103 學年度指定科目考試數學甲非選擇題參考答案
數學甲的題型有選擇、選填與非選擇題。非選擇題主要評量考生是否能夠清 楚表達推理過程,答題時應將推理或解題過程說明清楚,且得到正確答案,方可 得到滿分。如果計算錯誤,則酌給部分分數。如果只有答案對,但觀念錯誤,或 過程不合理,則無法得到分數。 數學科試題的解法通常不只一種,在此提供多數考生可能採用的解法以供各 界參考。關於較詳細的考生解題錯誤概念或解法,請詳見本中心將於 8 月 15 日 出刊的《選才電子報》。 103 學年度指定科目考試數學甲非選擇題各大題的參考答案說明如下: 第一題 第(1)題 2 y x x 的圖形交直線y0的x坐標為x0,1;故之面積為 2 1 0( )
x x dx 2 3 1 0 2 3 x x 1 1 2 3 1 6 第(2)題 直線ycx 交y x x 的圖形的2 x坐標為x0,1c 以下提供三個解法列出區域的面積 【解法一】利用區域 I 之面積 直線ycx 與y x x 所圍面積為2 1 2 0 1 ( ) 12
c x x cx dx 3 2 1 0 1 (1 ) 3 2 12 c x x c 3 3 (1 ) (1 ) 1 3 2 12 c c 化簡得 3 (1 ) 1 6 12 c ,故 3 1 1 2 c II I y=cx【解法二】利用區域 II 之面積 2 1 1 0 1 1 ( ) 12
ccxdx
c x x dx 2 3 2 1 1 1 1 (1 ) 2 2 3 12 c x x c c 3 2 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 3 2 3 c c c c 1 12 化簡得 3 (1 ) 6 c 1 12 ,故 3 1 1 2 c 【解法三】利用區域 I 之面積=區域 II 之面積 2 1 0 ( )
c x x cx dx= 2 1 2 1 1 (1 ) ( ) 2c c
c xx dx 3 2 2 3 2 1 1 1 0 1 (1 ) (1 ) 3 2 2 2 3 c c x x x x c c c 2 3 2 3 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 6 2 6 2 3 c c c c c 化簡得 3 (1 ) 6 c 1 12 ,故 3 1 1 2 c 第二題 第(1)題 16 2 1 ) 1 ( 4 2 8 8 2 4 2 4 b i i a 。 第(2)題 【解法一】 由 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) ( )(1 ) n n n n n n a ib i i i a ib i (anbn)i a( nbn) 即 1 1 n n n n n n a a b b a b ,推得 1 1 1 1 T【解法二】 由題意可推得a1 ib1 1i,a2 ib2 (1i)2 2i 設 a b T c d ,則 1 0 1 2 a b c d , 0 2 2 2 a b c d 可列出方程組 0 2 2 2 2 2 a b c d b d ,解得 1 1 1 1 T 【解法三】 根據題意可推得1 i 2(cos 45 isin 45 ) 推得 1 1 cos 45 sin 45 2 2 2 2 sin 45 cos 45 1 1 2 2 T 1 1 1 1 第(3)題 【解法一】 設 P 、 Q 之坐標(以行向量表示)分別為 ( , )a b 、 ( , )c d 則 'P 、Q 之坐標分別為 (' a b a b 、 ( , ) c d c d , ) 得 ' ( ) ( ) 2( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a b a b a OP OP 同理 2 2 2 2 2( ) ' 2 ( ) c d OQ OQ c d 故OP' 2 OP ' OQ OQ 以下提供三個方法證明POQ P OQ 【解法 A】 ( )( ) ( )( ) 2( ) 2 OP OQ a b c d a b c d ac bd OP OQ 故 2 2 2 OP OQ OP OQ OP OQ OP OQ OP OQ OP OQ
【解法 B】 cos OP OQ P OQ OP OQ 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 a b c d a b c d a b c d 2 2 2 2 2( ) 2 2 ac bd a b c d 2 2 2 2 cos OP OQ ac bd POQ a b c d OP OQ
因此得證 cosPOQcosP OQ
【解法 C】
2
2
2
2 2 a b c d a b c d a c b d 推得 P Q' '22PQ2 2 2 2 cos 2 POQ OP OQ PQ OP OQ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 4 OP OQ P Q OP OQ PQ P OQ OP OQ OP OQ故cosPOQcosP OQ ,而餘弦函數在0與180之間為一對一, 所以 cosPOQcosP OQ
【解法二】利用線性變換 正確由 1 1 1 1 T 看出 1 1 cos 45 sin 45 2 2 2 2 1 1 sin 45 cos 45 2 2 T 所以,T 的作用是將向量旋轉45並放大 2倍