從財經科系加重數學計分與數學家得諾貝爾經濟學獎談起

(1)

從財經科系加重數學計分與數學家得諾貝爾

經濟學獎談起—以蛛網理論為例

淺論數學在經濟學的應用模式

陳昱成

高雄市立中山高級中學

壹、前言

一位高三社會組考生，投稿 2006 年 6 月18 日自由時報的自由廣場，抱怨「以台大管理學院、政大商學院來說，十四個校系中，僅採計國英數乙三科者，竟高達十二個，並且全部對數乙加權計分」，讓非以數學見長的社會組考生，處於不利的地位。當然更引來自然組考生的覬覦，一些台大財經系的跨組考生高達七、八成，也難怪社會組學生會發出不平之聲。但商學院真的是要刁難社會組學生嗎？就課程而言，一些數學高度相關的科目如財務管理、財務分析，以及一些分析工具的課程如時間序列、迴歸分析和管理數學等等，佔商學院課程不少的比例。至於經濟學更是商管學院的重要基礎科目，經濟學與數學的關係，早在一九四七年薩孟遜（Paul A.Samuelson, 1915~），這位於一九七0 年榮獲第二屆諾貝爾經濟獎的得主，出版經濟學的經典教科書「經濟分析之基礎」 (Foundations of Economic Analysis)，利用嚴謹的數學方程式來解釋經濟學的原理，兩者就結下牢不可分的關係。這本經典著作奠定了以數理的角度來分析經濟活動的基礎，瑞典皇家科學院所提出其獲獎的原因就強調：「對經濟學的分析水準提昇有顯著的貢獻」。後續的經濟學者，步其後塵，讓許多經濟學文獻，及教科書充滿數學方程式，若無相當的數學知識，難以深入了解。在這種趨勢下，數學成了經濟學分析問題的重要工具，因此以對局論（game theory）見長的數學家納許（John Nash, 1928~ ），獲一九九四年諾貝爾經濟學桂冠，就不足為奇了。他在對局論的工作，被廣泛的應用到經濟學中，這門學問現在已被認為是經濟學的一部分，電影「美麗境界」(A Beautiful Mind)中，羅素克洛 (Russell Crowe

)

所扮演精神分裂的主人翁數學家納許，就是這位桂冠得主。 2005 另一位數學家 Robert J. Aumann(1930~ )，與另一位經濟學家因為「經由對對局論的分析，增強了我們對衝突與合作的理解」也拿下諾貝爾桂冠。這些事實說明出現代經濟學與數學的密切關係。1976 的諾貝爾經濟學獎得主傅利德曼 ( Milton Friedman, 1912~2006 ) 甚至直接建議想攻讀經濟學的年輕人，多讀一些數學與統計的課程，商學院加重數學乙科的

(2)

計分，有其立足點。了解數學與經濟學的密切關係後，對於社會組的商管科系，必須要有良好的數理背景為基礎，應該會有一些概念。但就現行的教育制度下，數學在經濟學的應用模式到底是如何運作，對普通高中生而言，並沒有一個清晰的輪廓，因此本文利用高中基礎數學所學習到的線性方程式，模擬數理經濟學的解析方法，讓高中生體會數學在經濟學的應用模式，進而理解未來想從事財經領域的職業，數學的學習不可偏廢，也供教師輔導有志於商管學系的學生，作為參考資料。

貳、線性函數在經濟學的角色

一、供給線、需求線與線性函數

高中基礎數學第一冊提到線性方程式：y=mx+b，其中 m 表示斜率(slope)，代表直線的傾斜程度，而方程式可以用來表示兩個變數之間的關係，又稱為線性函數 (linear function)。經濟學便利用線性函數的特性，來說明數量(quantity)和價格(price) 兩者之間的關係，其中描述消費者購買量和價格的函數稱為需求函數(demand function)；說明生產者供給量與價格之間的互動關係，稱為供給函數 (supply function)。前者，在平面上所畫出來的線就稱為需求線(demand curve)；根據後者所畫出來的圖形，就稱為供給線(supply curve)。一般而言，消費者的購買量和價格之間成反向的變動，價格愈高，需求量愈少；而價格越高，供給者的供給量會越多，兩者會有正向變動的關係。因此，供給函數可以設成：

P

=

m

₁

Q

+

b

…(1) 需求函數可以設成：

P

=

-m

₂

Q

+

d

…(2) （其中m₁，m₂＞0，P 代表價格，Q 代表數量，又由於實際上 P、Q 均為正，因此以圖形討論時，可以僅在第一象限討論即可。）當購買量和供給量相等時所決定出來的價格，剛好是消費者和生產者所願意接受的價格，不會過高或過低，數量上供給等於需求，這種理想狀況，我們就稱市場剛好均衡，此時的價格稱為均衡價格以 P*表示，數量稱為均衡數量以 Q*表示。消費者和生產者，都希望市場剛好均衡，這樣價格、數量恰好，不會有供過於求或者供不應求。以聯立方程式來講，均衡解（P*， Q*）是 (1)(2)聯立方程式的解，表現在圖形上，剛好是兩條直線的交點 E，如下圖一所示。圖一經濟學假設人的行為是自利的 (self-interest)，即消費者或供給者都在追求利潤最大，供給者希望以最高的價格賣

b

Q

m

P

L

₁

:

=

₁

+

d

Q

m

P

L

₂

:

=

−

₂

+

（P*，Q*） E P Q 0

(3)

出，但消費者卻希望以最低價買到物品，供給與需求兩方面的拉扯，決定市場的數量與價格，讓整個經濟體獲得最大效率，這是最理想的狀態。但是社會並非總是維持靜態與均衡狀態，否則不會有產銷失調，農民走上街頭抗議的事件發生。經濟學上的蛛網理論(web theory)便是探討供需失衡的一種理論，而其背後的數理分析基礎，即為本文的主題，藉以闡明數學在分析經濟學原理中的角色。

二、均衡的動態分析

真實的世界是不斷的在作調整，均衡點不會一成不變，例如幾年前蕃茄汁突然引起狂熱(原因不在本文的探討範圍 )，需求大增，原本的均衡被破壞，供給線與新需求線產生新的均衡點，但由原來的均衡點，移向另一個均衡點，可能要經歷迂迴的過程，甚至無法由一個均衡點移向另一個均衡點。在調整的過程，利用函數圖形的說明，可以讓一般人很快抓到問題的重心，比文字的描述更加精簡，以下便是參照圖二，對均衡重新調整的描述。由於消費者對番茄汁需求的增加，可以想成對消費者而言，在相同的價格下，需求的數量會增加，因此需求線會右移，設由為 D 變成 D1 。如果供給線仍保持不變，則 E1 為新的均衡點，若是最後能調整到此點，表示又可達到暫時的均衡。在描述調整過程中，先將函數定義，並提出四個基本假設，以利後續的推導。 (一 ) 函數定義： S1：供給線：可以寫成 P=f（ Q）或是 Q=g（P）即 P 是 Q 的線性函數，或 Q 是 P 的線性函數，且 f 與 g 互為反函數。 S1：供給線：可以寫成 P=f（ Q）或是 Q=g（ P）即 P 是 Q 的線性函數，或 Q 是 P 的線性函數，且 f 與 g 互為反函數。 D：原需求線：可以寫成 P=fD

( )

Q

或是 Q=gD

( )

P

，fD與 gD互為反函數。 D1：新需求線：寫成 P=f1

( )

Q

或是 Q=g1

( )

P

，f1與 g1互為反函數。如圖二所示。圖二 (二 ) 基本假設： 1. 生產者從著手生產到產品上市，會有一段時間落差，一般農作物皆滿足這個要求。 2. 市場消息不靈通，因此生產者只好以上一期的價格來決定這一期的供應量。用方程式來說，即 Qt=g（ Pt-1），其中t 表示時間。 0 G(Q1,P1) H(Q1,P2) E(Q0,P0) D1 D I S1 E1 Q Q1 F J Q0 P1 P0

(4)

3. 需求量的變動不含時間落差，只要價格一有變動，需求量馬上跟著變動；亦即：Qt=gD

( )

P

t 。 4. 產品本身易壞，應儘早出清。這樣的前提假設，很像數學上的公設或定義，接著當然利用公設或定義推論定理，經濟學也如數學一般，利用這些假設，論證定理。 (三 ) 調整過程： 在原來的情況下，市場的均衡點為 E，但因某些因素，導致需求的改變，均衡產生變動，而能否調整至供需平衡而得到新均衡點 E1 ，是社會最為關心的事情，因為牽涉到資源運用的效率。為了回答這個問題，我們依據前面四個假設推導： 1. 原來均衡點 E（ Q₀， P₀），需求突然改變，需求線由 D 變成 D 1 ，但是供給卻無法馬上改變（假設 1），根據假設 3，新的價格 P₁=f1（ Q₀）

⇒

（ Q₀， P₁）

∈

D 1 ，設為 F 點，此為市場的交易數量和價格。 2. 由假設 2 得知，當期之價格為 P₁時，下期供應量為 Q₁=g（ P₁），（ Q₁， P₁）

∈

S1，設為 G 點。此時供過於求，又依據假設 4，產品不易貯藏，必須儘速出清，於是再度依據假設 2：下期之價格應為 P₂=f1（ Q₁）

⇒

（ Q₁，P₂）

∈

D1，設為 H 點，為下期之交易量和價格。 3. 重覆此討論的模式，我們可知下一個供給線上的點，設為I，應與 H 同在一水平線上。而實際的交易價格決定於 D1 線上，設此點為 J，因此我們知道 E 是順著 E F G H I J….這蛛網途徑在調整，最後能不能調整到新均衡點，就看是否會收斂到E1_{點了。} 由於 EFGHIJ 的調整途徑就如同蜘蛛編織蛛網一般，因此經濟學就稱此調整過程為蛛網理論，至於是否會越編越往外而遠離 E1_{點，或是越接近} _E1_{點，下一節將} 藉由數學式子的證明來加以說明。

參、數學證明與分析

一、聯立方程組與圖形的交點

在直角坐標平面上，直線的方程式都是二元一次方程式，除了垂直線之外，均可以表示成 y＝ mx＋b 之形式，其中 m 代表直線的斜率，b 為 y 截距。因此兩條斜率異號的直線

L

₁，

L

₂ （設

L

₁之斜率為正），便可將其方程式設成： 1

L

_：_y＝

m

₁_{x＋b …(3)} 其中

m

₁、

m

₂＞0 2

L

_：_y＝-

m

₂_{x＋d …(4)} 而兩條直線之交點坐標便是(3)、 (4) 兩聯立方程組之解，為（ 2 1

m

b

d

+

−

， 2 1 2 1

m

b

m

d

m

+

）。如圖三所示。如果

L

₁上除交點外之任意（

X

₁，

Y

₁），經由如圖四所示之途徑，在

L

₁、

L

₂上跳動，就如同上一節所討論的，動態調整過程的編織蛛網，則上一節所討論的是否會到達 E1_{點，就變成當網數} 足夠多時，

P

₁點可不可能經由調整路徑，最後抵達交點E。

(5)

Y

L

₁：y＝

m

₁x＋ b E（ 2 1

m

b

d

+

−

， 2 1 2 1

m

b

m

d

m

+

） 2

L

： y＝ -

m

₂x＋ d 0 X 圖三圖四 Y 6 3 '

P

4 2 5 E 1 3 0 X 4 2

L

：y＝ -

m

₂x＋ d 1

L

：y＝

m

₁x＋ b ' 1

P

（

X

₁'，

Y

₁'） 2

P

（

X

₂，

Y

₂） 3

P

（

X

₃，

Y

₃）

P

₁（

X

₁，

Y

₁）

P

₂'（

X

'₂，

Y

₂'）

(6)

二、數學證明

(一 ) 遞迴數列 參考圖四，已知

L

₁：y＝

m

₁x＋b， 2

L

：y＝－

m

₂x＋d 1

P

(

X

₁，

Y

₁)在

L

₁上，所循的第一條路徑為與 X 軸垂直之直線，設

P

₁的第一個中繼點為

P

₁'（

X

₁'，

Y

₁'）必為聯立方程組

⎩

⎨

⎧

+

−

=

d

x

m

y

X

x

2 1 _{之解。續設第二、三、四 …} 中繼點，依續為

P

₂（

X

₂，

Y

₂）， ' 2

P

（

X

'₂,

Y

₂'），

P

₃（

X

₃,

Y

₃）……， n

P

_（

X

_n_,

Y

_n_）， ' n

P

_（ ' n

X

_, ' n

Y

_{），其中} i

P

_（

X

_i_,

Y

_i_）

_∈

L

₁_， ' i

P

_（ ' i

X

_, ' i

Y

_）

_∈

L

₂_，如圖四所示。因此，我們想瞭解P₁點是否會經蛛網到 E 點的過程，就是討論當

n

→

∞

時，

P

_n （

X

_n，

Y

_n）或

P

_n'（

X

'_n，

Y

_n' ）是否會趨近 E 點。進一步分析， E （ 2 1

m

b

d

+

−

， 2 1 2 1

m

b

m

d

m

+

）為

L

₁，

L

₂之交點，又由於

⎩

⎨

⎧

+

−

=

+

=

d

X

m

Y

b

X

m

Y

' n 2 ' n n 1 n 如果知道

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−

→

+

−

→

2 1 ' n 2 1 n

m

b

d

X

m

b

d

X

當 n

→

∞

時，則

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

→

+

−

=

+

→

+

=

2 1 2 1 ' n 2 ' n 2 1 2 1 n 1 n

m

b

m

d

m

d

X

m

Y

m

b

m

d

m

d

X

m

Y

所以我們可以把重點放在數列

{

X

_n

}

上。又知（

X

₁'，

Y

₁'）為 1 2

x

y -m

X

x d

=

⎧

⎨ =

+

⎩

之解

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

−

=

⇒

d

X

m

Y

X

1 2 ' 1 1 ' 1 又（

X

₂，

Y

₂）為

⎩

⎨

⎧

+

=

+

=

d

X

-m

y

b

x

m

y

' 1 2 1 之交點 1 1 1 2 2

m

b

d

X

m

X

=

−

+

−

⇒

（

X

'₂，

Y

₂'）為

⎩

⎨

⎧

=

+

−

=

2 2

X

x

d

x

m

y

之交點

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

−

=

−

+

−

=

⇒

d

X

m

Y

m

b

d

X

m

X

2 2 ' 2 1 1 1 2 2 ' 2 （

X

₃，

Y

₃）為

⎩

⎨

⎧

+

−

=

+

=

d

X

m

y

b

x

m

y

' 2 2 1 之交點 1 2 1 2 3

m

b

d

X

m

X

=

−

+

−

⇒

依此類推求下去數列

{

X

_n

}

應該為遞迴數列，且此數列應有下列的遞迴關係： 1 k 1 2 1 k

m

b

d

X

m

X

₊

=

−

+

−

∀

k

∈

N

(7)

(二 ) 數學歸納法 我們可利用數學歸納法，來證明數列

}

{

X

n 為遞迴數列： 1. 當 k＝1 時 1 1 1 2 2

m

b

d

X

m

X

=

−

+

−

已證成立。 2. 設 k＝n 時該式成立，即 1 n 1 2 1 n

m

b

d

X

m

X

₊

=

−

+

−

。可知道（

X

_n+₁

'

，

Y

_n+₁

'

）為

⎩

⎨

⎧

+

−

=

₊

d

x

m

y

X

x

2 1 n 之交點

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

−

=

⇒

+ + + +

d

X

m

Y

X

1 n 2 ' 1 n 1 n ' 1 n （

X

_n₊₂，

Y

_n₊₂）為

⎩

⎨

⎧

+

−

=

+

=

+ +

m

X

d

Y

y

b

x

m

y

1 n 2 ' 1 n 1 之交點 1 1 n 1 2 2 n

m

b

d

X

m

X

=

−

+

−

⇒

₊ ₊ 根據數學歸納法得知，對於數列

{ }

X

_n ， 1 n 1 2 1 n

_m

b

d

X

m

X

₊

=

−

+

−

的遞迴關係，對所有的自然數n 皆成立。Q.E.D. (三 ) 收斂的討論 根據遞迴數列的性質，

{ }

X

_n 之任一項可以以

X

₁來表示，其推導過程如下： 1 1 n 1 2 n

m

b

d

X

m

X

=

−

₋

+

−

1 1 2 n 1 2 1 2

m

b

d

m

b

d

X

m

₊

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

₊

−

=

₋

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

₋ 1 2 1 2 n 2 1 2

m

1 m

b

d

X

m

2 2 2 1 1 1 2 1 ₂ 1 1 2 1 1 ... n n m m m m m d b X m m _m m − − ⎡ _⎛₋ _{⎞ ⎛}₋ _⎞ ⎤ ⎢ +_⎜ _{⎟ ⎜}+ _⎟ +⎥ ⎛− ⎞ − ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ =_⎜ _⎟ + _⎢ _⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎛− ⎞ ⎥ + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 1 2 1 n 1 2 1 1 1 n 1 2

m

1 m

m

1 m

b

d

X

m

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

• −

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

− −

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

−

+

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

− − n 1 1 2 2 1 1 1 n 1 2

m

1 m

m

b

d

X

m

2 1 1 n 1 2 2 1 1

m

b

d

m

b

d

X

+

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

=

− 其中

L

₁：y＝

m

₁x＋ b 與

L

₂：y＝－ 2

m

x＋d 交點的 X 坐標即為 2 1

m

b

d

+

−

。當 n 足夠大時， X_n是否會趨近於 2 1

m

b

d

+

−

，就完全掌握在 n 1 2

m

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

的條件上。 1. 當 1 2

m

−

＞ 1 時，即

m

₂ ＞

m

₁ 時 1 n 1 2 n

m

lim

− ∞ →

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

發散，亦即隨著 n 逐漸增大，

X

_n會漸遠離 2 1

m

b

d

+

−

，為圖 a 的情況，是為發散蛛網。

(8)

2. 當

1 m

m

1 2

₌

−

時，即

m

₂=

m

₁時， 1 n 1 2 n

m

lim

− ∞ →

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

雖發散，但當 n=2k+1 時X_n

=

X

₁，當n=2k 時， X_n

(

)

2 1 1

_m

b

d

2 X

+

−

+

−

=

為圖 b 之情況，稱為循環蛛網。 3. 當 1 2

m

−

＜1 時，即

m

₂＜

m

₁時， 1 n 1 2 n

m

lim

− ∞ →

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=0，即 2 1 n n

m

b

d

X

lim

=

₊

−

∞ → ，當n 足夠大時，

P

₁（

X

₁，

Y

₁）循著蛛網途徑，最後會到達 E 點，為圖 c 之情況，是為收斂蛛網。Q.E.D.

肆、討論與分析

從第三節收斂的討論可知，要達到新的均衡，數學的分析提出了必須要滿足： 1 2

m

−

＜1 的條件，即觀察兩條直線(L1與 Y X L1 0 E L2 P1 Pn漸遠離交點 E 圖 a：蛛網愈來愈往外，Pn點遠離交點 E，我們這樣的蛛網為發散的蛛網。 E Y L1

P

'2k−1 2

P

₂_k 1 4 3 0

P

₂_k−₁

P

'2k X 圖 b：蛛網一直在循環，點在四點跳動，我們稱為循環蛛網(圖中 k 為自然數)。圖 c：蛛網愈來愈往內，點越來越接近交點E，我們稱為收斂蛛網。 L1 Y 2 E 3 1 4 L2

P

₁ 0 X

(9)

L2)的斜率，因此數學家就理論的分析，可以明確的斷言，只要確定供給線的斜率 1

m

大於需求線的斜率絕對值

m

₂，最後一定會到新的均衡點，供給與需求會再度達到平衡。但如何確定

m

₁與

m

₂兩者之間的關係，就非數學家之所長，剩下的工作便由經濟學家來負責。在數學上斜率衡量直線的傾斜程度，其絕對值愈大，表示愈傾斜。而供給函數與需求函數的斜率，除了表示圖形在直角坐標平面上的傾斜程度外，還表示了價格變動與數量變動兩者之間的敏感度。參考圖一，

L

₁：

P

=

m

₁

Q

+

b

2

L

：

P

=

−

m

₂

Q

+

d

，斜率的絕對值(i.e. 1

m

與

m

₂ ) 為價格變動對數量變動的比值，即為

Q

P

Δ

(其中

Δ

P

表示價格的變動；

P

Δ

表示數量的變動) 。經濟學家依其專業，分析供給函數與需求函數價量變動之間的比值，亦即數學式中的斜率，當其確認兩者之間的關係後，代入之前的數學模型，便可判斷新均衡是否能達到(註一)。根據經濟分析，農作物的產品，尤其是檳榔這類農作物，是一種生活習慣，既然成習慣，價格變動的大小，對數量的需求不會影響太大。反之對供給者而言，價格一有所動，就有誘因來作調整，價格好時，搶種--多生產；價格低迷時，改種其他作物--減產，因此供給量就會隨著有較大的變動。從斜率的絕對值

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來觀察，當

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相同時，需求者之

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小於供給者之

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，即需求線斜率的絕對值大於供給線的斜率，因此在蛛網模式的預測下，農產品如檳榔的價格容易長期波動，無法趨於新均衡點，供需失調，因此經濟學家會建議政府的適時介入有其必要。不少人認為，引進數學作為分析工具，讓分析過程更為嚴謹，使結果更具說服力，是讓經濟學成為諾貝爾獎項中，唯一的社會學科的重要原因之一(註二 )。而事實上，在應用數學作為分析工具的模式下，經濟理論的應用非常廣泛，像本研究的蛛網理論，除了可以解釋農作物的產銷失調外，像檳榔價格的長期波動，就非常符合理論的預測。連科技產品如DRAM 價格的波動也符合蛛網模式的預期，雖然科技產品不會像農作物容易毀損，必須儘快出清，但是相對的產品不售出，庫存成本的壓力大，再加上科技產品生命週期短，一樣會有儘快求售的壓力，一如農產品，因此本文的模型，對科技產品的預測仍然有效。從上一節的推論過程，相信讀者應該可以發現，數學公設化邏輯演繹系統的影子，從公設、基本假設出發，推論出定理，也成為經濟學獲得新學理的主要途徑。而與數學最大的差異，在於經濟學追求新學理的主要動機，是要對社會現象提供一套合理的解釋理論，並能提出適當的建議，使得資源的分配更為適切。而數學號稱科學之母，追求內在的一致性，與邏輯的完整與嚴謹性，能否直接應用於真實

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的世界，並非主要目標。兩個學門的結合，形成今日經濟學數理化的結果，不管是偶然或是學科本質的必然結果，已經讓經濟學能探討的範圍從傳統的供需價格問題，擴展到選舉、種族歧視等原本屬於政治學、社會學領域的範疇，數理化經濟能精確的描述所觀察到的世界，絕對是一個重要因素。文字的敘述可以很細膩，但數學的導引卻最為簡潔有力，沒有準確的描述出問題所在，想要提供正確的解決之道，無異於緣木求魚，大量引進數學程式的經濟學，在這方面確實有極大的優勢。

伍、結論

希望透過文中的分析，特別是蛛網理論的數學論證過程，讀者對現代經濟學的分析架構有一基本的認知，而且對數學在經濟學分析中所扮演的角色，會有一個整體的輪廓，至少不會質疑為何屬於傳統社會組的科系，會要求數學加重計分。2007 年諾貝爾經濟學獎頒給三位對於「機制設計理論(mechanism design theory)」有貢獻的學者，其中兩位 Eric S. Maskin(1950~ ) 和 Roger B. Myerson(1951~)都是於 1976 年獲得哈佛大學應用數學博士。從 2005 年的數學家，到今年的經濟學桂冠得主的例子，數學在經濟學的地位，實在無法令人忽略。所以 Friedman 建議有志於經濟學發展的青年學子，多讀一些數學與統計課程的涵義，應該是不難明瞭才對。

陸、註解

註一：社會實際的運作果真會按照數學的模型來進行？這是一般利用模型來預測社會現象容易引起的質疑。模型之所以能夠建立，是把問題的一些條件抽象化，尋找其共通性，以解釋所欲討論的現象或做預測。就社會科學而言，所討論的問題經過抽象化後，常會和實際的社會運作有些出入，因此容易引起質疑實際的社會情境，不可能完全照模型的程式來運作，作者並不否認，本文的蛛網模型也不例外，但並不能就此否定模型解釋社會運作的效用。就本文的蛛網模型而言，從模型的推導過程中，能夠清楚說明「生產者從事生產到產品能夠上市的時間落差，如何造成價格與產量的波動，並進而透視整個歷程與波動的方向」。當然在基本假設的第三點，假設市場消息不靈通，因此生產者只好以上一期的價格來決定這一期的供應量，就實際的社會運作情況，應該不至於如此不靈通，而一味地根據當期的價格，決定下一期的產量。應該是會做機動的調整，如此會縮短歷程與波動的幅度，此點的確與市場的運作不符，但是利用第三點的假設，讓生產函數的變數只有一個，無形中讓整個推論的過程簡化甚多。而更重要的是在簡化的過程，並不會犧牲蛛網模型在波動方向的預測，用來解釋農作物

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的價格與產量的波動常趨於不穩，十分符合。調整的細節是很複雜，均衡的到達也不一定會如模型的推導過程一樣，而一成不變，但是透過模型的說明，了解事情的本質，波動方向的變動便容易掌握，預測結果自然會跟實際市場的運作結果符合。如此說來，均衡的過程是是否一定按照所述的數學過程達到，便非要點，能點出問題的本質，並解釋價格波動的方向，才是蛛網理論的最大貢獻。註二：經濟學也引進了許多學門來增強其本身的內容，諾貝爾經濟學獎也曾頒給許多不是數學家，也非經濟學家的人。1978 經濟學獎 Herbert A. Simon(1916~2001) 是電腦科學家，在決策理論有顯著的貢獻；又如 2002 經濟學得主 Daniel Kahneman(1934~ ) 是心理學家，其研究促使行為經濟學的興起；而 Ronald Coase(1910~ ) 是法律學者，獲頒 1991 經濟學獎，表揚在法律經濟學的貢獻。

柒、參考文獻

葉秋南譯(1991)：經濟分析之基礎。 Samuelson, P. 原著, Foundations of Economic Analysis(1947)。台北市：五南出版社, 初版。鄧東濱、林炳文(1999)：個體經濟理論。台北市：三民書局，第六版。張清溪、許嘉棟、劉鶯釧、吳聰敏(2004)：經濟學理論與實際上冊。台北市：新陸書局，第五版。高希均(1998)：經濟學的世界上篇 —經濟 觀念與現實問題。台北市：天下文化，初版。諾貝爾官方網站：http://nobelprize.org/

Nash, J.( 1950). Equilibrium points in n-person games, Proceedings of the National Academy of Sciences, 36, 48-49

Thomas, G. B. (1996). Calculus and analytic geometry (9thed.). Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Varian, H. R. (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). W. W. Norton & Company, Ltd.