高中數學教師教學實作知識之教室觀察系統的建立

(1)

「專題論文收稿日期:

2012/6/25

修訂日期:

2012/8/27

接受日期:

2012/8/27

高中數學教師教學實作知識之

教室觀察系統的建立

卓益安博士生、金勞教授

。國立臺灣師範大學科學教育研究所團立臺灣師範大學數學系

摘要

本研究採用個案研究法並參的Deborah Ball 研究團隊所發展之教學教學品質

( Mathematical Quality of

Instruction，簡稱MQI) 的教學觀察系統來建立三位台灣高中數學教師教學實作知識的教室觀察系統。依照個案教師所教授之高二數學課程，觀察與研究的單元

包括空間中的平面與直線方程式、重複組合與期望值四個教學單元，並且藉助Ball， Thames與

Phelps

(2008) 所提出"為了教學所需的數學知識 (mathematical

knowledge for

teachi嗯，簡稱 MKT )..的架構，建立台灣高中數學教師教學實作知識的教室觀察系統來分析三個個案教師的數學實作知識及其樣貌。研究結果只呈現空間中的平面與直線方程式的編碼結果。研究顯示，個案教師所呈現的教學樣貌明顯不同。在教學中，個案教師所呈現的特殊內容知識

(specialized content

knowledge' 簡稱SCK) 顯現出個案教師不同的教學特性。

關鍵詞:為了教學所需的教學知識、教室觀察系統、特殊內容知識

(2)

高中數學教師教學實作知識之教室觀察系統的建立

Building Classroom Observation System of High School

Mathematics Teachers' Practiced-based Knowledge

Manuscript received:

lun 22

,

2012

Modified: Aug 27

,

2012

Accepted: Aug 27

,

2012

Building Classroom Observation System

of High School Mathematics Teachers'

Practiced-based Knowledge

Vi-An Cho Doctoral Student

、 Chien

Chin Professor

。 Gradua↑e

Ins

•|•

u

•

e of Science Educa

•

ion

,

National Taiwan Normal University

Depar

•

men

•

of Mathema

•

ics

,

Na

•

ional Taiwan Normal University

Abstract

The aim of this study is to build the classroom observation system of high-school mathematics

teachers'

practiced-based knowledge by classroom observation of three cases in terms of the

coding system of the mathematical quality of instruction (MQI) developed by Deborah Bal

l'

s

research group. The observed units

,

including the equations of plane and line in space

,

repetition

combination and mathematical expectation

,

are chosen by three participant teachers. Researchers

analyzed three participant teachers'

teaching practice in terms of the framework of mathematical

knowledge for teaching (MKT) introduced by Ball

,

Thames and Phelps (2008). Results show that

three high-school teachers'

teaching modes are obviously different

,

and that their specialized

content knowledge present different pedagogical characteristic.

Keywords: mathematical knowledge for teaching

,

the system of classroom observation

,

specialized

content knowledge

(3)

壹、研究背景與動機

何謂教學(

teaching)

?黃政傑(

199 7)

認為，教學是指擁有特定知識、技能、態度及內容的人，有意園地把這些內容傳授給缺乏這些內容的人，為了達到這個目的而建立的互動關係。 Shulman (1987) 認為，教學是教師將理解、呈現技術、期待的態度或價值轉化成教法的表徵與行動，使原本不知道的可以知道、不了解的可以理解和辨識、不熟練的可以到達精熟。雖然，教學是由教師對所學知識的了解以及如何進行教學開始，但是透過教學的過程，師生雙方都能夠獲得新的理解。然而，在教學活動中，教師又必須具備什麼才能夠進行教學呢?

McDiarmid

與 Clevenger-Bright (2008) 檢視教師能量

(teacher

capacity) 時認為，它應該包含教師持續發展知識(knowledge) 、技能(

craft

skills) 、性向 (dispositions) 的潛力，因此，對執行教學而言，教師需要擁有相關的基本知識。首先，數學教師需要具備教數學的相關知識，而教師的數學知識會影響教室的教學行為，也會間接地影響學生的數學學習(

Fennema

&

Frank巴， 1992 )。在美國數學教師學會 (National

Council of Teachers of

Mathemati的，簡稱NCTM) 對學校數學改革所提出的願景中，期待教師能夠提供學生數學豐富的環境，而數學豐富的環境包含: 提供學生機會去學習重要的數學概念和理解程序、讓學生能夠有自信地去處理教師精心宜。中等教育第63 卷第 3 期挑選的數學問題、利用不同的數學主題建立知識、有時從不同的數學觀點解決相同的問題或用不同的方式表達數學...等等(NCTM，

2000

,

p.

3) 。如果教師缺乏教數學的知識，則會影響建構數學豐富的學習環境，甚至會損害教學，因為，透過教師不當問題的選擇、不當地使用操作物、引用、譬 H俞、選擇表徵或是薄弱的解釋，;恃無法建立概念與過程的連結，甚至犯下嚴重的數學錯誤

( Charalambous

,

2008 )

然而，在高品質教學與教師專業化的需求下，教師知識成為一個重要的課題。那麼，教師需要具備哪些知識才能執行教學呢?以數學教師而言，什麼樣的知識可以突顯數學知識的特殊性呢?

Shulman

(198

7)

提出教師知識基礎 (knowledge base) 至少包含以下七個類別(categories) 內容知識、一般教學法知識、課程知識、教學內容知識 (pedagogical

content

knowledge' 簡稱 PCK) 、有關學生及學生特性的知識、教育脈絡的知識、教育目標與價值及其哲學歷史背景的知識。在這七類當中，最能夠突顯學科特性也最受到重視的是PCK

' Shulman

(

1986) 將它視為一種特殊的教學知識，它是最有用的概念表徵形式及最有力的類比、圖示、例子、解釋和論證，使學科成為他人可理解的形式的知識。因此，數學教師的 PCK是最能夠區分數學教師與數學家、醫生、工程師的不同。 Ma (1999) 研究大陸與美國的小學教師後認為，數學教師應該要有對「基礎數學的深層理解(

profound

(4)

Building Classroom Observation Sys

•

em of High School

Mathema

•

ics Teachers' Practiced-based Knowledge

understanding of fundamental mathematics'

簡稱PUFM) J '即教師對小學數學知識須有深度 (depth) 、廣度( breadth) 、透徹度( thoroughness) 。真有 PUFM 的教師在教學和學習上會展現四項特徵(

I

)連通性(

connectedness)

，從簡單表面到複雜內在、橫跨不同數學領域的能力; (2)多重 WZ #作

賞

欣

吋叫刊 J ', II 。帶/ 匕匕 A 開口、、』'， F P3 ρiv V GE

‘

ρiv ρiv pz c3 VE ρLV

P

ρiv ny φE 巴

u

m

/tt\ ι 自間主 -d

觀

念不同的面向以及問題的多樣解法;

(3)

一致性 (unity) ，並不受限於某個年級該教的東西，而是對整個數學課程有基本的了解，教師能安排機會帶領學生回顧以前已習得的重要觀念，也能為往後的學習建立合適的基礎;以及(

4

)基本原則 (the

basics)

，教師能察覺到簡而有力的(

simple

but

powerful) 例子，並且依此例子帶領學生重新檢視以及加強基本概念。連通性是 PUFM在數學教學中的一般特徵，後三者則可視為連通性的三個種類。儘管這四項特徵顯示了教師的數學理解與教學實作的關係，但是目前仍然較少對於高中數學教師知識與教學實作進行研究，例如，教師知識如何支持他們所提供的解釋、計畫課程、選擇例子與對學生做反應等等。因此，本研究聚焦於探討數學教師的教學實作(the

practice of

teaching)

，研究者將在教學實作中探索教師知識所扮演的角色與功用，並且由教師的教學實作中吸取出數學教學所需要的數學知識。

Rowland

,

HucksteptliHhwaites

(2005)

於英國所進行之「教學中的數學知識

(mathematical knowledge in

teaching' 簡稱 MKiT) J 研究。他們從149位參與「學士後教育認證 (Post-Graduate

Certificate in

Education' 簡稱PCGE) J 的教師中，利用統計資料篩選出 12位進行數學教學活動的教室觀察，並進行編碼與分析。最後，他們提出知識四重奏 (knowledge quartet) 的概念架構，分別為基礎( foundation) 、轉換 (transformation) 、連結( connection) 與偶發( contingency) 。基礎是由實習教師的知識( knowledge) 、信念( belief)、大學所獲得的理解( understanding) 以及師資培育時期所習得之教室角色( role) 所組成，此乃教學之基礎;轉換是教師利用表徵、類比與解釋等將自己所理解的意義轉換為學生可理解的型式，指的是在行動中的知識

(knowledge-in-action)

;連結是將各教學單元的統整使其有一致性，這亦屬於行動中的知識;最後，偶發指教師可以迅速地對學生的行為與想法做反應，這涉及在互動中的知識 (knowledge-in-interaction) 。但是數學教師在教學課堂所呈現出的教學，其基礎、轉換、連結以及面對教學中的偶發事件，皆涉及數學教師對於教學單元內容的數學理解 o 所以，我們應該試圖對數學教師的教學實作進行數學分析，以得到教學實作中所需的數學知識。因此，

Ball

,

ThamesYj~Phelps (2008) 在美國所進行之「為了教學所需的數學知識(

mathematical

knowledge for

teachi月，簡稱MKT) J 研究。他們提出楠圓形的MKT架構，包含一般

(5)

察系統，進而以此系統觀察數學教師其不同 SCK的取向。研究指出，在教師知識與實作的關係中，專家教師的知識較生于教師更真結構化與更富連結性，課堂上的教學穩定性也高 (Leinhardt

&

Smith

,

1985)

，有助

貳、文獻探討

於研究者的觀察。所以，我們選取有經驗的 (experienced' 或稱資深的)高中數學教師做為研究對象。依Berliner (1988) 的觀點，教師在教學五年後約可進入精熟階段，而一般研究的對象其教學年資皆達十年以上，因此，本研究將選取三位具有高中數學教學經驗達十年以上的教師為研究個案，並且呈現出三位個案教師兩個單元之教室觀察結果。

一、 Ball等人的觀點與相關

的實徵研究

本研究試圖建立台灣高中數學教師教學實作知識的教室觀察系統，因此，本節探討MKT相關的研究文獻與實徵研究，包含 Ball等人，以及Ball 的兩位博士班學生

(

Charalambous與Sleep) 對 SCK的觀點，並且也探討我國關於教師教學專業標準認定的研究文獻。 Knowledge of c。、tentand Students (ICCS) MgM 甜?n叫咱 -Il 巴虫坐坐且也世坐坐 J

內容知識(

common content knowledge

'簡稱 CCK) 、特殊內容知識(

special ized content

knowledge' 簡稱 SCK) 、內容與學生的知識 (knowledge

of content and

students' 簡

圖 1 MKT的領域圖(引自Ball，

April

27 ,

2010

,

p.

40)

Mathematical Knowledge for Teaching

(MKT)

知識 (knowledge

of content and curriculum '

稱 KCS) 、內容與教學的知識(

knowledge

ofcontent and

teaching' 簡稱 KCT)

數學水平的內容知識 (horizon

content

knowledge' 簡稱HCK) 以及內容與課程的簡稱KCC) 。其研究不只是想要探討教師的實作教學知識 (in

practice)

，還有伴隨在實作中的數學思考(

for

practice) 。其中， SCK是數學教師在執行教學中唯獨擁有的數學知識。因為 rMKT的架構是高度數學取向的 J '數學教師面對教學中的規則性與不確定性，都是經由教師的數學理解來解決教學中所面對的問題。她們提出教學用的數學知識 (MKT) 有六大類(見圖1

)

PCK增進我們對教師教學所需相關知識

本文試圖以Ball等人所提出的 MKT架構

的了解。但是，對於知識與數學教學實作間

分析台灣高中教師的數學教學實作，並且建的落差， Ball與Bass (2000) 認為應該要對立台灣高中數學教師教學實作知識的教室觀核心教學活動進行數學的分析(

mathematical

重 2 中等教育第 63 卷第 3 期

(6)

Building Classroom Observa

•

ion System of High School

Mathematics Teachers' Prac

•

iced-based Knowledge

analyses of core activities)

，透過這樣的分析，可以了解教學中需要的數學實作知識，以及了解數學知識如何被使用。這種研究數學教學知識的方法，反映了數學教學實作是一種具有規則性(regularity) 與固有不確定性 (endemic uncertainty) 的活動(

Ball

,

Lebiel叫正i ，

S. T., &

Mewborn

,

2001

,

p. 453)

美國自然科學基金會資助的資料庫，此資料庫收集了 1989-1990 期間美國一所小學3 年級的數學教學資料，包括課堂的錄影帶、錄音帶、學生課堂作業以及教師的教案、省思札記等。同時也組成了一支經驗豐富、具有多專業學科背景的研究團隊，從教學實作中分析教學所需的數學知識;量的方面研究則

規則性是指，教師可以準備特定類型的知識是來自，.

Learning Mathematics for Teaching

來進行可預測的教學活動，例如某些對學生

Project (LMTP)

J 計畫，為了補充質性分而言較困難的主題，教師可以透過設計課析的不足，她們發展了上述各類知識的檢測程，依循某種樣式，使用特定的表徵、例題方法，撰寫了不同類型的選項由不同的老師和方法，減輕學生的學習困難。這種知識其作答，再利用因素分析確定研究假設，最後實就是PCK ，它是把數學、學生、學習和教得到六個知識領域。學的知識細綁 (bundles) 在一起的特殊知識關於PCK的部分，它包含了KCS 、 KCT 形式。事實上，教師在特殊脈絡的情境下整與 KCC 0 KCS 是指結合知道學生和關於知合不同的知識己是一大挑戰。但是，擁有這道數學的知識，例如預先想到學生的思考、種細綁知識的教師，尚不能夠應付充滿不確選擇例子時會思考學生是否有興趣、如何才定性的教學實境，因為教師無法完全預知學能最佳地建立學生的數學思考或是如何才能生的反應，倘若學生在教師預定的學習軌道糾正學生的錯誤等; KCT是指結合知道教學中脫軌演出，那麼，預備那些細綁在一起的和知道關於數學的知識，例如，教師要為了知識是否還能合用?教師是否能在複雜的教教學將內容排序、選擇起始例引入教學、教學實作中展現彈性( flexibility) 與適應狀態師應評估概念表徵在教學上的優劣，識別不

(

adaptiveness) 以符合教學時所需的彈性與同的數學方法和過程所提供的教學意義; 適應狀態，教師們就必須擁有教學上有用且 KCC則是指課程知識，例如，什麼年級的學

準備好的(

pedagogically useful and

ready) 數生應該要教到分數的除法。教師如何依照學

學理解。校的課程，將分數的除法關聯到整數的除法

承聽了上述的看法， Ball等人 (2008)

(Ball

,

2010)

?

更進一步從質與量兩個途徑來研究教師教男一方面，關於學科內容知識(

subject

學的相關知識。質的方面是，.

Mathematics

matter

knowledge' 簡稱SMK) 的部分，它

Teaching and Learning to Teach Project

包含了 CCK 、 SCK與 HCK 0 CCK是指，在

(MTLTP)

J 計畫，她們建立了一個接受教學工作之外也會用到的數學知識和技能，

(7)

專題論文教師必須要知道她們所要教的教材、識別學生的錯誤答案、教科書上不精確的定義，還有在黑板上書寫時，正確使用專業術語和符號。這種知識在其他工作中也需要，但並不是教學所特有的，可是教師如果缺乏這類知識，教學也會受到阻礙; SCK是指，為了教學所需的一種獨特的數學知識，例如教師在教學時常常需要分析學生的錯誤，這種分析與數學家分析自己的研究中的數學錯誤有些不同。教師是為了教導學生而做的錯誤分析，而且，在課堂上需要做出即時且迅速的判斷，但是，數學家卻沒有這樣的限制。如果學生的方法不合理，教師要能了解原因，如果學生創造出了一種新方法，教師還要考慮這個方法是否正確、是否有推廣|笠，而數學家大致不需要做這些工作; HCK 則是某種數學知識，是一種對數學主題如何在課程中跨越的察覺，例如，了解目前所學和之後要學的相關性、數學概念間的連結等等。它主要是一種數學的周遭所見(

peripheral

vision)

，一種較大數學景致的視野(a

view

of the larger mathematical landscape)

，一種更深、更廣的數學素養，卻不一定展現在教且之中 (Ball

& Bass

,

2009)

，例如，當一個數除以越來越小的分數，所得的數值將會越來越大，這樣的說法是否是對的?這種現師要使月j 解壓縮後( decompressed) 的數學知識來教學，才能幫助學生理解，例如辨別數學語言和生活語言的差異、如何選擇和使用有效的數學表徵、解釋和驗證學生的數學概念，這些都是教師藉由鬆綁(unpack) 數學知識，讓其成為看的見、適合學生學習的狀態。因此，教師所獨有的SCK也就會是教學上有用的型式 (pedagogically

useful

forms)

，這種型式也會是教師為了幫助學生學習所展現的教學形式。SCK是 MKT的架構中最可以展現教師知識的彈性，特別是，當數學教師在課堂中遇到學生錯誤的數學想法時，他必須要在短暫的時間內找出錯誤的原因，例如，學生宣稱兩點即可決定一平面，接著，學生在兩個點中間畫出垂直平分面。這時，數學教師需要使用教學推理來分析學生的迷思概念，到底錯誤在何處?這種教學推理l 使用的不是PCK' 因為，尚未找出錯誤來源時，是無法轉換成概念表徵的形式或使用類比或圖示等向學生解釋。而這種教學推理所使用則是數學學科知識，因為，宣稱兩點即可決定一平面的學生並未理解到其所求的平面方程式必須通過那兩點。以其特色來看，這種知識並不真有連結、多重觀點、基本概念與縱向整合的特性。所以，分析學生數學構思所使用的數學知識是相當特殊的象是否有其背後的意義或是)是是有趣的結果

(

specialized) 。因此，以 MKT的架構來分

(Ball

,

20 I 0)

?回答這類問題的基礎，就析教學活動中所蘊含的數學知識，應是十分與 HCK有關連。 Ball等人認為教師要教給學合適的。生的內容都是經過壓縮 (compress) 的，教 14 中等教育第63 卷第 3 期

(8)

二、 Charalambous的研究

研究教師知識的目的是想要了解它對教學的影響。 Charalambous (2008) 檢視職前教師 (pre-service teacher) 的 MKT血教學實作表現之間的關聯。首先，她們利用 LMT 的檢測題，發展出評定 MKT 分數

( MKT-score

)的試題。接著，她們在參與

,-

Elementary Masters of Art with Certification

program

J 的 20位大學生中，觀察他們在 MKT分數與教學表現之間的關{系，然後挑選出 7位做更深入的分析，其中包含了二位具有高 MKT分數與高教學表現、二位低MKT 分數和低教學表現、一位教學表現比MKT分數好、二位MKT分數比教學表現好的職前教師。研究結果顯示，如果職前教師的MKT分數較高，他們在以下五種表現比較良好:選擇與使用任務 (selecting

and using task)

提供解釋 (providing explanations) 、使用表徵 (using presentations) 、分析學生的工作與貢獻 (analyzing

studen

t'

work and

contributions) 與回應學生直接或間接的求助( respondi月 to

students'

direct or indirect

requests for

help) 。而且以上五種表現皆可視為教師的SCK 。

三、 Sleep的研究

MKT 的結構是用在分析教學實作中的數學知識，由於教學活動複雜，各領域知識界線模糊，對分類造成了困難。Sleep

(2009

)利用數學的濾鏡(

mathematical

lens) 、學習者的濾鏡 (learners lens) 和

Building Classroom Observation System of High School

Mathematics Teachers' Practiced-based Knowledge

聚焦的濾鏡 (focusing lens) 來分析課堂中的數學領地 (mathematical terrain) 與教學活動 (instructional activity) 中的數學要點

(mathematical

point) 。因此，她建議對教學活動做定位(

orienting the instructional

activity) 。此定位包括具體說明問題的細節和建構活動使學生聚焦在預定要學的數學、準備特定教師行動，使學生聚焦在預定要學的數學、計畫如何使用預期中學生的反應去讓學生更深入致力於預定要學的數學，較為具體的例子有策略性的選擇例子、發展策略性的問題、決定何時加強數學解釋、選擇學生的反應繼續後績的教學，這些都屬於教學上有用的型式。這些也都跟教師的數學理解有關，因此皆屬於SCK 。

Sleep

(2009) 考慮數學教學活動中同一事件的不同面向，也釐清了許多分類的界線。值得思考的是，

Ball

,

Charalambo 肘，

Thames

& Lewis

(2009) 指出，她們在分析教學時，都是擷取有學生互動的部分。但是，以目前國內的高中數學教學現況，大多是講述式的教學，與學生的互動較少，如果整堂課中都沒有出現學生的聲音，那麼，教師對於學生的思考就不會展現。為了因應圍內現況，我們建議建立屬於台灣高中數學教師教學實作的觀察系統，以教學者或教學的濾鏡來分析教學，突顯數學教師的教學思維所展現的型式，並且呈現出我國高中數學教師不同的SCK ，下表 l 為研究者所整理的SCK 操作型定義，以利於教室觀察中使用。

(9)

表 I SCK 的操作型定義

出處 SCK 的操作型定義之描述

Carroll & Mumme (200

7)

詮釋與評估替代的解答與思考

尋找學生錯誤的模式

判別學生非標準化的解法是否可適用於一般的問題理解學生無法明確區分的運算之不同詮釋

Ball

,

Thames

,

and Phelps (2008)

理解概念間的差異

明確地說明數學語言如何使用有效率地選擇，製作以及使用數學上的表徵如何解釋與證成學生的教學想法選擇與發展可運作的定義欣賞學生解題的方法

Charalambous (2008)

評價學生所提出的新想法、方法與進程連結表徵與模型到概念的潛在(基礎)意義籍由選擇例子與表徵來解釋數學上的想法或概念

Sleep (2009)

分析非標準化的解題方法

四、我國數學教師教學專業

標準相關文獻

近年來，我國學術機構與學者們(潘慧玲、王麗雲、簡茂發、孫志麟、張素貞、張錫勳、陳順和、陳淑敏、蔡演如，

2004 :

潘慧玲、張德銳、張新仁， 2008) 已發展出中小學教師專業標準或教師評鑑標準。其中，以教育部委託曾憲政等 (2007 )研發之教師專業發展評鑑規準'廣為參與教師專業發展評鑑實施計畫的中小學參考使用。此規準中的「課程設計與教學」層面，包含精熟任教學科領域知識、清楚呈現教材內容、運用有效教學技巧、應用良好溝通技巧等等。重 6 中等教育第 63 卷第 3 期再者，李源順、林褔來、呂玉琴與陳美芳

(2008

)根蟻學者的觀點建構國小教師數學教學發展標準，並且認為小學教師數學知識的理解與對於學生數學思考的掌握對教師的數學教學是有幫助的。教學是文化實作

(Stigler

&

Hiebert

,

1999)

，因此，鍾靜、張淑怡、陳幸玫、陸昱任與戴坤邦(2012 )以五套國家層級的數學教師專業標準為基礎，除了諮詢師資培育學者之外，他們以焦點座談與調查研究的方式徵詢在職教師的意見為修訂標準'以符合國內數學教師教學現況。在執行教學的專業知能面向，鍾靜等人認為教師應該要真有數學教學所需的數學知識、

(10)

數學教學所需的數學過程能力、學生學習數學的知識以及數學課程與教學的知識。學者們皆認同教師的數學知識與其理解確實是數學教學重要的一環，也認同專業標準的制定必須要符合我國的教學現況。李源順、林褔來、藍珍梅、王品心、鄭雙慧與洪思維 (2010 )針對國小四年級教師的數學教學進行錄影研究，了解我國四年級教師的數學教學樣貌。李源順等人也建議應針對優秀的數學教師進行連續多節課堂的教學錄影研究，深入分析專家教師教學實作的特質，以供數學教師教學專業標準的制定。

參、研究方法與步驟

Building Classroom Observation System of High School Mathema•icsTeache悶，Prac•iced-based Knowledge

(李師、謝師與顏師) ，三位皆為師範大學數學系畢業，並且在北部的公立高中任教十年以上。李師大學畢業後直接經由學校分發實習，實習後踏入教職，在第一所高中任教 3 年後，轉任至現在的學校至今，已於高中任教30年以上:謝師大學畢業後直接進入研究所就讀並且專攻數學史，畢業後先於國中任教，之後轉任至現在的學校至令累計共有 16年的教學年資;顏師大學畢業後進入某國立大學數學研究所就讀，由於對純粹數領域有相當大的興趣，因此，研究所畢業後直接於原校攻讀博士學位，畢業後於高中任教已達 10年。

二、資料收集程序

本研究目的是建立高中數學教師教學實作知識之教室觀察系統，並且依此工具探究高中資深教師教學實作的樣貌。為此，研究者使用個案研究法，個案研究並不只是一種收集資料的做法，也不僅僅是一種設計特徵，而是一種周延而完整的研究策略(Yin

,

1994

)。同時，研究者進入教學現場進行個案教師的教學觀察與錄影，並且-參 W#\Ball 研究團隊所發展的教學數學品質( Mathematical Quality ofInstruction，簡稱MQI) 的教室觀察編碼系統中的細項來提取出個案教師數學教學實作中所出現的編碼。

一、個案的選取

本研究立意選取三位資深高中數學老師為了要理解個案教師教學實作知識及其運作，研究者先諮詢一位高中退休數學教師。該諮詢教師在北部公私立高中教學長達 35年以上，而且曾經擔任民國72年我國執行第一次自編高中課程編輯委員，並且於民國 84年開放教科書編輯後，持續擔任某書局高中數學教科書編輯委員長達十年以上。研究者希望藉由諮詢老師的教學經驗與教科書的編輯經驗選取個案教師的教學錄影單元，並且與諮詢教師討論所選取的高中課程教學單元要包含數學概念的建立、發展該概念的運算工真以及該數學概念所涉及相關的數學解題策略三個面向。觀察與錄影的教學單元由諮詢教師選定後，再經由三位個案教師自行選取哪些單元最能夠展現其教學功力，最後

(11)

整合共同的教學單元進行一學年的教學觀察與錄影，其兩學期的觀察單元為:第一學期為空間中的平面與直線方程式;第二學期為重複組合與數學期望值。本研究對李師、謝師與顏師分別進行教室觀察與錄影22 、 21 與 22節課。在教學觀察與錄影之前向三位個案教師收集教學時所使用的資料，其資料包含教科書、自編講義、該校數學教學研究會所編撰的數學講義與教學手稿。教室觀察與錄影峙，研究者會隨時記錄教室教學中所發生的事件。教學觀察與錄影之後，研究者會與諮詢教師一同觀看三位個案教師的教學錄影，藉由諮詢教師豐富的教學經驗與教科書編輯經驗來討論與檢視三位個案教師教學實作。觀看教學錄影期間全程錄音，並於會後將其討論內容整理成訪談題目向三位個案教師進行半結構訪談。其訪談目的是確認在教學觀察與教學錄影中，研究者所看到的編碼項目與教師實際教學中的思考是否一致。

三、高中數學教師實作知識

之教室觀察系統的建立

為了探究高中資深教師的教學實作知識的樣貌，本研究改編自 LMT

(Learning

Mathematics for Teaching)

(2006

)計畫

中，研究教學的數學品質(

Mathematical

Quality of

Instruction，簡稱MQI) 所使用的觀察編碼系統。研究者先將一整節課的教學依照完整的教學片段切割，做為時間的計算重 8 中等教育第63 卷第 3 期單位，所謂的教學片段可能是教授一個例題，一個概念，或是學生發表完一段談話。接著，按照教學的形式與內容做分類，然後再勾選活動課程中數學領域知識的細項。此外，數學領域知識的細項中有許多是屬於高推論性的，觀察者必須要運用其數學知識進行推論才能夠進行分類，因此，研究者藉由男一位觀察者來檢視各項目的信度。以下呈現建立數學教學錄影編碼表的流程: (一)數學教學錄影編碼系統表的製定與介紹 MQI編碼系統原先是為觀察美國國小數學教師所設計，但是考慮到教育環境、文化背景、國小與高中數學的差異，故必須將它稍加修改才能真正適用於分析台灣高中數學教師的教學。使用系統化的方式去觀察教學活動，就是意l味著要透過非參與者的觀察過程 (McI ntyre， 1980) 。以下逐-介紹調整後的數學教學觀察系統中各項細項的意義，並且在教學活動課程中數學領域的知識以及在對學生使用的數學提供的部分提供教學觀察與錄影中的質性轉譯資料，以利讀者對照。 I.教學安排和內容包含教學形式、教學內容與教學的進行方式。首先，教學形f 包含全體活動、個人活動以及小組活動。全體活動是指教師對全班教學，或是全班共同討論;個人活動是指學生在自己的位置上，或是經由教師邀請或指點至黑板進行個別解題的活動;小組活動是指學生經由教師分組所進行的討論

(12)

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活動。教學內容則包含代數、幾何、離散與機率。最後，教學進行方式包含概念回顧或檢討家庭作業、介紹主要的工作或概念、教師示範例題、學生操作、總結與其他。 2. 教學活動課程中數學領域的知識:此部分與SCK的操作型定義以及個案教師教學實作有緊密的關聯，共計17個類別，分別提供各類別教室觀察所轉譯的質化資料。 (I)數學符號的引入:使用數學的符號，並且是教師第一次為概念給予符號表徵必須劃記。因此，一般計算時使用的 +-X7等不在此劃記範圍。例如: 好，那我現在要開始下定義了喔，我們令其什麼?方法數為...這是第三個字母叫做H ，叫n類取幾個? mf固，這樣可以嗎? (謝師， 20100312) (2)數學的詞彙的定義與使用:提出或介紹新的數學詞彙或關於詞彙的定義。例如:看講義第23 頁就開始介紹什麼叫做它的法線，那在數學上講它的時候是這樣，這邊假設是一個平面E ，看的到吧，它就發現跟它垂直的直線，每一條跟它垂直的直線有無限多條，所以它說E是空間中的一個平面，你看講義23 頁這邊，垂直E 的這一條直線都稱做它的法線。(李帥，

20091027 )

(3) 表示數學概念使用的一般語言:利用生活中常用的用語去譬喻、或以故事性的手法表達數學概念。例如:直線治著一個不在線的方向上「拉動 J 是不是就形成面? (謝師， 20090922

)

(4)為了數學概念的數字、例題及脈絡的選擇:教師對問題中的數字、符號的選擇，或者使用真實或虛構的情境，更包含了對例題排序的注意，老師有主動提出對上述情況的關注就算，如果是出現在不同節課的安排則不勾選。教師課堂上會自己臨時假設一個不是講義或課本上的例題或一組數值做說明，如果老師沒有說明為什麼舉這個例題或數值的理由，那麼此狀況就不算在此類。例如:它的法向量，就可以取，是誰?

(2

,

0 ,

-2)

, \ ,

我們只要它的方向對不對?所以可以把什麼去掉?兩倍去掉，對不對? (謝師， 20090922

)

(5)選擇正確的操作物或可見的具體模型去表示數學概念:教師在黑板上畫的圓形是用來幫助理解數學概念的才能勾選，這部分有兩種狀況，一是在黑板上畫出圓形，二是使用可見的真體物，例如:我剛剛拿到一個這個模型，剛剛看到一個老師走過去﹒...第一種想法是把老師手上這一點當成原點，對不對對不對，那你會想到這一點的座標是不是(

1 ,

0 ,

I )

對不對?這一點是(

1 ,

0)

，這一

(13)

點是 (0， 1 ， 1) ，所以我們當初好不容易建立這樣一個正四面體。(李帥，

20091027 )

圖 2 選擇可見的其體模型去表示數學概念 (6) 多重模型:使用多種模型表達一個數學概念，以展現概念的不同特徵，指的是跨越(曲線)圓、方程式、表格、圖片、數值步驟和故事，若解題時題目以文字符號呈現，但利用圓形模型來解題，則不在此列。例如 :H 有排列和非負整數解兩個模型，見下圖 3 中右方的直線與三角形排列，與非負整數解。(謝師， 20100312

)

圖 3 重複組合的多重模型 (7)對符號、真體的圖像及圖表做連結: 教師特別指出符號、真體圖像、圖 20 中等教育第 63 卷第 3 期表等有意義的數學連結，即表徵間的連結，包含能比較表徵間的相似與相

異。例如:廿七 +jz=l 變成這樣，

那這樣寫還不夠好看，要把x品z搬到

這個分母上

變成，三+卜卜 l 這

種形狀，好那這個有沒有很類似的東西?以前再高一的時候好像有類似的東西，叫什麼式?截距式，以前在高一的時候講直線方程式的時候有截距式嘛，那現...這邊呢，同樣有截距式，

ok?

(顏師， 20091021

)

圖 4 對符號與具體的圖像做連結 (8) 數學描述:教師(或與同學一起想出)提供清楚的數學程序或步驟，沒有提供意義或說明理由。例如:老師在講這一段是想要轉達這兩個概念。這樣可以理解吧?第一個就是把 A' 給算出來 B' 給算出來 C' 給算出來，這個就是它的正射影面積。那第二個方式我們就先求三角形面積再乘以它兩面的什麼東西?是不是夾角，是不是就跑出來啦。可以吧?可以喔，那我想我先稍微介紹一下這裡的觀念。 (李師， 20091105

)

(14)

Building Classroom Observation Sys•em of High School Mathematics Teachers' Practiced-based Knowledge

(9)數學解釋:賦予數學概念或程序意義，教師的直接解釋(或與同學-起想出) ，包含專注於步驟或概念的意義，不一定要提出數學證明，例如﹒ 直線參數式寫法是不是不唯一?

.

一看到就覺得這個不唯一，原因是什麼呢?這個點是我亂取的，而它的平行向量，也就是方向向量有幾個?無限多個，是不是無限多個，所以這個，這個地方自然會出現一個問題喔，是什麼問題呢，是你看起來不太像的參數式，但它可能指的是什麼，指的是同一個什麼?同一條直線。 (謝師， 20090928

)

(1 0)數學證明:證明數學公式，或是數學定理或性質。

(11

)計算錯誤或其他數學的忽視:教師發生錯誤或疏漏，包含計算錯誤、口誤、筆誤、條件的疏忽等。

(

12) 多觀點:對一個概念提供不同的觀點，或在解題中提供二種以上不同的求法、或使用不同的概念來檢驗答案的正確性，以教師主動提供的方法為主，可能口頭說明，不一定完全解出，但學生提供的做法則不計入此列。例如:有很多解法並不是唯一的，那像老師講義上會給你題目上，會給你一個引導式的概念嘛，你這三種方法至少學會一種，如果你覺得自己程度不是很好，學左邊的方法，這兩個把它忘掉。 (李師， 2009 川 0) (1 3)比較.指出兩概念、表徵、解法優劣異同、分辨題意的差別，包含使用類比或對照的手法來進行教學。例如:請比較重複排列與重複組合的不同。(顏師， 20100424

)

(1 4)概念連結:指出兩數學概念間有所關連，包含用舊的數學概念或解法講解目前要學的內容，或現在的概念與之後要學的概念的關連。在比較差異中，如果是拿兩個數學概念做類比與對照，也屬於概念的連女士 'I'口 (1 5)提示教材地位:預告此節課的學習目標、未來要學習的內容、提示之前已學過概念，或指出哪些內容不在高中範圈，重點在指出教材的位置，若是只有指出概念間的關連，則是數學概念的連結。例如﹒那這個參數式寫法不唯一的問題，我們等到那個直線的相對位置的時候再講好不好?直線的相對位置有一個叫做重合，那重合就會出現這個問題，我們就跟著等後面再提。(謝師，20090928

)

(

16)與數學史連接﹒提及相關數學概念的發展歷史。例如:當初希臘人根本就不知道這個不能尺規作圖，所以他們為了要處理這三個問題的

(15)

尺規作圖，他們花了很多的精力下去，由這裡呢，研究了很多的曲線，那希臘人呢，處理的方式有兩種常見的處理方式，一種方式就是截痕，這個最有名的在哪裡知道嗎?在我們第四冊會講整個截痕，截圓鑑出來的就叫做圓錐曲線喔，這當然這個最有名的是這個，這個最有名的例子叫做球方曲線。(謝師， 20090925

)

(1 7)數學驗算:教師使用其他數學概念對於答案進行驗算與驗證。例如﹒ 所以假設它求 Q 點出來以後，萬一擔心你算錯，你可以用什麼東西來驗證'是不是可以用 PQ 的長度有沒有等於點到平面的距離? (李師，

20091110 )

3.對學生使用的數學:此部分與 SCK的操作型定義以及個案教師教學實作有緊密的關聯，共計6個類別，分別提供各類別教室觀察所轉譯的質化資料。 (1)拋出數學問題:教師在課堂教學中拋出與教學有關的數學問題。例如: 假設平面 EI ， E2相交，那請問你們， EI ， E2 會產生幾個半平面? (顏師，

20091022 )

(2) 引發學生回答:教師要求學生提供程序、想法的描述或舉例，重點在為什麼得到此程序或想法。不管學生有沒有回答，老師有引發的意圖就算。例 22 中等教育第 63 卷第 3 期如: T: 為什麼要這樣定義截距?同學...截距本來是，字面上應該是截出來的距離，那怎麼不用距離反而用座標呢? (謝師， 20090924

)

(3)使用學生成果:教師嘗試對學生的想法或答案做有意義的理解，並利用學生想法或算式解釋數學概念 o (針對學生正確的想法) (4)使用學生錯誤:教師對學生錯誤作反 l喔，或使用學生的錯誤，或是修正學生的疏忽，而不只是告訴學生這是錯的或是忽略它(針對學生錯誤的想法)。例如: T: 那問題是說還有沒有其他的方法?

S

:我想說把球塗色。 T: 它原本就有顏色，你是說標號嗎?好，你再想一下。(謝師，

20100312 )

(5) 回應學生問題:回答學生的問題，或是學生聽不懂，教師再重講一次，如果教師有修正學生的錯誤，也要勾選使用學生的錯誤，例如:

S

:那要怎麼從題目中看出它是排列還是組合? T: 對啊，所以這種東西有時候都會有點想法，你如果說比如說你去買它，買法有多少種，那你是不是有三種，第二個有三種，第三個有三種，對不對，那是不是 35 _{? (李師，}

20100428 )

(6)預先設想學生的錯誤:在教學時教師提出學生可能會有的想法、可能犯

(16)

Building Classroom Observation System of High School MathematicsTeache悶， Prac•iced-based Knowledge

的錯誤與可能發生的狀況。例如: T: 同學記得，切記這個列式上面要什麼?絕對值，這樣比較好喔，不然的話會有漏洞，是不是? (謝師，

20091005 )

(7)判斷學生答案:判斷與評斷學生的答案，但是沒有給予解釋。例如:

T:

好，第四個，阿布寫的，有沒有問題?阿布寫的我也不太滿意，這是?

S

﹒啊，這是外積I啊。 T: 是啊，寫一個會怎樣啊? (打勾)好，這樣會不會? (謝師， 20090928

)

(二)數學教學錄影編碼系統表之信度

檢測本研究是根據個案教師的教學實作編撰上述的教學錄影編碼系統，但是為了建立可信的系統與減低過度主觀，所以我們依下列流程檢測此系統的信度。首先，關於信度檢測者的選取，本研究目的是探究高中資深數學教師的教學實作樣貌，根據 LMT

(2010)

的建議，其MQI信度的檢驗者必須擁有高層次的數學知識以及MKT的知識才能正確地編碼。因此，我們要求研究團隊中的兩位研究所學生進行一致性的檢測。再者，原本 MQI編碼系統是以每5 分鐘編碼一次，但是此方式無法觀察到教師教學活動的整個實作樣貌。因此，本研究必須對於教學進行方式進行時間分割與檢測，時間分割的前後誤差必須達到5 秒以內。最後，研究者進行此系統各于項目的信度檢測。本研究使用計算 Cohen8守 k值來檢測系統信度 'k值應要達到 0.75以上才是可接受的觀察一致性(Frick

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Semmel

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1978) 。但是 Sim 與 Wright

(2005

)提出k值落在0.61-0.80表高度的吻合度(substantial) ，而落在0.81-1表示幾乎完全吻合(almost perfect) 研究者選擇空間中平面與直線方程式中的兩節課，以及重複組合與期望值的第一節課進行以上的檢測。其中數學描述以及數學解釋此兩項目的信度比其他項目相對地低，但是都有落於0.65~0.80之間。對於數學描述與數學解釋的信度較低是因為三位個案教師常常在解釋數學概念是依據概念的數學定義進行描述，或者在教學活動中，在引進或使用某概念時所進行的描述文帶有解釋此概念的意涵。

肆、研究結果與討論

本研究旨在建立台灣高中數學教師教學實作知識的教室觀察系統。研究者使用系統化的方式去觀察教學活動，經由研究團隊觀看、分析並且討論個案教師在教學實作中所顯現出的數學教學特性，下表2 為本研究所建立台灣高中數學教師教學實作知識的教室觀察系統之編碼表:

(17)

表 2 台灣高中數學教師教學實作知識之教室觀察系統編碼表主類別次類別教學形式 I.全體活動 2.個人活動 3.小組活動教學安排和內容教學內容 1.代數 2. 幾何 3. 離散 4.機率 5.統計教學形式教學進 l 概念回顧或檢討家庭作業 2.介紹主要的工作或概念行方式 3.教師示範例題 4.學生操作 5.總結 6.其他 1.數學符號的引入 2.數學詞彙的定義與使用 3. 表示數學概念使用的一般語言 4. 為了數學概念教學，數字、例題及脈絡的選擇教學活動中數學 5.選擇正確的操作物或可見的真體模型去表示數學概念 6. 多重模型 7. 對符號、真體圖像以及圖表做連結領域的知識 8. 數學描述 9.數學解釋 10.數學證明 1 1.計算錯誤或數學上的忽視 12. 多觀點 13 比較 14.概念連結 15.提示教材地位 16.與數學史連接 17.數學驗算 l 拋出數學問題 2 引出學生回答對學生使用的 3.使用學生成果 4.使用學生錯誤數學 5. 回應學生問題 6.預想、學生錯誤 7. 判斷學生答案以下兩小節呈現三個個案教師在空間中的平面與直線方程式的編碼結果。

一、教學安排與內容，以及

對學生使用的數學

就教學進行方式形式部分，三位個案教師的教學大致上是依循概念回顧或檢討回家作業、介紹主要工作或概念、教師示範例 24 中等教育第 63 卷第 3 期題、學生操作，然後總結的方式進行。依照表 3 '三位個案教師的教學皆以教師示範例題占了全部教學實作的極大比重，但是其他面向仍有些許差異。李師著重概念回顧或檢討回家作業與總結，謝師著重介紹主要工作或概念，然而，顏師則著重在學生練習例題。在總結部分，李師與謝師的教學時間比例比顏師還高。

(18)

Building Classroom Observation System of High School Mathematics Teachers' Practiced-based Knowledge

就教學形式與對學生使用的數學的部少有機會去使用學生的錯誤以及學生成果來分，就師生互動部分，李師與顏師的教學似釐清學生的理解，也比較少有機會去詮釋或乎在此單元與學生的互動非常少，但是兩位是說明學生所提出的成果或是答案。相對教師仍然企圖鼓勵學生描述與說明在課堂中地，謝師的教學與學生互動較多，那麼在與所學習的數學概念。因此，兩位教師就比較學生使用的教學中的各細項也相對地高。教學形式教學進行方式表 3 教學進行方式與對學生使用的數學之各項目所出現的頻率對學生使用的教學斷生素判學答想生誤預學錯答生題回學問用生誤使學錯用生果使學成出生答引學回出學題拋數問 -g 口細心生作學操師範題教示例主作念紹工概介要或顧。本 E 、回討 UUU 念檢討概或丘組動，少舌人動個活體動全活李師 100% 0% 0% 15% 13% 57% 8% 7% 2% 16% 0% 0% 7% 0% 0% 謝師 90% 10% 0% 8% 28% 47% 11% 6% 10% 42% 24% 13% 10% 8% 2% 顏師 98% 2% 0% 3% 19% 49% 29% 1% 39% 20% 5% 6% 10% 0% 0%

二、教學活動中數學領域的

知識

表 4 顯示三位個案教師教學活動領域的知識之各項目所出現的頻率。在數學符號的引入與數學詞彙的定義與使用，三位教師差異不大。但是，在表示數學概念所使用的一般語言，李師使用較多隱喻的手法來幫助學生學習，當然，李師也舉出了更多的例題來幫助學生建立數學概念。在選擇正確的操作物或可見的真體模型來表示數學概念與多重模型的部分，李師與謝師時常使用手邊的實物、教真或是化學鍵模型來表示空間中平面與直線方程式的相關數學概念。顏師則是引導學生連結符號與真體圖像來進行教學活觀ry0 在數學描述、數學解釋、數學證明、多觀點以及比較部分，李師對於概念所進行的引述與解釋的頻率相對地比謝師與顏師來的高。李師較喜歡使用數學概念間的比較來釐清數學概念以幫助學習，並且對於單一的數學概念提出更多面向的描述與解釋以及強調概念間相互的數學驗證，以強化學生數學概念的深度與廣度。謝師則是會利用少數的機會，以數學史的方式引入數學概念，依此幫助學生學習以及理解數學概念的歷史緣由，進而描述數學概念的歷史與發展，其用意是引導學生有承先啟後的學習連接。

(19)

表 4 教學活動領域的知識之各項目所出現的頻率空間中的平面與直線方程式李師謝師顏師數學符號的引入

2%

3%

2%

數學詞彙的定義與使用

7%

10%

6%

表示數學概念所使用的一般語言

11%

4%

1%

為了數學概念教學，數字、例題及脈絡的選擇

48%

8%

16%

選擇正確的操作物或可見的具體模型來表示數學概念

62%

76%

18%

多重模型

27%

29%

11%

對符號、具體圖像及圖表做連結

11%

8%

37%

數學描述

62%

20%

64%

數學解釋

51%

61%

19%

數學證明

6%

9%

5%

計算錯誤或其他數學的忽視

19%

5%

3%

多觀點

32%

20%

13%

比車主

33%

14%

7%

概念連結

12%

16%

7%

提示教材地位

6%

7%

0%

與教學史連結。%

3%

0%

數學驗算

7%

。% 。% 26 中等教育第 63 卷第 3 期

(20)

三、高中數學教師教學實作

知識之教室觀察系統的

限制以及對師資培育的

意涵

從第三章的討論中發現，

LMT

(2006)原先的MQI系統並不完全符合台灣高中數學教學。這也說明了，台灣資深高中數學教師與美國國小數學教師，在不同的文化背景、教育政策、家長與社會的期待，以及自我專業的發展等等的因素之下，造成了數學教學實作知識的差異。在對編碼做增加或IH月滅的過程中，或許能夠反映出台灣高中數學教師特有的教學特色，甚至，可以試著找到一套屬於台灣高中數學教學文化的MQI 系統。在與另兩位獨立登錄者的討論過程中發現，數學描述與數學解釋時常會有模糊不清之處。在本研究的登錄程序中，數學描述與數學解釋只能擇一，倘若可同時選取，或許能夠減少這樣的情況發生。或者，可以嘗試將它們再做細分，例如，數學描述可分為帶有數學解釋的數學描述、不帶數學解釋的數學描述，或數學解釋分為帶有數學描述的數學解釋、不帶數學描述的數學解釋。男一方面，如果能將研究對象擴展到不同時期的教師，包含實習教師、初任教師與專家教師，探討他們的教學實作知識的特質與差異，可以幫助中學數學師資培育者思考:期待未來中學數學教師在教學中，展現什麼樣的教學相關知識?並且，在師資培育的過程當中，高中數學教師教學實作知識之教室觀察系統的建立

Building Classroom Observation System of High School Mathematics Teachers' Practiced-based Knowledge

如何協助他們發展教學實作知識?此外，對於在職高中數學教師，也能夠幫助他們清楚掌握自己教學中用到的各類數學教學知識，以促進教學的反思，進而引動數學教學專業的發展。

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