1-2-1數與坐標系-整數

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(1)2-1 數與坐標系-整數【原理】整數的除法原理：若 a, b 為正整數，則可找到整數 q, r ，使得 a = bq + r ，其中 0 ≤ r <| b | 。此時 a 稱為被除數， b 稱為除數， q 稱為商， r 稱為餘數。也就是表示成為(被除數)=(除數)(商)+(餘數)。【定義】因數與倍數：設 a, b 為整數， b ≠ 0 ，若存在整數 q ，使得 a = bq ，則稱 a 為 b 的倍數， b 為 a 的因數，以 b | a 表示，讀作 b 整除 a 或 a 被 b 整除。【性質】整除的基本性質：設 a, b, c 為整數： 1. 若 a | b, b | c ，則 a | c 。(遞移性) 2. 若 a | b, a | c ，則 a | mb + nc ，其中 m, n 為任意整數。(線性組合性質) 註：在利用線性組合求未知數時，可以想辦法去頭、去尾或消去未知數。 3. 若 a | bc, ( a, c ) = 1 ，則 a | b 。【方法】倍數的判定法則： 1. 若 n 是 2 的倍數 ⇔ n 的末位數為偶數。 2. 若 n 是 3 的倍數 ⇔ n 的各位數字之和為 3 的倍數。 3. 若 n 是 4 的倍數 ⇔ n 的末兩位數為 4 的倍數。 4. 若 n 是 5 的倍數 ⇔ n 的末位數為 0 或 5。 5. 若 n 是 7 的倍數 ⇔ n 的末位起每三位為一組數，(奇數組數之和)-(偶數組數之和)為 7 的倍數。 6. 若 n 是 8 的倍數 ⇔ n 的末三位數為 8 的倍數。 7. 若 n 是 9 的倍數 ⇔ n 的各位數字之和為 9 的倍數。 8. 若 n 是 11 的倍數 ⇔ n 的末位起，(奇數位數字之和)-(偶數位數字之和)為 11 的倍數。 9. 若 n 是 13 的倍數 ⇔ n 的末位起每三位為一組數，(奇數組數之和)-(偶數組數之和)為 13 的倍數。【問題】倍數的判定法則分別如何證明？【定義】質數：一個大於 1 的正整數，若不能分解成兩個較小的正整數乘積，則稱為質數。註：最小值數為 2，且 2 是唯一的偶質數。標準分解式：設 n 為正整數，將 n 分解成如 n = p1α1 p 2α 2 L p kα k 的型式，其中 p1 , p 2 , L , p k 為不同的質數， α 1 , α 2 , L , α k 為正整數時，稱為標準分解式。【性質】質數的性質：設 p 為質數，若 p | ab ，則 p | a 或 p | b 。.

(2) 1. 設 p 為質數，若 p | ab ，則 p | a 或 p | b 。 2. 設 a, b ∈ Z ，若 ( a, b) = 1 ，試證明 ( a ± b, ab ) = 1 。正因數的性質：設 n 為正整數， n 的標準分解式為 n = p1α1 p 2α 2 L p kα k ，則 1. n 的正因數個數有 (α 1 + 1)(α 2 + 1) L (α k + 1) 個。. 2. n 的正因數總合為 n = ( p10 + p11 + p12 + L + p1α1 ) L ( p k0 + p 1k + p k2 + L + p kα k ) 。 3. n 的正因數之積為 n (α1 +1)(α 2 +1)L(α k +1) 。【方法】質數判別法：. 設 a 為大於 1 的正整數，若 a 沒有小於或等於 a 的質因數，則 a 為質數。【定義】公因數：設 a, b 為整數，則 a, b 的共同因數稱為 a, b 的公因數。公倍數：設 a, b 為整數，則 a, b 的共同因數稱為 a, b 的公倍數。最大公因數(g.c.d.)：設 a, b 為整數，則 a, b 的公因數中最大的稱為最大公因數，記為 (a, b) 。最小公倍數(l.c.m.)：設 a, b 為整數，則 a, b 的公倍數中最小的稱為最小公倍數，記為 [a, b] 。互質：當 ( a, b) = 1 時，稱 a, b 互質。【方法】最大公因數的求法： 1. 利用標準分解式之因式分解法。 2. 輾轉相除法。 3. 利用線性組合法，但記得要檢驗答案。【原理】輾轉相除法原理：設 a, b 為自然數，若 a = bq + r ，其中 0 ≤ r < b ，則 ( a, b) = (b, r ) 。最大公因數表現定理：設 a, b 為自然數，若 (a, b) = d ，則存在整數 m, n ，使得 d = am + bn 。【問題】 1. 試證明輾轉相除法原理。 2. 試證明最大公因數表現定理。 3. 設 a, b 為自然數，若存在整數 m, n ，使得 am + bn = 1 ，則 a, b 互質？ 4. 設 a, b 為自然數，則 ( a, b)[ a, b] = ab ？ 5. 設 a, b, c 為自然數，則 ( a, b, c)[ a, b, c] = abc ？. 1.

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