微分幾何
(
二
)
課程學習單
活動
3
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1
單元介紹與學習目標
認識曲面的第二基本式 (second fundamental form)。2
預備知識
(
第
217– 219
頁
)
討論 1. 以下將複習線性代數的相關知識。 給定內積空間 (Vn,h·, ·i) 及其線性映射 A: Vn → Vn,
(A) 若線性映射 A 滿足什麼條件時, 稱它為 自伴隨映射 (self-adjoint map)?
(B) 若在內積空間中選取一組有序單位正交基底 (ordered orthonormal basis) β = {ei}ni=1, 而將
自伴隨映射用矩陣 [A]β 表示時, 這個矩陣有什麼性質?
(C) 定義 B : V × V → R, B(u, v) = hAu, vi, 驗證映射 B 是雙線性 (bilinear) 的對稱式
(D) 定義 二次式 (quadratic form) Q(v) = B(v, v), 試將 B(u, v) 用Q 表達。
(E) 什麼時候一個矩陣可以 正交對角化 (orthogonal diagonalization)? 它與上述討論之間的關係
為何? 解: 給定矩陣 A, 若在存可逆且對稱的矩陣 P 以及對角矩陣 D 使得 D= P−1AP P PT = PTP = Id, 則稱 矩陣A 是可以正交對角化的。 由 PTP = v1 v2 v3 v 1 v2 v3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 這件事表明正交對角化的取名之由來。 例: 觀察線性變換 A,以 {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} 表達時。 A= 2 −1 −1 2 = cosπ 4 − sin π 4 sinπ 4 cos π 4 1 0 0 3 cos π 4 sin π 4 − sinπ 4 cos π 4 而 v = v1e1+ v2e2, Q(v, v) =h v1 v2 i 2 −1 −1 2 v1 v2 =h v1 v2 i cos π 4 − sin π 4 sin π 4 cos π 4 1 0 0 3 cosπ 4 sin π 4 − sinπ 4 cos π 4 v1 v2 =h v˜1 v˜2 i 1 0 0 3 ˜ v1 ˜ v2 = (˜v1) 2 + 3(˜v2) 2
其中上述的關係是重選有序基底˜e1 = cosπ4e1+ sinπ4e2 以及 ˜e2 = − sinπ4e1+ cosπ4e2 之下,
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曲面的第二基本式
在活動 2 中介紹了高斯映射及其微分映射之幾何意義, 現在要繼續對此概念探討其性質。 定理 2 (第 142 頁). 高斯映射 N : S → S2 在一點 p∈ S 的微分映射 dNp : TpS→ TpS 是一個自 伴隨 (self-adjoint)的線性映射。 證明: 對於TpS 的一組基底 {w1,w2}, 需驗證: hdNp(w1), w2i = hw1,dNp(w2)i。 記x(u, v)為S在p附近的一個參數式,而{xu,xv}為Tp(S)的一組基底。 若α(t) = x(u(t), v(t)) 是在 S 上的一條參數曲線,並且 α(0) = p, 則 dNp(α′(0)) = dNp(xuu′(0) + xvv′(0)) = d dtN(u(t), v(t)) t=0 = Nuu′(0) + Nvv′(0)。 特別地, 我們有 dNp(xu) = Nu 與 dNp(xv) = Nv。 由此, 若要證 dNp 自伴隨, 只要再證明 hNu,xvi = hxu,Nvi即可。 因為 hN, xui = 0 與 hN, xvi = 0, 將這兩式分別對 v 與 u 求導, 則有 hNv,xui + hN, xuvi = 0 hNu,xvi + hN, xvui = 0 ⇒ hNu,xvi = −hN, xuvi = hNv,xui。定義 3 (第143 頁). 正則曲面 S 在p 點的 第二基本式 (second fundamental form)定義為
IIp(v) = −hdNp(v), vi。
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用曲線理解曲面的第二基本式
定義 4 (第 143 頁). 考慮在正則曲面 S 上的一條正則曲線 C, 而 p ∈ C ⊂ S, 記 κ 是曲線在 p 點
的曲率, 而 cos θ = hn, Ni, 其中 n 為曲線 C 的單位法向量; 而 N 是曲面 S 的單位法向量。 定義
κn= κ cos θ 為曲線 C 對於S 在 p的 法曲率 (normal curvature)。
S C p θ N n κn κn 圖 1: 曲線C 對於 S 在 p的法曲率。
幾何意義: 法曲率 是 。第二基本式的另一種解讀
考慮 p∈ C ⊂ S, 其中 C : I → α(s), α(0) = p, s 為弧長參數, 而 N(s) 是曲面上的單位法向量限 制在曲線 C 的映射, 因為 hN(s), α′(s)i ≡ 0, 所以
d
dshN(s), α
′(s)i = hN′(s), α′(s)i + hN(s), α′′(s)i ≡ 0 ⇒ hN′(s), α′(s)i = −hN(s), α′′(s)i
於是
IIp(α′(0)) = −hdNp(α′(0)), α′(0)i = −hN′(0), α′(0)i = hN(0), α′′(0)i = hN, κni(0) = κn(p)。
討論 5. 將上面的式子進行幾何的解釋。 定理 6 (Meusnier, 第 144 頁). 在 S 上通過 p∈ S 的兩條曲線, 若它們在 p 點有著相同的切線, 則 它們的法曲率也相同。 C Cn p v N 圖2: 曲線 C 與 Cn 在p 點沿著 v方向具有相同的法曲率。
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主曲率與主方向
現在重回線性映射dNp。由線性代數理論知道,給定p∈ S,在TpS 上存在單位正交基底{e1,e2}使
得 dNp(e1) = −κ1e1,dNp(e2) = −κ2e2, 此外, κ1 與 κ2 分別是第二基本式限制於Tp(S)上的單位
球之最大值與最小值。
定義7 (第146頁). κ1 與κ2稱為 主曲率(principle curvature);其固有向量稱為 主方向(principle
direction)。
若 v ∈ TpS,kvk = 1, 將 v 對於單正交基底 {e1,e2} 表示, 則 v = cos θe1+ sin θe2, 計算對於
向量 v的法曲率:
κn= IIp(v) = −hdNp(v), vi = −hdNp(cos θe1+ sin θe2), cos θe1+ sin θe2i
這個公式稱為 歐拉公式 (Euler formula)。
定義 8 (第 148 頁). 令 p ∈ S 與 dNp : TpS → TpS, 定義 dNp 的行列式為 高斯曲率 (Gauss
curvature), 記成 K; 定義 dNp 的跡之一半的負號為 均曲率 (mean curvature), 記成 H。
註. dNp 的行列式為(−κ1)(−κ2) = κ1κ2;而dNp 的跡之一半的負號為− 1 2(tr(dNp)) = − 1 2(−κ1− κ2) = 1 2(κ1+ κ2)。 定義 9 (第148 頁). 正則曲面 S 上一點,根據高斯曲率的符號有不同的名稱: (1) 若 det(dNp) > 0, 稱為 橢圓點(elliptic)。 (2) 若 det(dNp) < 0, 稱為 雙曲點(hyperbolic)。 (3) 若 det(dNp) = 0 且dNp 6= 0, 稱為 拋物點 (parabolic)。 (4) 若 dNp = 0, 稱為 平面點(planar)。
