Unit 18 三角形的幾何推理

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Unit 18 三角形的幾何推理 能力指標:◎(S-4-01)能根據給定的性質作局部推理。 ◎(S-4-09)能根據直尺、圓規操作過程的敘述,完成尺規作圖。 能力一:三角形的內心、外心、重心 一、三角形的內心、外心、重心的重要性質一覽表 內心 外心 重心 定義 三內角平分線的交點 (內切圓的圓心) 三邊垂直平分線的交 點(外接圓的圓心) 三中線的交點 位置 恆在三角形內部 銳角:三角形內部 直角:斜邊中點 鈍角:三角形外部 恆在三角形內部 性質 到三邊等距離 到三頂點等距離 比較靠近邊(1 3中線 ) 內心公式 1.ID=IE= IF =r(內切圓半徑) 2.△ABI:△BCI:△ACI = AB BC AC: : 3.∠BIC=90 +1 2∠BAC 4.△ABC 面積= r ,s 1 2 s = 周長 5.直角⊿的內切圓半徑=1

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2 兩股和 斜邊 − 外心公式 1.OA=OB=OC =R(外接圓半徑) 2. 90 , 2 , 90 , 360 2 A BOC A A BOC A   =   =  − 當∠ ∠ ∠ 當∠ ∠ ∠ 3.正△的邊長為 a,則外心到頂點的距離為 3 3 a ,外心到邊的距離為 3 6 a 。 重心公式 1. 2 , 1 3 3 AG= AD DG = AD(另兩條中線其重心 位置的比例亦同) 2.△ABG=△BCG=△ACG=1 3△ABC I

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)

1 1 2 2 1 1 120 60 2 2

DAC CAB DAC CAB

DAB     + = + = =   =  ∠DAB=360 -60 -80 -100 , ∵P,Q分別是△ABC與△ACD的內心, 1 ∴∠PAQ= ∠ ∠ ∠ ∠ 2 ∠ 1 , 35 , 2 1 1 DCE= , 35 , 70 2 2 ACE A B DCE B ACE A A = + =  + =  =  ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∵ ∠ ∠ ∴ ∠ ∠ 1 1 10 5 2 2 BCH DH BD CD BC   = = = =  = ∵ △ 為直角三角形, ∠BHC=90 , D為BC之中點, D點為△BHC之外心, ∴ 3.△AFG=△BFG=△AEG=△CEG=△BDG=△CDG=1 6△ABC 【三角形的內心】 講解一: 如右圖,四邊形 ABCD 中,∠B=60 、∠DCB=80 、∠D=100  。若 P、Q 兩點 分別為△ABC 與△ACD 的內心,則∠PAQ=?【94 基測 1】

sol)

練習一:

如右圖 O 為△ABC 之內心,CD為∠ACE 之角平分線,若∠D=35,請問∠A=? sol) 【三角形的外心】 講解二: 如右圖,AD是△ABC 的中線,H 點在AC上且BHAC,若AB =12、BC =10、 C 14 A = ,連接DH,則DH =?【94 基測 2】 sol) 練習二:

有一鈍角△ABC,AB= AC,O 為其外心,若∠BOC=120,AB =8,則∠A=? 又△ABC 之外接圓面積為何呢?

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2 2 1 360 2 120 2 , 120 1 180 120 30 2 2 60 , 8 8 64 BOC A A AB AC A C AOB C AOB AO AB    =  −   =  = =  =  −  =  = =   = =  =  = ∵△ABC為鈍角三角形 ∠ ∵ ∠ ∴∠ ∠ ∠ △ 為正三角形 外接圓面積 單位

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O 0,0 , 2 G AO , 2 3 0,1 BC AG AO G = = ∵ 的中點座標為 重心 位於 上 ∴ 點座標為 Sol) 【三角形的重心】 講解三: 已知△ABC 的三頂點座標為 A(0,3)、B(2,0)、C(-2,0),則△ABC 的重心座 標為何呢? Sol) 練習三: 如右圖,正△ABC 的三條中線AD BE CF 交於 G 點,且其邊長為 12cm,請問, , △AFG 及△DFG 的面積為何呢? Sol)

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2 2 2 1 1 3 1 12 6 3 6 6 4 1 1 2 , 6 3 3 3 2 2 AFG ABC cm DFG DG DFG cm AFG AG = =   = = = =  = △ 面積 △ 面積 △ △ 面積 △ 【十分鐘即時練習】 (C)1.學校工友想利用三角形各種心的性質,在三角形花圃內部找一個位置插 上花圃說明牌,下列哪兩點一定都可以滿足她的願望呢?(A)垂心和重 心(B)垂心和外心(C)重心和內心(D)內心和外心。 (D)2.若△ABC 的三個頂點座標為 A(2,1)、B(4,1)、C(4,9),則此三角形 之外心座標為何呢?(A)(3,1)(B)(4,5)(C)(3,4)(D)(3,5)。 Sol) 由座標位置可知△ABC 為直角三角形,故外心為斜邊中點。 (B)3.如下圖(一),有一質地均勻的三角形鐵片,其中依中線AD長 24 公分,

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若阿龍享用食指撐住此鐵片,如下圖(二),則支撐點應設在AD上的何 處最恰當呢?(A)距離 D 點 6 公分處(B)距離 D 點 8 公分處(C)距 離 D 點 12 公分處(D)距離 D 點 16 公分處。【91.基測(1)】

(D)4.如上圖(三),AB=DC AC, =BD,請問下列敘述何者為非呢?(A)

∠AED=∠BAE+∠ECD(B)△DCE 與△ABE 面積相等(C)∠AEB=∠ DEC(D)∠CDE>∠BAE。

(A)5.設 G 點為正△ABC 的重心,AB =20,請問AG=?(A)20 3 3 (B) 18 3 3 (C)16 3 3 (D) 14 3 3 。 能力二:三角形的全等性質

一、三角形全等的定義:若△ABC 與△DEF 疊合後,∠A 與∠D、∠B 與∠E 及 ∠C 與∠F 可以完全重合,吾人可以稱△ABC 與△DEF 全等,簡記為 ABCDEF △ △ ,且此兩三角形具有下列性質: (1) 各對應角相等(∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F) (2) 各對應邊相等(AB=DE BC, =EF AC, =DF) (3) 面積相等(△ABC=△DEF) 二、三角形的全等性質一覽表 假設:任意兩三角形△ABC 與△DEF(如右圖): 全等性質簡稱 條 件 判 斷 SSS AB=DE AC, =DF BC, =EFABC △DEF

SAS ∠A=∠D AB, =DE AC, =DFABC △DEF

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ABCDEF

△ △

ASA ∠A=∠D, ∠B=∠E, AB=DEABC △DEF

AAS ∠A=∠D, ∠B=∠E, BC =EFABC △DEF

RHS

(

)

90 , : , : B E AC DF BC EF AB DE  =  =  = = = 斜邊 任一股 或 ABCDEF △ △ (僅適用於直角三角形) SSA (非全等性質)

(

)

(

)

, , AC DG AB DE B E AC DF  =  = = =  全 等 ∠ ∠ 非全等 或 【全等性質的判別】 講解一: 如右圖所示,已知△ABC,則下列哪一個選項中的圖形與△ABC 全等呢?

sol) (D)的圖形與△ABC 全等,根據 AAS 性質。 練習一:

如右圖所示,△ABC 中,∠B=15 、∠C=75 、AC =5,請問下列哪一個三角 形與△ABC 全等呢?

sol) (C)根據已知條件可知∠A=90 ,所以 ABC△ △NMP(AAS or ASA) 【三角形全等的證明】

講解二:

如右圖,已知 ABCD 是正方形,A 在 L 上,DELBFL,垂足分別為 E、 F(AEAF)。求證:△ADE △BAF

ABCDEF

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, AAS ADE BAF, . D  應選 該題係利用 全等性質證明△ △ 所以應當增加說明一雙對應角相等

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( )

(

)

1 , , ABC 2 3 1 2 4 ABCDE AB AE BC CE AED

ABC AED SAS

BAC EAD

AB AE

BAP EAQ ASA

BP QE = = =  = = =  = ∵ 為正五邊形 ∴ ∠ ∠ △ △ ∴∠ ∠ ∵ ∴∠ ∠ △ △ ∴

(

)

(

)

2 P M,N , PM , , 90 =PMCN 5 25 CD PN XPM NPY PNY PMX PXM PYN AAS PXCY = = = =    = = 作輔助線,由 點分別對BC及 作垂線交於 兩點 ∵ 且∠ ∠ 又∠ ∠ ∴△ △ 面積 面積 平方公分 證明:(1)Q ABCD為正方形 ∴, AB= AD, 7 = 90 (2)又∵DEL BF, ⊥L, ∴∠5=∠6= 90 (3) (甲) (4)∴ △ADE△BAF 試從下列選項中,選出可填入(甲)中的正確證明過程。【90.基測(1)】 (A) ∵DEL BF, ⊥L, 7∠ = 90 , ∴DE =BF (B)∵DEL BF, ⊥L, 7∠ = 90 , ∴∠1=∠ 4 (C)∵∠7=90 , 5 ∠ =∠6=90 ,  ∴∠2=∠3 (D)∵∠7=∠5=90 ,  ∴∠ ∠1+ 2=∠2+∠ ∴∠3, 1=∠3 sol) 練習二: 如右圖,正五邊形 ABCDE 的對角線 ACAD分別交BE於 P 與 Q,試證:BP=QE pf) 【全等三角形的應用】 講解三: □ABCD 與□PQRS 是邊長為 10 公分的兩正方形,如右圖所示,P 點位於正方形 ABCD 的中心,BX =4

(

公分 ,試問四邊形 PXCY 的面積為多少平方公分呢?

)

Sol)

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( )

(

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( )

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1 , , , 15 2 15 9 12 2 2 1 1 1 2 9 12 9 12 27 2 2 2 ABC EDB FCB FBC FAB FBA BCF ABF BF CF AF BF AF CF BF FD BD BF CEOF BDE BCF = =  = =  = = =  = − = − =   = − =   −    =   ∵△ 與△ 為全等三角形 ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∴△ 與△ 均為等腰△ 公分 □ △ △ 平方公分 練習三: 如右圖,△ABC 與△EDB 為全等的三角形,其中

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9 , 12 , 15 AB= 公分 BC= 公分 AC = 公分 ,試求(1)FD=?(2)□CEDF 的面積=? Sol) 【十分鐘即時練習】 (C)1.兩直角三角形在下列何種情況時不一定全等?(A)斜邊及一股對應相 等(B)斜邊及一銳角對應相等(C)二銳角對應相等(D)二股對應相等。 (B)2.在△ABC 與△PQR 中,已知 AB=QR、 AC =PQ,則再加上下列何種條 件可始可判定△ABC △PQR呢?甲:∠B=∠R、乙:∠C=∠P、丙:∠ A=∠Q、丁:BC=PR。 (A)甲或乙(B)丙或丁(C)甲或丁(D)乙或丙。 (A)3.如右圖,AD=CD AB, = BC且 E 點為BD上的任何一點,請問起圖形中 有幾組全等三角形呢?(A)3(B)4(C)5(D)6。 (B)4.如右圖,正三角形 ABC,AR=CP,假設∠CAP=25 ,請問∠BQP=? (A)45 (B)60  (C)75 (D)80 。 (D)5.如右圖,AB=CD PB, =BC, ∠A=∠D, 1∠ =∠ ,若2 ∠A =45,請問 ∠E=?(A)60 (B)65 (C)70 (D)75 。

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【基本觀念題】 (B)1.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°,則其頂角的度數為多少? (A)20° (B)40° (C)30° (D)90° (C)2.如右圖,∠1=∠2, CD =BE,∠D=∠E,則△ACD△ABE,那麼下 列敘述何者錯誤?(A)AB= AC (B)∠ABC=∠ACB (C) AC =AE (D)△ABC是等腰三角形。 (C)3.在△ABC與△DEF中,ABEF , BC =DF, AC =DE,則下列何者 正確?(A)∠A=∠D (B)∠C=∠F (C)∠B=∠F (D)∠B=∠E。 (B)4.如右圖,BD平分∠ABC, BC >ABAD= CD ,∠A=120°,∠BDC = 90°,∠C的度數為下列何者? (A)70° (B)60° (C)50° (D)40°。 (A)5.△ABC、△DEF中,若AB=DE, AC =DF,而且∠A=∠D=100°, 則此兩個三角形是否全等?(A)全等ˉ(B)不全等ˉ(C)不一定全等ˉ(D) 以上皆非。 (A)6.兩個等腰三角形中,若底邊及一底角對應相等,則這兩個等腰三角形有 何種關係?(A)一定全等ˉ(B)一定不全等ˉ(C)不一定全等ˉ(D)以上皆 非。 (A)7.兩個等腰三角形中,若底邊及一底角對應相等,則這兩個等腰三角形符 合下列何種性質?(A)一定全等ˉ(B)一定不全等ˉ(C)不一定全等ˉ(D) 以上皆非。

(D)8.若△ABC△DEF,且AB=12,EF=13, AC =5,則△DEF的周長為 何?(A)25 (B)27 (C)28 (D)30。 (C)9.下列敘述何者錯誤? (A)兩個三角形中,若有兩角及一對應邊相等,則必全等 (B)兩個直角三角形的一邊與一銳角對應相等,則必全等 (C)兩個三角形中,若有兩邊及一對應角相等,則必全等 (D)等腰三角形中,必有兩角相等。 (C)10.史努比在美術課用一條線將一片後度相同,材料均勻的三角形紙板懸掛 在空中,他想要讓紙板和水平面平行,他應該將懸掛點放在三角形的哪 一部分呢?(A)三高的交點(B)三角平分線的交點(C)三中線的交 點(D)三邊的中垂線交點。

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【溫故歷屆基測試題】 (D)1.若使用兩塊全等的三角形紙板可緊密拼出一個大三角形,則原來的小紙 板必須是何種圖形? (A)等腰三角形(B)鈍角三角形(C)銳角三角 形(D)直角三角形。【95.基測一】 (B)2.如圖,AB=BC,BC>AC,P、Q 兩點在AM上,其中AP= PQ ,且 Q 為△ABC 的重心。若兩直線 BP、BQ 與AC分別交於 S、R 兩點,則 下列關係何者正確? (A)AS=SR (B)AR=RC(C) QB = QC (D) QR =2PS。【95.基測一】 (B)3.如圖(一),AM為△ABC 的中線,∠C>∠B。將 A 點摺向 M,使得 A、 M 兩點重疊,出現摺線DE,如圖(二)。若展開,如圖(三)所示,則對 於DE的敘述,下列哪一個選項是正確的? (A)DE平行 BC (B)DE 垂直AM(C)DE平分AB(D)DE平分 AC 。【95.基測二】 (B)4.如圖,AD是△ABC 的中線,H 點在AC上且BH⊥AC。若AB=12,BC =10,AC=14,連接DH,則DH=? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7。 【94.基測二】 (B)5.如圖,AQ 為∠BAC 的角平分線,P 在 AQ 上,且PB⊥AB、QC ⊥AC。 若PB=3、 QC =9、AP=5,則 PQ =? (A) 7 (B) 10 (C) 12 (D) 15。【94.基測一】 (A)6.如圖,四邊形 ABCD 中,∠B=60°、∠DCB=80°、∠D=100°。若 P、Q 兩點分別為△ABC 及△ACD 的內心,則∠PAQ=? (A) 60°(B) 70° (C) 80°(D) 90°。【94.基測一】 (B)7.如圖,△ABC 中,D 點在BC上,F 點在直線 AB 上,DFAC於 E 點。 若∠B=40°,∠C=55°,∠DEC=43°,則∠F=? (A) 40°(B) 42°(C) 43°(D) 55°。【93.基測二】 (A)8.甲、乙、丙、丁四位同學分別想依下列的條件作出一個與△ABC 全等的 三角形,如圖所示。已知四人所用的條件如下: 甲:AB= 3 公分,AC=1 公分,∠B=30° 乙:AB= 3 公分,BC=2 公分,∠B=30°

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 20 3 2 , 20 1 1 2 400 40 1200 400 10 20 300 300 x r CA x x r x x r x Ar   + + =  = + =  − + = −  =  = − =  = = L L L L L L L 設 得 代入 2 單位

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2 1 2 , 2, 2 2 2, =2, a= 2 2 2 2 r r r  =  = =  = 已知 ∴ 等腰直角三角形之腰長 ∴ 丙:AB= 3 公分,AC=1 公分,BC=2 公分 丁:AB= 3 公分,BC=2 公分,∠A=90° 若發現其中一人作出的三角形沒有與如圖的△ABC 全等,則此人是 誰? (A)甲(B)乙(C)丙(D)丁。【93.基測一】 (C)9.如圖,△OAB 中,AOB>90°,∠B>∠A。若 M、H 在AB上,M 為AB的 中點,OHAB,則下列哪一線段的長為 O 點與AB的距離? (A)OA(B)OM (C)OH(D)OB。【93.基測一】 (C)10.如圖,△ASH 為直角三角形,其中∠A=90°,L 為SH的中垂線,交AH 於 R 點。若AS=3,SH=5,則RH =? (A) 1.5 (B) 2 (C) 8 25 (D) 2.5。【92.基測二】 【模擬學力基測試題】 (C)1.有一圓其圓心為 O,半徑長為 r,與直線 L 相切於 A 點,已知 L 線上有 另兩點 B、C,且 C 介於 A、B 之間,OB =20 3,BC =OC=20,請 問此圓的面積為何呢?(A)900(B)600(C)300(D)100(平 方單位) sol) (A)2.有一三角形 ABC 其邊長分別為 3、4、5,其外接圓與內切圓面積的比值 為何呢?(A)25 4 (B) 9 4(C) 4 9(D) 25 9 sol) 2 2 25 5 25 3+4-5 4 25 , = , 2 4 2 4           =  = = = =     外 外接圓面積 內切圓面積 內 (B)3.若有一圓面積為 2 平方公分,假設其內接等腰直角三角形的面積為 a 平方公分,請問下列何者正確呢?(A) 0  (B)1a 1   (C)a 2 2  (D) a>3。 a 3 sol)

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 , 4 , 2 2 5 49 16 65 4 4 65 2 13 5 a b AD b BE a AD BE a b AB a b     = +  = = +  =     + = + = + = = + =  =

(

)

(

)

(

)

1 C, 40 , 180 40 70 , 2 1 , 2 , 1 2 40 70 110 AB A A B C

OAB OBA OAC OCA

BOC OAB OAC OBA OCA A OBA OBC

A B = =  = =  −  =   =  +   =  +   =  +  =  +  +  +  =  +  +  =  +  =  +  =  ∵ ∠ ∴∠ ∠ (C)4.在三角形 ABC 中,AB= AC,∠A =40,若 O 點在三角形內部,且∠ OBC=∠OCA,則∠BOC 的度數為何呢?(A)90(B)100(C)110 (D)120 。 sol) (D)5.右圖中,P點為正△ABC內部的一點,P點到△ABC三邊ABBC、 AC 的 距離分別為PDPEPFAH為正△ABC的高,則其四者的關係為 下列何者呢?(A)PDPEPF = AH (B)PDPEPF = AH (C)PDPEPF = AH (D)PDPEPF = AH 。 Sol) 作PAPBPC,設ABBCAC=a,∵△ABP的面積+△BCP的面 積+△ACP的面積= △ABC的面積,1 2× a×PD+ 1 2× a×PE+ 1 2× a×PF= 1 2× AH ,1 2× a×(PDPEPF)= 1 2× a× AHPDPEPFAH【進階練習題】 (C)1.如右圖,直角⊿ABC,∠C 為直角,中線AD =7,中線BE =4,請問AB=? (A) 3 5 (B) 5 3 (C) 2 13 (D)13 2。 sol) (B)2.一個正△ABC 的邊長是 10,Q 點為其內心,由 Q 點向正△的三邊作垂 直線,若三條垂直線長的和事 a 公分,請問的範圍何呢?(A)0  (B)a 5 5 a 10(C)10 a 15(D)15 a 20。 sol) ∵Q 為三角形的內心,故 Q 點亦為三角形之重心。

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(A)3.若△ABC 的面積為 15 平方公分,其內切圓之半徑為 2 公分,且AB =6公 分,BC =5公分,則AC =?(A)4(B)5(C)6(D)7(公分) sol) , 1

(

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2 15, 4 2 AC =x + +x  = x= 設 (B)4.如右圖,ABCD和CEFG都是正方形,若∠2=30°,∠CED=25°,則∠ GBC為多少度呢?(A)25° (B)35° (C)45° (D)55° 。 (C)5.如右圖,ABBCCDADAEDEBE,求∠C=?(A)62° (B)26 ° (C)36° (D) 63° 。 sol) ∵BCCD,設∠1=∠2=x°∠C=(180-2x)° ABBC ∠A=∠C=(180-2x)° ,∵ ADAE ∠3=∠4=x° DEBE ∠5=∠6=1 2∠4= 1 2x, ∵ ∠1+∠5+∠3=180° 即x+1 2x+x= 180, 5 2x=180,x=72,故∠C=(180-2×72)°=36°

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參考文獻

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