流體力學講義

(1)

Ch11 流體的性質

§11-1 靜止流體內的壓力 §11-2 大氣壓力 §11-3 帕斯卡原理 §11-4 阿基米得原理 §11-5 液體的界面現象 §11-6 白努利方程式

(2)

§11-1 靜止流體內的壓力

1. 壓力：

單位面積上所受到正向力的大小。 • 平均壓力：作用在物體表面上的正向力為 F_⊥ ，受力面積為 A ，則該面積所受的平均壓力

F

P

A



⊥ • _{某一點的壓力：}_{極小面積的平均壓力} A 0

F

P lim

A





⊥ 靜止流體與物體接觸時，流體與物體在接觸面上的作用力必定垂直於接觸面。流體在接觸面上如受到平行於接觸面的作用力，則流體將產生流動。

(3)

• 壓力的單位： ① 帕（ Pa ） = 牛頓∕公尺 2 ；達因∕公分 2 ② 巴（ bar ） = 105 帕 = 105 牛頓∕公尺 2 ③ 公分水銀柱高（ cm-Hg ） = 1332.8 帕。

2. _{靜止流體內壓力的性質：}

(1). _{任何一點受到各方向的壓力都相同} (2). _{同一流體中，相同深度的各點壓力均相等} (3). _{在 h 深度，由密度為 ρ 的流體重量所產生的壓力}





P

gh

( ) W Ah g P gh A A  _    證明： A W h

(4)

3. 加速座標系中，距液面 h 深處液體的壓力：

θ _a h 2 2 (1). ( ) (2). ( ) (3). ( ) tan a P g a h a P g a h a P g a h a g                   加速度：加速度：加速度或：此時液面與水平面的夾角說明：在一向右以 a 加速運動的座標系 中，一質量為 m 的物體額外受到一向 左的假想力 mg 。因此相當於重力加速 度由 g 變為 g' ，如右圖。 g a g' θ θ

(5)

例題：不計大氣壓力，水的密度為 ρ 。一水壩 高 h ，寬 w ，和水的接觸面與水平面夾 60o 角，如右圖所示，在滿水位時水壩所受到水的總作用力大小為若干？ 60o h 2 3 3



答案： gwh

(6)

例題：如圖所示為高 h 、底面半徑 r 、 內裝滿密度  液体的圓錐形容器，求器壁側面所受到液体的總力。又如將此容器倒置，則答案為何？

2

3 

：

答案

hAg

1

3 

hAg

(7)

例題： U 形管中裝有水銀（水銀密度為 13.6g∕cm3 ），在其右臂注入 13.6 公分高的水時，左臂的水銀面從原來液面上升多少？答案： 0.5 公分 1cm 13.6cm

(8)

例題：如右圖，若盛有密度 ρ 之液體的容器受力作用而有水平向右加速度 a 時，此

時距液面正下方 h 處，水壓為 _______ 。 _{h d}θ a



(9)

例題：右圖是內半徑 r 、水平管長 為 ℓ＋ 4r 的Ｕ形管，此管以等加速 度 a 向右直進時，左右兩管內液面 的最大高度差為何？但重力加速度為 g 。 h₁ h₂ ℓ+4r F2 F₁

(

_



4 )

答答答

r a

g

(10)

例題：右圖是內半徑 r 、水平管長 為 ℓ＋ 4r 的Ｕ形管，若此管以右管 右緣為轉軸作角速度 ω 的旋轉，則左右兩管內液面的最大高度差為何？ h₁ h₂ ℓ+4r F2 F₁ 2 2

(

4 )

2 





答答答

r

g

(11)

§11-2 大氣壓力

1. 大氣壓力的成因與性質：

• 如右圖所示，地球表面任一點 A 的大氣壓力值，等於在 A 點的單位面積所承受該點向上延伸的空氣柱重量。 • _{氣體和液體兩者主要的差異在於液體很難壓縮，因此當} 溫度不變時，其密度為定值；氣體容易被壓縮，也容易膨脹，即使在定溫時，其密度並非定值，隨所受的壓力而改變。 • 空氣的密度隨離地的高度而改變，大氣壓力和海拔高度之間不是線性的關係。實驗顯示大氣壓力隨高度成指數函數遞減 A

(12)

ah o

P P e



 P₀ 為海平面處的大氣壓力 a 為常數其值約為 1.25 x 10 -4_(1/m) h _{為所在處的高度。}

(13)

2. 托里切利實驗：

托里切利公元 1643 年托里切利，利用一倒滿水銀的長玻璃管，使其開端沒入水銀池中（如圖），首先測出地球表面的大氣壓力，約相當於 76 公分高的水銀柱所產生的壓力。

3. 標準大氣壓力（ atm ）

一標準大氣壓力定義為：在緯度 45 度的海平面處，溫度為 0℃ 時， 76 公分高的水銀柱所產生的壓力。因此 3 2 6 2 5 2 5 1 76 13.6 / 980 / 76 1.013 10 / 1.013 10 / 1.013 10 1.013 atm cm Hg g cm cm s dyne cm N m            _帕巴 76cm

(14)

例題：大氣壓力壓在一平方公尺的水平桌面上約略相當於多大的重量壓在此桌面上？ (A)1 公斤 (B)10 公斤 (C)100 公斤 (D)1000 公斤 (E)10000 公斤 [68. 日大 ]

(15)

例題：設有一半徑為 10 公分的球，將之切成兩半球，緊密相對扣合，內部抽成真空，則要多大數量級之力﹙以牛頓為單位﹚才能將其拉開？ (A)100 (B)103 (C)106 (D)109 。 [71. _{日大 ]} 解：所需拉力為每一半球所受到大氣壓力產生的總力。將右半球表面細分成許多小塊，每一小塊受到大氣壓力的鉛直分力互相抵消，因此只需對水平分力作加總，設大氣壓力為 P₀ ，則 0 0 2 0 cos cos i i i i F P A P A P R        



cos _i A   i 0 P A i  A 

(16)

§11-3 帕斯卡原理

1. 內容：

對一封閉的液體所施的壓力必均勻且大小不變的傳遞到液體中的任一點。說明：靜止流體內任何兩處的壓力（如右圖）必須滿足 h_a _h_b P_a _P b

(

)

b a b a

P



P





g h



h

如兩處壓力增加量不相等，則此關係將無法滿足。因此帕斯卡原理為此關係必須成立的必然結果。

(17)

2. _應用：

液壓機液壓起重機的構造如右圖所示， 在右管（截面積為 A₁ ）的活塞 上施一推力 F₁ ，則在活塞下方對液體所施加的壓力為 1 1 1

F

P

A



根據帕斯卡原理，此壓力將大小不變的傳遞至左管（截面積為 A₂ ）的活塞下方，對活塞產生的推力 2 2 1 2 1 1

A

F

P A

F

A



即在小活塞上施一較小的力，在大活塞上產生一較大的推力，施力與產生的推力與兩邊截面積成正比。 F₁ F₂ A₁ A₂

(18)

例題：一水壓機，大小活塞面積各為 9cm2 、 3cm2 且重量不計，兩活塞原在同一水平高度上，今在大活塞上放重量為 100gw 的物體，則達平衡時，小活塞將上升幾公分？ h 答案： 25cm

(19)

例題：一油壓機內裝密度為 ρ ，兩活賽截面 積各為 A₁ 及 A₂ ，當在 A₁ 置重量 W₁ ， 在 A₂ 上置重量 W₂ 時，兩活賽能保持在等 高的平衡狀態，如圖所示。若要使 W₁ 的平 衡位置上升 h ，則需在 A₂ 上增加的重量為 ________ 。 [86. 日大 ] 1 2

(

)





答案：

gh A

A

(20)

§11-4 阿基米得原理

h₁ h₂ P₁ P₂ h

1. 浮力的來源：

考慮在流體內一直立的圓柱體的受力情形。設圓柱體的 截面積為 A ，高度為 h 。流體的密度為 ρ 。圓柱體側面 受到的壓力，由於對稱的關係，互相抵消。頂面受到一鉛直向下的力 1 1 1

F



P A





gh A

底面受到一鉛直像上的力 2 2 2

F



P A





gh A

因此流體作用在圓柱體的合力 2 1

F



F



F





gAh

 圓柱體所排開的流體重量

(21)

說明：物體在流體中所受到的浮力，來自物體表面受到流體壓力所產生的總作用力。因此在流體中具有同樣大小與形狀的物體受到的浮力相等。如右圖，考慮沉在流體中的一物體所受 到的浮力 B 。首先在流體中想像一塊與物體 同樣形狀及大小的體積（如右圖），此塊流體 受到的浮力 B' 與物體所受到的浮力大小相等 ，但因此部份的流體處於靜止狀態，因此受到 的浮力等於其受到的重力 W 。

2. _{阿基米得原理：}

物體在流體中所受的浮力等於其所排開的流體重量 B B' W

B B

B W

B

W







 

  



(22)

例題：一空心球其內徑為 A ，外徑為 B ，放入水中時，此 球恰有一半浮出水面。設此球由密度均勻的材料製成，則此材料之比重為 ________ 。 [84. 日大 ]₃ 3 3 2(  ) 答案： B B A

(23)

例題：一容器內盛有水，水面上有一層密度末知的油。今將一邊長為 0.1 公尺，質量為 0.76 公斤的正立方體放入容器內，發現正立方體有 0.06 公尺高沒於油中， 0.04 公尺高沒於水中（如圖），則油的密度是 _____ _____ 公斤∕公尺 3 。 [90. 日大 ] 答案： 600kg∕m3

(24)

例題：一比重為 x （ x < 1 ）的物體，在水面上方 h 高度 處，由靜止掉下，忽略所有阻力，則物體在水中所能到達的最大深度為何？ 1 答案： x h x

(25)

S₁ S₂ 例題：一彈簧秤 S₁ 吊一鐵塊，鐵塊重 x 公斤 ，體積 103 立方厘米，另有一水盆連水其重量 為 y 公斤，水盆置於另一彈簧秤 S₂ 上。今將鐵塊浸入水盆（如右圖），則下列不等式何項正確？ (A) S₁ 之讀數 < x 公斤 [68. 日 大 ] (B) S₁ 之讀數 > ( x -2 ) 公斤 (C) S₂ 之讀數 < ( x + y ) 公斤 (D) S₂ 之讀數 > ( x + y + 1 ) 公斤 (E) S₁ 及 S₂ 讀數之和 > ( x + y + 1 ) 公斤。 答案： ABC

(26)

例題：如右圖，一均勻木棒，一端以細繩懸掛，下端浸於水中，平衡時浸在水中的長度恰為棒長的一半，則此棒的比重為何？ θ 答案： 0.75

(27)

例題：容器內盛液體（密度為 d ）共重 W₀ ，置於一磅秤 上，今有一重 W ，密度為 D （ D > d ）之物體，自液面下 釋放，則物體在下沉的過程磅秤讀數為何？ 0 浮力  0  答案：W W d W D

(28)

例題：一立方體木塊，邊長為 ℓ，比重為 d ，今將其全部 沒入水中，然後釋放之，使其在水面上作簡諧運動，則其週期為何？ Δy 2  答答答 d g

(29)

§11-5 液體的界面現

象

1. 表面張力：

(1) 表面張力的現象： • 自來水管口滴下的水滴成球形 • 昆蟲能在水面上行走 • 杯內水滿可不外溢 • 水銀、露珠皆成球形。 (2) 表面張力的成因：如右圖所示，在液體與氣體接觸的液面上，分子間存在互相吸引的力量，欲將彼此拉近，使得液面像一張彈性膜，此為表面張力的來源。氣態液態

(30)

(3) _{表面張力的特性：} • 表面張力只出現於液體的界面上，內部並不存在。 • _{表面張力其作用方向}_{垂直於邊界}_且_{沿著液面的切線方向}_。 • _{表面張力的大小與液體的種類及溫度有關，一般掺了雜質} 或溫度升高後表面張力變小。 (4) _{表面張力的定義：} 為了定義表面張力，考慮液面上一條長度為 ℓ 的邊界線，如右圖所示。表面張力定義成沿此邊界線上，單位長度的拉力，以符號 T 表示

F

T





ℓ F=ℓT

(31)

(32)

ℓ T T W 例題：如右圖，一鉛直豎立的細鐵框，在鐵框內形成一肥皂膜。鐵框下方為一 可自由上下滑動的細鐵桿，長度為 20c m 。當鐵桿質量為 10g 時，恰可成平 衡，則肥皂膜之表面張力為何？答案： 0.25 gw∕cm

(33)

例題：一長度為 ℓ，重量為 W₁ 之細鐵桿 ，受皂膜之表面張力以 a 之加速度向上運 動（如圖所示）。今在細鐵桿上掛一重量 為 W₂ 之小物體後，細鐵桿變以之加速度 a 向下運動，則皂膜的表面張力為 ______ __ 。（以 W₁ ， W₂ 及 ℓ 表示）。 [89. 日大 ] ℓ a a W₁ 1 1 2 1 2

(

)

(2

)





答答答

W W W

W W

(34)

120o 針水例題：一水面恰可支撐質量 0.72 克、長 5 公分的縫衣針，如右圖，試求水的表面張力。（不計浮力） T 30o ₃₀o T W 2

8.3 10 ( / )





答

案：

約為

N m

(35)

例題：試求要將一質量可忽略，半徑為 10 公分的圓環，由 20 ℃ 的水面上拉出，如右圖所示，所需要的力量大小為何？ 2 9.15 10  答案：牛頓

(36)

例題：如右圖所示，表面張力為 T _{的肥皂膜，將中間的細線拉成} 半徑為 R 的圓形，試求此圓形細線之張力。 2 2 sin 2 sin 2 (2 ) 2 i i i i i i F F T T T R F TR   答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答答        







 F F T sin i i    i   i  i 

(37)

例題：有一個半圓形的薄板平放在水面上，其直徑邊上抹有 一層牙膏。已知水與薄板間的表面張力為 T₁ ，抹了牙膏處 的表面張力為 T₂ (T₁ ＞ T₂) ，則該薄板所受的總力為何？答案： _{L （ T}₁_-T 2 ） L

(38)

例題：一滴管管口內半徑為 r ，若水的密度為 ρ ，表面張 力為 T ，重力加速度為 g ，則當水滴緩慢自管口低下時， 水滴之半徑為何？ r W 3

3

2 



答案：

R

rT

g

(39)

2. 毛細現象：

(1) _{毛細現象的例子：} • 將兩端開口之細玻璃管插入水中，管內液面比管外液面高，管子愈細，內外水面高度差愈大，如圖一所示。 • 將兩端開口之細玻璃管插入水銀中，管內液面比管外液面低，管子愈細，內外水銀面高度差愈大，如圖二所示。 • 毛巾的一端浸入水中，則整條毛巾會濡溼。 • _{植物內的維管束也充當毛細管的角色，} 根部的水分和養分得以輸送至枝葉。圖一水圖二水銀

(40)

(2) 毛細現象的成因： • 毛細現象為內聚力（表面張力）與附著力互相作用的結果。當液體與固體接觸時，液體的表面分子，與固體表面分子會有互相吸引的力量，稱為附著力。當此附著力大於液體的內聚力，液體將散布在固體表面，如右上圖所示。此時接觸角 α< 90o 。當附著力小於液體的內聚力時，則液體會縮成顆粒，如右下圖所示，此時接觸角 α> 90o 。 • 同樣的，當細玻璃管插入水中，因水面與管壁的附著力大於其內聚力，管壁處的水面往上彎，水面上升，接觸角 α< 90o ，如右圖。 α 水 α

(41)

• 當細玻璃管插入水銀中，因水銀面與管壁的附著力小於水銀內聚力，管壁處的水銀面將往下彎，水銀面下降，接觸角 α> 90o ，如右圖。水銀 (3) _{毛細現象的公式：} 如右圖，細玻璃管插入水中，管內液面上升，插入水銀中，管內液面下降。管內外液面的高度差 h

2 cos

T

h

gr







T 的密度； g 為重力加速度。為液體的表面張力； ρ 為液體 α α h 2r 水 α h 2r 水銀

(42)

證明：針對於玻璃管插入水中的情況。考慮管內比管外高出部分的水柱，其受力圖如右下圖。上下的壓力皆為一個大氣壓力，因此產生的合力互相抵消。同樣的周圍管壁水平方向的壓力產生的力量互相抵消。根據靜力平衡的條件，剩下鉛直方向的受力也必須抵消，即這一段的水重被表面張力所支撐。表面張力作用在上方管壁的一圈上，因此 2r h α α 水 2 ( ) (2 ) cos 2 cos W mg r h g T r T h gr             Pπr2 W T _T Pπr2

(43)

例題：在一標準大氣壓力下，以內半徑為 1 毫米的水銀氣壓計測量氣壓，若考慮毛細現象，則所測到的水銀柱高 度應為若干？（已知水銀的表面張力為 0.465 N∕m ；管壁 水銀面的接觸角 α= 135o 。）

(44)

例題：如圖所示，一 U 形毛細管，左右兩管 的內半徑各為 r₁ 及 r₂ （ r₁ < r₂ ）。已知管內液體的密度為 ρ ，液體與玻璃的接觸角為 零，兩管的液面差為 h ，則該液體的表面張 力為 _________ 。 [81. 日大 ] 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 T 2 cos 0 2 cos 0 2 ( ) 2( ) r r T T T h h h gr gr g r r gr r h T r r 另液體的表面張力為，則解：              h

(45)

例題：一細玻璃管其內半徑為 r ，管內封入 某氣體後，倒置於某液體中（如圖所示）。 今測得管中液面較管外液面高 h ，且液面與 管壁之接觸角為 α 。若液體的密度為 ρ ，表 面張力為 T ，管外大氣壓力為 P_o ，重力加 速度為 g ，則管內氣體的壓力為 __________ 。 [85. _{日大 ]} r h α 2 0 (P 



gh r)



2

P r



T T 2 2 0 0 P ( ) (2 ) cos 2 cos P r P gh r T r T P P gh r 令管內氣壓為。則管內水面薄膜的受力圖如右下圖所示，由靜力平解得：衡的條件              

(46)

§11-6 流動中的流體

1. 理想的穩流體的特性：

• 流體沒有粘滯性，因此不會因內部的摩擦而消耗能量。 • 流線上每一點的速度和壓力保持定值，不隨時間而改變。 • 流體不會轉動，例如將一附有踏板的轉輪，不論放在液體內部任何一處，皆不會轉動。 • 流體具有不可壓縮的性質，即流體的密度保持一定，不受壓力的影響。

(47)

2. 連續方程式：

理想流體在管子流動時，單位時間內流入管子某一段的質量必須等於流出此段管子的質量。如下圖，在截面積為 A₁ 處 的流速為 v₁ ，則在此處單位時間向右流入的流體質量為 ρA₁v₁ 。在截面積為 A₂ 處的流速為 v₂ ，則在此處單位時間 向右流出的流體質量為 ρA₂v₂ ，因此 v₁ ， v₂ 滿足 1 1 2 2

A v



A v

v1 v₂ A₁ A2 即在同一流管中，截面積較小處，流體的流速較快。此關係式稱為連續方程式。

(48)

例題：水龍頭出水口截面積為 A₀ ，水流速率為 v₀ ，當水 流垂直下落 h 高度時，水柱之截面積變為若干？ 0 0 2 0  2 答案： v A v gh A₀ A h

(49)

3. 白努利方程式

：

內容：為瑞士科學家白努利在 1738 年所提出。如右圖，在理想流體內的不同兩處，流體的壓力、流速與所在高度分別為 P₁ 、 v₁ 、 y₁ 與 P₂ 、 v₂ 、 y₂ ，滿足下列方程式 P₁A₁ P₂A₂ y₁ y₂ v₁ v₂ Δx₁ Δx₂ 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 p 



v 



gy  p 



v 



gy

(50)

證明：白努利方程式是根據功能定理而來。如右圖， 1 、 2 兩處流體的流速滿足連續方程式 P₁A₁ P₂A₂ y₁ y₂ v₁ v₂ Δx₁ Δx₂ 1 1 2 2

A v



A v

1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ( )( ) 1 1 ( ) ( ) 2 2 k k t W P A x P A x A x y y E A x v A x v W E A x A x                      考慮極短的一段時間內，外界對如右圖所示的一段流體所做的功此段時間內，這一段流體的總動能變化量為最後根據功能定理與連續方程式即得白努利方程式。

(51)

• _{香水噴霧器：}_{利用球泡壓縮} 使管內氣體變大，而壓力減小，香水被往上吸，與空氣混合後噴出。白努利方程式的應用： 當 y₁ = y₂ _{，即流體的兩處高度相差不大時，則白努利} 方程式變成 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 P  v  P  v 流速較大處，壓力較小。

(52)

• 變化球或香蕉球：如右圖，棒球向右方投出時如使其逆時針方向旋轉，將造成球上方的氣流速率大於下方氣流的速率。而使得下方氣壓大於上方的氣壓，球將受到向上的淨力而向上偏。 v • _{飛機上升的浮力：}_機翼一般做成如右圖的形狀，使得流經上方的氣體流速比下方的流速大，而上方氣壓大於下方氣壓，產生向上的浮力。

(53)

例題：下列各圖表示一棒球擲出的方向及球的旋轉方向，何者會使球路自其擲出方向向上彎曲？

(54)

例題：一水槽內裝水，距水面深度為 h 處挖一小洞，已知水的密度為 ρ ， 若水深為 H 且水柱水平方向噴出， 求其水平射程。 H h 1 2 ( ) 2  答案： h H h

(55)

THE

END

流體力學講義

Full text

Ch11 流體的性質

§11-1 靜止流體內的壓力

1. 壓力：

F

P

A



F

P lim

A



2.

靜止流體內壓力的性質：





P

gh

3.

加速座標系中，距液面 h 深處液體的壓力：



2

3



：

答案

hAg

1

3



hAg



(





4 )

答答答

r a

g

(

4 )

2







答答答

r

g

§11-2 大氣壓力

1. 大氣壓力的成因與性質：

P P e



2.

托里切利實驗：

3.

標準大氣壓力（ atm ）





§11-3 帕斯卡原理

1.

內容：

(

)

P



P





g h



h

2.

應用：

F

P

A



A

F

_{靜止流體內壓力的性質：}

_

_應用：

_{阿基米得原理：}