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國小六年級學童分數概念試題結構分析之研究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系 國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授:許天維. 博士. 國小六年級學童分數概念試題結構 分析之研究. 研究生:賴麗珍 撰. 中華民國一○○年六月二十七日.

(2) 致謝 終於要畢業了!兩年前在老公的鼓勵下,如願考上臺中教育大學數學教育學系碩士 在職班。而當時看到同學們年輕有為,自己卻年近不惑還要重拾課本,實在惶恐不安。 回想這兩年的求學期間,要兼顧工作、課業、家庭,蠟燭三頭燒,若非一路走來有貴人 及大夥相助,怎能順利走過這段求學日子? 首先要感謝指導教授許天維老師,從剛開始不知如何著手研究工作,到完成論文, 都要謝謝老師總是耐心的教導、細心的提醒我,使我了解做學問的重點,今日才能順利 完成論文。也感謝口試委員胡豐榮教授、辛俊德教授提供許多寶貴的意見,使本分論文 更加完整。 此外,也非常感謝本班所有同學,當大家為了共同目標而奮鬥時,真是緊張卻又充 實的美好日子。也感謝大家在課業上總是不藏私,有能力的都會主動的多做一些,幫我 們落在後頭的啦啦隊一起帶上來,相信這兩年的學習,我們也會把同樣的精神帶回學 校,在教育崗位上盡自己的力量,實現教授們的理想及教導。 能在一起就是緣份,要不然我怎會遇到國中同學素萍?學到志吉對事情該有的堅持 與熱誠,讓我們對拍照也有更多的認識;聽到信文對事物的分析論點,只能感嘆真是一 位鬼才、、、經過近兩年相處,自己付出有限,卻從大家身上得到也學到許多,內心的 感受無以言喻,希望我們這一班的緣份不因畢業而中止,能不斷的持續下去! 當然,也要感謝當初幫我報名、默默支持我、替我做家事、帶三個小孩的老公,他 總是隱藏自己來成就我的一切,讓我無後顧之憂,才能專心的進行學業及論文的研究。 總之,感謝所有協助我的師長、家人、朋友,真是太感謝您們了!僅以此論文,與 協助過我、關心我和支持我的人,來分享這一份喜悅! 賴麗珍. 謹誌. 民國一○○年六月十二日.

(3) 國小六年級學童分數概念試題結構分析之研究 摘要 本研究的主要目的在於探究國小學童分數概念之結構,故編製一份分數概念試題, 以試題關聯結構分析法(IRS)進行分析,進而形成結構圖,用以探討六年級學童在分 數概念的認知結構。 本研究以臺中市豐原區某國小六年級三個班級的學童為研究對象,施測後以  IRSP  電腦程式及試題關聯結構分析法(IRS)來分析及探討施測結果,從中獲得此群學童在 分數概念中呈現的概念結構訊息,其研究結果如下: 一、分數的大小比較概念:受測學童「比 1 大 1 個單位分數」概念比「比 1 小 1 個單位 分數」概念清楚。 二、分數乘法的大小比較概念:被乘數乘以真分數、假分數、帶分數後其值變大或變小 的思考能力仍須加強。 三、 分數除法的大小比較概念:被除數乘以真分數、假分數、帶分數後其值變大或變小 的思考能力仍須加強。. 最後依據研究結果,分別對教師、教材及未來研究者,提出相關建議以供參考。. 關鍵詞:國小六年級學童. 試題關聯結構分析法. I. 分數乘法. 分數除法.

(4) The study on item analysis – a research on elementary school sixth grades students’  conceptualization of fraction . Abstract  The main purpose of this study is to explore the concept of elementary school students’  fraction  concept  structure.  In  order  to  form  a  graph  to  probe  into  the  structure  of  students’  conceptualization of fraction , a test was design, and to analyze the outcome through the item  Relation Structure Analysis (IRS) , thus the formation of structure, to explore the sixth grade  students’ fraction concept structure.  In this study , Feng Yuan Taichung  Area with sixth grade students  in three classes  for  the study, sampling after the IRSP questions related computer programs and structure analysis  (IRS) to analyze and discuss the measurement data, from access to this group fraction concept  showed students in the conceptual structure information, and the results are as follows:  1. The concept of  fractional size of the comparison: subjects students "than a  large one  unit fractions" concept than "than a small fraction of 1 unit"concept clearly.  2.  The  concept  of  fractional  multiplication  of  the  size  of  the  comparison:  the  multiplicand  multiplied  by  the  proper  fractions,  improper  fractions,  mixed  fractions  of  their  value after the larger or smaller need to strengthen the ability to think.  3.  The  concept  of  fractional  division  of  the  size  of  the  comparison:  the  dividend  multiplied by the proper fractions, improper fractions, mixed fractions of their value after the  larger or smaller need to strengthen the ability to think.  Finally, the result of this this study offered some suggestions and reference for teachers,  teaching materials and future.  Keywords:  sixth  grade  students  Item,  Relation  Structure  Analysis,  fraction  multiplication,  fraction division. II .

(5) 目 第一章. 次. 緒論.................................................................................................... .1 . 第一節. 研究動機 ...............................................................................................1 . 第二節. 研究目的 ...............................................................................................2 . 第三節. 名詞釋義 ...............................................................................................3 . 第四節. 研究的範圍及限制 ................................................................................4 . 第二章. 文獻探討............................................................................................. 5 . 第一節. 分數的意義............................................................................................5 . 第二節. 分數概念之發展....................................................................................9 . 第三節. 國小分數教材之探討..........................................................................15 . 第四節. 試題關聯結構分析之研究工具 ..........................................................21 . 第三章. 研究方法........................................................................................... 31 . 第一節. 研究架構 .............................................................................................31 . 第二節. 研究對象 .............................................................................................32 . 第三節. 研究工具 .............................................................................................32 . 第四節. 研究流程 .............................................................................................40 . 第五節. 資料處理 .............................................................................................41 . 第四章. 研究結果與分析 ............................................................................... 43 . 第一節. 試題性質分析......................................................................................43 . 第二節. 試題關聯順序性係數分析 ..................................................................47 . 第三節. 最簡分數試題關聯結構圖之分析與討論 ...........................................50 . 第五章. 結論與建議....................................................................................... 75 . 第一節. 結論 .....................................................................................................75 . 第二節. 建議 .....................................................................................................77 . 參考文獻 .......................................................................................................... 79 III.

(6) 壹、中文部份 .....................................................................................................79  貳、外文部份 .....................................................................................................82 . 附錄 .................................................................................................................. 85  附錄一. 試題檢核表..........................................................................................85 . 附錄二. 預測試題 .............................................................................................86 . 附錄三. 正式施測試題......................................................................................96 . 附錄四. 專家效度調查問卷 ............................................................................103. IV.

(7) 表. 目. 次. 表  2­1  分數之意義相關文獻一覽表 .................................................................6  表  2­2  分數之相關研究 ..................................................................................15  表  2­3    82 年部編版與九年一貫課程國小階段分數課程發展比較 ................17  表 2­4  九年一貫課程之國小階段分數課程教學活動地位..............................20  表 2­5  A、B 組學生得分情形表 .....................................................................22  表 2­6    A、B 組學生得分情形簡表..................................................................23  表 2­7    A、B 組學生試題得分排序表..............................................................23  表 2­8    A、B  組學生試題得分、人數排序表 .................................................24  表 3­1  分數概念命題雙向細目表 ....................................................................36  表 3­2  試題分析總表 .......................................................................................39 . 表  4­1  試題  Cronbach`s α  之信度係數 ............................................................44  表 4­2  試題難度一覽表...................................................................................45  表 4­3  試題鑑別度一覽表 ...............................................................................46  表 4­4  試題關聯順序性係數一覽表................................................................48  表 4­5 . 試題順序性係數 0­1 矩陣表................................................................49 . 表 4­6  分數概念試題關聯結構圖橫斷層面分析 .............................................51  表 4­7  「等值分數」試題一覽表 ......................................................................52  表 4­8  「等值分數」子概念分析 ......................................................................53  表 4­9  「通分概念」試題一覽表 ......................................................................54  表 4­10  「通分概念」子概念分析 ....................................................................57  表 4­11  「分數乘法」試題一覽表 ....................................................................58  表 4­12  「分數乘法」子概念分析 ....................................................................61  表 4­13  「分數除法」試題一覽表 ....................................................................63  表 4­14  「分數除法」子概念分析 ....................................................................66 V.

(8) 表 4­15  「分數乘法與除法」試題一覽表.........................................................68  表 4­16  「乘法與除法」子概念分析 ................................................................72. VI.

(9) 圖. 目. 次. 圖 2­1 A、B 組學生試題關聯結構圖.................................................................25  圖 3­1  研究架構圖 .............................................................................................31  圖 3­2  分數教材地位圖 .....................................................................................33  圖 3­3  分數概念架構圖 .....................................................................................34  圖 3­4 試題編製流程圖 ......................................................................................35  圖 3­5 研究流程圖 ..............................................................................................40  圖 4­1  「等值分數」子概念試題關聯結構圖...................................................53  圖 4­2  「通分概念」子概念試題關聯結構圖...................................................56  圖 4­3  「分數乘法」子概念試題關聯結構圖...................................................61  圖 4­4  「分數除法」子概念試題關聯結構圖...................................................67  圖 4­5  「分數乘法與除法」子概念試題關聯結構圖 .......................................73. VII.

(10) 第一章 緒論 在教學的過程中,教學與評量兩者是不可分割的,所以如果能藉由一份優良測驗試題, 評量出學童的知識結構後,再配合課程的實施,進行課程的改進與施行,將會對教學有很大 的幫助。本研究將編製國小六年級應學會的分數概念之測驗試題,藉由試題關聯結構分析法 來進行分析,以達到瞭解學童知識結構,並依據此結論來提供教師日後有關分數試題之編製 以及教學之參考。 本章共分為四節,分別說明如下:第一節為研究之動機,第二節為研究之目的,第三節 為本研究中所提及之相關名詞,第四節說明本研究的限制及範圍。. 第一節 研究動機 在國小數學課程中,「分數」一直都是重要的教授內容。考量學童的認知發展,課程上 的編排是以整數先出現,其次是小數,在學童學過整數和小數之後,最後才導入分數。德國 人以「如墜分數中」比喻遇到困難的人,可見學習分數對學童是多大的障礙。而分數的概念 與除法、小數、比、百分率等概念的關係密切,這些概念也都是國小學童必須學習的重要課 程(教育部,1993)。即使分數是最後才讓學童接觸,但分數的概念卻不容易讓學童理解。 Kerslake(1986)發現英國 13、14 歲學生以死背的方式來處理分數的運算。蔡幸霓(2009) 也發現在教授分數運算時,學生也有類似的情形,寧願死背分數的運算法則,也不願思考其 中的概念和道理。分數是基本代數運算的基礎,如果早期的分數概念有所混淆,在後期代數 的學習方面就會遇到困難(Behr,Harel, Post & Lesh,1992)。林碧珍(1990)也指出,『分數』是一 種既複雜又重要的概念,國小以後的數學學習發展會因為學童無法理解分數而受到阻礙。包 括國外學者(如:Columba, 1989; Hunting, 1983)的研究報告也都指出學習分數對兒童而言是 件困難的事。即使學童升上了國中,要在分數或有理數的學習上覺得精熟,對學童來說也不 是簡單的事情。既然分數不易學習,我們就更不應該忽略它的重要性。 1.

(11) 分數包涵了許多概念,學者們大多取分數裡其中一個概念來作試題分析,例如學者(陳 志宏,2008;蔡正利,2008)的研究報告即是如此,如此可將學童的該項概念做一清楚的描述。 但在六年級,學生上完分數除法單元後,對分數的加減乘除運算已經全部學習完畢,但是一 進入分數四則運算、分數與小數四則運算,即可發現學生的分數概念出現錯誤及迷思。 Gagné(1997)指出,任何一項學習都會有適當的順序;且後面學習的先決條件是奠基於前面的 學習,因此學習者只要能夠完成前項學習,便可進入更深一層的學習。然而,國小六年之間 的數學教育常是不同老師所擔任,較後者的教師不能明白學童過往的概念發展情形,因此將 分數各個概念作一清楚明確的分析,以提供六年級教師在教授分數概念時的依據及參考,也 才不容易造成教學上的盲點。 現今的數學教育,大多以紙筆測驗來決定學生的學習成效,而學生究竟在哪種概念出了 問題,卻不能直接從試卷中看出端倪。黃幸美(1996)指出,紙筆測驗最常應用於評量學童 的數學學習成就,但教師從中所獲得學童的學習資訊卻十分有限,對後續的教學設計及輔導 學生、補救教學上也相當不容易去施行。因此,光從紙筆測驗是不足以去瞭解學生的學習成 效,也不容易去發現學生的概念是哪裡出現問題。所以若有一份測驗工具,可以讓老師明白 學生分數概念結構,將對老師的教學方式有莫大的幫助。 當測驗的對象為一個大團體時,所使用的方法有試題反應理論、試題層次分析法,才得 以獲得學童學習成就情況的訊息。而測驗的對象只有一個班級學童數時,則可以使用試題關 聯結構分析法,如此便可以獲得學習概念的結構圖。此種結構圖可以與教師所建構的結構圖 來做比較,甚至也可以依教科書編者所製分析圖做比較,兩者之間比較之後的結果,對於改 善教學方法或是指導教材設計方面,都會有很大的幫助。(許天維,1995) 。 因此,本研究將先編製分數試題作為測驗工具,將得到的資料再運用試題關聯結構分析 法(IRS),形成分數的學習概念圖並加以分析,藉此瞭解學童知識結構的發展,也希望透 過這樣的過程,期待能對教師及學生在學習分數時能有所助益。. 第二節 研究目的 綜合上述的研究動機,本研究對象是國小六年級學童,已經學過分數除法,對分數從加 2.

(12) 減乘除已經有完整概念,以自編的分數概念試題加上試題關聯結構分析理論,來分析受試學 童的分數概念發展結構,藉以畫出概念結構圖,並探討學童在分數的概念結構圖中所呈現出 來的訊息,了解學童在加減乘除分數概念易犯的錯誤及迷思,以提供教師在進行分數教學及 補救教學時的參考。本研究的具體目的如下: 一、建立一份具信度、效度,並能檢視六年級學童分數概念的試題。 二、利用 IRS,來瞭解國小六年級學童分數結構,及相關概念發展順序,並探討學童在 分數的概念結構圖上所呈現的訊息。. 第三節 名詞釋義 為了能夠清楚了解本研究的相關用語,因此將本研究中的重要名詞定義如下: 壹、六年級學童 本研究所指的國小六年級學生,是指接受民國九十二年版九年一貫課程綱要數學課程, 並在六年級時已接受過「分數除法」教學的學生。 貳、通分 通分是指二個或二個以上的分數,運用擴分或約分的方法,將不同分母的分數,變成相 同分母分數的過程。 叁、分數乘法 本研究把分數乘法分成「乘法的大小比較」 、 「分數乘以整數」 、 「分數乘以整數」 、 「分數 乘以真分數」、「分數乘以假分數」、「分數乘以帶分數」六個子概念。 肆、分數除法 本研究把分數除法分成「除法的大小比較」 、 「分數乘除以整數」 、 「分數除以整數」 、 「分 數除以真分數」、「分數除以假分數」、「分數除以帶分數」六個子概念。 伍、試題編制 本研究係採紙筆測驗方式,對國小六年級學童進行分數概念結構關聯之研究,試題之編 製是依據九年一貫課程綱要—數學領域(教育部,2003),參考數學科教材教學指引,並徵詢 3.

(13) 專家教師意見,經由試測後,定稿編製而成。 陸、試題關聯結構分析 試題關聯結構(IRS)是由竹谷誠(1991)發表,此分析方法以不同概念所編製的試 題,及測驗試題的結果,統計出學生在各試題的答對率,答對率低為上位概念,答對率高為 下位概念,以此結果呈現出有指向性的圖形結構,來分析各試題的特性是依照題目彼此間反 應所得的順序性關係,將此種分析方法稱之為試題關聯結構分析法,簡稱IRS分析法。. 第四節 研究的範圍及限制 本研究係以國民小學六年級三個班級的學童為研究對象,並且藉由試題關聯結構分析法 來探究學童在分數概念的知識結構。針對研究內容、對象及方法,將本研究範圍與限制之說 明分別敘述如下: 壹、就研究內容而言: 本研究之主要內容為九年一貫課程數學領域中,六年級的「分數」相關概念教材。 貳、就研究對象而言: 本研究目的是以試題關聯結構法之分析,來探究受測學生在分數概念的知識結構。但因 本研究受限於研究經費、時間與人力等種種客觀因素,故以台中市豐原區,學區是商業區的 某國民小學六年級三個班級的學童為研究對象。因此本研究結果只適合提供條件與本研究相 似之學區作為參考,推論的結果不宜過度解釋。 叁、就研究方法而言: 本研究方法只能當作一種「驗證測試」,推論的結果只適合運用於類似的情境中,不能 過度解釋,若是在其他不同的情境之中,驗證的價值性即受分析對象材料真實性的限制。. 4.

(14) 第二章 文獻探討 數學是人類最重要的資產之一,也是一種語言,更是人類天賦本能的延伸(教育部, 2003)。要探討六年級學童分數概念,必須先了解以下內容:分數的意義、分數概念之發展、 分數概念的迷失、國小分數教材之探討。兒童學習數學的困難點在對數學概念的理解困難, 不易運算解題;兒童可以模仿解題,但概念混淆(黃幸美,2000)。由此可見,兒童學習數學 時,數概念是否理解、融會貫通,是一個很重要的因素。因此,在本章中先對數概念及理論 作一探討,本研究的目的是以試題關聯結構分析法來探究國小六年級學童的分數概念的知識 結構,因此最後介紹本研究方法—試題關聯結構分析法(Itemrelational structure analysis, 簡稱 IRS 分析法)。. 第一節 分數的意義 分數一詞來自拉丁文(frangere),意思是指「分開」、「破碎」;在英文中,分數(fraction) 的意思是指「碎片」。而在在數學上是被用來描述一個全體被公平分開後的各個部分,如 1/4 塊披薩即為整塊披薩平分成四等份其中的一部分。 針對分數的意義,更明確的定義如下:當 xn=ym 時,會存在於 x 與 y 之間的關係是分數  m  m  (Russel,1903)。而 m 與 n 兩者皆不為 0 的情況下,  會是一種一對一的關係 (劉秋木, n  n . 1996)。能化為  認為, . m  的型態,且 m、n 皆為整數,且其中 n≠0(教育部,2003)。陳振忠(2008) n . m  m  m  可以表示兩個量數之間除法的結果,即 m÷n 的商是  ;另外,我們也能將  視 n  n  n . m  為 m 有幾個 n,此時的 n 就能看成為一個單位,  則可表示成 m 中有幾個單位。 n . 在幼獅數學大辭典(1983)中,說明分數是表示 1 之若干等分的名詞。此名詞係指術語, m  2  7  而兼有等分之幾,凡等分之ㄧ即稱為單位分數。例如:  、  、  、0.06 等等,均為分數; 5  12  n . 5.

(15) m  2  1  在  中,代表 1 被分為 5 個等份,含有 2 份,所以單位分數是  ;在  中,所分之等份各等 5  5  n  1  n . 1  ,即 0.01,而所取者有 100 . 於  ,而所取者有 m 個;在 0.06 中,分數單位為 . 6 個。. 而分數概念具有多重意義的特性,在不同的情境問題中,有不同的意義。國內外學者對 分數的意義有不同之看法,茲將其分述如表 2-1。 表 2-1. 分數意義之相關文獻一覽表. 文獻來源. 時間. 分數意義. Behr 等人. 1983. 1. 部分—全體比較 2. 小數 3. 比值 4. 商 5. 運算 6. 測量. Dickson, Brown and. 1984. Gibson 等人. 1. 整個區域的子區域 2. 子集合與全體集合間的比較 3. 位於兩個整數間數線上的一點 4. 兩數相除所得的商 5. 二組集合或二個度量的大小比較的方法. Booth,L.R.. 1987. 1. 一個整體等分後的幾部分 2. 把一個集合等分後的幾組 3. 數線上的數值 4. 兩數相除的結果. 6.

(16) 表 2-1. 分數意義之相關文獻一覽表(續). 文獻來源. 時間. 分數意義. Ohlsson. 1988. 1. 商的函數:包含等分除、包含除、縮小、引出。 2. 有理數:包含分數與測量。 3. 二元向量:包含比、內涵量、比例、平均(含速 率、密度)。 4. 合成函數. 林碧珍. 1987. 1. 視為某區域的一部分 2. 數線上面的一數值 3. 看成小數 4. 看成商 5. 集合的一部分 6. 用來比較 7. 單位分數相加 8. 看成比值 9. 當成運算 10. 當作度量. 楊壬孝. 1988. 1. 一個整體的相等部分 2. 依照各集合等分組後的幾組 3. 數線上面的某一數值 4. 兩數相除的結果. 7.

(17) 表 2-1. 分數意義之相關文獻一覽表(續). 文獻來源. 時間. 分數意義. 楊瑞智. 2000. 1. 部分全部 2. 子集合/集合 3. 乘法運算元 4. 等值分數 5. 整數除法的結果 6. 分數是一個數/數線上的一點 7. 平均 8. 當量 9. 比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量。 10. 機率. 教育部 82 年版數學. 1993. 課程標準. 1. 表示操作:在具體物上進行「分的活動」,重視 操作模型與分數符號之連結。 2. 部分/全部:包括連續量與離散量之情境。 3. 數線上的數值:可視為線段長或數線上的一點。 4. 整數相除的結果 5. 比或比值 6. 表示量的大小. 教育部九年一貫數 學課程綱要. 2003. 1. 平分的意涵 2. 測量的意涵 3. 比例的意涵 4. 部分/整體的意涵. 資料來源:改自蕭亞婷(2010)。國小五年級學童分數概念學習表現之研究。國立臺中教育 大學數學教育學系教學碩士班碩士論文(未出版). 8.

(18) 第二節 分數概念之發展 分數概念在不同情境中,有不同意義。美國數學教師協會曾宣佈,今後數學課程應以「概 念為取向」的基本立論。學童隨著知識的理解而建構出數學概念是十分重要的,因為唯有理 解基本的數學概念,才能幫助學童奠定往後學習高階數學的基礎(NCTM,2000)。唯有真正 理解概念,才能在不同情境之中選擇合適的解題方法。 而學童的分數概念形成不是一蹴可幾的,必須先有數概念,再經由等分割的觀念,進而 瞭解部分—全體關係,才認識分數,隨著分數概念增加而進行運算。 一、數概念 九年一貫數學課程綱要中的素質指標中強調:每個學生都有權利要求受到良好的數學訓 練,並充分認識重要的數學概念及提昇厚實數學能力;因為這些重要的數學概念和精熟的演 算能力,是九年一貫所強調「帶著走」的能力(教育部,2003)。由此可見,數學概念是數學 能力的基礎,更是學習數學的重要基石。 所謂的數,根據 Gauss(1800)指出:「數」是一個指標,此指標是用來指示,為了獲 得一個與一被界定量相等的量起見,一個已知量(單位量),或是此單位量的一個被等分割 部分,所需被重複累積的次數;這個次數則被用來指示被界定量(引自甯自強,民 87)。即 數概念可以看成是某量與某一單位量之間的關係(甯自強,民 82)。羅素(1903)主張:由 數學的觀點來看,數僅不過是相似的類所成的類。例如數字「2」是由 2 顆糖果、2 張紙、2 把傘等物件的類的抽象而得的。羅素對數的看法主張數是對物的共同屬性抽象而成(甯自強, 民 82)。由此可知,數並不是一個實際的物體,而是一個抽象的事物,是為了界定單位量與 被量測的量之間的關係而產生的名詞。 Skemp(1971)指出:「概念是過去經驗共通不變性的智慧性表現。概念的形成過程,一般 稱為抽象化。很多數學概念首先來自我們實際經驗所抽象化形成的初級概念,再根據這些初 級概念繼續抽象形成次級概念。」在 Webster (1971) 大辭典提到:概念有 concept 及 conception 兩種表示方式。concept 是比較抽象的,是指對一連串特殊事例思考過後所形成的概念;而 conception 所要強調的並非結果,而是想像或是概念形成的過程。若能經由具體的事物來幫助 9.

(19) 學生建構完整的數概念,再經由具體的實物建立符號,進而所得解題過程的數概念逐一建 模,等概念完整後,學生便能處理抽象概念,甚至是更高的層次概念。因此,我們必須探究 學童對數概念的運思。不同年齡的兒童會有不同的運思方式,形成不同的數概念類型。當兒 童能成熟的運用某一階段的運思方式時,代表其擁有此一階段的數概念。甯自強將不同層次 的運思方式與其對應的數概念分成:合成運思、累進性合成運思、部份一全體運思與測量運 思。以下將針對各運思期的概念說明如下: (1)合成運思(integration operation) 兒童將構成事物的元素合成為一事物的能力或運思稱為合成運思。在此運思下的整數詞 意義就是幾個 1 的合成。此運思將數個「1」合而為一,形成一個集聚單位,例如「10」(甯 自強,民 81;民 84a) 。且其數詞的關係是屬於量的比較,而每一個數詞代表的數都是獨立的, 兒童能依數詞所指示的量依序進行量的合成與分解,並透過一對一比較而得來的。在算式所 代表的關係是量與量的關係,因其所建構出的集聚單位彼此之間是獨立的,所以兒童是無法 處理單位量轉換的問題,必須使用單位「1」 ,將物件累算後才能確定數的大小。在甯自強(1992) 的研究中指出:問兒童「ㄨˇ」在那裡?兒童可以指向五個花片的全體。如果兒童只有指第 五個花片,而不是全體。這只是「數的前置概念」,尚未具有數保留概念。 (2)累進性合成運思(progressive. integration. operation). 累進性合成運思是指兒童能將構成事物的元素合成一集聚單位,並以集聚單位為起點, 進一步累加「1」,以形成另一個集聚單位(Steffe,1988;甯自強,1992)。在此運思下,「15」 的意義可以看成「10」為一個集聚單位,以此為基礎,再往上累加 5 個「1」。此階段所建構 兩數之間的關係是集合間的包含關係,而算式所代表意義是數與數的關係。 (3)部份—全體運思(part 一 who1e. operation). 部分—全體運思是累進性合成運思的重組。其運思的方式是把內嵌於全體的部分加以複 寫後予以脫嵌外提後,再置回原處,並且保留全體不變。外提的部分像是獨立的事物,它的 使用不會影響原來的全體(甯自強,1992)。 此時的兒童對數的掌握能區分「十」集聚單位與「一」集聚單位兩者不同的記數意義, 在混合使用兩種以上的被計數單位時,例如「十」、「百」、「千」…,各集聚單位皆與「一」 10.

(20) 有明顯的部分一全體關係,學童不會混淆其意義,可以將數個集聚單位和數個「一」合而為 一,形成新的集聚單位,可以將「48」看成 4 個「十」和 8 個「一」的合成。此時的部分— 全體運思是單方向的,學生尚能理解六個十是六十的概念,但反之,一個六十是由六個十所 組成的卻未必能夠理解。 (4)測量運思(measurement operation) 「測量運思」是重複的運用部分-全體運思,以重組相同基數的次階集聚單位後,「一」 的集聚單位,它把內嵌於最高階集聚單位中的次階單位當成部分,加以複寫後予以外提,再 置回原處,並保留住原有的最高階集聚單位與「一」的部分-全體關係(甯自強,1992)。此運 思以掌握「一」與集聚單位(例如「十」 )間的部分一全體關係為基礎,進而能掌握此集聚 單位與以其為元素所合成的另一集聚單位,例如「10 個十」或「百」間的部分一全體關係, 故而是同時掌握兩個層次的部分一全體關係。 此時的兒童能在整體不變的情況之下,自行調整內在的結構,且對數的意義掌握上是可 以合成別的數,也可以由別的數來合成,並且能真正掌握乘法交換率,此時兒童的部份—全 體關係是雙向且可逆的。甯自強(1996)進一步說明,乘法的交換性、結合性及乘法對加法的 分配性等各種性質,以及等分配性質的等分除概念、乘除互逆概念的完全成熟都是測量運思 時期的產品。 每一個新的運思期起點都是前一個運思期的產品,要分析學生的數學問題行為時,就必 須先了解學生的運思過程,當學生數學學習出現問題時,便可以明確界定學生何種運思過程 出了差錯,如此才可以迅速協助解決問題或設計補救教學。 二、分數概念 Hunting(1986)認為分數概念的來源,主要是對一個連續物的細分(例如蛋糕)。當一塊蛋糕 分給四個人,就必須尋找更小的度量單位,或把度量單位分割得更小。黃金堆(2008)認為, 當整數不能再單獨滿足人們的需求的時候,描述事物部份或組成分子的需要便應需求而產 生,為了迎合這種需要,我們便建立了一套數學模式來處理這種情況,這就是分數。所以分 數的產生是源自於人類對日常生活的需求,人類對數的使用源自生活中記數的需求(整數), 當人類對數的要求越多、越複雜時,直到整數已無法滿足需求時,小數、分數、負數便依照 著人類的需要而漸漸產生。 11.

(21) 鍾啟芳(2005)指出,若兒童的分數概念是發展的,必然和成人的分數概念有所不同。 當分數在日常的生活情境被應用時,配合不同情境,其代表的意義是相當複雜且多元的,因 此若是在分析分數概念時都是以大人們的認知來解釋,會造成兒童的分數概念無法明確說 出,以及兒童的分數概念到成人觀點的分數知識的鴻溝。 Piaget、Inhelder and Szeminska(1960)將兒童的分數概念發展分為: (一)四歲到四歲半的兒童:將一物分為兩半是很困難的,分割之前是沒有任何的預想計劃 或基模,在不同形狀之分割時,以長方形比較容易,圓形次之,而正方形是比較難的。 缺少部份與全體之間的關係是這種階段的最大特徵,此時對兒童來說,是不會去注意 到所接觸的部份是某個比較大的全體中所含的元素。 (二)四到六歲的兒童:對於具有規則和小範圍的東西有半分的能力,若是原來整體的大小 改變,例如增大或變小,便得延緩分成一半的能力。此時期尚未有將物體分成相等三 部份的能力,在分割圖形中利用長方形的餅來解決比較容易。 (三)六到七歲的兒童:對於三等分的分法已經能夠成功的實施,而不用嘗試錯誤的方法, 但是其操作的了解仍停留在具體的操作層次。以一個圓餅為例,因為此階段的兒童具 有整體性的保留概念,他們已能了解到將各個分割塊數結合後所得到的總量與整個餅 是一樣多的。 (四)十歲左右的兒童:已經能實施六等分的分法。首先用三等分法先分好一個圓餅,所分 得的三塊餅,每塊分別再用二分法分一次。 Piaget 等人更進一步的說明,進行分數運算之前,兒童必須先具有下列七個子概念: (一)具有分數的思考前,應必須有一個可以除盡的全體。 (二)分配東西時,一個分數包含各部分的限定數,各部分須與接受者相對應。 (三)子分割活動中,全體必須沒有餘數,完全被耗盡。 (四)全體被切割成各部分的數與切割數之間,彼此有固定的關係。 (五)分割後的每一部分皆相等就是分數的概念。 (六)再細分的部分概念被兒童操作後,他們就會瞭解到此細分的部分是全體 的一部分,同時一個可再細分的全體即是此一細分的部分本身。 12.

(22) (七)全體始終不變,是因為分數是從全體而來。 甯自強(1993a)以「分數詞」為區分,來分析兒童在不同階段的運思方式,所呈現的 數概念和分割活動,並依此將兒童的分數詞意義分為以下五種: (一)分數概念的前身 在合成運思期,兒童的運思活動雖具有數概念與分割活動,但分割活動未能將子分割單 位數值化,更缺乏等分割後的分得量與單位量兩者作並置比較,僅是靠直覺做判斷,分時不 一定公平相等,也不一定窮盡,只有部分而缺乏部分—全體的概念。當兒童僅能用序列性合 成運思(甯自強,1993)來處理有關整數問題時,其分數詞所代表的數學意義多半為並置類型。 1  3 . 例如「  」對兒童而言,其意義是「1 和 3」或是「3 和 1」,若給予兒童 6 個花片,要求其 1  3 . 取出其中的「  」來,他的答案會拿出 1 個花片或 3 個花片。 (二)起始單位分數 兒童一旦引入累進性合成運思於分數的情境之中,就好像在連絡兩整數的整數情境中一 般,將子分割單位構成的分子部份內嵌於由子分割單位構成的分母部份,此時分數詞的意義 1  3 . 稱為「內嵌並置類型」。舉  為例來說明,由 1 所指涉的集聚單位,並內嵌於由 3 所指涉的 1  3 . 集聚單位之中,也就是說  意即「3 中間的 1」。此時的兒童對單位量的掌握並不明確,假如 1  3 . 問一份是全部的  ,那全部是多少?兒童會回答 4,即部份是在全體之中,易混淆部份與全 1  1  3  3 . 體的關係。在計算  + . 2  6 . 時,當 1 被複製時,分割數也會同時被複製,所以回答  。這也反. 應出「起始單位分數」是不可以被重複的單位分數。這時兒童仍無法從事單位分數的累積活 動,所以此時的單位分數稱為起始單位分數。 (三)加法性分數 區分兒童不同的分數詞意義時,用以來標出僅能以部份-全體運思同化分數情境的分數 概念類型的名詞(Ning,1992)。從此子分割活動已成為可被集聚的計數單位,子分割單位自此 1  1  3  3 . 2  3 . 開始成為單位分數的單位。例如:  +  是  。已經具有處理分母的合成、分解、比較問題的. 13.

(23) 能力,但仍缺乏通分的概念,無法聯絡兩個以上的子分割活動,例如有 6 個糖果,請兒童拿 2  3 . 出其中的  ,兒童回答 4 個,並不是代表兒童認知為「3 份中之 2 份」,而是「每 3 個中之 2 2  3 . 4  6 . 2  3 . 個」。此時 6 個糖果的  和 6 個糖果的  是相同的,但是 . 4  6 . 與 . 兩者是不同的。. (四)巢狀性分數 測量運思階段是具有雙向的部份-全體運思,並具有子分割單位數值化的分數概念,因 為在此時能夠同時運思兩個分數,知道兩個等值分數為同一分量的測量值。例如:當兒童能 察覺 10 個積木的 . 2  5 . 與 10 個積木的 . 4  10 . 是相同的,同時也認為這是在測量同一分量,此. 時分數單位便由加法性分數轉變為巢狀分數。其部分—全體的運思並非單向的,而是轉變為 雙向的。當從全體中再次分割時,全體並不會因此而被摧毀,但因缺乏彈性思考的緣故,仍 然還是僅侷限在分母為倍數關係,而無法擴展至兩者的分母為非倍數關係的類型,因此,在 此時的兒童不會認為 . 2  4 . 與 . 3  6 . 是等值的分數。. (五)有理數 能進行兩個部份-全體關係的重組,也就是巢狀分數的重組。在此時的兒童不僅具有部 份-全體雙向運思的概念,還能夠以分數做為測量單位,在比較  測量單位,而  等於 . 6  9 . 1  18 . 便是 . 4  6 . 與 . 6  9 . 4  6 . 與 . 6  9 . 時,以 . 的共測單位,此時兒童可以知道兩者都等於 . 12  18 . 1  18 . 當作. ,因此 . 4  6 . ,此時兒童具備等比例(共變)的概念,在這可以同時思考二個分數的情況下,我. 們便可以說,此概念即為密度的觀念。 六年級的學童中,大部分的學生已進入了有理數階段,對於分數概念已經有相當程度的 了解。但是學童究竟是否真正理解分數概念,或只是單方面接受教師的講授,卻不是一個容 易判別的答案。六年級的學童已經學習並能了解約分、擴分、等值、分數乘除概念,但種種 概念純粹是公式上的推演,或是真正對概念的理解,則需要再進一步的探討。. 14.

(24) 第三節 國小分數教材之探討 數學為科學之基礎,教育改革在各國不斷地推動時,皆注重數學教育的成果,我國對於 數學教育改革的重視更是積極。國民中小學課程標準歷經數次的變革後,教育部近年積極實 施九年一貫之課程改革,由此可知,國家對於教育的用心。 針對現階段 92 年版國民中小學九年一貫數學學習領域中,國民小學階段的目標為: (一) 第一階段(一至三年級):能掌握數、量、形的概念。 (二) 第二階段(四至五年級):能熟練非負整數的四則混合與計算,培養流暢的數字 感。 (三) 在小學畢業前:能熟練小數與分數的四則計算,並利用常用數量關係,解決日常 生活的問題。能認識簡單幾何形體的幾何性質,並理解其面積與體積公式。能報 讀簡單統計圖形,並理解其概念。 再由 92 年版國民中小學九年一貫數學課程綱要中分析分數教材之內容,如下表 2-2 中所 示: 表 2-2. 92 年版九年一貫數學分年細目—「分數」. 階段. 年級. 分年細目. 細目詮釋內容. 第一階段. 一年級. ×. ×. 二年級. 2-n-10. 1-3 年級. 能在平分的情境,認識分母在 12 以內的單位 分數,並比較不同單位分數的大小。 能在具體情境中,初步認識分數,並解決同 三年級. 3-n-09 分母分數的比較與加減活動。. 15.

(25) 表 2-2. 92 年版九年一貫數學分年細目—「分數」(續). 階段. 年級. 分年細目. 第二階段. 細目詮釋內容 能在平分情境中,理解分數之「整數相除」的. 4-n-06 4-5 年級. 意涵。 能認識真分數、假分數與帶分數,熟練假分數 四年級. 4-n-07. 與帶分數的互換,並進行同分母分數的比較 較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 能理解等值分數,進行簡單異分母分數的比. 4-n-08 較,並用來做簡單分數與小數的互換 5-n-04. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. 5-n-05. 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。. 五年級. 能在測量情境中,理解分數之「整數相除」的 5-n-06 意涵。 能理解乘數為分數的意義及計算方法,並解決 5-n-07 生活中的問題。 5-n-11. 第三階段. 能將分數、小數標記在數線上。 能理解除數為分數的意義及計算方法,並用來. 6-n-03 6-7 年級. 六年級. 解決生活中的問題。 6-n-05. 能作分數的兩步驟四則混合計算(兩步驟)。. 對於九十九學年度畢業的國小六年級學生而言,其接觸的課程是以九十二學年度實施之 九年一貫課程正式綱要能力指標所編製的課程,與八十二年部編版、九年一貫課程暫行綱要 能力指標比較,分數概念數學學習課程一致,其順序為「單位分數」、「真分數」、進入「假 分數」與「帶分數」(國北師,2002)。 而分數計算的學習活動則是:第一階段能在具體情境中,初步認識分數,並解決同分母 分數的比較與加減問題【N-1-09】 ;第二階段能理解分數之「整數相除」的意涵,能認識真分. 16.

(26) 數、假分數與帶分數,作同分母分數的比較、加減與整數倍計算,並解決生活中的問題。能 理解等值分數、約分、擴分的意義,能理解通分的意義,並用來解決異分母分數的比較與加 減問題,能理解分數乘法的意義及計算方法,並解決生活中的問題,能做分數與小數的互換, 並標記在數線上【N-2-06】 【N-2-07】 【N-2-08】 【N-2-09】 【N-2-11】 【N-2-13】 ;第三階段能理解 最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義,並用來將分數約成最簡分數。能理解除數為分 數的意義及計算方法,並解決生活中的問題【N-3-02】【N-3-03】(教育部,2003)。階段一 為一至三年級,階段二為四、五年級,階段三為六、七年級,階段四為八、九年級。能力指 標能力指標以三碼編排,其中第一碼表示主題,以字母 N 表示「數與量」 ;第二碼表示階段, 分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段;第三碼則是能力指標的流水號,表示該細項下 指標的序號。 表 2-3 八十二年部編版與九年一貫課程之國小階段分數課程發展比較 八十二年部編版. 九年一貫課程. 九年一貫課程. 暫行綱要能力指標. 正式綱要能力指標. 第一階段(一~三年級) 1.分數概念的初步認識. N-1-7 在等分好、整體 1 能明顯 N-1-09 能在具體情境中,初步認. 2.分數的讀法轉換成記. 出現之具體生活情境中(包含. 識分數,並解決同分母分數的比. 法. 連續量、離散量),能以真分. 較與加減問題。. 3.分母為 20 以內的真分. 數(分母在 20 以內)描述內容. 數的認識. 物為單一個物的幾份,並能延. 4.分母為 10 的真分數. 伸真分數的意義,進行同分母 真分數的合成、分解活動(和 <1). 17.

(27) 表 2-3 八十二年部編版與九年一貫課程之國小階段分數課程發展比較(續) 八十二年部編版. 九年一貫課程. 九年一貫課程. 暫行綱要能力指標. 正式綱要能力指標. 第二階段(四五年級) 1.分數的種類. N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯 N-2-06 能理解分數之「整數相除」. 2.真分數的概念. 出現之具體情境中,能以真分. 的意涵。. 3.假分數的認識. 數來描述單位分數內容物為多. N-2-07 能認識真分數、假分數與. 4.同分母分數的加減. 個個物的幾份,進行同分母真. 帶分數,作同分母分數的比較、. 5.等值分數. 分數的合成、分解活動,並理. 加減與整數倍計算,並解決生活. 6.分數的數線. 解等值分數的意義。. 中的問題。. 7.把分數視為整數除法. N-2-6 在具體情境中,能以假分 N-2-08 能理解等值分數、約分、. 的結果. 數或帶分數描述具體的量,並. 擴分的意義。. 8.分數乘以整數的乘法. 能解決分數的合成、分解以及. N-2-09 能理解通分的意義,並用. 簡單整數倍的問題。. 來解決異分母分數的比較與加減 問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及 計算方法,並解決生活中的問 題。 N-2-13 能做分數與小數的互換, 並標記在數線上。. 18.

(28) 表 2-3 八十二年部編版與九年一貫課程之國小階段分數課程發展比較(續) 八十二年部編版. 九年一貫課程. 九年一貫課程. 暫行綱要能力指標. 正式綱要能力指標. 第三階段(六七年級) 1.約分和擴分. N-3-3 在具體情境中,理解通分 N-3-02 能理解最大公因數、最小. 2.通分. 的意義並運用通分解決異分母. 公倍數與兩數互質的意義,並用. 3.分數除以整數的除法. 分數的合成、分解問題。. 來將分數約成最簡分數。. N-3-4 在具體情境中,解決分數 N-3-03 能理解除數為分數的意義 乘以分數的問題,進而形成分. 及計算方法,並解決生活中的問. 數倍的概念。. 題。. N-3-7 能用分數倍的概念,整合 以分數為除數的包含除和等分 除的運算格式。 資料來源:教育部 從表 2-3 發展的脈絡相互比較,相同處為由情境中進入學習,分數詞的認識均有真分數、 假分數、帶分數與等值分數的認識。相異處為分數的計算活動,八十二年部編版只進行同分 母的加減及分數乘以或除以整數;九年一貫課程則延伸到異分母分數的合成、分解,及異分 母分數乘以或除以分數(吳佳芬,2009)。 九年一貫課程之國小階段教科書「分數」課程教學活動,以部編版為例,將六年級學童 所學習的分數課程做一整理為表 2-4:. 19.

(29) 表 2-4 九年一貫課程之國小階段分數課程教學活動地位 冊別(年級). 分數概念. 第五冊. 1.分子異於 1,總量不超過 1 個的分數. (三上). 2.建立分數(≦1)的數詞序列 3. 同分母分數的比較. 第六冊. 1.由單位分數的個數認識分數. (三下). 2.同分母加法(和在 2 以內) 3.同分母減法(被減數小於 2). 第七冊. 1.認識帶分數、真分數、假分數. (四上). 2.帶分數和假分數的互換 3.同分母分數的比較、加減 4.非帶分數的整數倍. 第八冊. 1.等值分數(分母 12 以內). (四下). 2.異分母分數的比較(分母 10 以內,一個能整除另一個) 3.用平分理解整數相除的意義 4.整數乘以分數,轉為先除再乘的問題 5.整數除以分數(單位分數),轉為乘法問題. 第九冊. 1.擴、約分找等值分數. (五上). 2.通分作異分母分數的比較與加減 3.從(分裝)測量理解整數相除的意義. 第十冊. 1.乘數為分數的計算. (五下). 2.除數為整數的計算. 20.

(30) 表 2-4 九年一貫課程之國小階段分數課程教學活動地位(續) 冊別(年級). 分數概念. 第十一冊. 1.理解除數為分數的意義與計算. (六上). 2.認識倒數 3.認識比、比值與正比 4.相等的比,將所有分數的比化成最簡單整數比 5.能根據除數和 1 的關係,判斷商和被除數的大小. 第十二冊. 1.分數乘除混合計算. (六下). 2.分數加、減、乘、除混合的四則問題 3.成正比. 由上可知,國小各年級學童分數概念的學習活動依序進行的過程。但學童是否能夠透徹 理解所有分數的概念,或者是在學習中產生了迷失概念,這將在隨後的章節中,探討分數迷 失概念,並透過試題關聯結構分析法來分析學童的概念是否遵循著教材的設計而發展。. 第四節 試題關聯結構分析之研究工具 本研究將運用試題關聯結構分析法,來分析受試學童的分數概念試題關聯結構圖,因此 針對試題關聯結構法的構想由來、試題關聯結構順序性係數、試題關聯結構法理論以及試題 關聯結構分析法的功能等分別敘述如下: 一、試題關聯結構法的構想由來 在實施教學活動時,教師若能得知班上學童之概念能力在結構上的變化訊息,就能及時 協助學童釐清概念及理解思考,但長久以來卻無考驗的方法。美國學者 Airasian and Bart 於 1973 年首先揭開「次序理論」(Ordering theory)在教育工學的應用(Airasian & Bart, 1973)。 日本學者竹谷誠於 1977 年參加美國威斯康辛大學的研討會後,返回日本便致力於改良「次 序理論」的缺點,在 1979 年發明「試題關聯結構分析法」,終於 1980 年完成試題關聯結構 分析法的理論。竹谷誠提出以測驗試題的結果,按題目彼此間反應所得的順序關係,製成具 21.

(31) 有指向性的圖形結構,來分析試題的特性,此種方法稱為試題關聯結構分析法(Item relational structure analysis),簡稱 IRS 分析法;教師在實施教學活動之後,便能運用此種方法,迅速 了解班上兒童之學習概念結構的訊息及兒童的概念能力在結構上的變化。此外,竹谷誠研究 結果還指出:試題關聯結構分析法也有助於瞭解兒童的認知學習構造與概念形成過程、對形 成性評量的結果進行補救教學,並提供教科書編者對課程教材構造之瞭解,及教師進行教學 設計時也因為有了試題關聯結構分析法,學習情況與教學成果的分析才獲得解決(許天維, 1995)。 二、試題關聯結構法理論 為能夠充分說明試題關聯結構法理論,必須先設計一特殊實例來加以說明。假設有 A、 B 兩組學生各有十位,均參加試題共為六題的同一種測驗,若假設答對者得一分,答錯者得 零分,其得分情況如下表(許天維,1995): 表 2-5 A、B 組學生得分情形表 A 組 試題 試 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 答對 者數. 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0. 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 4. 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 6. B 組 試題 試題 試題 試題 試題 試題 試題 試題. 試題 試題 試題 試題 試題 試題. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2. 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 5. 7. 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 5. 3. 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 學生 答對 者數. 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0. 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 4. 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 6. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6. 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 2. 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0. 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 5. 7. 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 5. 由表 2-5 可知兩組測驗後,各組各試題之答對者人數均相同,為方便起見,可以改成下 表:. 22. 3.

(32) 表 2-6 A、B 組學生得分情形簡表 A. 試. 題. B. 試. 題. 1 1 1 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 7 1 8 1 9 0 10 0. 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0. 3 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0. 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0. 6 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0. 7 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0. 8 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0. 1 1 1 2 1 3 0 學 4 0 5 1 6 0 7 1 生 8 0 9 0 10 0. 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0. 3 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0. 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 5 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0. 6 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0. 7 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0. 8 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0. 答對者數 4. 6. 6. 2. 5. 7. 5. 3. 答對者數 4. 6. 6. 2. 5. 7. 5. 3. 學. 生. 其次,依照每位學生試題所得的總分高低,由上而下排序可得下表: 表 2-7 A、B 組學生試題得分排序表 A. 試. 題. B組. 1 1 1 2 1 5 0. 2 1 1. 3 1 1. 4 1 1. 5 1 1. 6 1 1. 7 1 1. 8 1 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 7 1 6 0 3 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1 0. 1 0. 0 0. 0 1. 1 1. 0 1. 0 0. 8 1 4 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 9 0 10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 答對者數 4. 6. 6. 2. 5. 7. 5. 學. 生. 試. 題. 1 1 1 2 1 5 1. 2 1 1. 3 1 1. 4 1 1. 5 1 1. 6 1 1. 7 1 1. 8 0 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 7 1 6 0 3 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1 0. 1 0. 0 0. 1 0. 1 1. 0 1. 0 1. 生. 8 0 4 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 低分. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 9 0 10 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 答對者數 4. 6. 6. 2. 5. 7. 5. 3. 高分 學. 23.

(33) 接著,將學生在各試題答對人數的多寡順序,由左而右排列,可得佐藤 S-P 表(佐藤隆 博,1982),如下表所示: 表 2-8 A、B 組學生試題得分、人數排序表 A. 試. 題. B. 試. 題. 6 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0. 2 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0. 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0. 5 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0. 7 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0. 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0. 8 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0. 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 1 2 學 5 7 6 3 8 生 4 9 10. 6 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0. 2 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0. 3 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0. 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0. 7 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0. 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0. 8 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0. 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 答對者數 7. 6. 6. 5. 5. 4. 3 少. 2. 答對者數 7. 6. 6. 5. 5. 4 3 少. 2. 1 2 學 5 7 6 3 8 生 4 9 10. 多. 多. 由上表得知,兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序兩者都相同;亦即二組之試 題難易分配與試題號碼之對應是彼此完全一致的,但如果考慮順序結構圖,依下列方法加以 分析,就會有顯著的差異。 A 組中,答對試題 4 的學生是 1 號及 2 號,他們亦同時答對了試題 1,亦即答對試題 4 的學生亦答對試題 1,此時就有試題 1 到試題 4 的箭頭,記作 1→4;同理,答對試題 1 的學 生是 1 號、2 號、7 號及 8 號,他們亦同時答對了試題 2、3,所以分別有 2→1、3→1;另一 方面,答對試題 4 的學生是 1 號及 2 號,他們亦同時答對了試題 5,答對試題 5 的學生是 1 號、2 號、3 號、4 號及 5 號,他們亦同時答對了試題 6,所以分別有 5→4、6→5;此外,答 對試題 1 的學生有 7 號沒答對試題 5,故沒有試題 5 到試題 1 的箭頭,其餘均依此類推。 同理,在 B 組中,答對試題 4 的學生是 1 號及 2 號亦答對了試題 1,亦即答對試題 4 的 學生亦答對試題 1,此時就有試題 1 到試題 4 的箭頭,記作 1→4;答對試題 1 的學生是 1 號、 2 號、5 號及 7 號亦答對了試題 5,所以有 5→1;答對試題 5 的學生是 1 號、2 號、5 號、6 24.

(34) 號及 7 號分別答對了試題 2、3,所以分別有 2→5、3→5;答對試題 2、3 的學生有 1 號、2 號、5 號、6 號、7 號及 8 號亦答對了試題 6,故有 6→2、6→3;而答對試題 8 的學生是 3 號、 4 號及 9 號,但是這三位學生未再答對其他試題,故無任何箭頭指向試題 8,試題 8 也無箭頭 指向其他試題,所以無順序關連;其餘均依此類推。 從以上分析,如果定義答對率為:. 試題答對率=. 受測學生答對人數 受測全體學生人數. 則以答對率為縱座標,可將所有相關的指向箭頭標示出來,成為完整的試題關聯結構 圖,如下圖 2-1 示: 答對率 . A  組結構圖 . B  組結構圖  4 . 4  0.2  8 . 0.3 . 8 . 1. 1 . 0.4 . 5,7  5                          7 . 0.5 . 2 . 0.6 . 3 . 3                  2  0.7 . 圖 2-1. 6 . 6 . A、B 組學生試題關聯結構圖. 從 A、B 兩組試題中,可以清楚看到兩者的關聯結構圖截然不同。僅管兩個表的試題之 答對率是相同的,然而兩組學生的理解結構卻不盡相同。左圖顯示 A 組存在著兩個系列,即 試題 4、8、5、6 的系列以及試題 4、1、7、2、3 系列,而右圖顯示 B 組的試題形成一個單純 的一元化系列,試題 5、7 為等價關係且答對率一樣,為簡化圖形,所以框住列在一起,使結 25.

(35) 構圖更容易觀察,另有一無順序關連的試題 8。故試題關聯結構圖可看出在 S-P 表所觀察不 到的各試題間的順序關係,可作有方向性的圖性判讀,進一步作為判斷學生理解順序的依據。 三、試題關聯結構順序性係數 上述是為闡明試題關聯結構分析法而設計的特殊例題,關於試題關聯結構分析法首先以 數理推導理論來製造指向,為達到此目的,先考慮令: X=(xij)N×n. i=1,2,…,N;. j= 1,2,…,n.. 其中xij=1 表第i個學生答對試題 Ij,xij=0 表第i個學生答錯試題 Ij。 又設: P(Ik)表試題 Ik 答對的機率。 P(Ij)表試題 Ij 答對的機率。 P( I k)表試題 Ik 答錯的機率。 P( I j)表試題 Ij 答錯的機率。 P( I j,Ik)表試題 Ij 答錯,且試題 Ik 答對的聯合機率。 P(Ij,Ik)表試題 Ij 與試題 Ik 均答對的聯合機率。 P( I j, I k)表試題 Ij 與試題 Ik 均答錯的聯合機率。 P(Ij, I k)表試題 Ij 答對,且試題 Ik 答對的聯合機率。 由上可推知下面機率的四分割表: 試. 題. Ik. 對(1) 試. 錯(0). 合計. 對(1). P(Ij,Ik). P(Ij, I k). P(Ij). 錯(0). P( I j,Ik). P( I j, I k). P( I j). 合計. P(Ik). P( I k). 1. 題 Ij. 26.

(36) 依上所述,試題關聯結構順序性係數 r*jk 表示法定義如下(引自許天維,1995): r*jk=1-P( I j,Ik)/ [P( I j)P(Ik)] 順序性係數 r*jk 代表試題j指向試題k的順序性程度,也就是指試題j為下位概念(lower concept) ,試題k為上位概念(upper concept)的程度。順序性係數是一個數值,而竹谷誠(1991) 以 0.5 為閥值(threshold),可經由電腦模擬產生。若順序性係數大於閥值,則表示試題j與 試題k之間有順序關係;反之則無。另外,若順序性指向過少,可以減少閥值為 0.4;若順序 性指向過多,則可以增加閥值為 0.6。一般而言,閥值介於 0.4 到 0.6 之間。 試題關聯結構圖是將所有的試題,按照答對率之高低排列順序,形成一種具有指向固定 同一方向的階層結構圖。也就是說階層性結構圖的指向,均是由答對率高的試題指向答對率 低的試題(許天維,1995)。 四、試題關聯結構分析法的功能 許天維(1995)指出試題關聯結構分析法具有教學設計、形成性評量、認知學習構造、 概念形成過程及課程教材構造等五項功能,茲分別敘述如下: (一)在教學設計方面: 在準備教學活動時,對於要進行的課程內容中的先前經驗概念,教師可以將此作一知識 結構分析後,再分別依結構所對應的知識概念來出題。在尚未進行教學之前,先予以施測, 再將得到的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,可以考驗學童先前經驗概念不足之處, 從而了解未來指導時困難之處,並作為教學設計的參考。 (二)在形成性評量方面: 經過單元教學活動後,先利用知識結構分析出題,編製形成性評量,並加以施測,所得 的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析,就可以在教學活動以後,了解學生學習後的知 識結構,且得到班上學童的學習成效,用以進行補救教學。 (三)在認知學習構造方面: 形成性評量的反應結果,亦可偵測出異質性的學生。利用佐藤 S-P 表獲得注意係數,並 將此類學生所畫出的結構圖與班上的結構圖兩者互為比較,即可知道此類學童異質的原因, 27.

(37) 並以此作為加強輔導教學的依據。 (四)在概念形成過程方面: 學生概念的形成過程,在縱貫研究(longitudinal study)上是有層次之分的。例如:山田 完對教師進行評定學童設有操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次等 四個層次。如果以此四層次來評定各年級班上學童的形成過程,並建立各年級的結構圖,即 可知學生的概念形成過程之發展。對橫斷研究而言,也可知班上學生的概念形成過程之分布。 (五)在課程教材構造方面: 利用母群體隨機抽出樣本進行考驗後,再透過「試題關聯結構分析法」進行構圖,便可 得一般學生的學習構造,這對教科書編者而言是貴重的資料,而且在分析典範教師的學習指 導構造圖的特質時,也具有很大的作用。 其次,需要提醒的是,此種「試題關聯結構圖」與「詮釋結構圖」(Interpretative structural modeling, 簡稱 ISM)不能混為一談,因為詮釋結構圖僅適宜分析專家(expert)或是知識較 為成熟的受試者知識結構;它僅是使用經過設計後的兩兩關係概念問卷來找出受試者概念間 的指向,或是藉由受試者自行建構的兩兩關係概念指向,再運用圖形理論來統合所有被製造 出來的指向,並加以畫出構圖,並沒有透過成就測驗或是形成性評量,所以這是一種屬於知 識結構分析的特殊方法。但由於知識架構對國小學童而言不夠成熟,所以使用詮釋結構圖通 常無法獲得真正可靠的結果,所以此種方法僅適合分析專家(expert)或知識較成熟的受試者 之知識結構。而湯維玲(1994)認為:「詮釋結構分析法」與「試題關聯結構分析法」,不 只可解決日本教育學者坂元昂的授業改造技法一書中,所注重的教材構造分析與學習結構圖 的編製,亦可解決美國著名的教育學者 Scandura, J.M.所倡導的結構式學習理論(Structural learning theory, 簡稱 SLT)中的不足之處。 在教學過程中,為補足理想化教師(idealized teacher)分析上實務的困難,可用「詮釋 結構分析法」形成「規則」(rule)的結構路徑,在確認學習者已知或未精熟(nonmastery) 的路徑(path)時可用「試題關聯結構分析法」。根據 Scandura 的研究指出,以結構分析的 方式,處理幾何作圖問題、計算技巧、代數證明、小學數學課程以及 Piaget 保留概念問題等, 都有極豐碩的實證性研究成果(Scandura,1980)。 28.

(38) 綜合上述幾點,本研究編製六年級分數概念試題,主要是為了得知一個班級學生的知識 結構,並透過評量結果所建立的結構圖,可以了解學生知識結構的型態,才能針對概念不足 之處實施補救教學或改進教學設計,以求學童能習得完整的知識結構。. 29.

(39) 30.

(40) 第三章 研究方法 本研究主要的目的是建立一份能檢視六年級學童分數概念,且具有信度、效度的試題, 才能瞭解國小六年級學童分數概念結構的發展順序,並探討結構圖中所呈現的訊息。本章共 分為五節,分別對研究架構、研究對象、研究工具、研究流程、資料處理,依序說明如下。. 第一節 研究架構 根據文獻探討與研究目的,提出本研究的架構如圖 3-1 所示:. 閱讀分數概念相關文獻. 分數概念圖. 分析國小分數教材. 分數教材地位圖. 雙向細目表. 分數試題架構圖 進行預試. 編擬分數概念試題. 抽樣班級施測. 正式施測試題. 形成 IRS 結構圖. 解釋概念結構圖 圖 3-1 研究架構圖. 31.

(41) 第二節 研究對象 壹、預試樣本 本研究選取台中市豐原區的某國民小學為對象,研究者因受限於人力、時間的限制,故 採取方便取樣,選取六年級二個班級學生共 63 個人為施測對象。 貳、正式樣本 正式樣本選取台中市某個區六年級三個班級學生共 86 人。施測地點在原來班級教室, 目的在於讓學生減少周圍環境、情境等其它因素之影響,且能在最熟悉的環境下施測,學生 作答時間為 40 分鐘。. 第三節 研究工具 本研究使用的工具包括分數試題,以及相關的統計軟體等,茲說明如下:. 壹、編製試題 (一)試題內容之概念架構 本試題的編製是由研究者參考現行國民小學六年級數學領域分數教材以及教師手冊內 容,編製分數的教材地位圖,如圖 3-2;然後,再參酌分數概念的相關研究文獻,配合學童 的認知發展,架構出分數概念圖,如圖 3-3;再根據此來編製之分數概念試題架構圖,如圖 3-4;最後形成分數概念試題。. 32.

(42) 分數概念的初步認識. 分數的讀法轉換成記法. 分母為20以內的真分數的認識. 假分數及帶分數的認識. 同分母分數的合成、分解. 把分數視為整數除法的結果. 分數乘以整數的乘法. 整數乘以分數的乘法. 等值分數. 約分和擴分. 分數乘以分數的乘法. 異分母分數的比較. 分數除以整數的除法. 異分母分數的加減. 分數除以分數的除法(同分母). 分數除以分數的除法(異分母). 整數除以分數的除法. 圖 3-2 分數教材地位圖. 33. 分數的數線. 認識比與比值. 正比. 最簡單整數比.

(43) 擴分 (題 1) 等值分數 約分 (題 2、3). 分數的大小比較 (題 4、5、6) 分數加法 (題 7、8) 通分 分數減法 (題 9) 分數加減混合 (題 10、11). 乘法的大小比較 (題 12、13) 分數乘以整數 (題 14) 分數乘法. 分數乘以真分數 (題 15、16) 分數乘以假分數 (題 17、18) 分數乘以帶分數 (題 19、20). 除法的大小比較 (題 21、22) 分數除以整數 (題 23) 整數除以分數 (題 24) 分數除法 分數除以真分數 (題 25) 分數除以假分數 (題 26、27) 分數除以帶分數 (題 28、29、30). 圖 3-3 分數概念內容架構圖. 34.

(44) (二)試題編製流程 本研究編製試題時,先繪製試題編製流程圖,如圖 3-4;而為了解學生的知識結構,再 編製分數概念命題雙向細目表,如表 3-1。. 參考相關文獻、數學教材. 研擬試題概念架構圖. 依架構圖及雙向細目表編製試題. 進行第一次施測. 修訂試題. 測驗、學科專家檢核試題. 依專家意見修訂試題. 試題定稿. 正式施測. 圖 3-4 試題編製流程圖. 35.

(45) 表 3-1 分數概念命題雙向細目表. 主要概念. 認知層次. 次概念 知識. 等值分數概念. 擴分. 分數的大小比較. 2、3 5、6. 分數加法. 4 8. 分數減法. 分數乘法. 10. 11. 12、13. 分數乘以整數. 14. 分數乘以真分數. 15、16. 分數乘以假分數. 17、18. 分數乘以帶分數. 19、20. 除法的大小比較 分數除法. 7 9. 分數加減混合 乘法的大小比較. 應用 1. 約分. 通分概念. 理解. 21、22. 分數除以整數. 23. 整數除以分數. 24. 分數除以真分數. 25. 分數除以假分數. 26、27. 分數除以帶分數. 28、29. 30. (三)試題的信度 信度(reliability)亦稱為可靠性,是指測驗結果的穩定性而言(郭生玉,1989)。在本研究中, 係以 Cronbach's α 係數來求試題之內部一致性。 36.

(46) (四)試題的效度 效度(validity)亦即正確性,是指一個測驗能夠正確地測量到所要測量的能力或潛在特質 程度而言。本研究分別採內容效度及專家效度兩方面來進行。 內容效度旨在有系統的檢查測驗內容的適切性,考量測驗內容是否包括足夠的行為樣本 或取樣的適切性,一般是利用雙向細目表來判斷測驗內容的效度。本研究編製試題時,依據 分數概念相關文獻及國小現行分數教材所歸納出之子概念,及分數概念命題雙向細目表(如 表 3-1),作為考驗內容效度的依據。 至於專家效度方面分兩部分進行:在測驗專家部份,與教育大學一位數學教育教授進行 討論與修正;在學科專家部份,則在本測驗編製之初先請二位擔任國小高年級的資深級任教 師及一位臺中教育大學數學教育系碩士班研究生先校閱,修改試題中不適合國小學童的詞句 (審查表格請參閱附錄一)以做為專家效度之依據。 貳、相關的統計軟體 本研究所使用之電腦軟體包括: (一)SPSS(10.0 for Windows)統計套裝軟體:用來進行筆試資料的信度分析, 以及相關研究分析。 (二)IRSP:用來求出各試題間的關連順序係數,及繪製群體受試者之試題關聯結構圖(郭伯臣、 田聖才,1995)。 叁、試題內容 本測驗之試題依據試題架構分析表及解題所需之分數概念編製如下,預試試題請參閱附 錄二,預試試題共計四十二題,經過難度及鑑別度分析後,刪減十二題,正式施測試題共計 三十題,內容請參閱附錄三。 肆、預試結果 試題編製完成後,以抽樣方式抽出臺中市某國民小學六年級二個班級共63位學生,作為 預試對象,預試結果(如表3-2)以Cronbach's α係數來求試題之內部一致性,得到的α值 為.898,是信度可接受的預試試題,難度大致集中在0.5~0.8間;鑑別度是利用 d = PH - PL  來 作分析。有少數幾題的鑑別度較低,因該試題屬於最底層的概念,在測驗上還是有所需要, 37.

(47) 所以保留原題。 在進行預試結果之後,針對鑑別度較低的試題予以刪除,接著將刪除試題過後的數字加 以修正、文字措辭加以修飾、順序加以調整即可作為正式施測試題了。. 38.

參考文獻

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