100指考數學甲

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100 學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內畫記。修正時應以橡皮擦拭，切勿

使用修正液（帶）。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請務必在規定之欄位使用筆尖較粗之黑色

墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。更正時，可以使用修正液（帶）。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）單選題只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到，以及 6，7，8，9，0 等格

子；多選題只用

1，2，3，4 等四個格子，而不需要用到，以及 5，6，7，8，9，0

等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列 畫記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 畫記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。

7  3 1 3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 占

7 6 分 ）

一 、 單 選 題 （

2 4 分 ）

說明：第

1 題至第 4 題，每題 5 個選項，其中只有 1 個是最適當的選項，畫記在答案卡之

「解答欄」。各題答對得

6 分，未作答、答錯、或畫記多於 1 個選項者，該題以零分計算。

1. 考慮坐標平面上滿足 2x _5y _{的 點 P x y ，試問下列哪一個選項是 錯誤的 ？( , )} (1) (0,0) 是一個可能的 P 點 (2) (log5,log 2) 是一個可能的 P 點 (3) 點 P x y 滿足( , ) xy0 (4) 所有可能的點 P x y 構成的圖形為一直線( , ) (5) 點 P 的 ,x y 坐標可以同時為正整數 2. 將 1、2 、3 、4 _{四 個 數 字 隨 機 填 入 右 下 方 2 2 的方格中，每個方格中恰填一數字，但} 數 字 可 重 複 使 用。試 問 事 件「 A 方格的數字大於 B 方格的數字、且 C 方格的數字大於 D 方 格 的 數 字 」 的 機 率 為 多 少 ？ (1) 1 16 (2) 9 64 (3) 25 64 (4) 9 256 25

A

B

C

D

, x y

 

分 別 為 原 點 O 到 兩 個 頂 點 的 向 量 。 若 將 原 點 O 到 正 六 角 星 12 個頂 點的 向量 ， 都 寫 成 為 a x b y

 

 的 形 式 ， 則 a b 的最大值為何？ (1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6 4. 設 f 為實係數三次多項式函數。已知五個方程式的相異實根個數如下表所述： 方 程 式 相 異 實 根 的 個 數 ( ) 20 0 f x   1 ( ) 10 0 f x   3 ( ) 0 f x  3 ( ) 10 0 f x   1 ( ) 20 0 f x   1 關 於 f 的 極 小 值  ， 試 問 下 列 哪 一 個 選 項 是 正 確 的 ？ (1)  不存在 (2) 20    10 (3) 10   0 (4) 0  10 (5) 10  20 註 ： 極 小 值 是 指 相 對 極 小 值 ， 或 稱 為 局 部 極 小 值 。

二 、 多 選 題 （

2 4 分 ）

說明：第

5 題至第 7 題，每題有 4 個選項，其中至少有 1 個是正確的選項。選出正確選項，

畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得

8 分，答錯

1 個選項者，得 4 分，所有選項均未作答或答錯多於 1 個選項者，該題以零分計算。

5. 設 4 9 a A b       、 6 7 B c d       。 已 知 3 10 2 15 AB_{ } _    且 A 的 行 列 式 之 值 為 2 ， 試 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ (1) 9a4b 2 (2) ac 24 (3) d 15 (4) 4 1 0 9 4 9 0 1 b a a b         _            6. 假 設 兩 地 之 間 的 通 話 費 ， 第 一 個 半 分 鐘 是 5 元 ， 之 後 每 半 分 鐘 是 2 元 ， 不 滿 半 分 鐘 以 半 分 鐘 計 算 ， 則 t 分 鐘 的 通 話 費 C t( ) 公式如下（單位元）；





( ) 5 2 1 2 C t    t ， 其 中

 

x 表 示 小 於 或 等 於 x 的 最 大 整 數 ， 例 如 ：

 

3.5 3 ,



3.1



 4,

 

   等 。試 問5 5 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ (1) 10 分鐘的通話費是 43 元 (2) 在 t 時，0



1 2 t



 



2t 恆成立1



(3) _tlim ( ) 45_{10 5.} C t  (4) _tlim ( ) 49_{11 2.} C t 

立 方 體 稜 邊 的 交 點 。 試 問 下 列 哪 些 點 也 是 平 面 E 和 正 立 方 體 稜 邊 的 交 點 ？ (1) 1 1, , 1 2 2  _      (2) ( 1,1,0) (3) (0, 1, 1)  (4) ( 2,1,1)

三 、 選 填 題 （

2 8 分 ）

說明：第

A 題至第 D 題為選填題，將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（8–15）

內。每一題完全答對得

7 分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A. 如圖所示， PQRS 為一給定的矩形，長 PQ12、寬 QR ，而 ABC5  為 等 腰 三 角 形 ， 其 中 AB AC ，P 、Q 在 BC 邊上， R 、S 分別在 CA 、AB 邊上，則當 ABC 中 BC 邊上 的 高 為 時， ABC 的 面 積 為 最 小 。

A

C

B P

R

Q

S

8 9

(1,-1,0)

A

B. 某手機公司共有甲、乙、丙三個生 產線，依 據統計，甲、乙、丙所製造的手機中分別有 5% 3% 3%, , 是 瑕 疵 品 。 若 公 司 希 望 在 全 部 的 瑕 疵 品 中 ， 由 甲 生 產 線 所 製 造 的 比 例 不 得 超 過 5 12， 則 甲 生 產 線 所 製 造 的 手 機 數 量 可 占 全 部 手 機 產 量 的 百 分 比 至 多 為 % 。 C. 坐 標 平 面 上 ， 已 知 函 數 _{f x( )  4x}3 _{ x  2的 圖 形 以 A( , ) 為 切 點 的 切 線 為 L ， 則 以1 3} 切 線 L 及曲線 y f x( ) 為 界 所 圍 成 區 域 的 面 積 為 。 10 11 12 13

D. 坐標空間中，若平面E : ax  by  cz  1 滿 足 以 下 三 條 件 ： (1) 平面 E 與平面F : x  y  z  1 _{有 一 夾 角 為 30}_， (2) 點 A( , , ) 到平面 E 的距離等於 3 ，1 1 1 (3) a  b   ，c 0 則 a  b  c 的 值 為 。（化成最簡分數） ─ ─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題，必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ 15 14

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 占

2 4 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號

(一、二)

與子題號

((1)、(2))，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。務必

使用筆尖較

粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每題配分標於題末。

一. 已知 實係 數三 次多 項式 函數 y  ( ) 的最高次項係數為 12 ，其圖形與水平線f x y  25 交 於 相 異 的 三 點 (0, 25),(1, 25) 及 (2, 25) 。 (1) 試求曲線 y  ( ) 圖形上的反曲點坐標。（6 分）f x (2) 試求定積分 2 0 f x dx( )



之 值 。 （6 分） 二. ( 1) 試求所有滿足 3 2 log(x 12x 41x20) 1 的 x 值之範圍。（6 分） (2) 試證：當 3 2 2    時 ， cos 1 sin 3  3 。 （6 分）