第一次期中考數學（數資班、科學班）

第 1 頁 x y O A B P Q

國立師大附中 100 學年度第一學期數學科(數理、科學班)第一次段考題目卷

1. 如圖，ΔOAB 與 ΔOPQ 對應全等，若過 O，A 兩點的直線斜率為 k，試問 過 O，P 兩點的直線斜率為何? (A) 1 k (B) k (C)  1 k (D) k 2. 二次函數 y = f (x) = a (x  x2) 2 + b，其中 a < 0，若 x1，x2，x3，x4四數成等差，且 y1 = f (x1)，y2 = f (x2)，y3 = f (x3)，y4 = f (x4)，試問下列何者正確?

(A) y1> y2> y3 > y4 (B) y2> y1=y3 > y4 (C) y2 < y1 =y3 < y4 (D) y1 < y2< y3 < y4 二、多選題 (每題 6 分，共 18 分。答錯一個選項得 4 分，答錯兩個選項得 2 分，答錯三 個或三個以上選項得 0 分) 1. 若 x = 5 + 1，試問下列哪個選項的值為有理數? (A) 1 x (B) x 2 _{ 1 (C) x}2 _{ 2x  2 (D) (x  1)(x } 5 )(x + 5) (E) x3  2x2  4x 2. 下列關於函數的敘述，何者正確? (A) 對任意正實數 x 而言(x  1)，f (x) = (x  1) + 1 x  1的值恆大於或等於 2 (B) 對任意實數 x 而言(x  0)，f (x) = x2 + 1 x2 的值恆大於或等於 2 (C) 對任意實數 x 而言，f (x) = 2x2  x + 2 的值恆大於或等於 2 (D) 對任意實數 x 而言，f (x) = 2(x  1)3 + 2 的值恆大於或等於 2 (E) 對任意實數 x 而言， f (x)= 2(x  1)4 + 2 的值恆大於或等於 2 3. 下列敘述，何者正確？《初中數學競賽教程》 (A) 奇數的平方被 8 除的餘數可能是 1 也可能是 5，但不會是 3 或 7。 (B) 用數碼 0, 1, 2, 9, 6 各 259 個隨意排成一個 1295 位數，則 n 必不為質數。 (C) 五位數x81 5y 是 11 的倍數，則必有 x = y + 2。 (D) 設 x1, x2,…, x1293都是+1 或1，則 x1 + 2x2 + 3x3 +…+ 1293x1293必不為 0。 (E) 若 a1, a2,…, a1294都是正整數，任意改變這 1294 個數的順序後記為 b1, b2,…, b1294， 則(a1  b1)(a2  b2)…(a1294  b1294)必為偶數。

第 2 頁 三、填充題 (每格 5 分，共 55 分) 1. 將4 7化為小數，小數點後第 100 位數字為何？【a】 2. 若ax 2 b的解為2  x 10 3，求數對(a, b) =？【b】 3. 若 x 與 y 均為正數，且 x2 = 2 1 2 1   , y 2 = 2 1 2 1   ，求 3 3 x y x y   =？【c】 4. 若多項式 g(x)除以(3x  1)的餘式為 2，f (x)除以 g(x)的商式為(3x  1)，餘式為 3， 試問 f (x)除以(3x  1)2 的餘式為何？【d】 5. 若 m 為實數且二次函數 y = f (x) = x22x + m + 6 的圖形恆在直線 y = 2 的下方， 試問 m 的範圍為何?【e】 6. 若正方形甲的邊長為 a，正方形乙的邊長為 b，已知 4 塊正方形甲的面積與 1 塊正方 形乙的面積和為 16 平方單位，試問以(2a + b)為邊長的正方形面積的最大值為何？【f】 7. 設 f (x)為三次多項式，已知 f (1) = f (2) = 0 且 f (1) = 4，f (3) = 16，試求 f (2) =？【g】 8. 若|x|  2，且 y = f (x) = (|x|  1)(x + 2)，若 f (x)之最大值為 m，最小值為 n，試求 m + n 之值？【h】 9. 設 f (x) = 8x3 + 4x2 + 2x + 6，試問： (1) 將 f (x)改寫為 a(2x  1)3 + b(2x  1)2 + c(2x  1) + d，求 a + b  c  d 的值？【i】 (2) 求 f (0.499)至小數點以下第三位？(小數點以下第四位四捨五入) 【j】 10. 將 11 57 32 3  11 57 32 3 化為最簡根式。【k】《初中數學競賽教程》

第 3 頁

A B

a a1 a2 a3 ………… a14 a15 a16 b

四、計算題 (兩題共 17 分，將計算過程寫在答案卷上，否則予以扣分)

1. 已知 A 與 B 兩點在數線上的坐標分別為 a 與 b (a 與 b 均不為 0)，今將AB平分為 17

等分，其中 a1、a2、a3、…、a14、a15、a16為等分點，則 (1) 試將 a14的坐標用 a 與 b 表示? (3 分) (2) 設 Q 點坐標為 a3，今以AB為直徑畫圓，在此圓周上取一點 P 使得PQAB，令 AB= 43 168，今將PQ表為 r + s 42 的形式(r 與 s 為有理數)，求數對(r, s)。(5 分) 2. 根據以下步驟解出此問題：「若 p, 2p2  3, 4p2 + 1 都是質數，求質數 p 的所有可能值。」 (1) 找出當 p  5 時，所有可能的 p 值。(3 分) (2) 證明 p > 5 時，p, 2p2  3, 4p2 + 1 不可能同時為質數。(6 分) 《初中數學競賽教程》