1206 第一二冊.解答

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1206 第一、二冊 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.下列各等式何者恆為正確? (A)cos(x  y)  cos(y  x) (B)cos0  0 (C)sin2x  2sinx (D)tan(x  y)  tanx  tany

【091 年歷屆試題.】 解答 A

解析 由題目及公式,可得

(A)cos(x y)  cos[  (y x)] cos(y x)正確(∵ cos(  )  cos)

(B)cos0  0 錯誤(∵ cos0  1)

(C)sin2x 2sinx 錯誤(∵ sin2x 2sinxcosx)

(D)tan(x y) tanx tany 錯誤(∵ tan( ) tan tan 1 tan tan x y x y x y     ) ( )2.已知i 1,則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1  i)6 [(1 i)2]3 ( 2i)3 8i3 8i 《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i i

i

     3 21 21

2 (cos sin ) 8(cos sin ) 8(0 1) 8

2 i 2 2 i 2 i i

        ( )3.設 a、b、c 為實數,且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形如圖所示, 則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y ax2 bx c 的圖形 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側 a、b 異號 b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向 c  0 與 x 軸有 2 個交點 b2 4ac 0

因此 abc 0,故 P (b2 4ac , abc)在第一象限

( )4.周長為 36 且三邊長均為正整數之所有三角形中,邊長的最大值為 何? (A)21 (B)18 (C)17 (D)15 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設三角形三邊長為 a、b、c,且 a 值最大 ∵ 三角形任二邊長的和大於第三邊長  b c a a b c a a 又已知 a b c  36 故得 2a  36  a  18 但 a、b、c 均為正整數 ∴ 邊長最大值 a  17 ( )5.已知△ABC 中,AB5,BC7,AC8,則下列各內積中, 何者為最大? (A)AB AC (B)BC BA (C)CA CB (D)AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  ABBCAC     2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BCACAB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 ( )6.設 a、b、c、d、e、f 均為實數,若行列式 1 1 2 1 a d b e c f  ,則 2 3 4 2 3 4 10 15 20 a d b e c f      (A)120 (B)  120 (C)240 (D)  240 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3 4 1 2 3 4 2 ( 3) 4 1 10 15 20 5 5 5 a d a d b e b e c f c f             1 2 ( 3) 4 ( 5) 1 1 a d b e c f         2  (  3)  4  (  5)  2  240 ( )7.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中,若 A、B、C 三點的坐標分 別為(  5,4)、(0,  5)、(4,  8),則 D 點應落在下列哪一個象限? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【097 年歷屆試題.】

(2)

解答 B 解析 設 D(x,y) 由平行四邊形對角線互相平分的性質知:AC中點BD中點 5 4 4 ( 8) 0 ( 5) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y            5  4  x x  1 4  (  8)  y  5  y  1 ∴ D(  1,1)落在第二象限 ( )8.設 a 為實數,且直線(3a  1)x  2y  a  1 沒有通過第一象限,則 a 的可能範圍為何(A)a <  1(B) 1 1 3 a    (C)1 1 3 a (D)a  1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (3 1) 2 1 3 1 1 2 2 a a axy ay  x  即直線的 y 截距為 1 2 a  ,斜率 3 1 2 a m  ∵ 直線沒有通過第一象限  y 截距 0 且斜率 m  0 1 0 2 a    且3 1 0 2 a a  1 且 1 3 a∴ a 的可能範圍為 1 1 3 a   

( )9.若△ABC 中,AB 3 1 ,BC2,且B  30,則A  (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 cAB 3 1 ,aBC2 ∵ 2 2 2 2 2 2 cos ( 3 1) 2 2 ( 3 1) 2 cos 30 bcaca B         (4 2 3) 4 4( 3 1) 3 2 2        2 b   又 sin sin a b AB 2 2 sinA sin 30    1 sin 2 A     A  45或 135 但 c a  C  A   A  135不合 ∴  A  45 ( )10.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點,若ABAC上 的正射影為AD,則|AD| |:AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1) AB(2, 2) ,AC(3, 4) ABAC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD:| |AC||AB AC | |:AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3:  ( 4) ) 14 : 25 ( )11.設 ABCD 為一矩形,且BC3AB。令 P 點與 Q 點為BC上之點, 且BPPQQC,如圖。 若DBC  ,且DPC  ,則 tan(  )之值為何? (A) 1 3 (B)2 3 (C)1 (D)2 3 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由於BC3AB,且BPPQQCABx,其中 x  0 則BPPQQCCDx 在△DBC 中,tan 1 3 3 x x

  在△DPC 中,tan 1 2 2 x x

  故 1 1 tan tan 3 2 tan( ) 1 1 1 1 tan tan 1 3 2

 

        

( )12.sin2210°  cos2570°  sec2930°  tan21290°  csc21650°  cot22010°  (A)  1 (B)1 (C)3 2 (D)3 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 570°  360°  210°,930°  360°  2  210°,1290°  360°  3  210°, 1650° 360°  4  210°,2010°  360°  5  210°

(3)

cot2210°  1  1  1  3 ( )13.設 x  1 和 x  1 為多項式 x5  ax4  bx3  5x2  2x  5 的因式,則 3a  b 之值為何? (A)  3 (B)1 (C)3 (D)6 【101 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令 f (x) x5 ax4 bx3 5x2 2x 5 ∵ x 1 為 f (x)的因式 ∴ f (1)  0  1  a b  5  2  5  0  a b  3…… ∵ x 1 為 f (x)的因式 ∴ f (  1)  0   1  a b  5  2  5  0  a b  3…… 由與得 a  0,b  3,故 3a b  3  0  (  3)  3 ( )14.有一繩子的長度是 24 公分,若圍成正三角形的面積為 a 平方公分; 圍成正方形的面積為 b 平方公分;圍成正六邊形的面積為 c 平方 公分,則下列何者正確? (A)a  b  c (B)a  c  b (C)c  a  b (D)c  b  a 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 繩子的長度為 24 公分  正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公分、6 公分、 4 公分  正三角形面積為 3 82 16 3 4 a   (平方公分) 正方形面積為 b  62 36(平方公分) 正六邊形面積為 6 3 42 24 3 4 c    (平方公分) ∴ a b c ( )15.設 a (4,3), b ( , )x y 為平面上兩向量,且 x2  y2  40,則 此二向量內積 ab 的最大值為何? (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 bx ybxy   設 ab 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10

aba b

  

 (∵  1  cos 1) 故 ab 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 ab   x yxy 由柯西不等式: (42 32)(x2 y2) (4x 3y)2  25 40 (4x 3y)2 (4x 3y)2 1000 0 [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 ab 的最大值為10 10 ( )16.在△ABC 中,若 D 為線段BC的中點,且AB9、AC5,則 向量內積AD BC  (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BDDC1:1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  ABAC  AB AC   ABAC 1 2 1 2 9 5 28 2 2        故選(A)

( )17.△ABC 中,若BC 13,AC3,∠A  60°,則 cosC 之值為

何? (A) 2 3 13  (B) 1 13  (C) 1 13 (D) 2 3 13 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設ABx, 由餘弦定理知: 2 2 2 ( 13) 3 x    2 3 x cos 60  13  9  x2 3x x2 3x 4 0 (x 4)(x 1) 0 x 4 或 1(不 合) 2 2 2 ( 13) 3 4 1 cos 2 13 3 13 C      另解:

(4)

BCAC ∴ ∠A ∠B(大邊對大角)  0° ∠B 60°  ∠B 為銳角 由正弦定理知 sin sin BC AC AB  13 3 sin 60sin B  3 3 sin 2 13 B 則 2 cosB 1 sin B 1 (3 3 )2 5 2 13 2 13   

cosC  cos[180°  (A B)]  cos(A B)  (cosAcosB sinAsinB)  (cos60°cosB sin60°sinB)  (1 5 3 3 3 22 13  2 2 13 )  1 13 ( )18.設t為實數,且三元一次聯立方程式

 

1 1 1 1 3 1 5 t x t z t y z t y tz                無解, 則t可為下列何者? (A)2 (B)0 (C)1 (D)2 【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析 原方程組:

1 0 1 1 0 1 3 0 1 5 t x y t z x t y z x t y tz                   1 0 1 0 1 1 0 1 t t t t t       (第一、二行提出

t1

2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 t t t     (第一行降階展開)

2 1 1 1 1 1 t t    

 

2

    

2 1 1 1 1 1 1 1 t t t t           若 0,則t 1或1 (1)當t 1時:原方程組: 2 1 3 5 z z z          無解 (2)當t1時:原方程組: 2 1 2 3 2 5 x y z y z           無解 由(1)和(2)可知: 當方程組無解時,t可為1或1 故選(C) ( )19.將 4 3 3 (x 3x 2x5)(x 2)(x3)乘開化簡後, 3 x 項的係數為 何? (A)5 (B)3 (C)3 (D)5 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 4 3 3 (x 3x 2x5)(x 2)(x3) 3 x 項 3 3 ( 2) 3  x     ( 5)  x3 318x315x33x3 故 3 x 項的係數為3 ( )20.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z 

i

  , 2 2 cos sin 3 3 z 

i

  ,則 1 2 z z 之 值為何? (A)1 (B)i (C)0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z 

i

  5 5 cos 4 sin 4 3

i 3

         20 20 cos sin 3

i 3

  2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3

             2 2 cos sin 3

i 3

  2 2 cos sin 3 3 z 

i

  cos 2 3 isin 2 3

         2 2 cos sin 3

i 3

  ∵ z1z2 ∴ 1 2 1 z z  ( )21.已知z1 3iz2  1 i,其中i 1,則z z12 24可表示為 下列哪一個? (A)16 cos 240

 isin 240

(B)16 cos 300

 isin 300

(C)16 cos 60

 isin 60

(D)16 cos120

 isin120

【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式: 令

 

x y, 

 

3,1 ,如圖:

 

2 2 3 1 2 r   ,

 30 則z12 cos 30

 isin 30

(2)z2  1 i的極式: 令

   

x y,  1,1 ,如圖:

(5)

2 2 1 1 2 r   ,

 45 則z2  2 cos 45

 isin 45

由(1)和(2):

2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z   i    4 cos 60

 isin 60

 

4

4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z     i   

4 cos180 isin180     故z z12 24   4 4 cos 60

 180 

isin 60

 180

16 cos 240 isin 240     ( )22.滿足二元一次聯立不等式 4 3 6 5 2 10 x y x y x y            的整數解

 

x y, 共有幾 個? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析 聯立不等式的圖解區域如下: 則整數解

 

x y, 為

 

1,3 、

 

2, 0 、

 

2,1 、

 

2, 2 ,共有4個 ( )23.設 1 3 2 i

  ,則 107 1

 (A)1(B)

(C) 2

(D)1 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 3 2 i

  ∴ 3 1

 且 2 1 0

  

(1)

107 

3 35 2  

3 35 

2

 

3 35

2135

2

2 (2)

2  

1 0 

  1

2 故 107 2 2 1 1

 

  ( )24.已知平面三向量 a

 

3, 4 , b

x, 9

c  

8,y

。設 abb // c ,則yx之值為何? (A)18 (B)6 (C)6 (D)18 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ abab 0 

  

3, 4  x, 9 

0  3x  4

 

9 0  3x360  x12 則 b

x, 9 

 

12, 9

b// cc  

8,y

∴ 12 9 8 y     12y72  y6 故y  x 6 12 6 ( )25.在△ABC中,設三邊長之比AB BC CA: : 7 : 5 : 3,則△ABC 之最大內角為何? (A)75 (B)90 (C)120 (D)135 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 令ABcBCaCAba5kb3kc7k,其中k0 ∵ △ABC的邊AB最長 ∴ C為最大內角

     

2 2 2 5 3 7 cos 2 5 3 k k k C k k      2 2 15 1 30 2 k k     ∵ cos120 1 2    ∴  C 120 故最大內角為120

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