1206 第一二冊.解答

1206 第一、二冊 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.下列各等式何者恆為正確？ (A)cos(x  y)  cos(y  x) (B)cos0  0 (C)sin2x  2sinx (D)tan(x  y)  tanx  tany

【091 年歷屆試題.】 解答 A

解析 由題目及公式，可得

(A)cos(x  y)  cos[  (y  x)]  cos(y  x)正確（∵ cos(  )  cos）

(B)cos0  0 錯誤（∵ cos0  1）

(C)sin2x  2sinx 錯誤（∵ sin2x  2sinxcosx）

(D)tan(x  y)  tanx  tany 錯誤（∵ tan( ) tan tan 1 tan tan x y x y x y     ） （ ）2.已知i 1，則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1  i)6 _[(1  _i)2_]3 ₍  _2i)3 _8i3 _8i 《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i i



i



     3 21 21

2 (cos sin ) 8(cos sin ) 8(0 1) 8

2 i 2 2 i 2 i i









        （ ）3.設 a、b、c 為實數，且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形如圖所示， 則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y  ax2 _bx  _{c 的圖形} 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側  a、b 異號  b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向  c  0 與 x 軸有 2 個交點  b2 _4ac  ₀

因此 abc  0，故 P (b2 _{4ac , abc)在第一象限}

（ ）4.周長為 36 且三邊長均為正整數之所有三角形中，邊長的最大值為 何？ (A)21 (B)18 (C)17 (D)15 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設三角形三邊長為 a、b、c，且 a 值最大 ∵ 三角形任二邊長的和大於第三邊長  b  c  a  a  b  c  a  a 又已知 a  b  c  36 故得 2a  36  a  18 但 a、b、c 均為正整數 ∴ 邊長最大值 a  17 （ ）5.已知△ABC 中，AB5，BC7，AC8，則下列各內積中， 何者為最大？ (A)AB AC (B)BC BA (C)CA CB (D)AB BC 【093 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 b c a AC AB BC A bc AC AB        2 2 2 | || | cos 2 AC AB BC AB AC AB AC A AB AC AC AB          1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (8 5 7 ) 20 2 AC AB BC 2        同理 1 2 2 2 1 2 2 2 ( ) (5 7 8 ) 5 2 2 BC BA  AB BC AC     2 2 2 _{2 2 2} 1 1 ( ) (7 8 5 ) 44 2 2 CA CB  BC AC AB     ( ) ( ) 5 AB BC  BA BC   BC BA   ∴ CA CB 為最大 （ ）6.設 a、b、c、d、e、f 均為實數，若行列式 1 1 2 1 a d b e c f  ，則 2 3 4 2 3 4 10 15 20 a d b e c f      (A)120 (B)  120 (C)240 (D)  240 【096 年歷屆試題.】 解答 C 解析 2 3 4 1 2 3 4 2 ( 3) 4 1 10 15 20 5 5 5 a d a d b e b e c f c f             1 2 ( 3) 4 ( 5) 1 1 a d b e c f         2  (  3)  4  (  5)  2  240 （ ）7.在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，若 A、B、C 三點的坐標分 別為(  5,4)、(0,  5)、(4,  8)，則 D 點應落在下列哪一個象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【097 年歷屆試題.】

解答 B 解析 設 D(x,y) 由平行四邊形對角線互相平分的性質知：AC中點BD中點 5 4 4 ( 8) 0 ( 5) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 x y            5  4  x  x  1 4  (  8)  y  5  y  1 ∴ D(  1,1)落在第二象限 （ ）8.設 a 為實數，且直線(3a  1)x  2y  a  1 沒有通過第一象限，則 a 的可能範圍為何(A)a <  1(B) 1 1 3 a    (C)1 1 3 a (D)a  1 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (3 1) 2 1 3 1 1 2 2 a a a x y a  y  x  即直線的 y 截距為 1 2 a  ，斜率 3 1 2 a m  ∵ 直線沒有通過第一象限  y 截距 0 且斜率 m  0 1 0 2 a    且3 1 0 2 a _  a  1 且 1 3 a ∴ a 的可能範圍為 1 1 3 a   

（ ）9.若△ABC 中，AB 3 1 ，BC2，且B  30，則A  (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 cAB 3 1 ，aBC2 ∵ 2 2 2 2 2 2 cos ( 3 1) 2 2 ( 3 1) 2 cos 30 b c a  ca B         (4 2 3) 4 4( 3 1) 3 2 2        2 b   又 sin sin a b A B 2 2 sinA sin 30    1 sin 2 A     A  45或 135 但 c  a  C  A   A  135不合 ∴  A  45 （ ）10.設 A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)為坐標平面上之三點，若AB在AC上 的正射影為AD，則|AD| |：AC| (A)7:5 (B)14:5 (C)7:25 (D)14:25 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 ∵ A(2,5)、B(4,3)、C(5,1)  AB(2, 2) ，AC(3, 4) AB在AC上的正射影為 2 ( ) | | AB AC AD AC AC   ∴ 2 2 2 |AD：| |AC||AB AC | |：AC|     | 2 3 ( 2)( 4) | (3：  ( 4) ) 14 : 25 （ ）11.設 ABCD 為一矩形，且BC3AB。令 P 點與 Q 點為BC上之點， 且BPPQQC，如圖。 若DBC  ，且DPC  ，則 tan(  )之值為何？ (A) 1 3 (B)2 3 (C)1 (D)2 3 【098 年歷屆試題.】 解答 C 解析 由於BC3AB，且BPPQQC 設ABx，其中 x  0 則BPPQQCCDx 在△DBC 中，tan 1 3 3 x x



  在△DPC 中，tan 1 2 2 x x



  故 1 1 tan tan _{3 2} tan( ) 1 1 1 1 tan tan ₁ 3 2





 





       _{ }

（ ）12.sin2210°  cos2570°  sec2930°  tan21290°  csc21650°  cot22010°  (A)  1 (B)1 (C)3 2 (D)3 【101 年歷屆試題.】 解答 D 解析 570°  360°  210°，930°  360°  2  210°，1290°  360°  3  210°， 1650° 360°  4  210°，2010°  360°  5  210°

cot2_210°  1  1  1  3 （ ）13.設 x  1 和 x  1 為多項式 x5  ax4  bx3  5x2  2x  5 的因式，則 3a  b 之值為何？ (A)  3 (B)1 (C)3 (D)6 【101 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令 f (x)  x5 _ax4 _bx3 _5x2 _2x  ₅ ∵ x  1 為 f (x)的因式 ∴ f (1)  0  1  a  b  5  2  5  0  a  b  3…… ∵ x  1 為 f (x)的因式 ∴ f (  1)  0   1  a  b  5  2  5  0  a  b  3…… 由與得 a  0，b  3，故 3a  b  3  0  (  3)  3 （ ）14.有一繩子的長度是 24 公分，若圍成正三角形的面積為 a 平方公分； 圍成正方形的面積為 b 平方公分；圍成正六邊形的面積為 c 平方 公分，則下列何者正確？ (A)a  b  c (B)a  c  b (C)c  a  b (D)c  b  a 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 繩子的長度為 24 公分  正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公分、6 公分、 4 公分  正三角形面積為 3 ₈2 _{16 3} 4 a   （平方公分） 正方形面積為 b  62 _{36（平方公分）} 正六邊形面積為 ₆ 3 ₄2 _{24 3} 4 c    （平方公分） ∴ a  b  c （ ）15.設 a (4,3)， b ( , )x y 為平面上兩向量，且 x2  y2  40，則 此二向量內積 a  b 的最大值為何？ (A)10 10 (B)12 10 (C)14 10 (D)16 10 【098 年歷屆試題.】 解答 A 解析 a (4,3)  | a | 4232 5 2 2 ( , ) | | 40 2 10 b  x y  b  x y   設 a 與 b 的夾角為 則

| || | cos 5 2 10 cos 10 10 cos 10 10

a b  a b



  







 （∵  1  cos 1） 故 a  b 的最大值為10 10 《另解》 (4,3) ( , ) 4 3 a b   x y  x y 由柯西不等式： (42 ₃2_)(x2 _y2₎  _(4x  _3y)2  ₂₅  ₄₀  _(4x  _3y)2  (4x  3y)2 ₁₀₀₀  ₀ [(4x 3 ) 10 10][(4y x 3 ) 10 10]y 0       10 10 4x 3y 10 10      故 a b 的最大值為10 10 （ ）16.在△ABC 中，若 D 為線段BC的中點，且AB9、AC5，則 向量內積AD BC  (A)  28 (B)  14 (C)14 (D)28 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ D 為BC的中點 ∴ BD：DC1：1  1 1 2 2   AD AB AC BCBA AC  AB AC 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 AD BC  AB AC  AB AC   AB  AC 1 2 1 2 9 5 28 2 2        故選(A)

（ ）17.△ABC 中，若BC 13，AC3，∠A  60°，則 cosC 之值為

何？ (A) 2 3 13  (B) 1 13  (C) 1 13 (D) 2 3 13 【101 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設ABx， 由餘弦定理知： 2 2 2 ( 13) 3 x    2 3 x cos 60  13  9  x2 _3x  x2 _3x  ₄  ₀  _(x  _4)(x  ₁₎  ₀  _x  _{4 或}  _1（不 合） 2 2 2 ( 13) 3 4 1 cos 2 13 3 13 C      另解：

∵ BCAC ∴ ∠A ∠B（大邊對大角）  0° ∠B 60°  ∠B 為銳角 由正弦定理知 sin sin BC AC A B  13 3 sin 60sin B  3 3 sin 2 13 B 則 2 cosB 1 sin B 1 (3 3 )2 5 2 13 2 13   

cosC  cos[180°  (A  B)]  cos(A  B)  (cosAcosB  sinAsinB)  (cos60°cosB  sin60°sinB)  (1 5 3 3 3 22 13  2 2 13 )  1 13 （ ）18.設t為實數，且三元一次聯立方程式



 











1 1 1 1 3 1 5 t x t z t y z t y tz                無解， 則t可為下列何者？ (A)2 (B)0 (C)1 (D)2 【106 年歷屆試題.】 解答 C 解析 原方程組：

















1 0 1 1 0 1 3 0 1 5 t x y t z x t y z x t y tz                   1 0 1 0 1 1 0 1 t t t t t       （第一、二行提出



t1



）





2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 t t t     （第一行降階展開）





2 1 1 1 1 1 t t    

 

2



    

2 1 1 1 1 1 1 1 t t t t           若 0，則t 1或1 (1)當t 1時：原方程組： 2 1 3 5 z z z          無解 (2)當t1時：原方程組： 2 1 2 3 2 5 x y z y z    _{ }   _{ }  無解 由(1)和(2)可知： 當方程組無解時，t可為1或1 故選(C) （ ）19.將 4 3 3 (x 3x 2x5)(x 2)(x3)乘開化簡後， 3 x 項的係數為 何？ (A)5 (B)3 (C)3 (D)5 【104 年歷屆試題.】 解答 C 解析 4 3 3 (x 3x 2x5)(x 2)(x3) 3 x 項 3 3 ( 2) 3  x     ( 5)  x3 3_18x3_15x3_3x3 故 3 x 項的係數為3 （ ）20.設 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _



i



_   ， 2 2 cos sin 3 3 z _



i



_   ，則 1 2 z z 之 值為何？ (A)1 (B)i (C)0 (D)1 【103 年歷屆試題.】 解答 D 解析 4 1 5 5 cos sin 3 3 z _



i



_   5 5 cos 4 sin 4 3



i 3



     _  _ _  _     20 20 cos sin 3



i 3



  2 2 cos 3 2 sin 3 2 3 i 3









     _   _ _   _     2 2 cos sin 3



i 3



  2 2 cos sin 3 3 z _



i



_   cos 2 3 isin 2 3





     _  _ _  _     2 2 cos sin 3



i 3



  ∵ z₁z₂ ∴ 1 2 1 z z  （ ）21.已知z₁ 3i，z₂  1 i，其中i 1，則z z₁2 ₂4可表示為 下列哪一個？ (A)16 cos 240



 isin 240



(B)16 cos 300



 isin 300



(C)16 cos 60



 isin 60



(D)16 cos120



 isin120



【105 年歷屆試題.】 解答 A 解析 (1)z1 3i的極式： 令

 

x y, 

 

3,1 ，如圖：

 

2 2 3 1 2 r   ，



 30 則z₁2 cos 30



 isin 30



(2)z2  1 i的極式： 令

   

x y,  1,1 ，如圖：

2 2 1 1 2 r   ，



 45 則z₂  2 cos 45



 isin 45



由(1)和(2)：









2 2 1 2 cos 2 30 sin 2 30 z  _   i   _ 4 cos 60



 isin 60



 

4









4 2 2 cos 4 45 sin 4 45 z  _   i   _





4 cos180 isin180     故z z₁2 ₂4   4 4 _cos 60



 180 



isin 60



 180



_





16 cos 240 isin 240     （ ）22.滿足二元一次聯立不等式 4 3 6 5 2 10 x y x y x y            的整數解

 

x y, 共有幾 個？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【105 年歷屆試題.】 解答 B 解析 聯立不等式的圖解區域如下： 則整數解

 

x y, 為

 

1,3 、

 

2, 0 、

 

2,1 、

 

2, 2 ，共有4個 （ ）23.設 1 3 2 i



  ，則 107 1





 (A)1(B)



(C) 2



(D)1 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 1 3 2 i



  ∴ 3 1



 且 2 1 0



  



(1)



107 



3 35 2  



3 35 



2

 



3 35



2135



2



2 (2)



2  



1 0 



  ₁



2 故 107 2 2 1 1







 



  （ ）24.已知平面三向量 a 

 

3, 4 ， b 



x, 9



， c  



8,y



。設 a  b 且 b // c ，則yx之值為何？ (A)18 (B)6 (C)6 (D)18 【103 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ a  b ∴ a b 0 

  

3, 4  x, 9 



0  3x  4

 

9 0  3x360  x12 則 b 



x, 9 

 

12, 9



∵ b// c 且 c  



8,y



∴ 12 9 8 y     12y72  y6 故y  x 6 12 6 （ ）25.在△ABC中，設三邊長之比AB BC CA: : 7 : 5 : 3，則△ABC 之最大內角為何？ (A)75 (B)90 (C)120 (D)135 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 令ABc，BCa，CAb 設a5k，b3k，c7k，其中k0 ∵ △ABC的邊AB最長 ∴ C為最大內角

     

2 2 2 5 3 7 cos 2 5 3 k k k C k k      2 2 15 1 30 2 k k     ∵ cos120 1 2    ∴  C 120 故最大內角為120