95指考數學甲

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九十五學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，

請勿在答案卡上使用修正液。第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請在規定

之欄位以較粗的黑色或藍色原子筆、鋼珠筆或中性筆作答，並標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）選擇題：只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到，以及 6，7，8，9，0

等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 ( 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔 7 7 分 )

一 、 單 選 題 （

1 8 % ）

說明：第

1 至 3 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答欄」。每題

答對得

6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題之實得分數為零為

止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。

1.

試 問 方 程 式_(x2_{ x 1)}3_{  有幾個相異實數解？1 0}

(1)

0 個

(2)

1 個

(3)

2 個

(4)

3 個

(5)

6 個

2.

在 坐 標 平 面 上 ， 設P 為 2 2 y  x x 圖 形 上 的 一 點。若P 的 x 坐標 為log 10 ， 則 P 點的3 位 置 在

(1)

第 一 象 限

(2)

第 二 象 限

(3)

第 三 象 限

(4)

第 四 象 限

(5)

坐 標 軸 上

3.

在 坐 標 平 面 上 給 定 兩 點A ( 1, 3 ) 與 B( 5, 6) 。考 慮坐 標平 面上 的點 集合 S{ P PAB 10 15 }之面積 為且 周 長為 ， 則

(1)

S 為空 集合

(2)

S 恰含 2個 點

(3)

S 恰含 4個 點

二 、 多 選 題 （

2 4 % ）

說明：第

4 至 6 題，每題各有5個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，劃記在

答案卡之「解答欄」。每題

8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得1.6分，每答

錯一個選項，倒扣

1.6分，完全答對得8分；整題未作答者，不給分亦不倒扣分數。在

備答選項以外之區域劃記，一律倒扣

1.6分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4.

擲 一 枚 均 勻 硬 幣4 次 ， 恰 好 出 現n次 正 面 的 機 率 記 為an； 擲 一 枚 均 勻 硬 幣 8 次 ， 恰 好 出 現n次 正 面 的 機 率 記 為bn。 試 問 以 下 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？

(1)

2 1 2 a 

(2)

a b2= 4

(3)

b b2= 6

(4)

a3 b3

(5)

b , b , b ,0 1 2



, b8中 的 最 大 值 是b4

5.

在 坐 標 平 面 上 以 表示拋物線 y＝_{x 的 圖形。試 問以 下哪 些方 程式 的圖 形可 以由  經}2 適 當 的 平 移 或 旋 轉 得 到 ？

(1)

_y2x2

(2)

_{y x}2

(3)

_xy2

(4)

_{y x} 2_4x3

(5)

_{(x y ) ( x y )}2

6.

考 慮 多 項 式 函 數 _{f x( )x}5_2x4_x3_5x2_{ ，試問以下哪些選項是正確的？3}

(1)

lim ( ) 0 ( 100) k f k f k    ( k 為 正整 數) ；

(2)

1 ( ) (1) lim 0 1 x f x f x   _  ；

(3)

函 數f 在 區間 [1 2, 1] 遞 增；

(4)

若x ，則f(x) 00  ；

(5)

在 坐 標 平 面 上y ＝f ( x ) 的圖 形與 直線 y ＝ 3 恰 有兩 個交 點。

三 、 選 填 題

( 3 5 % )

說明：A至E各題為選填題，劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（7-24）內。每一題完全

答對得7分，答錯不倒扣；未完全答對不給分。

A. 設 u , v 為兩非零向量。以 u 表 u 之長度，若 2 2 3 u  v  u  v ， 且 表 u 與 v 之 夾 角 ， 則 cos ＝ 。 _{7 8}

(化成最簡分數)

B. 在 坐標 空間 中， 球面 S 交 xy 平 面於 一半 徑為 13 、圓心為(2, 3, 0) 的圓，且 S 通過點 ( 6, 6, 6 ) ， 則 S 的半 徑為

。

C . 設 實係 數二 階方 陣 A 滿足 7 2 , 9 1 3 1 4 5 A   _{   } A   _{   }        。 若 2 1 1 5 a c A b d          ， 則a＝ , b＝ , c＝ , d ＝ 。_{13 14} 12 15 16 17 10 11

D. 不 透明 箱內 有編 號分 別為 1 至 9 的 九個 球， 每次 隨機 取出 一個 ，記 錄其 編號 後放 回 箱 內 ； 以P ( n) 表 示前 n 次 取球 的編 號之 總和 為偶 數的 機率 。 已 知存 在 常 數r , s 使 得 (P n  1) r sP n( )對 任 意 正 整 數 n 都成 立， 則 r ＝ ， s ＝ 。

(化成最簡分數)

E. 以 O 表坐 標平 面的 原點 。給 定一 點 A (4,3 ) ， 而點 B(x ,0)在 正 x 軸上 變動 。若l(x)表 AB 長 ，則



O A B 中兩 邊長 比值 _{l x( )}x 的 最 大 值 為 。 ( 化成 最簡 分數 ) 24 23 19 18 20 21 22

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔 2 3 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、

二）與子題號（

(1)、(2)、(3)），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題

配分標於題前。

一. ( 1 ) ( 3 分) 將 48 51 0 分 解成 質因 數的 乘積 。 ( 2 ) ( 7 分) 寫 出在 1 和 25 0 之 間且 與 4 85 10 互質 的所 有合 數( 合數 就是 比 1 大而 不是 質 數 的 整 數)。 二. 傳 說中 孫悟 空 的「如 意 金 箍棒 」是 由「 定 海 神針 」變 形得 來的。這 定海 神針 在變 形時 永 遠 保 持 為 圓 柱 體 ， 其 底 圓 半 徑 原 為1 2 公 分 且 以 每 秒 1 公 分 的 等 速 率 縮 短 ， 而 長 度 以 每 秒2 0 公 分的 等 速 率增 長。已 知神 針之 底圓 半徑 只能 從 1 2 公 分縮 到 4 公分 為止 ，且 知 在 這 段 變 形 過 程 中 ， 當 底 圓 半 徑 為1 0 公 分時 其 體 積最 大。 ( 1 ) ( 2 分) 試 問神 針在 變形 開始 幾秒 時其 體積 最大 ？ ( 2 ) ( 6 分) 試 求定 海神 針 原 來的 長度 。 ( 3 ) ( 5 分) 假 設孫 悟空 將神 針體 積 最 小時 定形 成 金 箍棒 ，試 求金 箍棒 的長 度。 ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─

常 用 數 值