Unit 18 三角形的幾何推理 能力指標：◎（S-4-01）能根據給定的性質作局部推理。 ◎（S-4-09）能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。 能力一：三角形的內心、外心、重心 一、三角形的內心、外心、重心的重要性質一覽表 內心 外心 重心 定義 三內角平分線的交點 （內切圓的圓心） 三邊垂直平分線的交 點（外接圓的圓心） 三中線的交點 位置 恆在三角形內部 銳角：三角形內部 直角：斜邊中點 鈍角：三角形外部 恆在三角形內部 性質 到三邊等距離 到三頂點等距離 比較靠近邊（1 3中線 ） 內心公式 1.ID=IE= IF =r（內切圓半徑） 2.△ABI:△BCI:△ACI = AB BC AC: : 3.∠BIC=90 +1 2∠BAC 4.△ABC 面積= r ，s 1 2 s = 周長 5.直角⊿的內切圓半徑=1
(
)
2 兩股和 斜邊 − 外心公式 1.OA=OB=OC =R（外接圓半徑） 2. 90 , 2 , 90 , 360 2 A BOC A A BOC A = = − 當∠ ∠ ∠ 當∠ ∠ ∠ 3.正△的邊長為 a，則外心到頂點的距離為 3 3 a ，外心到邊的距離為 3 6 a 。 重心公式 1. 2 , 1 3 3 AG= AD DG = AD（另兩條中線其重心 位置的比例亦同） 2.△ABG=△BCG=△ACG=1 3△ABC I(
)
1 1 2 2 1 1 120 60 2 2DAC CAB DAC CAB
DAB + = + = = = ∠DAB=360 -60 -80 -100 , ∵P,Q分別是△ABC與△ACD的內心, 1 ∴∠PAQ= ∠ ∠ ∠ ∠ 2 ∠ 1 , 35 , 2 1 1 DCE= , 35 , 70 2 2 ACE A B DCE B ACE A A = + = + = = ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∵ ∠ ∠ ∴ ∠ ∠ 1 1 10 5 2 2 BCH DH BD CD BC = = = = = ∵ △ 為直角三角形, ∠BHC=90 , D為BC之中點, D點為△BHC之外心, ∴ 3.△AFG=△BFG=△AEG=△CEG=△BDG=△CDG=1 6△ABC 【三角形的內心】 講解一： 如右圖，四邊形 ABCD 中，∠B=60 、∠DCB=80 、∠D=100 。若 P、Q 兩點 分別為△ABC 與△ACD 的內心，則∠PAQ=？【94 基測 1】
sol)
練習一：
如右圖 O 為△ABC 之內心，CD為∠ACE 之角平分線，若∠D=35，請問∠A=？ sol) 【三角形的外心】 講解二： 如右圖，AD是△ABC 的中線，H 點在AC上且BH ⊥ AC，若AB =12、BC =10、 C 14 A = ，連接DH，則DH =？【94 基測 2】 sol) 練習二：
有一鈍角△ABC，AB= AC，O 為其外心，若∠BOC=120，AB =8，則∠A=？ 又△ABC 之外接圓面積為何呢？
( )
( )
(
)
(
)
2 2 1 360 2 120 2 , 120 1 180 120 30 2 2 60 , 8 8 64 BOC A A AB AC A C AOB C AOB AO AB = − = = = = − = = = = = = = ∵△ABC為鈍角三角形 ∠ ∵ ∠ ∴∠ ∠ ∠ △ 為正三角形 外接圓面積 單位( )
( )
O 0,0 , 2 G AO , 2 3 0,1 BC AG AO G = = ∵ 的中點座標為 重心 位於 上 ∴ 點座標為 Sol) 【三角形的重心】 講解三： 已知△ABC 的三頂點座標為 A（0,3）、B（2,0）、C（-2,0），則△ABC 的重心座 標為何呢？ Sol) 練習三： 如右圖，正△ABC 的三條中線AD BE CF 交於 G 點，且其邊長為 12cm，請問, , △AFG 及△DFG 的面積為何呢？ Sol)( )
( )
( )
( )
2 2 2 1 1 3 1 12 6 3 6 6 4 1 1 2 , 6 3 3 3 2 2 AFG ABC cm DFG DG DFG cm AFG AG = = = = = = = △ 面積 △ 面積 △ △ 面積 △ 【十分鐘即時練習】 （C）1.學校工友想利用三角形各種心的性質，在三角形花圃內部找一個位置插 上花圃說明牌，下列哪兩點一定都可以滿足她的願望呢？（A）垂心和重 心（B）垂心和外心（C）重心和內心（D）內心和外心。 （D）2.若△ABC 的三個頂點座標為 A（2,1）、B（4,1）、C（4,9），則此三角形 之外心座標為何呢？（A）（3,1）（B）（4,5）（C）（3,4）（D）（3,5）。 Sol) 由座標位置可知△ABC 為直角三角形，故外心為斜邊中點。 （B）3.如下圖（一），有一質地均勻的三角形鐵片，其中依中線AD長 24 公分，若阿龍享用食指撐住此鐵片，如下圖（二），則支撐點應設在AD上的何 處最恰當呢？（A）距離 D 點 6 公分處（B）距離 D 點 8 公分處（C）距 離 D 點 12 公分處（D）距離 D 點 16 公分處。【91.基測（1）】
（D）4.如上圖（三），AB=DC AC, =BD，請問下列敘述何者為非呢？（A）
∠AED=∠BAE+∠ECD（B）△DCE 與△ABE 面積相等（C）∠AEB=∠ DEC（D）∠CDE>∠BAE。
（A）5.設 G 點為正△ABC 的重心，AB =20，請問AG=？（A）20 3 3 （B） 18 3 3 （C）16 3 3 （D） 14 3 3 。 能力二：三角形的全等性質
一、三角形全等的定義：若△ABC 與△DEF 疊合後，∠A 與∠D、∠B 與∠E 及 ∠C 與∠F 可以完全重合，吾人可以稱△ABC 與△DEF 全等，簡記為 ABC DEF △ △ ，且此兩三角形具有下列性質： （1） 各對應角相等（∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F） （2） 各對應邊相等（AB=DE BC, =EF AC, =DF） （3） 面積相等（△ABC=△DEF） 二、三角形的全等性質一覽表 假設：任意兩三角形△ABC 與△DEF（如右圖）： 全等性質簡稱 條 件 判 斷 SSS AB=DE AC, =DF BC, =EF △ABC △DEF
SAS ∠A=∠D AB, =DE AC, =DF △ABC △DEF
ABC DEF
△ △
ASA ∠A=∠D, ∠B=∠E, AB=DE △ABC △DEF
AAS ∠A=∠D, ∠B=∠E, BC =EF △ABC △DEF
RHS
(
)
90 , : , : B E AC DF BC EF AB DE = = = = = 斜邊 任一股 或 ABC DEF △ △ （僅適用於直角三角形） SSA （非全等性質）(
)
(
)
, , AC DG AB DE B E AC DF = = = = 全 等 ∠ ∠ 非全等 或 【全等性質的判別】 講解一： 如右圖所示，已知△ABC，則下列哪一個選項中的圖形與△ABC 全等呢？sol) （D）的圖形與△ABC 全等，根據 AAS 性質。 練習一：
如右圖所示，△ABC 中，∠B=15 、∠C=75 、AC =5，請問下列哪一個三角 形與△ABC 全等呢？
sol) （C）根據已知條件可知∠A=90 ，所以 ABC△ △NMP（AAS or ASA） 【三角形全等的證明】
講解二：
如右圖，已知 ABCD 是正方形，A 在 L 上，DE ⊥L，BF ⊥L，垂足分別為 E、 F（AE AF）。求證：△ADE △BAF
ABC DEF
( )
, AAS ADE BAF, . D 應選 該題係利用 全等性質證明△ △ 所以應當增加說明一雙對應角相等( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1 , , ABC 2 3 1 2 4 ABCDE AB AE BC CE AEDABC AED SAS
BAC EAD
AB AE
BAP EAQ ASA
BP QE = = = = = = = ∵ 為正五邊形 ∴ ∠ ∠ △ △ ∴∠ ∠ ∵ ∴∠ ∠ △ △ ∴
(
)
(
)
2 P M,N , PM , , 90 =PMCN 5 25 CD PN XPM NPY PNY PMX PXM PYN AAS PXCY = = = = = = 作輔助線,由 點分別對BC及 作垂線交於 兩點 ∵ 且∠ ∠ 又∠ ∠ ∴△ △ 面積 面積 平方公分 證明：（1）Q ABCD為正方形 ∴, AB= AD, 7 = 90 （2）又∵DE ⊥L BF, ⊥L, ∴∠5=∠6= 90 （3） （甲） （4）∴ △ADE△BAF 試從下列選項中，選出可填入（甲）中的正確證明過程。【90.基測（1）】 （A） ∵DE ⊥L BF, ⊥L, 7∠ = 90 , ∴DE =BF （B）∵DE ⊥L BF, ⊥L, 7∠ = 90 , ∴∠1=∠ 4 （C）∵∠7=90 , 5 ∠ =∠6=90 , ∴∠2=∠3 （D）∵∠7=∠5=90 , ∴∠ ∠1+ 2=∠2+∠ ∴∠3, 1=∠3 sol) 練習二： 如右圖，正五邊形 ABCDE 的對角線 AC和AD分別交BE於 P 與 Q，試證：BP=QE pf) 【全等三角形的應用】 講解三： □ABCD 與□PQRS 是邊長為 10 公分的兩正方形，如右圖所示，P 點位於正方形 ABCD 的中心，BX =4(
公分 ，試問四邊形 PXCY 的面積為多少平方公分呢？)
Sol)( )
(
)
( )
(
)
1 , , , 15 2 15 9 12 2 2 1 1 1 2 9 12 9 12 27 2 2 2 ABC EDB FCB FBC FAB FBA BCF ABF BF CF AF BF AF CF BF FD BD BF CEOF BDE BCF = = = = = = = = − = − = = − = − = ∵△ 與△ 為全等三角形 ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∴△ 與△ 均為等腰△ 公分 □ △ △ 平方公分 練習三： 如右圖，△ABC 與△EDB 為全等的三角形，其中(
)
(
)
(
)
9 , 12 , 15 AB= 公分 BC= 公分 AC = 公分 ，試求（1）FD=？（2）□CEDF 的面積=？ Sol) 【十分鐘即時練習】 （C）1.兩直角三角形在下列何種情況時不一定全等？（A）斜邊及一股對應相 等（B）斜邊及一銳角對應相等（C）二銳角對應相等（D）二股對應相等。 （B）2.在△ABC 與△PQR 中，已知 AB=QR、 AC =PQ，則再加上下列何種條 件可始可判定△ABC △PQR呢？甲：∠B=∠R、乙：∠C=∠P、丙：∠ A=∠Q、丁：BC=PR。 （A）甲或乙（B）丙或丁（C）甲或丁（D）乙或丙。 （A）3.如右圖，AD=CD AB, = BC且 E 點為BD上的任何一點，請問起圖形中 有幾組全等三角形呢？（A）3（B）4（C）5（D）6。 （B）4.如右圖，正三角形 ABC，AR=CP，假設∠CAP=25 ，請問∠BQP=？ （A）45 （B）60 （C）75 （D）80 。 （D）5.如右圖，AB=CD PB, =BC, ∠A=∠D, 1∠ =∠ ，若2 ∠A =45，請問 ∠E=？（A）60 （B）65 （C）70 （D）75 。【基本觀念題】 （B）1.等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為20°，則其頂角的度數為多少？ (A)20° (B)40° (C)30° (D)90° （C）2.如右圖，∠1＝∠2， CD ＝BE，∠D＝∠E，則△ACD△ABE，那麼下 列敘述何者錯誤？(A)AB＝ AC (B)∠ABC＝∠ACB (C) AC ＝AE (D)△ABC是等腰三角形。 （C）3.在△ABC與△DEF中，AB＝EF ， BC ＝DF， AC ＝DE，則下列何者 正確？(A)∠A＝∠D (B)∠C＝∠F (C)∠B＝∠F (D)∠B＝∠E。 （B）4.如右圖，BD平分∠ABC， BC ＞AB，AD＝ CD ，∠A＝120°，∠BDC ＝ 90°，∠C的度數為下列何者？ (A)70° (B)60° (C)50° (D)40°。 （A）5.△ABC、△DEF中，若AB＝DE， AC ＝DF，而且∠A＝∠D＝100°， 則此兩個三角形是否全等？(A)全等ˉ(B)不全等ˉ(C)不一定全等ˉ(D) 以上皆非。 （A）6.兩個等腰三角形中，若底邊及一底角對應相等，則這兩個等腰三角形有 何種關係？(A)一定全等ˉ(B)一定不全等ˉ(C)不一定全等ˉ(D)以上皆 非。 （A）7.兩個等腰三角形中，若底邊及一底角對應相等，則這兩個等腰三角形符 合下列何種性質？(A)一定全等ˉ(B)一定不全等ˉ(C)不一定全等ˉ(D) 以上皆非。
（D）8.若△ABC△DEF，且AB＝12，EF＝13， AC ＝5，則△DEF的周長為 何？(A)25 (B)27 (C)28 (D)30。 （C）9.下列敘述何者錯誤？ (A)兩個三角形中，若有兩角及一對應邊相等，則必全等 (B)兩個直角三角形的一邊與一銳角對應相等，則必全等 (C)兩個三角形中，若有兩邊及一對應角相等，則必全等 (D)等腰三角形中，必有兩角相等。 （C）10.史努比在美術課用一條線將一片後度相同，材料均勻的三角形紙板懸掛 在空中，他想要讓紙板和水平面平行，他應該將懸掛點放在三角形的哪 一部分呢？（A）三高的交點（B）三角平分線的交點（C）三中線的交 點（D）三邊的中垂線交點。
【溫故歷屆基測試題】 （D）1.若使用兩塊全等的三角形紙板可緊密拼出一個大三角形，則原來的小紙 板必須是何種圖形？ (Ａ)等腰三角形(Ｂ)鈍角三角形(Ｃ)銳角三角 形(Ｄ)直角三角形。【95.基測一】 （B）2.如圖，AB＝BC，BC＞AC，P、Q 兩點在AM上，其中AP＝ PQ ，且 Q 為△ABC 的重心。若兩直線 BP、BQ 與AC分別交於 S、R 兩點，則 下列關係何者正確？ (Ａ)AS＝SR (Ｂ)AR＝RC(Ｃ) QB ＝ QC (Ｄ) QR ＝2PS。【95.基測一】 （B）3.如圖(一)，AM為△ABC 的中線，∠C＞∠B。將 A 點摺向 M，使得 A、 M 兩點重疊，出現摺線DE，如圖(二)。若展開，如圖(三)所示，則對 於DE的敘述，下列哪一個選項是正確的？ (Ａ)DE平行 BC (Ｂ)DE 垂直AM(Ｃ)DE平分AB(Ｄ)DE平分 AC 。【95.基測二】 （B）4.如圖，AD是△ABC 的中線，H 點在AC上且BH⊥AC。若AB＝12，BC ＝10，AC＝14，連接DH，則DH＝？ (Ａ) 4 (Ｂ) 5 (Ｃ) 6 (Ｄ) 7。 【94.基測二】 （B）5.如圖，AQ 為∠BAC 的角平分線，P 在 AQ 上，且PB⊥AB、QC ⊥AC。 若PB＝3、 QC ＝9、AP＝5，則 PQ ＝？ (Ａ) 7 (Ｂ) 10 (Ｃ) 12 (Ｄ) 15。【94.基測一】 （A）6.如圖，四邊形 ABCD 中，∠B＝60°、∠DCB＝80°、∠D＝100°。若 P、Q 兩點分別為△ABC 及△ACD 的內心，則∠PAQ＝？ (Ａ) 60°(Ｂ) 70° (Ｃ) 80°(Ｄ) 90°。【94.基測一】 （B）7.如圖，△ABC 中，D 點在BC上，F 點在直線 AB 上，DF交AC於 E 點。 若∠B＝40°，∠C＝55°，∠DEC＝43°，則∠F＝？ (Ａ) 40°(Ｂ) 42°(Ｃ) 43°(Ｄ) 55°。【93.基測二】 （A）8.甲、乙、丙、丁四位同學分別想依下列的條件作出一個與△ABC 全等的 三角形，如圖所示。已知四人所用的條件如下： 甲：AB＝ 3 公分，AC＝1 公分，∠B＝30° 乙：AB＝ 3 公分，BC＝2 公分，∠B＝30°
(
)
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 20 3 2 , 20 1 1 2 400 40 1200 400 10 20 300 300 x r CA x x r x x r x A r + + = = + = − + = − = = − = = = L L L L L L L 設 得 代入 2 單位(
)
2 1 2 , 2, 2 2 2, =2, a= 2 2 2 2 r r r = = = = 已知 ∴ 等腰直角三角形之腰長 ∴ 丙：AB＝ 3 公分，AC＝1 公分，BC＝2 公分 丁：AB＝ 3 公分，BC＝2 公分，∠A＝90° 若發現其中一人作出的三角形沒有與如圖的△ABC 全等，則此人是 誰？ (Ａ)甲(Ｂ)乙(Ｃ)丙(Ｄ)丁。【93.基測一】 （C）9.如圖，△OAB 中，AOB＞90°，∠B＞∠A。若 M、H 在AB上，M 為AB的 中點，OH ⊥ AB，則下列哪一線段的長為 O 點與AB的距離？ (Ａ)OA(Ｂ)OM (Ｃ)OH(Ｄ)OB。【93.基測一】 （C）10.如圖，△ASH 為直角三角形，其中∠A＝90°，L 為SH的中垂線，交AH 於 R 點。若AS＝3，SH＝5，則RH ＝？ (Ａ) 1.5 (Ｂ) 2 (Ｃ) 8 25 (Ｄ) 2.5。【92.基測二】 【模擬學力基測試題】 （C）1.有一圓其圓心為 O，半徑長為 r，與直線 L 相切於 A 點，已知 L 線上有 另兩點 B、C，且 C 介於 A、B 之間，OB =20 3，BC =OC=20，請 問此圓的面積為何呢？（A）900（B）600（C）300（D）100（平 方單位） sol) （A）2.有一三角形 ABC 其邊長分別為 3、4、5，其外接圓與內切圓面積的比值 為何呢？（A）25 4 （B） 9 4（C） 4 9（D） 25 9 sol) 2 2 25 5 25 3+4-5 4 25 , = , 2 4 2 4 = = = = = 外 外接圓面積 內切圓面積 內 （B）3.若有一圓面積為 2 平方公分，假設其內接等腰直角三角形的面積為 a 平方公分，請問下列何者正確呢？（A） 0 （B）1a 1 （C）a 2 2 （D） a>3。 a 3 sol)(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 , 4 , 2 2 5 49 16 65 4 4 65 2 13 5 a b AD b BE a AD BE a b AB a b = + = = + = + = + = + = = + = =(
)
(
)
(
)
1 C, 40 , 180 40 70 , 2 1 , 2 , 1 2 40 70 110 AB A A B COAB OBA OAC OCA
BOC OAB OAC OBA OCA A OBA OBC
A B = = = = − = = + = + = + = + + + = + + = + = + = ∵ ∠ ∴∠ ∠ （C）4.在三角形 ABC 中，AB= AC，∠A =40，若 O 點在三角形內部，且∠ OBC=∠OCA，則∠BOC 的度數為何呢？（A）90（B）100（C）110 （D）120 。 sol) （D）5.右圖中，P點為正△ABC內部的一點，P點到△ABC三邊AB、BC、 AC 的 距離分別為PD、PE、PF且 AH為正△ABC的高，則其四者的關係為 下列何者呢？（A）PD－PE－PF ＝ AH （B）PD＋PE－PF ＝ AH （C）PD－PE＋PF ＝ AH （D）PD＋PE＋PF ＝ AH 。 Sol) 作PA、PB、PC，設AB＝BC＝AC＝a，∵△ABP的面積＋△BCP的面 積＋△ACP的面積＝ △ABC的面積，1 2× a×PD＋ 1 2× a×PE＋ 1 2× a×PF＝ 1 2× a× AH ，1 2× a×(PD＋PE＋PF)＝ 1 2× a× AH ，PD＋PE＋PF＝ AH 。 【進階練習題】 （C）1.如右圖，直角⊿ABC，∠C 為直角，中線AD =7，中線BE =4，請問AB=？ （A） 3 5 （B） 5 3 （C） 2 13 （D）13 2。 sol) （B）2.一個正△ABC 的邊長是 10，Q 點為其內心，由 Q 點向正△的三邊作垂 直線，若三條垂直線長的和事 a 公分，請問的範圍何呢？（A）0 （B）a 5 5 a 10（C）10 a 15（D）15 a 20。 sol) ∵Q 為三角形的內心，故 Q 點亦為三角形之重心。
（A）3.若△ABC 的面積為 15 平方公分，其內切圓之半徑為 2 公分，且AB =6公 分，BC =5公分，則AC =？（A）4（B）5（C）6（D）7（公分） sol) , 1
