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95年數學統測試題B(含解答)

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Academic year: 2021

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(1)

( C ) 1. 若log3xlog3 y2,則 1 1 xy 之最小值為何? (A) 0 (B) 1 3  (C) 2 3  (D) 1。 【95 統測 B】

解 log3xlog3y 2 log3xy 2 xy32  ,又∵真數9 x ,0 y0

∴ 1 1 1 2 x y xy    1x  1y 2 xy1  1x  1y 2 19  23 ∴1 1 x 之最小值為y 2 3 ( A ) 2. 設 f (x)為一元二次多項式,若 f (1)  4,f (1)  4,f (0)  0,則下列何者為 f (x)之因式? (A) x (B) x1 (C) x 1 (D) x21。 【95 統測 B】 解 ∵ (0) 0f   (x0) ( )f x  ∴由因式定理知:x  為 ( )0 x f x 的因式 ( A ) 3. 下列何者為方程式(24x x) 16之實數解? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5。 【95 統測 B】 解 (24x x) 16 4 2 4 2 x x2 4x x 2  4 (x2)2   ∴0 x2 ( B ) 4. 多項式4x44x3x23除以 2x1 的餘式為何? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6。 【95 統測 B】 解 令 f x( ) 4 x44x3x23 由餘式定理知:多項式 ( )f x 除以 2x 的餘式為1 4 3 2 1 1 1 1 ( ) 4( ) 4( ) ( ) 3 4 2 2 2 2 f      另解:此題亦可利用綜合除法求餘式 ( B ) 5. 設 A(0 , 6),B(12 , 24),C(24 , 12)為坐標平面上之三點,試問ABC之重 心坐標為何? (A)(2 , 2) (B)(4 , 2) (C)(9 , 3 2  ) (D)(18 , 6)。【95 統測 B】 解 重心 ( , )G x y  0 ( 12) 24 6 ( 24) 12( , ) 3 3       (4, 2) ( A ) 6. 設 a,b 為實數,5x 7 a x(  1) b x( 1)則 ab ? (A)7 (B)8 (C)7 (D)8。 【95 統測 B】 解 原式化簡  5x 7 (a b x ) (a b ,比較係數  得) a b 7

(2)

( B ) 7. 設 m,n 為大於 1 的實數,若 2 2 log 3 log m n  ,則 logmn (A) 1 6  (B) 1 3  (C) 2 3 (D)3。 【95 統測 B】 解 2 2 log 3 log m n   lognm (換底公式)∴3 1 log 3 mn ( D ) 8. 在坐標平面上,設 k 為整數,若點(k4 , k2)在圓(x1)2(y2)2 13的內 部(不在圓上),則 k 共有幾個? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 【95 統測 B】 解 ∵點 (k4,k2)在圓的內部 (k 4 1)2(k 2 2)2 13 2k2 14k12 0  k27k 6 0  (k1)(k   16) 0    ∴ k 共有 2,3,4,5 等 4 個k 6 ( B ) 9. 在 坐 標 平 面 上 , 不 等 式 方 程 組 y x 2, x0, y0的 區 域 面 積 為 何 ? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 【95 統測 B】 解 不等式組所圍的三角形區域,如圖所示: 得三頂點坐標為 (0,0) , (0, 2) , ( 2,0) ∴所圍成的面積為 1 2 2 2 2    ( D ) 10. 若 6 對 夫 婦 排 成 一 列 , 且 每 對 夫 婦 必 須 相 鄰 , 則 共 有 幾 種 不 同 排 法 ? (A)2 × 6! (B)(3!)2 × 26 (C)2 × (3!)2 × 26 (D)26 × 6!。 【95 統測 B】 Aa Bb Cc Dd Ee Ff 將每對夫妻視為一單位,6 對夫妻相鄰視為六單位作直排,方法有 6! 又每對夫妻均互換位置,方法有(2!)  6!×6 (2!) (種)6

( A ) 11. 設 為銳角,若2 cos2 5cos 2 0,則 ? (A)60 (B)45 (C)30

(D)0。 【95 統測 B】

解 原式  (2cos1)(cos2) 0

   cos 1

2

 或cos  (不合∵ 1 cos2    ) 1 cos 1

2   ∴  60 ( C ) 12. 設有 20 張相同的卡片,分別將其寫上 1 至 20 的數字,若自袋中同時抽出兩 張 卡 片 , 則 卡 片 上 兩 個 數 字 相 加 等 於 13 之 機 率 為 何 ?   (A) 1 57   (B) 2 65 (C) 3 95  (D) 13 190 。 【95 統測 B】 解 設樣本空間為S  20 2 20 19 ( ) 190 2 n SC    設事件 A :表示兩數字和為 13,則A{(1,12),(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)} ( ) 6 n A    ∴ ( ) ( ) 6 3 ( ) 190 95 n A P A n S    x y O ( 2 , 0 ) y  x + 2 ( 0 , 2 )

(3)

( D ) 13. 在 坐 標 平 面 上 , 若 : 1 4 3 x y L 為 一 直 線 , 試 求 點 (16 , 6) 至 L 的 距 離 ? (A)1 (B) 22 5  (C) 22 7  (D)12。 【95 統測 B】 解 : 1 4 3 x y L    3x4y12 0 ,點(16,6) 由點到直線的距離公式知: | 3 16 4 6 12 |2 2 12 3 4 d        ( C ) 14. 根據果農之種植經驗,若每畝種植 16 棵柿子樹時,則每棵樹平均可產 200 個 柿子;但每畝增加種植一棵沛子樹,則每棵會減產 10 個柿子。問若欲達到最 大 收 成 的 條 件 下 , 每 畝 應 種 植 幾 棵 為 最 佳 ?  (A)16   (B)17   (C)18 (D)19。 【95 統測 B】 解 設每畝增加種植 x 棵樹,達到最大收成 y 個,則依題意得 (16 )(200 10 ) y xx  10x240x3200  10(x24 ) 3200x  10(x2)23240 故當每畝增種 2 棵樹,可達到最大產量 3240 個 ∴每畝應種16 2 18  棵 ( A ) 15. 設 pn表第 n 個質數,即 p1  2,p2  3,p3  5,…。若<an>為一數列且 2 1 2 n n n P a P   ,則 a5=? (A) 23 29  (B) 19 23  (C) 17 19  (D) 13 17 。 【95 統測 B】 解 ∵P 表第 n 個質數np1 ,2 p2  ,3 p3  ,5 p4  ,7 p511,p6 13, p7 17, p819, p923,p10 29 ∴ 5 9 10 23 29 p a p   ( D ) 16. 試求級數1222 32 42 192202212  之總和? (A)201 (B)211 (C)221 (D)231。 【95 統測 B】 解 原式(1232 ... 21 )2 (2242 ... 20 )2 2 10 2 10 2 1 1 1 (2 1) (2 ) k k k k    

 

   10 10 10 10 2 2 2 1 1 1 1 1 (2 ) 4 1 (2 ) k k k k k k k      

 

 2 10 10 1 1 1 4 1 k k k    

10 1 1 4 10 k k   

    1 4 [10 (1 10)] 10 2       231 ( D ) 17. 設 P(2 , 4)與 Q(4 , 2)為坐標平面上之兩點,試求線段PQ的垂直平分線方程 式? (A)xy3  0 (B)x y  0 (C)xy3  0 (D)xy  0。【95 統 測B】 解 PQ 的中點為(2 4 4 2, ) (3,3) 2 2   又 PQ 的斜率 1 2 4 1 4 2 m       PQ 的垂直平分線的斜率m2  (∵1 m m1 2  )1       

(4)

( B ) 18. 設sin 5 5

  ,sin 10 10

  ,且  ,  皆為銳角,請使用複角公式 sin(  ) sin cos  cos sin  , 試 求   ?   (A)30  (B)45

(C)60 (D)90。 【95 統測 B】 解 ∵sin 5 1 5 5    ,sin 10 1 10 10    ,作圖如下:

sin(  ) sin cos  cos sin 

1 3 2 1 5 10 5 10     5 5 1 50 5 2 2     ∴   45 ( A ) 19. 設  ABC中 , BC a ,AC b ,AB c , 若 a b c: : 5 : 7 : 8, 試 求  B ? (A)60 (B)90 (C)120 (D)150。 【95 統測 B】 解 ∵a : b : c 5 : 7 : 8  設a5kb7kc8k 由餘弦定理知:cos 2 2 2 2 a c b B ac    (5 )2 (8 )2 (7 )2 1 2 5 8 2 k k k k k        ∴  B 60 ( C ) 20. 設有 6 個足球隊參加比賽,若任意兩隊都互相比賽一場次,則共有多少場次 的比賽? (A)24 (B)20 (C)15 (D)10。 【95 統測 B】 解 6 2 6 5 15 1 2 C     ( C ) 21. 下 列 何 者 為 三 角 函 數 3sin(2 ) 4 y   的 週 期 ?   (A) 2 3   (B) 3 2  (C) (D)2 。 【95 統測 B】 解 ∵原函數 sin 之週期為2 ∴函數 3sin(2 ) 4 y   的週期為 2 2  ( B ) 22.若 10 10 10 10 0 ( ) k k k k x y C x y    

, 則 C100 C110C210  C1010 ?   (A)512 (B)1024 (C)2048 (D)4096。 【95 統測 B】 解 10 10 10 10 0 ( ) k k k k x y C x y    

10 10 10 9 10 2 8 10 10 0 1 2 10 C y C xy C x y C x    將 x = 1,y = 1 代入上述等式中,得 10 10 10 10 10 0 1 2 10 (1 1) CCC   C  10 10 10 10 10 0 1 2 10 2 1024 CCC   C   ( C ) 23. 使 用 H , E , I , G , H , T 任 意 排 成 一 列 , 共 有 幾 種 不 同 排 法 ?   (A)120 (B)180 (C)360 (D)720。 【95 統測 B】 解 視為同物排列  排法有 6! 6 5 4 3 360 2!      (種) A C B 5 1 2 A C B 1 0 1 3

(5)

( D ) 24. 已知樂透彩的玩法是由 1 至 42 之號碼中圈選 6 個相異號碼,且每期開出 6 個 相異的中獎號碼(不包含特別號碼),則購買 2 張號均相異之樂透彩券中, 恰 有 2 個 為 中 獎 號 碼 之 機 率 為 何 ?   (A) 42 42 6 6 1 1 CC   (B) 36 36 4 4 42 42 6 6 C C CC   (C) 6 36 2 10 42 6 C C C   (D) 6 36 2 10 42 12 C C C  。 【95 統測 B】 解 設S 為購買 2 張樂透彩券的樣本空間 ∵2 張號碼均相異  42 12 ( ) n SC 設事件 A :表示恰有 2 個為中獎號碼,則 6 36 2 10 ( ) n ACC ∴ 6 36 2 10 42 12 ( ) ( ) ( ) C C n A P A n S C    ( B ) 25. 在坐標平面上,三直線x y 0,x2y8,x0所圍成之三角形面積為何?  (A)8 (B)16 (C)32 (D)64。 【95 統測 B】 解 不等式組所圍的三角形區域,如圖所示: 得三頂點坐標為 (0,0) , ( 8, 8)  , (0, 4) ∴所圍成的面積為 1 4 8 16 2      x y ( , 0 )0 x  y 0  ( 0 , 4 ) ( 8, 8 ) x 2 y 8 

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