1-3-1指數與對數-指數

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(1)(99 課綱) 第一冊第三章指數與對數 3-1 指數與對數-指數【目標】能了解從正整數指數推展到整數指數､有理數指數､以至於實數指數的概念與目的，並熟悉指數律的運用，再透過電算器的操作，確實感覺到 100.1 , 100.2 , 100.3 , 100.4 , L 的數值，並看出以 10 為底的指數值隨著指數增加而指數值也變大的單調性，作為擴展更一般的指數性質的基礎。【討論】 3. 我們知道 a1 = a, a 2 = a ⋅ a, a 3 = a ⋅ a ⋅ a ，那麼是否可以適當定義 a −2 , a 4 等等，使這樣的符號適用的範圍更廣､更方便。我們將討論符號 a n 的意義，其中 n 逐步由正整數､整數､有理數，推廣到實數。另一方面，已知 22 = 4, 23 = 8 ，然後我們要問，是否有實數 x ，使 2 x = 7 ？如果有，這實數 x 如何表示？希望將指數與指數律由自然數系推廣到整數系，再到有理數系及實數系，即定義 a x 中， x : N → Z → Q → R 且 a : a ∈ R → a ≠ 0 → a > 0 → a > 0 ，推廣的過程中，適當限制 a 的範圍使得指數式有意義，並要求仍然滿足指數律。. 1.

(2) 【定義】 1. 正整數指數：設 a ∈ R, n ∈ N ，定義 a n = a1×42 a ×L × a (表 a 自乘 n 次)，讀作 a 的 n 次方(或 a 4 43 4 n個. 的 n 次冪)，其中 a 叫做底數， n 叫做指數， a n 叫做指數式。一般 a 2 讀作 a 的平方， a 3 讀作 a 的立方。【性質】 1. 正整數指數的指數律(運算性質)：設 a, b ∈ R, m, n ∈ N (1) a m × a n = a m + n 。 (2) (a m ) n = a mn 。 (3) (ab) n = a n b n 。證明： m+n a ×L × a)(a1×42 a ×L × a) = a1×4 a4 ×L × a4×4 a4 ×L (1) a m × a n = (a1×42 4×4a2 4×3a = a 4 43 4 4 43 4 m個. m + n個. n個. 。 n組 6444444447 444444448 L L (2) (a ) = (a1×42 = ( a × a × × a )( a × a × × a ) L (a1×42 a ×L × a) a × L × a ) 4 43 4 142 4 43 4 142 4 43 4 4 43 4. m n. n. m個. m個. m個. m個. = a1×42 a ×L ×a = a 。 4 43 4 mn. mn個. n組 n組 n組 n組 8 67 8 6447 448 647 48 67 (3) (ab) = (ab)(ab) L (ab) = abab L ab = aa L abb L b = a nb n 。註： (1) 指數律性質可依 m, n 為正整數､零､負整數各種情形分類證明，例如： m, n 皆為負整數時，令 m = − m′, n = − n′ ，其中 m′, n′ 為正整數，則 n. a m ⋅ a n = a − m′ ⋅ a − n′ =. 1 1 1 1 ⋅ n′ = m′ n′ = m′+ n′ ， m′ a a a ⋅a a. a m ⋅ a n = a − ( m ' + n ') = a ( − m ') + ( − n ') = a m + n 。 (2) 一般情形也可依 m, n 為正整數､零､負整數證明：對非零實數 a, b 及任意整數 m, n 恆有 (a m ) n = a mn ， (ab) m = a m b m 。因此，指數定律對整數指數仍然成立。 (3). as 1 = a s ⋅ r = a s ⋅ a−r = a s−r 。 r a a. 2.

(3) 【定義】 1. 整數指數：設 a ≠ 0 ， n 是正整數時， a 0 = 1 ， a − n =. 1 。 an. 註： (1) 我們預期 a 0 × a n = a 0+ n = a n ，當 a ≠ 0 時，將 a 0 定為 1 是合適的。人口成長模型中， a 0 表示初始值，一般希望定義為 1 。 (2) 又 a ≠ 0 時，預期 a − n × a n = a − n + n = a 0 = 1，因為 a n ≠ 0 ，所以將 a − n 定為 1 是合適的。 an 【問題】 1 1. 上述定義的 a 0 = 1 及 a − n = n ，能否使得指數律依然成立？ a m a b bn 2. 若 a, b ≠ 0, m, n ∈ Z ，則 n = a m − n 是否成立？ ( ) n = n 是否成立？ a a a 【性質】 1. 整數指數的指數律(運算性質)：設 a, b ≠ 0, a, b ∈ R, m, n ∈ Z (1) a m × a n = a m + n 。 (2) (a m ) n = a mn 。 (3) (ab) n = a n b n 。註：上述證明時，要分類討論如下： (1) m, n 皆為零。 (2) m, n 中有一為零。 (3) m, n 皆不為零時，再分成 m, n 全正、全負、一正一負。例如： m, n 全負時，設 m = −m' , n = −n' ，其中 m' , n' 皆為正整數，則 1 1 1 1 (1) a m × a n = a − m ' × a − n ' = m ' × n ' = m ' n ' = m '+ n ' = a − ( m '+ n ') = a ( − m ')+ ( − n ') a a a a a m+n =a 。 1 1 (2) (a m ) n = (a − m ' ) − n ' = −m ' n ' = = (a m ' ) n ' = a m 'n ' = a ( − m ')( − n ') = a mn 。 1 (a ) ( m' ) n' a 1 1 1 1 (3) (ab) n = (ab) − n ' = = n ' n ' = n ' × n ' = a − n 'b − n ' = a nb n 。 n' (ab) a b a b 其餘證明依此類推。. 3.

(4) 【討論】 1. 為了建立指數函數的數學模型，以便描述自然界中與時間有關的一些成長函數，需要解決指數為任意實數時所代表的意義。對於有理數指數，先定義指 1 n. m n. 數 a ，再定義一般分數指數 a 。 1. (1) 定義 a n ：設 a > 0, n ∈ N , n ≥ 2 ， 1 n. n n. 1 n. 由指數律 (a ) = a = a = a ，即 a 是方程式 x n = a 的根， n. 1. 又已知 x n = a 恰有一正實根 n a (稱 n 次根號 a ) (利用勘根定理證明存在性及唯一性)， 1. 即 a 的正 n 次方根，因此我們就規定 n a = a n 。 m n. (2) 定義 a ：當 a > 0, n ∈ N , n ≥ 2, m ∈ Z ，因 ((n a ) m ) n = ( n a ) mn = ((n a ) n ) m = a m ，知 ( n a ) m 是 a m 的正 n 次方根， 1. m. 1. m. 故定義 a n = (a n ) m = ( n a ) m 或 a n = (a m ) n = n a m 。 1. 1. 1. ×n. 2. 給定正實數 a 及正整數 n 時，我們預期 (a n )n = a n = a1 = a ，所以將 a n 定為 a 的 n 次方根是合適的。 3. 一般將分母一律化為正整數，利用分子調整正負。通常運算會先化成正有理數指數，若為負則化成倒數後，即可變為正有理數指數。 4. 給定正實數 a 及正整數 n ，就有唯一的正實數 α ，使 α n = a ，又此正實數 α 記作 n a 。也就是說 n a 表 a 唯一的正 n 次方根，所以 a > 0 時，恆有 n a > 0 且 ( n a )n = a 。 5. 由於負實數沒有偶次的實數方根（例如： −1 沒有二次的實數方根），從有理 1. 數指數開始，我們將底數 a 限定為正實數，而 a n 也取為 a 的正 n 次方根 n a 。 m n. m n. m n. 由於 a = a ，故 a 是 a 的正 n 次方根，因此有理數指數 a > 0 恆成立。 m. n. m. m n. 6. 當 n 為正整數， m 為整數時，預期 a = a. (( a ) ) = ( a ) n. m n. n. mn. 1 ×m n. 1 n m. = (a ) 。又由. = (( a ) ) = a ，得知 ( n a )m 是 a m 的正 n 次方根，故 n. n m. m. m. a n = ( n a )m = n a m 。. 7. 當給定正實數 a 及有理數 r 時，可設 r =. m ，其中 n 是正整數， m 是整數，則 n. m. a r = a n 。有理數 r 表為分數時，表法雖不唯一，但 a r 的值與 r 的分數表法無. 關，這是因為當 n, k 是正整數，m 為整數時，( n a m ) nk = (( n a m ) n ) k = (a m ) k = a mk ， mk nk. 1 nk. 1 nk. k nk. 1 n. m n. 就有 a = a 。即 a = (a ) = ((a ) ) = (a ) = (a ) = a ，知有理數指數與指數的分數表示法無關。 nk. mk. n. m. mk. 4. k. m. m. m.

(5) 【定義】 1. 有理數指數： a 是正實數， n 是正整數， m 是整數時， 1 n. m n. 1 n m. a = a ， a = (a ) = ( n a ) m = n (a m ) 。【問題】 1. 為何定義分數指數時， a 要為正數？ n. 1 3. 1 2. (註：若 a 為負數時，如 (−8) , (−4) 等數，有些可以定義唯一值，有些不行定義，所以就將這些情形排除掉不討論了。) 2. 試找出下列算式錯誤的位置： 2×. 1. 1. 1. (−1) = (−1)1 = (−1) 2 = ((−1) 2 ) 2 = 1 2 = 1 。 3. 試找出下列算式錯誤的位置： 1 3. 2 6. − 2 = ( − 8 ) = (−8) = (−8) = 6 (−8) 2 = 6 64 = 2 。 4. 定義分數指數後，能否使得指數律依然成立？ 3. 5.

(6) 【性質】 1. 有理數指數的指數律(運算性質)：設 a, b > 0, a, b ∈ R, r , s ∈ Q (1) a r × a s = a r + s 。 (2) (a r ) s = a rs 。 (3) (ab) r = a r b r 。證明： m p 設 r = , s = ，其中 n, q 是正整數， m, p 是整數，則 n q m n. (1) a × a = a × a = ar+s 。 r. s. p q. m n. p q. =a m. mq nq. p q. ×a. (2) (a ) = (a ) = ( a ) = r s. =a. mp nq. =a. m p × n q. n. np nq. q n. =. a. nq. m. a. mq. p. =. × a. q n. nq. a. mp. np. =. =. nq. q n. a. mq + np. a mp =. =a. nq. mq + np nq. =a. m p + n q. a mp. = a rs 。. m. m. m. m. m. m. (3) (ab) r = (ab) n = n ab = n a n b = a n b n = a r b r 。 2. 大小關係：設 a > 0 ， r , s 為任意實數，則 (1) a > 1 時，若 r < s ，則 a r < a s 。 (2) 0 < a < 1 時，若 r < s ，則 a r > a s 。證明： (1) a > 1 時，若 r < s，則 s − r > 0 ，且 a s = a r + ( s − r ) = a r ⋅ a s − r > a r ⋅ 1 = a r ，故 a r < a s 。 1 a. 1 a. 1 a. (2)當 0 < a < 1 時， > 1，r < s 即 −r > − s，故 a r = ( ) − r > ( ) − s = a s，即得 a r > a s 。註： m. m. (1) 當 a 是正實數， n 是正整數， m 是整數時， a n = n a m ，即 a n 是 a m 的正 n m. 次方根﹐故 a n > 0。於是對任意有理數 r ，恆有 a r > 0，即 a r 恆為正實數。 (2) 對任意正整數 n ， 1 的正 n 次方根 n 1 = 1 。再設 m 是整數，則 m. 1 n = n 1m = n 1 = 1 。因此，對任意有理數 r ，恆有 1r = 1 。基於此，以 1 為. 底數的問題太單純，沒什麼必要討論。 (3) 設實數 a > 1 ， n 是正整數，則 a 的正 n 次方根 n a > 1 ，因為若 0 < n a ≤ 1 ﹐ m. 則會導致 a = ( n a ) n ≤ 1 的矛盾。若 m 也是正整數，則 a n = ( n a ) m > 1。於是，實數 a > 1 ，對任意正有理數 t ，恆有 a t > 1 。 (4) 由有理數指數的次序關係，可以推論：對不等於 1 的正實數 a ，當實數 r ≠ s 時，必有 a r ≠ a s ；亦即當 a r = a s 時，必有 r = s 。 3. 指數相等：設正實數 a ≠ 1 ，若 a r = a s ，則 r = s 。. 6.

(7) 【定義】 1. 實數指數：只需再定義無理數指數即可，利用有理數來逼近無理數以定義無理數指數。設 a 是正實數，若 r 是有理數，則 a r 的意義如上；若 r 是無理數，則 r 可表為無限小數，即 r 是一個有限小數所成數列 r1 , r2 ,L , rn ,L 的極限。此時，數列 a r1 , a r2 ,L , a rn ,L 是收斂數列，它的極限就是 a r 。即 rn 為有理數，對任意自然數 n 都成立，且 lim rn = r ，定義 a r = lim a rn 。 n→ ∞. n →∞. 註：所取的極限只與 a, r 有關，與數列 r1 , r2 ,L , rn ,L 無關。【問題】 1. 上述定義實數指數後，能否使得指數律依然成立？【性質】 1. 實數指數的指數律(運算性質)：設 a, b > 0, a, b ∈ R, α , β ∈ R (1) a α × a β = a α + β 。 (2) (a α ) β = a αβ 。 (3) (ab) α = a α b α 。 2. 實數指數的大小關係：設 a > 0, a, r , s 為實數，則 (1) 當 a > 1 時， a r > a s ⇔ r > s 。 (2) 當 0 < a < 1 時， a r < a s ⇔ r > s 。註： (1) a 是正實數， r 是實數，由定義可知實數指數 a r > 0 恆成立。 (2) a > 0, a ≠ 1 時，指數函數 a x 為一對一函數，所以 a x = a y ⇔ x = y 。【性質】 1. 指數律： (1) a r a s = a r + s 。 (2) (a r ) s = a rs 。 (3) (ab) r = a r b r 。其中適用情形如下表：指數 r , s 底數 a, b 任意實數正整數非零實數整數正實數任意實數. 7.

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