_43+cos2_43=_、_sec2_18－tan2_18₌

(4)cos15= cos(90 ) ＝sin 。 (5)sec18 = sec(90 ) = csc 。例1：求下列各式的值：

(1)cos243+ cos247 (2)tan227csc263

練習2：求下列各式的值：

(1)

_{sin 10}

2

 

_{sin 35}

2

 

_{sin 55}

2

 

_{sin 80}

2



(2)

tan 20 tan 70





例2：化簡下列各式：

(9)

2-2 三角函數的基本關係

(2)

1

1 1 sin







1 csc





練習題3：化簡下列各式：

(1)

(tan





cot )



2



(tan





cot )



2

(2)

1

1 1 cos







1 sec





例3：已知

_sin





_cos





₂

，求下列各值

(1)sincos. (2)tan + cot. (3)sec + csc

練習4：已知

sin

cos

1

2 







﹐求下列各值：

(1)sin





cos



(2)sec





csc



(10)

-8-2-2 三角函數的基本關係

例4：設 為銳角，

sin





k

，試用k 表出 cos 和 tan。 練習題5：設 為銳角且

cos





k

，試用k 表出 sin 和 cot。

(11)

2-3 廣義角三角函數

第二章

多項式

2.3 廣義角三角函數

觀念：一、廣義角：正負方向、不限於0到 180之間的角,　我們統稱之。方向角﹕ (1) : . (2) : .    正向角逆時針方向旋轉的角負向角順時針方向旋轉的角同界角﹕(1)具有相同的始邊與終邊的角. (2)若1及2為同界角  1 2 360n﹐其中n為整數. 二、標準位置角﹕在坐標平面上﹐以原點為頂點﹐始邊恰為x_{軸正向方的有向角﹐} 就稱為標準位置角。三、第

i

象限角（i1﹐2 3﹐ 或 4）﹕一標準位置角之終邊恰落在第i象限內﹐就稱為第i_象限角. 四、象限角﹕一標準位置角之終邊恰落在x_軸或y_{軸上﹐就稱此角為象限角﹐即} 90n_﹐其中n_為整數. 五、廣義角的三角函數﹕在一標準位置角的終邊上﹐取異於原點O的一點P x y



,



﹐_{OP r}_{ } _x2__y2 _₀_{﹐則我們定義}_{的三角函數如下﹕} (1)sin y r   _{. (2)}cos x r   _{. (3)}tan y x   _. (4)cot x y   _{. (5)}sec r x   _{. (6)}csc r y   _. 六、三角函數值的範圍﹕ (1)  1 sin 1_﹔ 1 cos 1. (2) tan _﹐cot 可以為任意實數. (3) sec  1或sec 1﹔csc  1或csc 1. 七、三角函數六個函數值的正負號之判斷。例1：從上午 10 時整到 11 時 20 分,　時鐘的分針旋轉所形成的角是幾度？ 10

(12)

-2-3 廣義角三角函數例2：下列各角在標準位置時,　分別為第幾象限角？ (1)100 (2)120 (3) 310 (4)300 例3：試寫出下列各角位於 0°到 360°之間的同界角，分別屬於哪一個象限？ (1)2000° (2)－670° 【練習題】試寫出下列各角位於0°到 360°之間的同界角，分別屬於哪一個象限？ (1)1050 (2)1650 例4：已知(2,1)為標準位置角 終邊上的一點,求  的六個三角函數值。【練習題】求下列圖中 角的六個三角函數值

(13)

(2)

(14)

-2-3 廣義角三角函數

例5：求 sin120、 cos120、 tan120、

sin(240)、cos(240)、tan(240)的值。【練習題】求下列角的三角函數值例 6 ：根據下列條件,判斷 為第幾象限角？

(1) sin < 0、cos > 0 (2) sec <0 、csc <0

例7：已知

cos

5

13 



且 是第四象限角,　求 的其他三角函數值。

 sin cos tan

135 300 150

180 270

(15)

(1)sin150 (2)cos210 (3)tan(60)

【練習題】求下列三角函數值

(1)cos120 (2)cot240 (3)csc(45)

例9：求下列三角函數值

(1)sin 2010 (2)tan(405)

【練習題】求下列三角函數值

(1)cos(315) (2)cot960 (3)sec1050

(16)

-2-4 正弦與餘弦定理

觀念：

1.正弦定理﹕△ ABC中，設三邊長BC a 、CA b 、AB c ，R為△ ABC之外接圓半

徑，則 2

sin sin sin

a b c

R A B  C  。

註﹕由正弦定理可以推論如下﹕

(1) 已知△ ABC之三內角﹐欲求三邊長的比﹕a b c: : sin : sin : sinA B C. (2) 已知△ ABC之外接圓半徑R及三內角﹐欲求三邊長﹕ 2 sin a R A_﹐b2 sinR B_﹐c2 sinR C. (3) 已知△ ABC之外接圓半徑及三邊長﹐欲求三內角﹕ sin 2 a A R  _﹐sin 2 b B R  _﹐sin 2 c C R  . 2.投影定理﹕△ ABC中﹐若A﹐B﹐C的對邊長分別為a_﹐b﹐c 則 cos cos . cos cos . cos cos . a b C c B b c A a C c a B b A            3.餘弦定理﹕△ ABC中﹐若A﹐B﹐C的對邊長分別為a_﹐_b_﹐c 則 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos . 2 cos . 2 cos . a b c bc A b c a ca B c a b ab C               註﹕由餘弦定理亦可以推論如下﹕ 2 2 2 cos 2 b c a A bc    _﹐cos 2 2 2 2 c a b B ca    _﹐cos 2 2 2 2 a b c C ab    _. 4. 三角形面積公式﹕設△ ABC中，A，B，C的對邊長分別為a_、_b_、c_，外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，s_{表周長的一半，即} 1





2 s a b c  ，則 (1) △ ABC面積  1₂ 底高.

(2) △ ABC面積1₂absinC ₂1bcsinA ₂1acsinB.

(3) △ ABC_面積 s s a s b s c





 



 





_{﹐此公式稱為海龍（Heron）公式.}

(4) △ ABC面積 r s_. (5) △ ABC面積abc₄_R .

(17)

2-3 廣義角三角函數例1 ：在△ABC_{中，已知 a}_=8、b_=10，且_{C=30，求△}

ABC

_的面積。【練習題】求下列△ABC的面積：(1) (1) a 4, c5, B 120 (2)b5, c4, B 90 例2：在△ABC 中，已知 A:B:C=1:4:1，求

a b c

: :

=？【練習題】在△ABC 中，已知



b c



:



c a



:



a b



_=5:6:7，求 sinA:sinB:sinC=？例3：在△ABC 中，已知 A=45_、_B=60_、 BC  2_，求AC 與AB 的長 16

(18)

-2-3 廣義角三角函數度及△ABC 外接圓半徑。（已知 sin 75 6 2 4    ）【練習題】在△ABC 中，已知 A=30，C= 45，

_BC

_

₂

，求

AC

的長度　　及△ABC 的外接圓半徑。例4：在△ABC 中，已知

_AB



₈

、

AC



3

， A=60，求

_BC

的長度。【練習題】在△ABC 中，已知

_AB



₃

、

AC



5

、 A=120，求

_BC

的長度。例5：在△ABC 中，已知

AB



15 、

AC



7 、

BC



13

，求A 的角度。

(19)

2-3 廣義角三角函數例6：在△ABC 中，已知AB3、AC7、BD3、CD5，如下圖所示，求AD 的長度。【練習題】在△ABC 中，AM 為BC邊上的中線，且已知

_AB



₅

、

_AC



₇

、

6 BC



，求中線

_AM

的長度例7：在△ABC 中，已知

_AB

=4、

_AC

=6、

_BC

=5，

_AD

平分A，如圖所示, 　　　求

_AD

的長度例8：在△ABC 中，已知a_=10、b=9、 c=17，求△ABC 的面積。 【練習題】_{在△ABC 中，已知}a4、b13、c15_{，求△ABC 的面積。} 例9：如下圖所示，從沉船上撈起一只手錶，僅有鏽蝕的時針痕跡及 12 點方向的刻度存在。　利用直尺量得手錶中心點與12 點的距離為 5;鏽蝕的時針長度為 3;而 12 點與時針尖端的距離為7. 問該只手錶停於幾點幾分？ 18

(20)

-2-5 簡易測量與三角函數值表

第二章

三角函數的基本觀念

2-5 簡易測量與三角函數值表

觀念：一、查表三角函數值表：函數類別在上下，角度在左右。周角 =360° ，分成 360 等分，每等分所對的圓心角為1 度。 1 度 = 60 分，1 分 = 60 秒，若以符號表示為 1  = 60' 、 1' = 60" 。 角度不在表中須利用內插法求得。二、三角函數應用在生活中的相關名詞： (1)鉛直線與地面垂直的直線。 (2)水平線與鉛直線垂直的直線。 (3)視線觀測點與目標物的連線。 (4)仰角向上觀測時視線與水平線之夾角。 (5)俯角向下觀測時視線與水平線之夾角。 (6)方位利用東西向及南北向為基準線，定出目標物所在的方向。

角度 sin cos tan cot sec csc

1 .0175 .9998 .0175 57.29 1.000 57.30 89

2 .0349 .9994 .0349 28.64 1.001 28.65 88

44 .6947 .7193 .9657 1.036 1.390 1.440 46

45 .7071 .7071 1.000 1.000 1.414 1.414 45

(21)

2-5 簡易測量與三角函數值表【練習題】利用三角函數值表求下列各值： (1)sin1550' (2)csc7410' (3)tan1040' (4)cot7920' 例2：利用三角函數值表及內插法，求下列各三角函數值： (1) sin3122' (2)cos1624' 【練習題】利用三角函數值表及內插法,求下列各三角函數值： (1) cos3338'. (2)tan3612'. 【練習題】利用三角函數值表，求下列各銳角 的近似值： (1)sin = 0.4120. (2)csc = 1.032. 例3：小華見到某超市內的無障礙斜坡如右圖，以手邊捲尺量得斜坡坡面長 180 公分，階梯共四層，每層高度 14 公分，則這個斜坡的坡度是多少? 是否合乎建築規定標準? (依據內政部建築物設施規範，室內坡道坡度應小於 8 1 ) 【練習題】承例題3，這個入口處的高度差若不能改變，則至少該留多長的水平距離來建造合乎標準的斜坡？ 20

(22)

-2-5 簡易測量與三角函數值表例4：如圖所示，小華站在頂樓陽台上測量地面的一棵大樹，得樹底的俯角為 60，樹頂的俯角為 30，若小華眼睛至地面的距離為21 公尺，則 (1)大樹和小華家距離多少公尺? (2)樹高約為多少公尺? （四捨五入取至整數位）【練習題】小君所住的公寓對面蓋起一座新的大廈，從公寓窗口觀測其高度，　大廈屋頂的仰角為，大廈最底部的俯角為。若公寓和大廈相隔著 8 公尺寬的馬路，則大廈應有多高？（以,表示）例5：埃及的金字塔是世界七大奇景之一，尤其古夫王金字塔（約建於西元前 2500 年）更是巴黎鐵塔未建成前世界上最高的建築物今在A 點處測得金字塔塔頂的仰角為24，向著金字塔前進 100 公尺到達B 點後，再測得仰角 33，則金字塔的高度約為多少公尺?（四捨五入取至整數位）

(23)

2-5 簡易測量與三角函數值表【練習題】小偉想測量風景區大佛的高度，首先他在與佛頂部仰角恰為45的　地面A 點處做上記號，面對著佛像後退到仰角恰為 30的 B 點，然後測得A 點和 B 點的距離為 16 公尺。佛像高度為多少公尺？（已知 732 . 1 3 　答案四捨五入取至整數位）例6：根據氣象局發布的颱風消息，颱風中心目前在台北的南 15東 300 浬處，向著東75北的方向前進，暴風半徑 200 浬。如果颱風的行進方向不變，那麼台北是否會進入暴風圈？【練習題】在由南向北時速90 公里的汽車上，看到北 45東的方位有一座摩　天輪，車子繼續行駛12 分鐘後，摩天輪變成在北 60東的方位，若汽車繼續前行，則車與摩天輪最近的距離是多少公里？ 22

(24)

-2-5 簡易測量與三角函數值表例7：空中消防直升機發現：地面正東方俯角 45的 A 處有火警發生，而正南方俯角30的 B 處有消防車。若直升機的飛行高度為 2400 公尺，試求 A、B 之間的距離。【練習題】在山的正東方地面上一點A，測得山頂的仰角為 45，從 A 向正南方走200 公尺到達一點 B，在 B 測得山頂的仰角為 30，求山高。

(25)

2-5 簡易測量與三角函數值表

第二章

三角函數的基本觀念

2-6 基本三角測量

觀念：一、查表三角函數值表：函數類別在上下，角度在左右。周角 =360° ，分成 360 等分，每等分所對的圓心角為1 度。 1 度 = 60 分，1 分 = 60 秒，若以符號表示為 1  = 60' 、 1' = 60" 。 角度不在表中須利用內插法求得。二、三角函數應用在生活中的相關名詞： (1)鉛直線與地面垂直的直線。 (2)水平線與鉛直線垂直的直線。 (3)視線觀測點與目標物的連線。 (4)仰角向上觀測時視線與水平線之夾角。 (5)俯角向下觀測時視線與水平線之夾角。 (6)方位利用東西向及南北向為基準線，定出目標物所在的方向。 24

-角度 sin cos tan cot sec csc

1 .0175 .9998 .0175 57.29 1.000 57.30 89

2 .0349 .9994 .0349 28.64 1.001 28.65 88

44 .6947 .7193 .9657 1.036 1.390 1.440 46

45 .7071 .7071 1.000 1.000 1.414 1.414 45

三角函數的基本概念

高中數學第二冊