「已知三邊直線方程式之三角形面積公式」的另一種證法

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「已知三邊直線方程式之三角形面積公式」

的另一種證法

陳建燁

臺北市立第一女子高級中學

壹、前言

偶然在「科學教育月刊」第 362 期，看到阮瑞泰老師的一篇文章(阮瑞泰(2013)，「已知三角形三邊所在直線方程式之面積公式」)，立刻引起筆者的興趣。這篇文章最後得到一個相當漂亮的公式，由直線方程式的係數和二階、三階行列式組合而成，形式簡單對稱，讓筆者留下非常深刻的印象，久久難以忘懷。欣賞之餘，也嘗試用自己的方式去理解這個公式，接下來的文章，與其說是「另證」，也可說是「另解」。

貳、預備工作

先假設讀者可接受以下的記號與引用的公式：在坐標平面上，已知兩兩不平行的三直線方程式分別為：L a x b y c₁: ₁  ₁  ₁ 0， 2: 2 2 2 0 L a x b y c   與L a x b y c₃: ₃  ₃  ₃0。令 A x y( , )₁ ₁ 為L₂與L₃的交點，B x y( ,₂ ₂)為 L₃與 L₁的交點，C x y( , )₃ ₃ 為L₁與 L₂的交點，將 ABC  的面積記作S__ABC，則S__ABC可用三階行列式加以表達，即 ABC S_  1 2 3 1 2 3 1 | | 2 1 1 1 x x x y y y  在空間中，令三向量分別為



u ( , , )a b c_{1 1 1} ，



v ( , , )a b c₂ ₂ ₂ 與



w ( , , )a b c₃ ₃ ₃ 。令三向量



u 、



v 與



w 所張出之平行六面體體積為 V，則 1 1 1 2 2 2 3 3 3 | | a b c V a b c a b c  

  

u( v w) 

  

v ( w u ) 

  

w( u  v ) 。

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「已知三邊直線方程式之三角形面積公式」的另一種證法 - 33 -

參、本文

真正開始本文的工作：首先，考慮兩矩陣 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c S a b c a b c            與 1 2 3 1 2 3 1 1 1 x x x T y y y            的乘積： S T  1₂ 1₂ 1₂ 1₁ 2₂ 3₃ 3 3 3 1 1 1 a b c x x x a b c y y y a b c               _ _   0 0 0 0 0 0 L M N            (∵A x y 為( , )₁ ₁ L 與₂ L 的交點₃  a x_{2 1}b y_{2 1}c₂  ，0 a x_{3 1}b y_{3 1}c₃ ，矩陣中其餘的「0」0 同理可得。 ) 注意到a x_{2 1}b y_{2 1}c₂0 a x_{3 1}b y_{3 1}c₃  此兩式可改寫為 0 1 1 ( , ,1) 0 v x y 



與



w x y( , ,1) 0₁ ₁  ，此即意謂著( , ,1)x y₁ ₁ 是



v 與



w 的「公垂向量」，由此可得( , ,1)x y₁ ₁ k v(

 

 w) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 (b c ,c a ,a b ) k b c c a a b  ，其中k 為實數。 比較z 坐標，可得 2 2 3 3 1 k a b a b   ，即 2 2 3 3 1 k a b a b   ₁ ₁ 2 2 3 3 1 ( , ,1)x y ( v w) a b a b 

 

  L  a x_{1 1}b y_{1 1}c₁



u( , ,1)x y₁ ₁ 2 2 3 3 1 [ ( )] u v w a b a b 





 

 2 2 3 3 1 _u ₍ _v _w ₎ a b a b 

  

  同理可得M  3 3 1 1 1 _v ₍_w _u ₎ a b a b  

  

與N 1 1 2 2 1 _w ₍ _u _v ₎ a b a b  

  

| |L  2 2 3 3 1 | u ( v w) | a b a b  

  

2 2 3 3 1 | ( ) | | | u v w a b a b  

  

  2 2 3 3 | | V a b a b  同理可得|M| 3 3 1 1 | | V a b a b  與|N| 1 1 2 2 | | V a b a b  。接著，將矩陣等式S T  1₂ 1₂ 1₂ 1₁ 2₂ 3₃ 3 3 3 1 1 1 a b c x x x a b c y y y a b c               _ _   0 0 0 0 0 0 L M N            中的各矩陣取行列式值，可得

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科學教育月刊第382 期中華民國 104 年 9 月 - 34 - det(ST) 1₂ 1₂ 1₂ 1₁ 2₂ 3₃ 3 3 3 1 1 1 a b c x x x a b c y y y a b c 0 0 0 0 0 0 L M N   L M N 將此行列式等式取絕對值，可得 1 1 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 3 3 3 | | | | 1 1 1 a b c x x x a b c y y y a b c  | | |L  M | | N| V(2S__ABC) 3 3 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 | | | | | | V V V a b a b a b a b a b a b    S__ABC  2 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 2 | | V a b a b a b a b a b a b    2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 2 2 1 2 | | a b c a b c a b c a b a b a b a b a b a b     到此，得到所欲證之等式。

肆、結語

用三階行列式表示三角形面積和平行六面體體積，這是現行教材(高二下)之中，三階行列式的應用。至於矩陣相乘的行列式性質：det(ST) det( ) det( ) S  T ，一般老師也會補充。整體而言，拉高了維度來處理問題，與其質疑是否小題大作，筆者最感神奇的是，這樣居然也有一條路可走。雖然我用我的知識體系「理解」(或「證明」)了，但我真的「理解」了嗎？

參考文獻

阮瑞泰(2013)：已知三角形三邊所在直線方程式之面積公式。科學教育月刊， 362 期 (9 月號)，p43～48。