偏微分方程
(
一
)
課程學習單
活動
4
學號: 姓名: 你的伙伴:1
單元介紹與學習目標
討論波動方程式如何求解。2
預備知識
例題 1. 試解二階常微分方程式 y′′−3y′+ 2y = 0。 解. 由微分算子的觀點, 先將方程式改寫成 y′′ − 3y′ + 2y = = 0。 令 Y(x) = ,則 Y(x)滿足 。 因為指數函數 y(x) = Cekx 滿足微分方程式 y′ = ky, 所以 Y(x) = 。 再考慮微分方 程式 ,將方程式兩邊乘上 積分因子(integrating factor) I(x) = 之後得到 。 例題 2. 複習 「微分算子在坐標變換之下的轉換式」。解. 若有坐標變換ξ = ξ(x, y), η = η(x, y),則(ξ, η) = (ξ(x(ξ, η), y(ξ, η)), η(x(ξ, η), y(ξ, η))),得到
⇒ 所以 。
另一方面, 若有函數 u(x, y),考慮 ξ= ξ(x, y), η = η(x, y), 則u(x, y) = u(ξ(x, y), η(x, y)),所以
例題 3. 試將 拉普拉斯方程 (Laplace equation) ∆u ≡ uxx+ uyy = 0 改用極坐標的變數 r, θ 表達。
解. 因為直角坐標與極坐標之間的關係為: x = r cos θ, y = r sin θ, 由 鏈鎖律 (chain rule) 得知:
ux = urrx+ uθθx uy = uxx = (urrrx+ urθθx)rx+ urrxx+ (uθrrx+ uθθθx)θx+ uθθxx uyy = ∆u = 現在希望將rx, ry, θx, θy, rxx, ryy, θxx, θyy 全部改寫成和 r, θ 有關的量。 因為 xr xθ yr yθ rx ry θx θy = 1 0 0 1 ⇒ rx ry θx θy = 1 0 0 1 , 所以 rx ry θx θy = −1 = 。 另一方面, 因為 rxx = (rx)x= (cos θ)x = − sin θ · θx = sin2θ r ryy = (ry)y = (sin θ)y = θxx = (θx)x = −sin θ r x = −rcos θ · θx−sin θ · rx r2 =
sin θ cos θ + sin θ cos θ r2 θyy = (θy)y = cos θ r y = , 所以 ∆u = 。 討論 4. 通常在計算這類問題的時候, 應該時時刻刻注意其 結構性(structure)。 所謂的結構性, 泛指
對稱性 (symmetry)、 對偶性(duality)、 對消性(cancellation) 等等。 若在進行計算時意識到結構性,
則可以預測計算的結果, 降低出錯率。 找出上面的計算過程中, 哪些地方具有結構性。
3
波動方程式
(
第
33
頁
)
本單元將考慮 波動方程式 (wave equation): utt = c2uxx, (1) 其中 u= u(t, x), −∞ < x < ∞, 而c為非零實數。 例題 5 (第34 頁). 利用微分算子、 特徵線法與線性代數的理論得到波動方程式(1) 的解。 解. 利用因式分解,將方程式改寫成微分算子的形式: utt− c2uxx = = 0。 令v = , 則 v 滿足 , 得到 v = 。 再考慮偏微分方程式ut+cux = h(x+ct),它是一個 , 所以由線性代數的理論得知, 方程式的解空間是齊次解與特解的組合。 • 考慮齊次方程式 ut+ cux = 0, 由特徵線法得知方程式的解為: 。 • 考慮非齊次方程式 ut+ cux = h(x + ct), 希望找到方程式的特解。 因為 h(x + ct)的意思是函 數限制在直線 x+ ct = C 上取值一樣,所以假設特解也是型如u(x, t) = f (x + ct) 的形式。 令 z = x + ct, 則特解寫成 u(x, t) = f (z) = f (x + ct), 因為 ut+ cux = ⇒ • 綜合上述討論, 波動方程式 (1) 的解為 。 例題 6 (第34 頁). 利用坐標變換法求波動方程式 (1) 的解。 解. 考慮坐標變換 ξ = x + ct, η = x − ct,則 ∂x = 與∂t = , 得到 ∂t− c∂x = 與 ∂t+ c∂x = , 於是(1) 式可以改寫為(∂t− c∂x)(∂t+ c∂x)u = ,因為 c6= 0, 所以 uξη = 0 得到 u= 。 討論 7. 在xt 平面上畫出波動方程式 utt = c2uxx 的兩組 特徵線 (characteristic lines)。 34
波動方程式的初始值問題
(
第
35
頁
)
現在要討論 波動方程式 (wave equation) 的 初始值問題 (initial value problem):
utt = c2uxx u(x, 0) = φ(x) ut(x, 0) = ψ(x), (2) 其中 φ(x)與 ψ(x)為給定的任意兩函數。 由前一節得知, 波動方程式的一般解為u(x, t) = f (x + ct) + g(x − ct)。 • 初始條件 u(x, 0) = φ(x)告知: 。 • 初始條件 ut(x, 0) = ψ(x)告知: 。 將兩式聯立可得 ( ⇒ ( 各別積分後得到 ( 而積分常數之間的關係為: 。 因此初始值問題(2) 的解為: 。 討論 8. 各自完成自己的題目後, 再與你的伙伴分享並討論你的結果。
(A1) 若φ(x) ≡ sin x, ψ(x) = cos x, 則初始值問題(2)的解為 。
(A2) 若 ψ(x) = −cφ′(x), 則初始值問題 (2) 的解為 。
