1225 數列與級數01解答

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1225 數列與級數 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設i 1，若級數 50 3 1 ( )n n i a bi   



，則 a  2b  (A)  1 (B)  3 (C)1 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 50 50 3 2 3 50 1 1 ( )n ( )n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i             





 [(  i)  (  1)  i  1]  [(  i)  (  1)  i  1]  …  [(  i)  (  1)  i  1]  (  i)  (  1)  0  0 … 0  i  1  1  i  a  bi 即 a  1，b  1 ∴ a  2b  3 （ ）2.設 p、q 為二相異正整數，且 an為一等差數列的第 n 項。若 ap  q，aq  p，則 ap  q  (A)0 (B)p (C)q (D)p  q 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 an為等差數列的第 n 項 設首項 a1，公差 d ∵ ap q ∴ a1 (p  1)d  q… ∵ aq p ∴ a1 (q  1)d  p… 由   (p  q)d  q  p  d q p 1 p q      d  1 代回 a1 (p  1)(  1)  q  a1 p  q  1 因此 ap  q a1 (p  q  1)d  (p  q  1)  (p  q  1)  (  1)  0 （ ）3.求 102 到 2013 之間，個位數字為 7 的正整數共有幾個？ (A)190 (B)191 (C)192 (D)193 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 在 102 到 2013 之間，個位數字為 7 的正整數有 107,117,127,137,…,2007 這些數字可以形成等差數列an，其中首項 a1 107，公差 d  10，第 n 項 an 2007 則 2007  107  (n  1)  10  n  191 故個位數字為 7 的正整數共有 191 個 （ ）4.設一凸 n 邊形，各內角成等差數列，若公差為 4，最大內角為 172，則邊數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 外角度數分別為 8、12、16、…，又外角和 8 12 16… 360  2 8 ( 1) 4 360 2 n n      _{  }  (n  12)(n  15)  0  n  12 （ ）5.若一等比數列第 4 項為 56，第 7 項為 448，求此數列首項為 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 3 1 6 1 56 448 a r a r        r  2，a1 7

－ 2 － （ ）6.已知等差數列 a_n 中，首項為 15 ，公差為 5 ，和為 735 ，則此數列的項數為 (A)14 (B)15 (C) 21 (D) 22 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 735 2



15

 

1



5 735 2 n n n S          





2 5n 35 n 2 735 n 7n 294 0         21 n   或14（不合）  n21 （ ）7.設一等比數列第 4 項為 2，第 7 項為1 4，則公比為 (A) 1 4 (B) 1 8 (C)1 (D) 1 2 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）8.已知一等差級數 3 5 7   31之和為S。試問 S？ (A)   16 2 2 1 i i  



(B)   16 1 2 1 i i  



(C)   32 6 3 1 i i  



 (D)   30 2 1 i i  



【隨堂測驗.】 解答 A 解析 (B)





16 1 2 1 3 5 7 33 i i       



(C)









32 6 3 1 3 5 6 7 31 i i  



       (D)





30 2 1 3 4 5 31 i i       



（ ）9.若 1 n n i i S a  



，已知 Sn  n2 _{ 3n，則 a20  (A)23 (B)46 (C)64 (D)42} 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 a20 S20 S19 202 3  20  192 3  19  42 （ ）10.若在四正數 6、x、y、16 之中，前三數成等差，後三數成等比，則 x  y  (A)21 (B)22 (C)23 (D)31 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 前三數成等差 ∴ 2x  6  y ∵ 後三數成等比 ∴ y2 16x 解 2 2 6 16 x y y x        y 2_ 8(6  y)  y2_ 8y  48  0  y  12 或  4（不合） ∴ y  12，x  9，故 x  y  12  9  21 （ ）11.設 a_n 為等比數列，若a₁a₂a₃3，且a₄a₅a₆ 24，則a₈ (A) 256 (B) 64 (C) 32 (D) 128 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 2 1 2 3 1 1 1 3 4 5 4 5 6 _{1 1 1} 3 3 24 24 a a a a a r a r a a a a r a r a r         _   _{   }        









2 1 3 2 1 1 3 1 24 a r r a r r r  _{  }          3 8 2 r    r  代入 a₁ 3 3  a₁1 ∴ 7

 

7 8 1 1 2 128 a a r     

－ 3 － （ ）12.從 1 到 10 的自然數中，任取三個相異的數字，由小到大排列，最多能排出幾組不同的等比數列？ (A)3 組 (B)4 組 (C)6 組 (D)7 組 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 有 1、2、4；1、3、9；2、4、8；4、6、9 共四組 （ ）13.設一等差數列首項為 5，公差為 7，和為 365，則此級數共有幾項？ (A)10 (B)7 (C)9 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 365 2 5 ( 1) 7 2      n n  7n2_ 3n  730  0  (n  10)(7n  73)  0 ∴ n  10 或 73 7 n  （不合） （ ）14.已知 4 0 ( ) 25 k ak b   



， 5 2 ( ) 24 k ak b   



，則 a  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b     _{ }   a  2，b  1 （ ）15.若兩等差數列第 n 項之比為(3n  1)：(7n  1)，則兩數列前 7 項和之比為 (A)11：24 (B)13：27 (C)3：7 (D)4：9 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ S7 7a4 ∴ S7：S'7 7a4：7a'4 a4：a'4 13：27 （ ）16.





1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4  n n1  101 102  (A) 100 101 (B) 101 102 (C) 102 101 (D) 101 100 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 所求 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 101 102         _  _{ }  _{ }  _ _  _         1 1 101 102 102   

（ ）17. an  為等差數列，若 a6  5，a16  45，則 a26  (A)75 (B)85 (C)95 (D)105

【龍騰自命題.】 解答 B （ ）18. 5 1 (2k 4 ) k k  



逐項展開的和為 (A)  2 (B)2 (C)12 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）19.等差數列  13﹐  6﹐1﹐8﹐…的第 11 項為 (A)47 (B)57 (C)67 (D)77 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）20. 8 1 81 3k k



之值 (A)3040 81 (B) 30 40 81 (C) 30 30 81 (D) 40 40 27 (E) 40 40 81 【課本練習題-自我評量.】 解答 E

－ 4 － 解析 將 8 1 81 3k k



逐項展開直接相加 8 1 81 1 1 1 1 27 9 3 1 3k 3 9 27 81 k        



27 9 3 1 40 40 40 81 81      

（ ）21.若 a，b，c，d 四正數成等比數列，且 a  b  10，c  d  640，則公比 (A)64 (B)8 (C) ± 8 (D)4 (E) ± 4

【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 設公比為 r 則 b  ar，c  ar2，d  ar3 2 3 10 640 a b a ar c d ar ar             得 2_{( ) 640} 10 r a ar a ar     r 2_ 64 ∴ r  ± 8 ∵ a，b，c，d 為正數，故 r  8 （ ）22.若一級數到第 n 項的和為 Sn  7n  9，則此級數的第 10 項為 (A)79 (B)70 (C)16 (D)9 (E)7 【課本練習題-自我評量.】 解答 E 解析 a10 S10 S9 (7  10  9)  (7  9  9)  79  72  7 （ ）23. 20 1 1 ( 1) k k k  



(A)19 20 (B) 20 21 (C) 21 22 (D) 22 23 (E) 23 24 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 1 ( 1) k k 改成部分分式為 1 1 1 k k 20 20 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) 1 k k k k k k     





1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 20 21          1 1 20 21 21    （ ）24.1 到 500 之間有兩個等差數列：2, 5, 8, 11﹐…與 1, 5, 9, 13, …，同時出現在這兩個數列的數共有幾項？ (A)42 (B)39 (C)38 (D)36 (E)35 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 將已知的兩個等差數列多列前面幾項，以便觀察他們的共同項 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32,… 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,… 觀察上述二等差數列，得知共同項為 5, 17, 29, 41,…  an 5  (n  1)  12  500  12n  507 1 42 4 n   ∴ n  42 （ ）25. 12 2 1 k k  



(A)650 (B)750 (C)780 (D)800 (E)850 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 12 2 1 12(12 1)(2 12 1) 12 13 25 650 6 6 k k         

