國立台灣師範大學
附 屬 高 級 中 學
九十七學年度 第 二 學 期高三第一次期中考
數理班數學科試題卷
2009/3/16 P1 範圍：選修Ⅱ § 1-1～§2-2 班級 座號 姓名 壹、 多選題：（每題 5 分共 25 分）（註：每答對一個選項得一分，答錯一個選項倒扣一分直到該題 0 分為止） 1.下列何者的極限值為『2』? 2 2 2 2 2 2 4(1) lim (2) lim (3) lim[[ ]] (4) lim (5) lim sin 2 6 8 x x x x x x x x x x 2 x x x x → → → → →∞ − − − + − 十 十 十 2.考慮多項式函數 5 4 3 2 試問以下哪些選項是正確的? ( ) 2 5 3 f x =x + x − −x x + 1 ( ) ( ) (1) 1 (1) lim 0 ( ) (2) lim 0 (3) [ ,1] ( 100) 1 2 (4) 0, ( ) 0 (5) ( ) 3 k x f k f x f k f f k x x f x y f x y →∞ → − = = + − ≥ ≥ = = 為正整數 函數 在區間 為遞增 若 則 在坐標平面上 的圖形與直線 恰有兩個交點。 3. y= f x( )和y=g x( )的圖形如右: ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ( )) ( ) f x P x f x g x Q x C x f g x g x = = = 設 . 則 (1)P′(2)= −2, (2) (2) 3 8 Q′ = − (3)C (2)=6 (4) (3) 3 8 Q ′ ′ =− (5)C′(3)=6
f
4.試問以下哪些選項是恆真? / 0 / / / / / (1 5 ) (1 3 ) (1) (1) 4, lim 2 (2) 4 (3) ( , ( )) ( ) 0 (4) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 , ( , ( )) h f h f h f h a f a f a f a f a f a a f a → + − + = = = = = 若 則 連續函數f在區間[a,b]不論可微或不可微分,一定有最大值與最小值。 若點 為反曲點，則 若 則 極大或極小值。 (5)若 則點 為反曲點。 n h g f G d c b a N M H F E O D C B A X Y 5.根據右圖為函數圖形y= f x( ) ,x∈[ , ]a n , 則下列各敘述何者恆真？ (1) f 的極值會發生於臨界值點、不可微分點或端點。 (2) f 的反曲點有五個點 (3) f 的 極大值的點有四個點 (4) f 的最小值為 f h( ) (5)G、H 兩點為不可微分點 貳、 填充題 （每格 5 分，共 50 分） 1. 試求函數 ( ) 1 2 x f x x + = 的值域 − 。 2. 已知 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) lim 1 , lim 5 , ( ) 3 2 3 2 x x f x f x f x f x x x x → − + = → − + = x 為三次式且 則 = 。 3. 設 / ( 3) f − = ( 1)( 2)( 3) ( ) , (1 )(2 )(3 ) x x x x f x x x x + + + = − − − 試求 。 4. 1 1 , 0 ( ) '(0) ( , ) , 0 x x f x x f ax b x ⎧ − − < ⎪ =⎨ = ⎪ + ≥ ⎩ 設 若 存在，試求實數對 a b 。 5. 直線 3 3 2 5 3 y 2 x k y x x = − 與曲線 = + − + 有三個相異交點，則實數x k的範圍 。 6. 已知一函數 / 2 ( ) 2 (2) ( ) (2) (2) 4 , lim 2 x xf x f f x f f x → − = = = − 滿足 請計算 。 7. 求過曲線 4 3 上一點 作曲線的切線，其切線斜率分別為 2 y=x − −x x2 (2, 0) P 。 8. 多項式 3 20 2 ( ) ( 1) 1) f x = x + −x 除以 (x− 的餘式為 。 ( ) 5 '( ) (1) (2) (3) '(2) '(3) 0, '(1) 1 f x f x f f f f f f 9. 設 為一 次多項式， 為其導函數。若 = = = = = 且 = 則 f '(0)= 。 f 10.若函數 3 2( )x =sin x−cos x+cos 2 ,x（ 為任意實數）的最大值為 最小值為 則數對x a, b, ( , )a b = 。
P2 參、 證明、計算、作圖題 （共 25 分） 1.函數 f x( )在 x=a處可微分，則 f x( )在 x=a處為連續，試證之。(5分) 請舉例說明其逆敘述不成立。 (2分) 2.求函數 2 2 5 8 ( ) 1 x x f x x + + = + 5 的極大值，極小值，反曲點及凹向區間。（10 分） 1 0 (1 ) 1 1 (2) (1) , 0 , 1 , , 0 t t r s p q t r s tr t s a b a b p q ab p q p q − ≥ + − ≥ ≥ + = > ⇒ + ≥ 3.設 0< <1 , 、 求證： (1) （5分） 利用 證明：對於 （3分）
