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兒童的分數概念研究:一個國小五年級的個案

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(1)第一章 緒論 本章分為四部份,首先說明本研究的背景及重要性,其次是研究目的以及 說明本研究論文的組織架構,最後則是說明此研究之限制和名詞界定。. 第一節. 研究背景及重要性. 「數學」這門學科一向是部分中小學生、甚至高中生最頭痛的科目。為了 瞭解其原因,本研究者曾對六年級的學生做訪問,以瞭解兒童不喜歡數學的原 因,其答案不外乎是學生認為大部份的數學知識在生活上都用不到,而且難以 理解數學課本的內容。仔細分析兒童的說法,其中有兩個問題值得我們教育工 作者思考的:一、為何數學知識會讓兒童覺得用不到?二、數學的內容是難以 理解的,是否我們對兒童的數學概念的發展特性瞭解得還不夠,所以編製出來 的課程較難被兒童所接受? 針對第一個問題,本研究者依據本身的教學經驗認為,與其說「用不到」, 不如說兒童不知如何應用他們所學的數學知識。會讓兒童產生不知如何應用數 學知識的原因是部份老師預先認定了數學課程有工具和要應用的情境兩種範 疇,因而在教學中把數學視為工具,再利用這解題工具來解題。這樣的教學可 能導致有些兒童認為在課堂上學習的數學和日常生活的應用是兩回事。為了解 決能讓兒童應用數學概念的問題,甯自強(民 81)認為數學應該視為解題的產 品,也就是說數學概念是來自為了要解決數學問題所產生的活動類型。本研究 者認為如果能讓兒童在學習數學概念的同時就是在解決問題,這樣就不會有數 學工具和應用問題的區分了。甯自強(1997)提出這種「識知理論」是將原來 的「先有概念和技能,再用以解題」的學科「組織邏輯」 (logic of organization), 改為「先尋求有效解題方法及將方法加以類型化後,再透過溝通活動動尋求共 識及追求效率」的學科「發生邏輯」 (logic of genesis) 。很多研究都指出由解題 活動來學習數學概念對兒童學習數學效果的提升有很大的幫助(Skemp, 1987/. 1.

(2) 陳澤民譯,1995;陳龍安,民 77;陳竹村,2001)。 在第二個問題方面,為了要改善兒童數學學習的效果,許多教育工作者開 始也進行兒童概念的研究(Lamon, 1990 ; Steffe, 1988; Ning, 1992) 。在兒童的數 學概念的研究一般而言分為兩種取向。一是預設一個標準或正確答案以成人或 教師的立場來評斷兒童的數學概念,將兒童異於數學課程中正確數學知識稱為 「迷思概念(misconception)」(Behr, Lesh, Post & Silver, 1983)。例如:黃惠瑜 (民 93)提及兒童在時間的加減運算時所顯現出的迷思概念。謝慧齡(民 93) 也提出國小一年級學童解減法文字題時所易出現的迷思解題類型。洪素敏(民 93)提出分數的迷思概念。張熙明(民 93)描述分數表徵的迷思概念。然而, 此一取向的研究僅能描述兒童的數學概念和成人的數學概念之差異(迷思概 念),我們仍未能瞭解其迷思概念何以發生。 兒童數學概念研究的另一取向為不預設標準,直接來描述兒童的數學概念 或解題行為(張淑怡,民 84)。根本建構主義的創始人 von Glasersfeld(1987) 指出:近年來,由於研究者察覺兒童是用他們自已的方式去概念化他們自己的 數學經驗,而不是去發現數學的最後真理(正確答案) ,因而一些數學教育的研 究者已改變他們的研究趨向,朝向調查數學概念本質以及觀察兒童在與該數學 概念相關的實驗上之表現。Steffe(1988)更進一步說明唯有透過兒童的語言和 動作才能確實的瞭解兒童的數學概念。本研究者綜合以上所言,此一直接建立 兒童概念模型的研究取向是以兒童的觀點來探討兒童數學概念發展,其研究的 方法乃是透過兒童的語言和動作的外顯行為。這樣的研究可以建立兒童數學概 念的可能發展途徑的模型來彌補「迷思概念」之描述的不足之處。 朱建正(民 79)指出,數學是一門研究「量」與「形」的不變性的科學。 所謂的「量」是指人的感官能感覺實體存在的量,例如:重量、容量、長度、 面積、體積、角度等。 「形」則是指立體圖形或平面圖形的要素或其要素之間的 關係(教育部,民 86) 。甯自強(民 80a)進一步的主張數學的知識應源自並抽. 2.

(3) 象自現象中的「量」與「形」的經驗,而不論量或形,其表徵方式均透過「數」 和賦予的單位來完成。因此,國小階段的數學課程的「數概念」可以說是國小 數學的學習重點。數概念是以整數為基礎,但當遇到整數無法解決的情境,就 必須引進分數(呂玉琴,民 80a)。從研究者的教學經驗發現,相較於整數,部 分兒童似乎比較不瞭解分數的意義。例如:兒童會認為單位量相等,四分之一 比三分之一大;在做分數的加減時,直接把分子相加(減)和分母相加(減) 的答案做分子、分母的並置來做答。關於此現象,國內外也有類似的研究報告, 例如:根據 Kerslake(1986)和呂玉琴(民 80a)的研究均指出學童對分數的學 習明顯的仰賴反覆記憶的方式,缺乏有意義的分數概念。美國全國教育發展評 鑑(The National Assessment of Educational Progress:簡稱 NAEP)對十三歲至 十七歲學生的研究也發現部分學生不瞭解分數的意義;對分數缺乏數感;不知 分數是數;以機械式記憶規則來執行分數的運算等現象(引自 Post, 1988)。 回顧國內外類似研究兒童的分數概念發展的研究有 Piaget、Inhelder 與 Szeminska(1960)使用連續量的具體物,例如:紙片,研究 4~7 歲兒童對面積 的分割行為,以探究分數知識的起源基模;Nik Pa(1987)研究 9 位 10、11 歲 兒童的分數基模,發現兒童有撕裂、碎裂、分割、多對多比較等四種分割活動 類型;Ning(1992)曾就 4 位兒童進行教學晤談的研究,把兒童分數概念的可 能發展區分為分數的前置概念、起始單位分數、加法性分數、巢狀分數、有理 數等五個階段,並詳述其分數概念的特徵;李端明(民 86)和王淑芬(民 93) 分別對一位四年級、一位三年級兒童進行研究,由訪談資料中判斷其分數概念 均為加法性分數,並描述了此階段兒童的分數概念的特徵與加法性分數概念到 巢狀分數概念的中介過程。 基於以上所提的研究的背景、研究取向與主題選擇等理由,本研究者企圖 調查屬於兒童自身的數學概念,並選擇分數為欲探索的主題,以建立兒童分數 概念演化的可能途徑。而且本土仍缺乏高年級兒童的實徵研究資料,於是本研. 3.

(4) 究者以一位五年級兒童進行調查研究,藉此瞭解巢狀分數的發展的歷程與特性 以及巢狀分數到有理數概念的中介過程,並豐富本土的實徵資料。期望將來教 育研究者能繼續豐富本土兒童分數概念的實徵資料,以建立更客觀的兒童概念 發展途徑,進一步提供課程編製者和教學者作為參考資料。. 第二節 研究目的 依據上述的研究背景,本研究針對一位五年級的兒童進行調查訪談,旨在 探究受訪者對分數問題的解題活動類型以瞭解巢狀分數概念的特性,並建立兒 童的分數概念發展的可能途徑。. 第三節 論文組織 本研究包括五大部份,第一章為緒論,說明研究的背景及重要性、研究目 的與本論文的組織;第二章為文獻探討,其中包含研究者所採的知識論觀點與 心理學的立場、社會學之相關理論探討及兒童分數概念發展的相關研究;第三 章為研究方法及實施過程,包括了教學晤談法的意義及實施方法、受訪者的選 擇、訪談問題,並說明資料整理與分析過程,最後則說明本研究的流程;第四 章為受訪者的分數概念,研究者分析解題活動類型所呈現的運思模式並描述分 數詞的意義和使用情形;第五章結論和建議,首先研究者總結本研究的結論、 其次提出整個研究過程的反思,最後則提出研究的結果供課程發展、教學以及 評量做為參考。. 第四節 研究限制和名詞界定 本研究是針對一位國小五年級的學童以教學晤談法所做的調查研究,因此 研究的結果只能解釋有一位學童的分數發展有此特性,是不是其他的學童也有 這樣的發展特質,必須再進一步的研究。 由於研究者和受訪者的體力和時間都有限,研究問題僅能就研究者認為可 4.

(5) 以使受訪者展現出她的分數概念來做一調查研究。也許無法窮盡所有類型的分 數問題,精準的建立受訪者的分數概念模型。不過,研究者盡可能的以受訪者 的解題活動做最佳的詮釋。 最後,由於兒童的概念是不可見的,研究者所建立的兒童分數概念只是研 究者和受訪者在教學晤談的互動中所建立的共識域。因此,研究的結果和小雯 的分數概念是相容的,而不是相同的。 研究者界定論文中提出的名詞以利於溝通: 一、連續量:物件沒有自然的單位,須使用約定的測量工具才能描述此物件的 量。例:長度、面積。 二、離散量:物件有自然的單位,呈現離散的狀態,一個一個獨立的呈現。在 測量時,以其自然的單位進行數數的活動,稱之為離散量,例如:花片、 一個一個的小方塊。 三、單位量:在測量中,做為基準單位「1」所指示的量。 四、單位分數:指等分割單位量後的一份與單位量間的關係,亦即分子為 1 的 分數。例:. 1 1 、 。 2 3. 五、分量:經等分割活動後,再集聚若干等份,不滿一個單位量的量。 1 六、分數的內容物:分數所指示的量。例如:一盒花片有 12 片, 盒就是 4 片, 3 1 換言之, 的內容物就是 4 片。 3. 七、單位量內容物未知的情境:指離散量情境中,全部的數量並未告知受訪者。 八、比例的漏值問題:指等比例問題中,要解決其中缺項的問題。例如: 3:5=□:15,□=?。. 5.

(6) 第二章 文獻探討 本章分為四節。第一節敘述本研究之知識論與心理學理論的立場;第二節 討論數概念本質,以及數概念的模型、運思方式與兒童分數詞意義;第三節探 討分數與有理數的相關研究。第四節則是說明比和比例,以及與分數概念之間 的關係。. 第一節 知識論、心理學與社會學理論 本研究在探討兒童有關分數問題的解題活動類型,亦即兒童的分數概念。 「概念」是一種知識,因此對「知識的定義」和「知識的來源」的知識論應有 所主張。是以,本節首先說明研究者所採用的知識論立場,其次再闡述心理學 理論。最後,由於心理運作歷程本身是不可見的,因此溝通的過程也是需要進 一步做探討,故本節的第三部份將分析社會學理論。. 一、 知識論的假設 (一)知識論的發展 討論「什麼是知識?」這個問題,在哲學史上一直爭論不休。Jostein Garder 在其探討哲學的大作「蘇菲的世界」書中提到:理性主義(rationalism)哲學家 帕梅尼德斯(Parmenids)說: 「沒有一件事會改變的,用理性來揭穿感官的幻象。」 赫拉克里特斯(Heraclitus): 「所有事物都是流動的,世上有一種普遍的理性來 指導大自然的每件事,這一致性他稱之「理性」或「上帝」 。理性主義意指人類 的知識得自先天的理性作用。」以理性主義來看,世界上存在著客觀的知識或 真理,是「先驗的」、「自明的」(蕭寶森譯,1995)。 Jostein Garder 也在此書「蘇菲的世界」中討論到另一派的主張是經驗主義。 其中經驗主義的哲學家洛克(Locke)指出我們心靈在未經驗任何事物前,有如 一塊空白的板子。他認為我們的心靈除了用感官被動的接收到外界的刺激外, 6.

(7) 也會以思考、推理、懷疑等方式來處理接收到的資訊,這就是所謂的反思 (reflection) 。我們的概念是由許多單一的感覺一點一滴累積、分類而來的。洛 克將感官的性質分為主要的性質(primary)—擴延世界的物質特性如重量、體 積、數量等等,次要的性質(secondary)—如顏色、氣味、聲音等等,這種感 覺並不能真正反映事物本身的固有特質,而只是反映外在實體在我們感官的作 用。柏克萊(Berkeley)則說:「一切由心造,我們對時間、空間的認知只是我 的心靈所虛構的產物而已。」他否認在人類的心靈之外存在著一個物質世界。 綜合以上的討論,經驗主義主張經驗是知識的來源,我們組識經驗形成概念; 思考、推理的能力也是全靠經驗獲得,否認一切先天的理性或真理(蕭寶森譯, 1995)。 就理性主義來看「知識的來源」,「知識」是真理,是本來就有的。因此, 欲解釋「知識的來源」,將受限於「知識本來就存在」的預先假設而無法達成。 以經驗主義來看,知識來自於生活經驗、人的感官對外界的投射,雖然提升認 知主體的地位,也說明了知識可能的起源,但仍未解決具有普遍性、通則性的 知識從何而來的問題(劉錫麟,民 82) 。於是康得(Cant)在其「純粹理性批判」 一書中,提出主體的客體活動,用以解決理性論和經驗論的衝突,並解決「知 識的來源」的問題(劉錫麟,民 82) 。劉錫麟認為「本體的知識是不可能的,知 識的根源在於理解運行於感性直覺的現象場中,而理性則只有整理與統攝功 用,作用於理解上而不涉及現象。因此,康得是將知識置放於新的建構外在的 現象領域上,它是一種心理結構,可以組織吾人的經驗,促成主客體之間的互 動。而知識的可能性是存在於主客體的互動功能中」 (引自劉錫麟,民 82,p.19) 。 康得的創見是將知識的基礎從「知識即表徵」轉移至「知識即建構」 ,賦予了認 知的主體在知識論中的主要地位(劉錫麟,民 82) 。由以上所述,研究者認為康 得的批判主義主張認知個體主動組織所經驗的世界,組織的原則是辯証的、理 性的。而根本建構主義就是源自於康得的批判主義(Bruner, 1986; Jonassen,. 7.

(8) 1991)。 由於康得的批判主義能調和理性主義和經驗主義的衝突,而根本建構主義 主要是源自於康得的批判主義。因此本研究採取根本建構主義的知識論立場, 來分析兒童的分數概念。. (二)根本建構主義的意義與內涵 von Glasersfeld(1995)所提出的「根本建構主義」是一種「知識論」(theory of knowledge),其內容在討論「知識是什麼」,「知識如何獲得」,「知識是否具 絕對的客觀性」 ,此理論主要是源自於生物學進化論的適應(adaptive)的觀點。 von Glasersfeld 認為生物為了要適應環境與生存,會產生一些行為來應付外在的 環境限制,當外在環境起了新的變化,以致於原來的行為不足以應付新的環境, 個體的行為就會調整以適應新的環境。而人類的思考活動也是如此,認知的功 能在於使個體能在受限制的環境中找出最適合的活動,並可在此限制下存活 (viable) 。根據 von Glasersfeld 的說法,而形成根本建構主義的兩項基本原則為: 1. 知識並非由認知主體經由感官被動的接收而獲得,而是認知之個體主動地建 構而成的。 2. 認知獲得的方式是調融的(adaptive),認知的功能是用來組織外在的經驗世 界,而非用來發現已存在的本體現實(ontological reality)。 根據這兩項基本原則,我們可發現這和傳統對知識論的看法迥然不同。以「知 識的來源」來看,傳統知識論的看法有如理性主義所言,知識的發生是靠人與 生俱來的理性演繹、推論而成的。知識是可以靠著文字和語言傳遞的。根本建 構主義則主張,知識始於認知個體和外界的互動(inter-subjective) ,其功能在於 組織外在現象的內在經驗(劉錫麟,民 82)。 由知識的本質來分析,傳統的知識論相信知識、真理是先個體而存在的,有 不可否認(undeniable) 、先驗的、自明的(self-evident)、自我一致的 (self-consistent)的特質,個體認知的主要目的則是「發現」已存在的知識(劉. 8.

(9) 錫麟,民 82) 。根本建構主義則主張認知的作用在於「組織」主體的內在經驗, 而非發現外在的本體事實。知識就是個體為了生存所產生的經驗類型,其特性 是功能的、演化的與相對的(劉錫麟,民 82)。甯自強(民 76)進一步指出: 建構主義在知識論主張是揚棄「客觀知識」的存在假設,以「存活度」取代效 度;以「交互主觀性」取代客觀性,認為所謂的「客觀的」只是意味了雙方相 互主觀的同意某一「闡釋」而已。 事實上,有關傳統知識所提出的論點早就受到懷疑論者的質疑,因為現象 實體與知識都是由人所建構的,因此所有對於現象實體和知識的描述都與認知 主體有關,以致於我們無法將實體獨立於人的經驗外,再做客觀的描述,也無 法將知識和實體做一客觀的比較(朱則剛,民 83)。因此我們想要建立真理的 作為,在邏輯上是不可能的(李光榮,民 86)。研究者認為,如果真理是跨越 時空不變的,那人是生活在有限的時空中,就無法建立所謂的真理。根本建構 主義提供了一個比較合適的說法:我們所獲得的「知識」頂多解釋了目前我們 所感受的、所經驗的,當新事例出現時,隨時要修改我們現存的知識。基於以 上理由,研究者同意根本建構主義所提的主張,知識是認知主體主動建構的, 並沒有客觀的真理存在(von Glasersfeld, 1995)。 本研究者綜合以上的說法,根本建構主義否定真理的存在,知識是源自於個 體為了要適應環境,所產生的活動類型,此類型的功能是生存或為了要達在某 種目標的。當外在的環境限制改變時,認知主體必須調適自己的內在經驗或活 動類型,以適應環境。調適的過程就是知識的演化。因此知識的「存活度」就 是判斷其品質的標準(甯自強,民 76) 。例如:假如知識的目的是解釋現象,那 「說得通」便是主要考慮的標準,而「說得通」就是存活度的問題(甯自強, 民 76) 。由此觀點出發,本研究者認為「客觀的知識」頂多是一個社群內的認知 主體彼此都同意的一個說法而已,是否同意就是存活度的問題。假如有人不同 意,也必需有一個說得通的反駁理由。如此,此社群內的知識必須再修正、演. 9.

(10) 化的需要,直到一個合適的「說法」能解決目前的問題(李光榮,民 86)。. 二、 心理學的假設~基模論(scheme theory) 由上一節的文獻探討,研究者認同根本建構主義的理論,認為「知識」可 以視為主體組織外在實體的心理活動,但心理活動本身是不可見的,只能透過 兒童在問題情境中所展現的外顯行為彰顯(甯自強,民 82d),所以本研究必須 對心理學的假設有所主張。又因 Von Glasersfeld(1980)曾指出,皮亞傑的基模 理論和根本建構主義是相容的。因此,為了說明主體的心理運作過程,我們以 皮亞傑的基模(scheme)理論來進一步描述知識的心理學立場。 皮亞傑(1970)提出的基模論(scheme theory)是整合知識發生論和心理學所 發展的理論。基模論的概念源自於生物學,皮亞傑並不認同傳統生物學將有機 體的活動類型(action pattern)視為固定不變的,以及是環境選擇的結果的看法; 而是認為很多高等生物會隨著環境的變化,漸漸調適(改變)原本遺傳所決定 的活動類型來適應環境,這就是生物為了生存的本能。特別提出的是,活動類 型以遺傳賦予的做為起點,以此來同化(assimilation)周遭的環境,不斷的和 環境做互動,當互動的結果與生存的結果違背時,個體會本能的改變其活動類 型(accomodation),直到結果是有利生存為止(Von Glasersfeld, 1980)。 本研究者綜合皮亞傑(1970)與 Von Glasersfeld(1980)的說法,基模是指 個體在行動中或心智運作中可以重複的,衍生的系統。不論是活動的類型或是 心智上的動作,基模是用來改變情境的狀態,作為同化的工具。除此之外, 「人」 的基模(活動類型)不僅只為生存,更是發展成為認知和思考的工具。我們用 此活動類型去同化生活經驗,也不斷的藉由同化的結果來調適活動類型。 進一步的,皮亞傑指出作為同化的活動類型或基模應包括三個部分:1.一 個被知覺到的情境;2.個體引發的的活動 3.活動的結果,且是對活動者有益的。 由此觀點,基模可視為是一種預期性的結構,也就是個體為了達成預期的目標, 由基模引發的活動(Piaget, 1970) 。. 10.

(11) Von Glasersfeld(1995)為了要彰顯基模的特質,把基模分為三部份做為操 作性定義,以作為研究者進行概念分析時的一項有效工具: 1. 有一個同化後的情境,此情境是用來激發(trigger)活動或運思(指內化後的 (internalized)活動或概念化(conceptual)的過程) 。 2. 有一串的活動或運思。 3. 最後有些活動的成果或續局(sequel) 本研究者綜合皮亞傑的說明和 Von Glasersfeld 所下的操作型定義,研究者 以把基模用下圖來解釋:. 可預期的結果或續局. 個體同化的情境 Assimilated situation by initial. 引發的活動. Expected result or. Activity. sequel. scheme. 圖 2.1. S-A-R 基模圖(綜合皮亞傑和 Von Glasersfeld 對基模所下的定義). 根據以上對基模的操作性描述,在研究上可以作為分析兒童數學概念(基 模)分析的有效工具(李光榮,民 86) 。以研究者的觀點來看,由於概念或基模 是內化的、是內在的,為分析兒童是否有特定的數學概念,就必須透過觀察兒 童的外顯行為來確定。 甯自強(民 82a)更是把基模運作所引發的活動,對感官材料的依賴程度分 為感官活動(sensori-motor activity)、表徵活動(representing activity)、心智活 動(mental activity)三類。甯自強對此種活動闡述如下:所謂的「感官活動」 是指兒童的解題活動必須透過具體物的操作來完成,其最高的境界為辨識或再 認(recognition) 。 「表徵活動」則是內化(internalization)的活動,指兒童在缺 乏具體物的情境下,仍能自行提供素材來進行解題活動。例如畫圖來幫助解題。 特別注意的是,這裏的表徵是針對解題活動的過程而言,並非活動後的產品。 基本上是知其然卻不知其所以然,其最高的境界為再表現(representation)。最. 11.

(12) 後,「心智活動」已達內蘊化(interiorization)階段,指兒童的解題活動完全不 須透過具體操作、表徵或再表現,即可進一步預期活動的結果,並以此結果作 進一步的運思,是知其然又知其所以然,其最高的境界是瞭解(understanding)。 是以,當基模的外顯活動已達內蘊化階段時,可謂是概念的成熟。 本研究採取基模論做為研究的理論基礎,再藉由觀察分析兒童的解題活動 時,視兒童運作基模時對感官材料的依賴程度與對活動後的預期,研究者就可 用來區別基模(數學概念)品質的差異(Ning, 1992) 從研究邏輯而言,欲研究兒童的分數概念,則是預先假設了分數基模的存 在(李光榮,民 86)。而對基模的確認,係由研究者透過兒童在有關分數的情 境中的解題活動加以驗證而獲致的(甯自強,民 82b)。但是,對同一種解題活 動可能是兩種不同的基模所引發的,所以研究者應對解題活動做最適當的詮 釋,並儘量契合兒童的原始意圖(intention),且研究者所建立的兒童概念模型 應能存活所有的例證,如有實例否證時,就要馬上修改所建立的兒童概念模型 (甯自強,民 82b)。. 三、 社會學的探討~表徵理論和共識域 本研究在心理學立場是採取基模論,由於「兒童的知識」本身是不可見的, 所以必須藉由觀察受訪者的解題行為或與研究者的互動去探討兒童的分數概 念。易言之,研究兒童的分數概念是要透過研究者與受訪者溝通解題活動得知 的,而兒童解題活動類型就是兒童的分數概念(甯自強,民 82d)。在溝通的過 程中蘊含有心理學和社會學兩個層面,其中心理學部份在前一部份已討論。此 節就社會學層面來加以探討,其中包括溝通的材料~「表徵形式」與溝通的本質 ~「共識域」。 所謂的表徵係指概念的再表現的活動產品,再表現的形式可以是聲音、文 字圖案或是操作某種替代品(von Glasersfeld, 1995; Kaput, 1991)。甯自強(民 82b)指出在數學概念的發展過程中,起初活動者在經驗某一解題活動時,會自. 12.

(13) 行選取活動中伴隨的感官材料作為信號(signal),來代表此段經驗;當活動一 再地重複實施,形成活動類型時,此信號開始有了一致的意義,而成為具有意 義的符號(symbol) ,來做為活動經驗的記錄;當活動類型的成份被進一步理解 後,符號便成為運思活動的材料。從上述過程中,研究者認為表徵活動是要達 成溝通的目的,表徵的功能則是溝通工具以及運思活動的材料。 有關表徵的形式,Behr、Lesh、Post 與 Silver(1983)提出多重表徵系統, 包括:替代物(學具)、口語符號、圖形、文字符號等。例如:一盒草莓 6 顆, 其中的. 2 2 盒,兒童可以用 6 個方塊,從中取出 ,也可以是口語的「ㄙㄢ ㄈㄣ 3 3. ㄓ ㄦˋ」也可以以圖形「○○●●●●」來表示或是文字「. 2 」。其關係如下 3. 圖所示:. 替代物、 教具. 語言 實物、 外在現象. 表徵圖形. 文字、 符號. 圖 2.2 多重表徵圖(Behr, Lesh, Post & Silver, 1983) 甯自強(民 85)認為表徵要達成溝通的目的,自然其特性如同語言一般, 有其施指(signifieds) ,對象便是具體的解題活動上。甯自強進一步說明,表徵 形式本身只是信號並非符號,因為表徵是個人的產品,是否有意義端看同一社 群的其他人做如何回應。個體為了要達成溝通的目的,以及文化相容的目的, 自己才調適自己的表徵形式為約定成俗的格式,其中約定成俗的表徵,就是共 13.

(14) 識域的元素(謝翠玲,民 93) 。共識域元素的建立和保持,則是由同一社群的受 訪者不斷的例證化(instantiation) (甯自強,民 85)。 「共識域」在說明不同認知的主體之間如何進行溝通(von Glasersfeld, 1995)。Kaput(1991)認為共識域是符號的設計(notational device),屬於意義 磋商的範疇(in the realm of negotiated meanings) ,Tomm(1995)也主張利用語 言(in language)協調彼此的意義。根本建構主義主張知識是由認知主體主動建 構,並認為沒有所謂的客觀知識或真理(von Glasersfeld, 1995)。「客觀性」主 要是建立於雙方或社群中的個體的相互主觀的認知,也就是彼此都同意的闡釋 模式,這彼此都同意的部份就是共識域的元素(甯自強,民 76) 。例如:每一個 人對「椅子」的概念都不相同,但同樣具有某些特徵~可以坐的,這些特徵讓彼 此溝通時有了共同基礎,此共同的基礎在溝通時從未發生問題(不斷的例證 化) ,那就可以說雙方的「椅子」概念是相容(fit)的。每一個椅子都具有「可 以坐」的特徵就是共識域。反之,如果有人提出的椅子是「不能坐的」 ,那在溝 通時勢必會發生衝突。此時溝通的成員必須解決衝突(同意不能坐的不可稱為 椅子),形成共識後,始能繼續溝通(甯自強,上課內容,民 90)。綜合以上所 言,溝通的成員間利用意義磋商,在不斷的解決意義衝突形成共識域後,因而 有了溝通的可能。 本研究的目的在探討兒童的分數概念,但兒童能表徵出某一分數,不見得 其分數概念就是成人心中的分數概念。例如:在研究者的教學經驗中,有時後 會有學生把兩個三分之一加起來是六分之二的情形,三分之一對兒童而言只是 三和一整數類型的並置而已(Ning, 1992)。所以,研究者認為我們必須從受訪 者對分數的表徵互相轉換中,以及分數詞的使用、解題活動中,解釋兒童的分 數概念。值得注意的是,研究者提出的解釋,也只能相容(fit)兒童的分數概 念,而無法相同(match)。因為研究者建立的解釋模型是研究者和受訪者在溝 通與互動中所建立的共識域產生的。. 14.

(15) 第二節 數概念本質與模型 本研究主要目的在分析兒童分數概念。兒童分數概念是數概念進一步的抽 象,因此對於兒童的數概念本質和模型必須有所探討。本節首先說明數學概念 的本質,再探討數概念的本質與數概念的模型,以作為分析兒童分數解題活動 的參考。. 一、 數學概念 Thom(1973)在其大作「新數學是否存在?」主張:數學教育的目在使學 生獲得數學的意義,而數學意義亦即數學概念。關於數學意義(概念)的闡述, Steffe(1990)指出:存留於目前的數學教學模式裏的意義理論可追溯歷史上兩 大重要思想學派,一是結構學派(structural school),另一則是操作學派 (operational school)。 結構學派代表人物 Brownell(1945)主張符號的意義在結構或組織中,或 在學科本身的關係中;操作學派,根源於 Percy Bridgman 的物理基礎概念的操 作分析,主要代表人物 Van Engen(1949),認為「符號的意義是一種活動的意 圖,而此活動本身不需要發生。但當個體被要求論證此符號的意義時,活動才 會發生。」(pp.321-329)甯自強認為 Van Engen 視語意是操作性的解釋,這些 解釋或定義被視為普遍化的、唯一的。所以對 Van Engen 來說,數學概念的意 義是唯一的(民 82b)。由根本建構主義的立場來看,同意 Van Engen 對概念的 主張:概念是由個體所建立的,其本質為活動性的。但無法接受概念的同一性 與唯一性,而且 Van Engen 也未將建構主義所強調知識的相對性和演化性列入 考慮。(Steffe, 1990;甯自強,民 82d) 從另一方面來說,數學作為一學科,有它的心理—社會根源 (psycho-sociogenesis) (Confrey, 1991) 。甯自強(民 84)認為:數學作為知識, 所以是屬於心理的;作為人類文明的資產,它是社會-文化的。甯自強進一步的. 15.

(16) 指出,所謂的數學的意義(概念)則是指教材項目所涉及的概念及表徵形式。 前者是數學的內容,後者則是數學的格式(甯自強,民 85)。 綜合上述的討論,「數學概念」專指內蘊化(interiorized)的解題活動類型 (Piager, 1980; Bridgman, 1934; Van Engen, 1949;甯自強,民 84),而且特別強 調數學知識的根源是具體的解題活動,並非具體的實物(甯自強,民 82c)。雖 然數學概念(意義)是涉及心理與社會兩層面,但本研究主要是針對數學意義 的心理層面做一探討,擬採用上述的定義,認為數學概念是從活動中抽象出的 基模,亦是解題活動類型(甯自強,民 84)。. 二、 數概念的本質 對「數」加以定義的例子很多。例如,Gauss(1800)對於何謂數,就給了 如下的定義:「「數」是一個指標,此指標用來指示,為了獲得一個與一被界定 量相等的量起見,一個已知量(單位量) ,或是此單位量的一個被等分部分,所 需被重複累積的次數;這個次數則被用來指示被界定量」 (pp.57-61) 。高斯的看 法指出了「數」是用來指示界定量和一單位量之間的關係(甯自強,民 82b)。 哲學家羅素(1903)主張:由數學的觀點來看,數僅不過是相似的類所成 的類(class of classes) 。換句話說,3 是由 3 張桌子,3 個人,3 個椅子…等物 件的類的抽象而成。羅素對數的看法主張數是對物的共同屬性抽象而成(甯自 強,民 82b)。但不論是高斯用次數來說明數或是羅素用數來抽象為數,他們都 以「數」來解釋「數」都不免落入循環界定的問題(甯自強,民 82b)。 皮亞傑(1965)經由對兒童的觀察發現基數概念與序列概念是同時產生 的。皮亞傑認為數概念一方面是序列(series) ,另一方面則同時為類(class), 主張數概念是同時指類及序列的融合。其所謂的類是某性質相同(equivalence) 的元素所成的集合;序列則是兩個元素比較後所產生的非對稱的關係。如果依 高斯和羅素的定義要確定界定量與單位量的關係,或要確定類的基數,並無說 明。序列概念的提出,是從活動的歷程來看數,一方面彌補了高斯和羅素對數. 16.

(17) 定義的不足,另一方面其主要的目的是確定數值(甯自強,民 82b)。所以類及 序列的概念,應該和數數活動有關(甯自強,民 82b)。 蘇俄的數學教育學家 Davydov(1982)也從活動的觀點,對數下一個操作 型定義:數概念是指某量,及該量中用作測量單位的一部分,經測量活動所建 立的一組多重(multiple)的關係。我們可以發現 Davydov 的定義基本上和高斯 類似,其最大的不同在 Davydov 認為次數是由測量活動確定的(甯自強,民 82b)。本研究者認為皮亞傑的類和序列的融合(數數活動)也就是在離散量中 的測量活動。 除了以上的定義之外, Euclid(1926)則從單位來看「數」 ,他認為:所謂 的單位是指存有而被稱為一的事物,而數則是由單位所構成的多數。另外,杜 威(1895)也指出:在簡單的辨認,比如,三個事物為 3 的時候,必須包含下 面的運思:將三件被辨認的事物當成一個連通的整體或群。即,辨認出三個事 物都是個別的,辨識出一個由三個個體所構成的全體單位。以上的說法彰顯了 1 與數的部份-全體關係,以及,數是由 1 構成的全體(甯自強,民 82b) 。其中, 歐幾理德的「多數」預設了單位可重複性,杜威的一個整體也突顯了異於 1 的 數,本身自成單位的性質(甯自強,民 82b)。 對於「數」 ,高斯提出了單位量和界定量之間的關係;羅素提出了類的抽象; 皮亞傑提出了類和次序的融合;Davydov 提出了測量活動;杜威、歐基理德, 提出了單位(1)構成了全體(數) (甯自強,民 82b) 。但單位(1)到底是什麼 的抽象,仍未說明。 對於此點,Steffe 等人(1983)提出:1 是內蘊化的數數活動,而數則是由 集合 1 所構成的集聚單位。由於數數活動就是在離散量中確認集合的數值的測 量活動。因此,Steffe 等人的說法和 Davydov 的觀點是一致的(甯自強,民 82b) 。 綜合以上的說法,本研究採用甯自強對正整數概念的定義: 「整數概念是專 指整數詞所呼出的集聚單位(composite unit )。而所謂的集聚單位是指一個以. 17.

(18) 「1」為元素的群體,或是集聚「1」所成的單元,而一集聚單位的數值指示的 是一集聚單位量與單位量「1」的關係,而此關係是透過數數活動來達成。」 (甯 自強,民 82,頁 28-29). 三、 數概念的發展模型 甯自強(民 81b)曾就兒童呼出整數詞的不同意義,假設其不同層次的運 思方式加以序列組織。甯自強主張兒童運思的層次對應其數概念類型依序為整 合性合成運思-起始數概念、累進性合成運思-內嵌數概念、部分-全體運思—合 成巢狀數概念、測量運思-測量數概念。其各運思方式與數概念的性質詳述如下:. (一) 整合性合成運思(uniting operations) 「整合性合成運思」是指將構成事物的元素合成為一事物的能力或運思。 其對數概念運思的方式是透過標準數詞序列,由「1」開始,將一個物件對應一 個數詞的方式而得(甯自強,民 81b) 。這種由「1」開始數數來確定數值的方式, Steffe(1988)則稱為序列性合成運思(sequential integration operations)(引自 甯自強,81b) 此階段兒童的「ㄨˇ」是基數概念,指五個「一」 ,也就是指向「一」為元 素的群體或集聚「一」所成的集聚單位。例如:問兒童「ㄨˇ」在那裡?兒童 可以指向五個花片的全體。如果兒童只有指第五個花片,而不是全體。這只是 數的前置概念,尚未有數保留概念(甯自強,民 81b)。. (二) 累進性合成運思(progressive uniting operations) 「累進性合成運思」是以合成運思的產品—集聚單位為起點,進一步累加 「一」 ,以形成另一個集聚單位(Steffe, 1988;甯自強,民 81b) 。甯自強進一步 提出說明,此運思期兒童其對數概念運思的方式以一個數為起點「往上數」或 「往下數」 ,將一個物件對應一數詞而得。舊的集聚單位是內嵌於新的集聚單位 18.

(19) 中的內嵌數概念。 此階段兒童的「ㄨˇ」指一個「五」,或可一再複製的「五」。此階段一個 「五」和五個「一」最大不同之處在於前者是以整個群體為觀點,後者則是側 重群體中的元素(甯自強,民 81b) 。例如:兒童在處理數的合成問題時, (5 個 花片和 3 個花片合起來是多少個花片?) ,後者的兒童會分別把五個一和三個一 表現出來,再重新從 1 開始,利用數數活動確定合成量的數值(8);前者則進 一步以「五」為起點,逐一的添加一個「一」而成為異於「一」的新計數的單 位。前者稱為高階單位,後者稱之為低階單位。但此時部分內嵌於全體的關係, 只是隱約的「部分-全體」關係,當混合使用兩單位時,往往會失去高階單位的 群體性(甯自強,民 81b)。例如:問兒童 9 隻手有多少個手指頭,兒童可以答 出 45,當移走 3 隻手時,兒童可能回答 42 隻。原因是無法掌握 5 和 1 間的部分 -全體關係,移走部分,全體就崩解了。張淑怡(民 84)曾經針對一位二年級的 兒童進行訪談以調查其加減問題的解題活動類型。結果發現他的數概念具有內 嵌性、向量性、可被計數及高低單位的混淆的性質。而加減運算概念則具有能 逐一往上數或倒數、能以整十來做累加、能瞭解加減互逆和加法結合律等特徵。 基本上其數概念是符合累進性合成運思的特徵描述。. (三) 部分-全體運思(part-whole operations) 「部分-全體運思」是累進性合成運思的重組。其運思的方式是把內嵌於全 體的部分加以複寫後予以脫嵌外提後,再置回原處,並且保留全體不變。外提 的部分宛如獨立的事物,它的使用不會影響原來的全體(甯自強,民 81b)。 此時的「ㄨˇ」是可以重複的「五」結構,也就是混合使用兩階單位時, 不會失去其群體的結構或數值。例如:以上題為例,當移走 3 隻手時,同時也 表示移走 15 手指頭。這意味著兒童能明顯的區分兩階單位的部分-全體的關係。 因此,集聚單位可以由兩階單位組合而成的(甯自強,民 81b)。能把集聚單位. 19.

(20) 視為兩階單位的組合則此集聚單位就是合成性巢狀數(甯自強,民 81b)。 特別提出來的是此時的「部分-全體運思」是單方向的。所謂的單方向,係 指全體是由部分合成的,而部分只能由取消合成活動,方能重新獲得(甯自強, 民 81b) 。例如:要求兒童進行等分除活動(把 51 個花片,分成三堆,每一堆有 多少個花片?),兒童可以先估算 x 個,再算總量,如果不符合 51 個,則取消 活動,再重新估算,直到合成量為 51 個為止。 李光榮(民 86)曾就一位四年級的學童進行教學晤談以調查其數概念和乘 除概念。結果顯示他在數概念方面有能將數視為多單位的合成、全體的子集能 獨立運作、能控制集聚單位量直接對單位數做合成和分解、缺乏合成性巢狀數 的保留概念和集聚單位的可迭次性等性質,支持了部份-全體運思的特徵和這個 階段所描述的合成性巢狀數概念。. (四) 測量運思(measurement operations) 「測量運思」是部分-全體運思的遞迴運用,在重複的運用部分-全體運思 以重組相同基數的次階集聚單位後, 「一」的集聚單位(例如「五」) ,它把內嵌 於最高階集聚單位(例如 75) ,中的次階單位當成部分,加以複寫後予以外提, 再置回原處,並保留原有的最高階集聚單位與「一」的部分-全體關係(甯自強, 民 81b)。 甯自強進一步說明,此時的「ㄨˇ」是測量單位的「五」 ,也就是測量數概 念。和可重複的「五」結構最大的差異在於其所蘊含的「部分-全體關係」是雙 向的。也就是「五」不僅是五個一構成的全體,也是另一個全體中(例如 75) 的部分。在這一階段兒童能同時控制兩個層級的「部分-全體關係」(民 81b)。 例如:兒童數出 30 個積木並讓他確定其中含有 6 個五,在一塊布下亦放入一些 積木,告知兒童全部有 65 個積木,要求他確定布下有幾個五?兒童能以「五」 為單位,而求出有 7 個五。則他可以處理三個階層的單位關係,而不會失去它. 20.

(21) 們的數值。另外一個例子是全部蘋果有 24 個,分 4 盤,每盤有 6 個,如果分 8 盤,每盤有多少個?兒童直接調整單位量和單位數的關係,求出 3 個,而不是 再重新估算部分的量(單向的部分全部運思) 。此時的合成性巢狀數就具有保留 概念,也就是測量數概念(張淑怡,民 84)。 綜合上述所言,研究者表列出甯自強(民 81b)所提出的運思方式和數概 念的示意圖: 表 2.1 兒童運思方式、數概念的名稱和示意圖(歸納自甯自強,民 81b) 運思方式. 數概念. 數概念示意圖. 說明. 數的前置概 念. 1.1.1.1.1. 此時的數只是 1 個 1 個 的. 整合性合成 起始數概念 1.1.1.1.1 運思 數數聲音做一對一的對應 (1、2、3、4、5). 由數數活動(1、2、3、 4、5)確定有 5 個. 累進性合成 內嵌數概念 (x);((x).1.1) 運思. 「5」可以是 1 個「5」; 也可以 1 個集聚單位再 和多個 1 合成新的集聚 單位,例:「5」可以向 上累加 2 個 1,形成 7。. 部分-全體 運思. 合成巢狀數 (1)和(x)的關係; 能區別 1 和集聚單位的 ((x)(x)(x)…1.1.1….) 關係,並能以多個 1 和 集聚單位合成新的集聚 單位,例如:28 可以看 成 5 個 5 和 3 個 1 的合 成。. 測量運思. 測量數概念 ( (1.1.1.1.1) (1.1.1.1.1)可以 1 構成的集聚單位 (1.1.1.1.1) (1.1.1.1.1)為單位,構成另外新的 (1.1.1.1.1) ) 集聚單位,此時兒童除 了可區別 1 和第一階集 聚單位的關係,也可區 別第一階集聚單位和第 二階集聚單位的關係。 例如:2 個 5 加上 3 個 5 可以視為 5 個 5。 21.

(22) 不同的運思方式主要是依照數概念的品質來區分,其品質的判斷的標準有 兩點:一是數概念被使用時所彰顯的功能;二是與單位「1」或和其他集聚單位 之間的關係(甯自強,民 81b)。我們也可發現前一個運思期的產品就下一個運 思期的起點。研究者分析受訪者所用整數時所持的概念,就能進一步的判斷她 對整數的運思方式,而此運思方式將可輔助分數概念的分析。. 第三節 分數和有理數的相關研究 本節分別從分數的意義,兒童的分數活動基模、分數詞意義、以及近年來 有關兒童分數概念的研究來回顧相關的研究。. 一、 分數的意義 Freudenthal(1983)主張分數的起源是「分割」一物件的活動記錄與結果, 分數可以表現真實現象的分割情況。呂玉琴(民 84a)則指出分數的概念起源測 量學,是用來解決不滿一個單位量的量的數值問題,透過將原單位量加以等分 割,得到的單位分量的重複,因而得到與被測量量等價的量,以分割的份數和 重複單位分量的次數並置,作為被測量量的指標。 Russell(1903)認為分數 m 與 n 不為 0 的情況下,. m 為當 xn=ym 時存在於 x 與 y 之間的關係,則 n. m 是一種一對一的關係。Kieren(1976)提出分數的 n. 解釋是比(ratios)、部分整體比(part-whole comparisons) 、商(quotients)、小 數(decimals) 、運算子(operators) 、測量(measures) 、有序數對(ordered pairs) 。 Behr et al.(1988)將分數視為:1.「部分/全體」的概念;2.比例:強調兩量的 關係;3.比值:用一個數值來代表兩數量的關係;4.商:兩數相除的結果;5.操 作:分數一種轉換。 另外, 依據 82 年課程標準所編的國小數學科教學指引第十冊(國立編譯 3 館,民 86)也有如下的說明: 「當使用分數數詞來描述有理數時(以 為例)至 5. 少可以從六種角度來說明分數詞意義:1.部分與全體的比較:全體為 5,3 是 5. 22.

(23) 的部分;2.除法的活動;3.算子:對於物件 1,進行運作,將 1 分割為 5 份,再 取出其中的 3 份;4.小數的另一種記法;5.比的意義:表示兩數量的相對關係(3: 5) ; 6.測量:用來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題,或是兩量的對等 關係進行數值化(比值)(頁 5)。」。 在探討分數意義的學習方面,Larry 與 Joseph(1978)主張兒童在學習分數 初步概念,必須掌握:1. 確定單位量;2. 認知等分大小;3. 找出等分割數;4. 所取份數與等分割數比較等四項要素。皮亞傑等人(1960)則認為,兒童如果 能理解分數的意義,必須具有:1. 能將整體分割;2. 能決定部分量;3. 分割量 必須窮盡;4. 能決定分割數和全體的關係;5. 所有的分割量皆相等;6. 知道部 分是來自全體,且全體是存在的;7. 知道部分的總和會等於全體,全體是不變 的。在 Larry 與 Joseph、皮亞傑的研究中,均強調兩個重點:1.能對全體做等分 割。2. 部分和全體的關係。但皮亞傑的「全體不變」的概念,更是以心理學來 解釋分數的意義(李端明,民 86)。 如果數學概念是來自解決有關數量問題的經驗,則知識的獲得應該經歷「經 驗」、「察覺」、「理解」的學習階段,而不是無中生有的(甯自強,民 82c)。綜 合以上的討論,若兒童的分數概念是發展的,必然不同於成人的分數概念。當 分數應用於日常的生活情境,其意義是複雜且多元的,因而在分析分數概念時 均以成人的觀點來解釋,雖然可以做為編製教材的參考,但是卻無法說明兒童 的分數概念是什麼,以及兒童的分數概念到成人觀點的分數知識的中介歷程。. 二、 兒童分數活動基模 在許多非正式符號表徵的分數概念研究中,強調兒童在建立分數概念時, 需要使用許多不同的具體物或圖形(Hunting, 1983; Kieren, Nelson & Smith, 1985; Pothier & Sawada, 1983, 1990) 。除此之外,分割活動(partitioning)更是理解有 理數的基礎和關鍵(Behr et al. , 1983; Kieren, 1976, 1983; Mack, 1990)。Behr 與 Post(1988)在針對幼稚園到國小二年級的兒童的數學教學研究中發現:將一圖. 23.

(24) 形切成數等分或將一個集合分成數個相等的子集合是分割概念是理解分數的基 礎和技能。Kieren(1983)在國際數學教育會議中指出:分割機制在分數概念學 習中的地位如同數數對於數概念的發展一樣重要。由以上的研究可知,如果數 學知識是來自於具體活動的抽象,要研究兒童的分數知識的起源,具體的分割 經驗的研究是相當有意義的。 在具體的分割經驗的研究方面,Piaget、Inhelder 與 Szeminska(1960)使用 連續量的具體物(紙張)研究 4~7 歲兒童對面積的分割行為,以探究分數知識 的活動基模的起源。其研究發現兒童的分割行為可分為五個階段: 1. 四歲到四歲半的兒童對一物分為兩半感到困難,更談不上注意部分和全體之 間的關係。 2. 四歲~六歲的兒童,能將規則的圖形(如長方形、圓形)分半,但無法等分 為三分。其解決的方式為取三分後,忽略剩餘的部分。也就是無法窮盡全體。 3. 六歲~七歲的兒童,已可以等分三分。在有具體物下,能知道部分的總和等 於全體。 4. 七到十歲,兒童能以預期的基模執行三等分,表示兒童了解部分和全體之間 的關係。 5. 十歲的兒童能做六等分的分法。先等分三分再把每一個分量做等分。 Nik Pa(1987)則是利用臨床晤談法研究 9 位 10、11 歲兒童的分數基模, 發現以下四種類型: 1. 撕裂基模(splitting scheme) :可一次或多次的撕裂一連續量,但不見得會窮 盡或分得很公平。 2. 碎裂基模(fragmenting scheme) :將一量同時製成數個部分。可以窮盡全部, 但不一定分得很公平。 3. 分割基模(partitioning scheme)分割面積大小相等的部分,以及使用數概念 分割集聚單位。. 24.

(25) 4. 多對多比較基模(many to many comparison scheme) :比較分子和分母所指 涉的項目。 以上的研究均集中於兒童的分割行為。但分割的行為如何和分數概念連 結,則是我們所要關心的。甯自強(民 82e)區分子分割活動基模試圖把分割的 行為和分數概念做連結。甯自強將子分割活動區分為離散量的分散 (separating)活動和連續量的破裂(breaking)活動或撕裂活動。子分割活 動基模的品質區分如下: 1. 子分割結果未單位化:最簡易的分散活動是能進行一個一個的分配(dealing) 活動;最原始的破裂活動則是撕裂活動。但如前面所述,分配活動或撕裂活 動後的部分未必窮盡全體或每個部分都等價。 2. 子分割結果單位化:是指兒童選取某種標準,將子分割每次所得的結果,視 為單位量的活動。離散量的子分割後的結果是一堆一堆的,連續量則是一個 一個的。此時,子分割後的結果未必是等價的。子分割後的量能等價與否, 是進一步以分數描述量的基礎。 3. 子分割單位數值化:如果子分割的過程中含有並置(juxtaposed)的活動,並 置是將兩個量合併加以考慮,各個量仍然維持其獨立的性質,此時子分割單 位具有數值化的功能。而子分割單位數值化的結果,則是單位分數。 研究者綜合以上的文獻資料發現兒童分割活動基模的演化可以以下圖表示:. 分割活動 的實施. 每一部分 等價的. 可窮盡全體. 做部分-全體 的並置. 圖 2.3 兒童分割活動基模的演化. 三、兒童的分數詞意義的發展模型 甯自強(民 82e)認為欲探究兒童的分數概念可以從兒童呼出的「分數詞」 所代表的意義來分析。甯自強解釋所謂「分數詞」是一種口語上的特定類型,即 25.

(26) 只是一群信號(signs)而非符號(symbols)。 在不同運思階段的兒童所呼出整數詞意義是不同的;同理,兒童在不同階 段的運思方式所呈現的分數詞意義也不一樣(甯自強,民 82e)。要瞭解兒童的 分數詞意義,必須分析兒童在有關分數的問題情境中的解題活動類型(甯自強, 民 82e) 。Ning(1992)根據對 4 位 12、13 歲的兒童進行教學晤談,再分析他們 解題過程中所呈現的數概念和分割活動,將兒童的分數詞意義區分為:(1)分 數的前置概念、(2)起始單位分數、(3)加法性分數、(4)巢狀分數、(5)有 理數。以下分別敘述 Ning 所區分的各階段的分數詞意義的性質:. (一)分數的前置概念 只具有分數前置概念的兒童雖有起始數概念與分割活動的經驗,但其分割 活動只靠知覺做判斷來比較大小,分割或撕裂的部分不一定相等,也不一定窮 盡全部。兒童無法用不同的分數詞來表示不同的分割活動,例如: 「一半」有可 1 能只是表示一物件分為兩部分,或是分為三部分後的一份。 對兒童來說,只 4. 是代表 1 和 4 兩個獨立的數概念(Ning, 1992)。. (二)起始單位分數 當累進性合成運思引進分數問題的情境中,兒童如同在整數情境中的小數 內嵌於大數之中一般,將子分割單位構成的分子內嵌於由子分割單位構成的分 1 母部分,此時分數詞意義為「內嵌並置類型」(embedded)。例如: 是四份中 4. 的一份,當一份(部分)移出全體的四份時,會導致全體的摧毀,這是隱約 (implicit)的部分-全體的關係(part-in-whole pattern)(Ning, 1992)。 以「內嵌並置類型」為分數詞意義的兒童,無法進行單位分數的累積。例 如:問兒童. 1 1 加 等於多少?此時分子只是內嵌於分母的一部分,尚無法自全 4 4. 體脫嵌而出獨立運作,並維持原本部分-全體關係。由於當分子 1 被複製時,分 割數也同時被複製,兒童會回答. 2 (Ning, 1992)。 8. (三)加法性分數. 26.

(27) 當部分-全體運思引入子分割活動中,造成子分割單位的質變。原先內嵌於 集聚單位中的子分割單位經過部分-全體運思的運作,已經自集聚單位中脫嵌而 出。子分割單位自此成為可獨立運作的單位分數單位(unit fraction unit),這是 明顯(explicit)的部分-全體的關係(part-of-whole pattern) 。當兒童具有加法性 1 1 1 2 分數概念時,處理 加 等於多少?兒童可以認為是 2 個 ,回答 (Ning, 4 4 4 4. 1992)。 王淑芬(民 93)針對一位三年級的兒童進行教學晤談研究,發現其分數概 念具有以下的特徵:分數詞表示部份在全體之中的並置關係;把單位分數視為 獨立運作的單位;能進行同分母分數的合成、分解、比較。此研究的結果支持 了「加法性分數」的理論描述。. (四)巢狀分數 一旦測量運思引進分數概念,加法性分數概念就質變成巢狀分數。所謂的 巢狀分數是指兒童具有雙向的部分-全體運思(bi-directional pary-whole relationships) ,與具有子分割單位數值化的分數概念。它和「加法性分數」的主 要區別在於巢狀分數的部分全體關係可以出現於單位分數的內容是複數個物的 情境中,而加法性分數的部分全體關係可以出現於單位分數的內容是單一個物 的情境中(Ning, 1992)。 此時的分數成為可子分割的分數單位(subdivision fractional units) ,非單位 分數為單位分數的倍數;而單位分數則為它的倍數的部分。由於兒童的部分-全 體運思是雙向的,故當自整體中取出二次的部分時,整體不會被摧毀。等值分 3 2 數的瞭解是透過其分數的內容物的比較,例如:一箱飲料 12 瓶, 箱飲料與 6 4. 箱飲料來比較, 較. 3 2 與 是等值的,是因為內容所指的量都是 6 瓶飲料。如果比 6 4. 3 2 1 6 6 與 ,用共測單位 來比較, 等於 則是超過巢狀分數的程度了,這 6 4 12 12 12. 是等比例思考的一種(Ning, 1992)。. (五)有理數概念. 27.

(28) 所謂有理數概念,是兩個「部分-全體」關係的重組。兒童不只具有雙向的 部分-全體運思下的巢狀分數,更能以分數作為測量單位,例如,比較 用共測單位. 1 1 與 , 6 4. 1 2 3 來比較, 小於 。由於能同時思考兩個分數,兒童有等比例 12 12 12. 運思概念(Ning, 1992)。 本研究者試著以部分-全體關係,子分割活動,單位型態來分析分數詞意 義,歸納結果如下表: 表 2.2 分數詞意義與部份-全體關係、子分割活動、單位型態之關係表(歸納自 Ning, 1992) 分數詞意義. 部分-全體關係. 子分割活動. 起始單位分數. 部分內嵌於全體之. 子分割單位數值化。例如: 分數尚未被視為. 中,分離部分將導致. 一個單位. 全體的摧毀。. 1 是 3 份中的 1 份。 3. 部分自全體中脫嵌而. 可逆溯的子分割活動。例. 內容物為單一個. 出,是明顯的部分-全. 如:兒童可以由部份(2 片). 加法性分數. 體關係。. 分數的單位型態. 和其分數詞(. 2 ),推得全 3. 部(3 片)。 巢狀分數. 兩階的部分-全體關. 內置子分割活動或製造集. 係。. 聚單位的子分割活動。例 如:有. 內容物為複數個. 3 1 條巧克力,把每 4 4. 條巧克都切成 3 等份,可得 知 有理數. 兩個部分-全體關係 之抽象。. 3 9 和 等值。 4 12. 對子分割活動類型之抽 象。例如:. 1 2 和 之間的 2 4. 集聚單位間的關 係。. 抽象關係。. 最後,本研究者將甯自強對兒童的運思方式以及各階段的數概念、分數概 念的特徵綜合整理如下:. 28.

(29) 表 2.3 兒童運思方式與數概念、分數概念和分數概念特徵(整理自 Ning, 1992;甯自強, 民 81b) 整合性(序列性)合成運思 Uniting(Sequential integration)operations 運思方式的特徵. 數概念和解題的的特徵. 分數概念和解題特徵. 兩個數或單位是獨立的,無法建立. 起始數概念. 並置類型的分數(離散量). 關係. (Initial number). 撕裂類型(連續量). 特徵示意圖:. 1.. 8. 5. 2.. 兒童依數詞將指示的量 依序全盤表現出以進行. 子分割單位與原單位的區. 量的分解與合成。. 分是大的 1 和小的 1 的區. 每一個數詞所代表的數. 別。. 都是獨立的。. 「5」和「8」尚未建立任何關係. 累進性合成運思 Progressive integration operations 運思方式的特徵. 數概念和解題的的特徵. 分數概念和解題特徵. 以小數內嵌的方式來建立兩數的. 內嵌數概念. 起始單位分數(內嵌並置. 關係. (Embedded number). 類型). 特徵示意圖:. 1.. 兒童將一數詞所指示的. (Initial unit fraction). 量當成基礎出發點,而不. 分子部分內嵌在分母部. 需加以全盤表現出,以進. 8. 行量的分解和合成。. 5 2.. 累進 3 個「1」. 較小的數內嵌於較大的. 分。如. 1 是指 4 個中間的 4. 1 個(part-in-whole)。. 數之中。 由「5」累進 3 個「1」構成「8」, 「5」是內嵌於「8」中。 部分-全體運思 Part-whose operation 運思方式的特徵. 數概念和解題的的特徵. 分數概念和解題特徵. 部份可獨立於全體來運作,或小數. 合成巢狀數. 加法性分數. 不必藉由內嵌的形式,就可以建立. (Integrative nested number). (Initial unit fraction). 起兩個數的部份-全體關係。. 1.. 特徵示意圖:. 「25」可視為「20」和「5」 1.. 單向的部分全體運思. 的合成。. 形成單位分數,例如:. 能區別 1 個「1」和 1 個「5」的不. 2.. 加、減法互逆。. 同. 3.. 截割活動來解決單位量 轉換問題。. 1. 2.. 1 1 可以視為 1 個 。 4 4 3.. 理解單位分數內容為 單一個物。. 5. 部份-全體建立的方向是由部份 「1」到全體「5」,方式則是合成 性的( 「1」的 5 倍是「5」 )。. 29.

(30) 測量運思 Measurement operation 運思方式的特徵. 數概念和解題的的特徵. 分數概念和解題特徵. 能建立三階單位,兩個層級的部份. 測量數概念. 巢狀分數(Nested fraction). -全體關係。. (Measure number). 特徵示意圖:. (有保留概念的合成性巢狀. 能區別「1」 、 「5」 、 「25」之間的關. 數). 係. 1.. 1. 5. 25 2.. 1.. 3 6 和 等值是因為指 4 8 示等量的內容物。. 「25」可以視為 5 個. 2.. 透過分數的內容物來. 「5」,且能區別「1」、. 瞭解等值分數。. 「5」 、 「25」之間的關係。 3.. 單位分數的內容物為. 直接調整單位數和單位. 複數個物。. 量之間的關係。 單位間的關係建立方向可以是由 部份到全體或由全體到部份,是雙. 3.. 乘、除法互逆(單位量的 轉換運思)。. 向的。方式可以是合成性( 「25」 是「5」的 5 倍)或分割性(「5」 是「25」的. 1 )。 5. 比例運思 運思方式的特徵. 數概念和解題的的特徵. 分數概念和解題特徵. 能建立兩個獨立的部份全體-關係. 尚未有實徵資料. 有理數概念. 的之間關係. (Rational number). 特徵示意圖:. 1.. 可以直接經由單位分 數做為共測單位來比. 「1」和「5」的比值關係. 較分數大小。. 1. 2.. 5. 密度概念。. 兩比值關係視為等價. 2. 10. 「2」和「10」的比值關係. 四、 其他兒童分數概念的相關研究 除了前面所提到的著名學者對兒童分數概念發展提出看法外,近年來探討 分數概念的文獻在質的研究方面大致分為兩種:一是所謂的錯誤類型或迷思概. 30.

(31) 念的描述。二則是針對少數學生做晤談,再描述其分數概念的特質(張淑怡, 民 84)。 第一種錯誤類型或迷思概念的研究預先設定了一個正確的概念或答案,再 描述兒童的數學概念和此正確答案的差距(Behr, Lesh, Post, silver, 1983)。例 如,洪素敏(民 93)對某國小五年級的學生先以紙筆測驗做為前測發現學生的 迷思概念有:1.不知道分數的意義。2. 單位量不同但分數相同,兒童也視為等 值。3. 未把分數看成一個數值,而是把分子和分母做個別的考慮。洪素敏再進 一步的訪談中所篩選出 12 位參加補救教學活動的學生,所具有的分數迷思概 念,約可分為下列七項:1. 對分數詞意義的不瞭解。2. 比較大小時忽略單位量 要一致。3. 受單一圖形表徵的限制。4. 對分數的大小缺乏數字常識。5. 以整數 的運算類推分數的加法。6. 等值分數的求法和分數的乘法混淆。7. 無法將分數 視為數線上的一個數值。在有關分數計算的研究方面,王瑞慶(民 92)採用問 卷調查,針對六年級的學童,研究分數加、減法的錯誤類型。陳瑞發(民 91)、 黃靖瑩(民 91)、詹婉華(民 91)也採用問卷調查法分別針對全省低、中、高 年級各約 2500 人的學童作分數概念之研究,描述三個階段之學童的分數概念所 呈現的錯誤類型。此類的研究傾向學習結果之描述,為何會產生此種錯誤類型 則尚未提出合理的說法。 為了再進一步探討錯誤類型形成的原因,湯錦雲(民 90)採紙筆測驗與晤 談二種方式相互配合進行,藉由紙筆測驗針對五所學校 422 位學童進行調查以 瞭解學生在分數概念與運算的表現及犯錯情形。經由筆紙測驗的結果整理、歸 納學生的錯誤情形,其中錯誤類型有缺乏部份與全部概念、等分概念、認為分 數不是一個數而是數線上的一點、缺乏分數是整數相除的結果或比值的概念。 接著,再從中抽取具有代表性錯誤的學生接受晤談(錯誤人數中每 15 人次抽出 1 人),深入瞭解學生解題的歷程、想法以及運算規則。最後再綜合測驗與晤談 的資料歸納成各種錯誤類型並探討學生可能犯錯的原因。結果發現會造成以上. 31.

(32) 所述的錯誤類型的原因為不瞭解題意、過份依賴連續量的部份-全體模式、數線 上的點和線段長的概念混淆、把整數的知識類推缺乏分數的先備概念…等。但 是此類的研究把重點放在「兒童不會做…以致不能…」的概念描述。但本研究 者不免提出進一步的疑問: 「紙筆測驗真的反映真實的狀況嗎?題目做對了,真 的是瞭解嗎?所用的策略和錯誤類型的性質之間有什麼一致性的關係?」因 此,只有描述錯誤類型的研究似乎還尚未對兒童的分數概念提出一個全盤性的 看法。 為能更深入的暸解兒童的分數概念,Ning(1992)針對 12、13 歲四位兒 童採用教學晤談法探討其分數詞意義,由分數概念發展的觀點來看分別是分數 的前置概念、起始數概念、加法性分數與巢狀性分數概念。李端明(民 85)針 對一個國小四年級的學童透過教學晤談法,探討學童的分數概念及其解題類 型,研究發現該名學童的分數概念是加法性分數概念,具有以下的性質:以分 數詞表示兩量的並置關係、可運思的子分割活動、確定分數詞的算子意義、具 單向的部份-全體關係,但缺乏雙向的部份-全體關係及缺乏共測單位與分數的密 度概念。王淑芬(民 93)也是透過教學晤談法研究一個國小三年級的學童,結 果發現該名學童的分數概念也是加法性分數概念,具有以下的性質:子分割活 動已達可運思階段、單向的部份-全體運思、單位分數是可計數的、單位分數內 容物如果是複數個易發生單位量混淆的問題,對等關係是加法性的,其中亦描 述了兒童分數詞使用的狀況。 以上的研究雖然對象只有少數兒童,但卻提供了兒童分數概念可能的發展 途徑以及不同階段概念的性質;也提出解題類型(包含正確的和錯誤的)的合 理解釋,這是屬於學習歷程的研究(張淑怡,民 84) 。為了再增本土性研究的實 徵資料,研究者針對一位五年級的兒童分析其分數概念與解題活動類型。. 第四節 比和比例 比是分數的多重意義之一,所以本研究也必須從比和比例來探討與分數概. 32.

(33) 念之間的關係,玆將各學者對比和比例的定義分述如下:. 一、比 (一)比是兩個數量之間的比較關係 「比」表示兩數量之間的一種關係的記錄(Quintero, 1987) ,同時也是傳達 相對大小的抽象意義的一種比較性指標(comparative index) (Lamon, 1990) 。由 比的記錄格式可以用來比較兩數量,而要比較兩個數量,一般有三種方式:1. 利 用對照的方法把兩個數量放在一起,而兩個數量之間並無進一步的運算關係。 例如球賽中甲隊和乙隊的比數是「4:2」 。2. 是利用減法,進一步的說明甲隊贏 乙隊 2 分。3. 是相對的說法,我們可以說甲隊的分數是乙隊的 2 倍或乙隊的分 數是甲隊的二分之一,這是表示兩量的關係(鄭英豪,民 79)。. (二)比是一個複合的集聚單位(composite unit) 從單位量的轉換觀點而言,比是一個複合的集聚單位(Lamon, 1990),例 如:小蓮開生日宴會,每 5 個客人就需要 3 瓶汽水,如果來了 30 位客人,小蓮 共需準備幾瓶汽水?我們把 30 個客人,分成 6 組,每一組有 5 人,每 5 人就發 給 3 瓶汽水,用(5:3)來表示此配對的關係,30 人共產生 6 個(5:3) ,計算 全部的汽水數量,共需 18 瓶。此時(5:3)就是複合的集聚單位(陳敏華,民 87)。. (三)比是二元向量的應用 一般的量,如果只有大小,例如:1 公斤,2 公分,3 公升….等,這些稱 為純量(scalar quantity) ;但是如果一個量同時含有大小和斜度(slope)或方向, 即稱二元向量(binary vectors) (劉秋木,民 85) 。根據 Ohlsson(1988)的說法, 所謂的「斜度」是指兩個純量之間的比值,例如:密度即是質量和體積的比值。 二元向量具有四種應用,包括:比、內涵量、比例和速率(劉秋木,民 85;陳 33.

(34) 敏華,民 87)。 其中二元向量被視為比(x:y)的應用時,表示兩量間乘法性(multiplication) 的比較關係或稱為倍數關係(Nohda, 1984;劉秋木,民 85)。Ohlsson(1988) 採用 Freudenthal(1983)的說法,認為比可以分為「內比」(internal ratios)和 「外比」(external ratios)兩種。其中內比表示兩量的比較其同一向度 (dimension) ,也可以說,內比是同一個度量空間內兩量之間的比較。例如,長 方形中,長與寛的長度比為 2:1。而外比則是表示兩量的比是兩個不同向度空 間的比較,例如,物體的密度是質量和體積的比。. 二、比例 二元向量被應用為比例時,它用來表示兩個比之間的相等性(劉秋木,民 85)。依照幼獅數學大辭典(民 72)的定義,比例(proportion)為兩個比等價 之敘述;或兩比相等,以相等的符號連結之式,稱之為比例。例如:a:b=c: d 或記為. a c = 時,稱為四數 a、b、c、d 成比例。Sourviney(1989)認為比例 b d. 是兩個比成等價的開係,例如:1:2=2:4 之間是「成比例的」 (proportional)。 Skemp 認為等價比組成的集合都稱為比例,而該集合的元素間關係也可以稱為 成比例。例如:2:5、4:10、6:15 成比例(Skemp, 1987/陳澤民譯,1995)。 成比例的比都是等價的,判斷等價與否的標準是每一組比的並置兩量之間 的倍數關係,或稱比值。例如:1:2=2:4=3:6 是因為每一組比的比值分別 1 2 3 1 是 、 、 ,而它們都是等值分數,或者也可說是有理數 的等價集(Skemp, 2 4 6 2. 1987/陳澤民譯,1995)。 綜合以上的說法,兩量的關係以「比」來記錄可表示兩量的乘法性或倍數 關係,也可稱為兩量的比值。 「比例」則是指等價的比,是否判斷等價則是比較 各比的比值。. 三、構成比和比例概念的數學要素. 34.

(35) Lamon(1995)認為比和比例概念,具有三個重要的數學要素:相對和絕 對的改變、比感、不變性和共變性。說明如下:. (一) 相對和絕對的改變(relative and absolute change) 比是表示一個數值與另一個數值的相對大小(Nohda, 1984) ,而「相對」正 是比概念中的最重要的成分。例如:小明開一間飲料店,紅茶一杯的成本 5 元, 定價 15 元,桔茶成本 20 元,定價 30 元,那一種飲料可以賺比較多的錢?從「絕 對」的角度來看,這兩杯所賺的錢都是 10 元;但是從「相對」的觀點來看,紅 茶可賺成本的 2 倍,桔茶可賺成本的. 1 ,紅茶可以賺比較多。兒童在學會比例 2. 推理時,要以相對的立場來思考問題,所以比是一個比較性的「指標」 (index), 用來描述一個量和另一個量之間的關係(Nohda, 1984)。Vergnaud(1983)和 Lamon(1995)都一致指出,要理解比的意義,必須要有乘法性的思考。兒童 如何由加法性思考轉變為乘法性思考是值得探究的。. (二) 比感(ratio sense) 所謂的比感,就是對「比」的察覺,即兒童必須能夠瞭解兩量之間的關係 是什麼,透過關係的推論,只要知道另一組對等關係的其中一個量,就可找出 第二個量是多少(Lamon, 1995)。. (三) 共變性和不變性(covariance and invariance) Lamon(1995)認為,組成一個比的量之間,具有「共變性」 ,是為了要保 持量與量之間的關係的「不變性」 。例如:上述所提出的問題「每 5 個客人就需 要 3 瓶汽水」我們以「5:3」 ,當人數變為 2 倍時,汽水量也要變為 2 倍(共變 2 性),新的人數和汽水量比為「10:6」,其人數和汽水之間的倍數都是 1 (不 3. 變性)。如此「5:3」和「10:6」是等價的。 在有關兒童的比和比例之相關研究方面,Lamon(1994)針對 24 個六年級 尚未接受過比和比例相關的教學進行臨床晤談,以調查兒童對比或等比例問題 35.

(36) 的解題類型,結果發現兒童依問題情境的不同,分別有學生使用下例的解題類 型:1. 使用不同測度空間的策略:先算出原來兩量之間的比值關係,再以此比 值關係去解題;2. 使用同一測度空間策略:先算出其中某一量的倍數變化,再 把另外一量乘(除)這個倍數;3. 能把比視為一個複合單位。陳敏華(民 87) 依據比的定義和 Lamon 所提出的比的三大數學要素建立一個初步的「兒童比和 比例概念模型」 ,並細分為十三個子概念,再依此子概念自編測驗。隨後針對台 灣中區六年級兒童採分層隨機抽樣,取得筆試樣本 1084 名,經由電腦無參數反 應理論分析後,發現比感和比的意義是兒童最易理解的子概念,而分割、比值 比較和比單位的使用(把比視為複合單位的概念)則是兒童最難理解的子概念。 甯自強(民 84)曾指出,無論分數所表示的意義是部份和全體的並置或者 是分割數和集聚數的並置,當兒童注重其比的比值關係時,並把比值當作數值 指標的數,稱之為「有理數」概念;在本節中,Lamon(1995)所提出的比和 比例的數學要素中,無論是相對或者是比感、不變性的判斷也是著重兩量關係 的概念,這是涉及到等值分數或有理數概念,換言之兒童分數概念的品質一定 深深影響對比或比例的問題的解題活動;另外,比也是分數的多重意義之一, 所以從觀察兒童處理比和比例的問題,我們可以探索其對分數所持的概念為 何。因此,比和比例的解題活動也列為本研究的範圍內。. 36.

參考文獻

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