高二上第一次學藝競試數學科3B題庫(40)

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P1

單元㇐ 弧度量

㇐、單選題

1. （ ）下列哪一個角度最接近 3 弳？ (A)90° (B)120° (C)135° (D)150° (E)180° 解答 E 解析 因為 3 弳 3 (180) (540) 171.9          2. （ ）π°角： (A)大於二直角 (B)等於二直角 (C)小於二直角，但大於直角 (D)等於直角 (E)小於直角 解答 E 解析 π° ≈ 3.14° < 90° 3. （ ）已知扇形的周長等於它所在圓的周長的一半，那麼這個扇形的圓心角為 (A) 1 2  _ (B)π − 1 (C)3 2  (D)π − 2 (E)π + 1 解答 D 解析 設圓心角為 θ，半徑為 r ⇒2 1(2 ) 2 r r   r ⇒ 2r + rθ = πr ⇒ 2 + θ = π ⇒ θ = π − 2

二、多選題

4. （ ）試比較 a = sin1，b = sin2，c = sin3，d = − sin4， 3

2

e 的大小，下列哪些選項是正確的？

(A)最大為 a (B)最大為 b (C)最大為 e (D)最小為 c (E)最小為 d

解答 BD

解析 a = sin1 ≈ sin57.3°，

b = sin2 ≈ sin114.6° = sin65.4°， c = sin3 ≈ sin171.9° = sin8.1°，

d = − sin4 ≈ − sin229.2° = − ( − sin49.2°) = sin49.2°，

3 sin 60 2 e  ， 所以b > e > a > d > c， 故最大為b，最小為 c

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5. （ ）下列有關弧度量的敘述哪些是正確的？ (A)sin3 > sin2 > sin1 (B)cos7 > cos8 > cos9

(C)點(sin50,cos50)在第二象限 (D)tan(cos )

2



無意義 (E)

cos(cos ) sin(sin ) cos(sin ) sin(cos )

2 2 2 2

 _  _  _ 

解答 BCE

解析 (A)sin3 ≈ sin172° = sin8°，sin2 ≈ sin115° = sin65°，sin1 ≈ sin57°，所以 sin2 > sin1 > sin3 (B)cos7 ≈ cos401° = cos41°，cos8 ≈ cos458° = cos98°，cos9 ≈ cos516° = cos156° ⇒ cos7 > cos8 > cos9 (C)50 為第四象限角 ⇒ sin50 < 0，cos50 > 0，所以點(sin50,cos50)在第二象 限 (D)tan(cos ) tan 0 0

2

 _{ }

(E)cos(cos ) cos0 1 2

 _{ }

，sin(sin ) sin1 sin 57 2

 _{  }

，cos(sin ) cos1 cos57 sin33 2  _{    } ， sin(cos ) sin 0 0 2  _{ }

，所以cos(cos ) sin(sin ) cos(sin ) sin(cos )

2 2 2 2  _  _  _ 

三、填充題

6. 7 點 10 分時，長針與短針所夾角度為____________弳。 解答 31 36  解析 每一大格均為2 12 6  _ ， 所以從數字2 到 7 共有 5 5 6 6 _{ }  ， 又長針走1 6圈，則短針走 1 6大格， 故長針與短針夾的角度為5 1 31 6 6 6 36  _{  }  。 7. 如圖，直圓錐中，底圓直徑BC6，稜邊長AB18，D 是稜邊AC上一點，且AD4。今有一螞 蟻從C 點繞曲面一周到達 D 點，則其最短路徑長為____________。 解答 2 67 解析 如圖，_CC 長6π， 6 18 3 CAC      ， △ADC′中， 2 ₄2 ₁₈2 _{2 4 18cos 268} 3 C D        ， 所以所求 268 2 67 。 12 6 1 5 11 7 2 4 10 8 3 9

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P3 8. 設一扇形的周長為 20，則當此扇形面積為最大時， (1) 圓心角為____________。 (2) 半徑為____________。 (3) 面積最大值為____________。 解答 (1)2 (2)5 (3)25 解析 周長 s = 2r + rθ = 20，面積 1 2 2 A r， 2 2 2 2 2 r r r r r  _{ }  _{  } ⇒10 4A⇒ A ≤ 25， 面積最大為25， 此時2r = rθ ⇒ θ = 2，4r = 20 ⇒ r = 5， 故圓心角為2，半徑為 5，面積最大值為 25。 9. 如圖，一個半徑為 2 的四分之一圓，內部有一內切圓，求 AB 弧與劣弧 AC 弧兩圓弧長的和為 ____________。 解答 (3 2 1) 2   解析 (I) 4 ADB    ⇒ 2 4 2 AB    ， (II) 3 4 4 AOC        ，且設OC r ⇒r 2r2⇒r _{2 1}2_ 2( 2 1) ， 所以 2( 2 1) 3 ( 2 1) 3 4 2 AC        ， 故  ( 2 1) 3 (3 2 1) 2 2 2 AB AC        。 r r r

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10. 設 a = cos(sin0)，b = sin(cos0)， cos(sin )

2 c  ， sin(cos ) 2 d  ，試比較a，b，c，d 的大小順序為 ____________。 解答 a > b > c > d 解析 a = cos(sin0) = cos0 = 1， b = sin(cos0) = sin1 ≈ sin57°，

cos(sin ) cos1 cos57 sin 33 2 c      ， sin(cos ) sin 0 0 2 d    ， 所以a > b > c > d。

四、計算題

11. 圖為度與弳的換算，請將正確答案填入空格內。 解答 見解析 解析 4 － 6 － 3 2 4 3 7 4 5 4 2 3 90 60 0 0 330 210 150 180 135 300 4 － 6 － 3 2 4 3 7 4 5 4 2 3 90 60 0 0 330 210 150 180 135 300 2 － 3 － 5 3 7 6 3 4 5 6 120 30 45 225 240 270 315 11 6

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P5 12. 如圖，ABCD 為正方形，邊長為 2，四個等圓的圓心分別為 A、B、C、D，試求鋪色部分的面積。 解答 4 (4 2 2)   解析 先求圖中 S 的面積， 即S = 正方形 OEDF 面積 − 扇形 DEF 面積 2 1 2 1 1 1 2 2 4         ， 所以所求鋪色部分面積 = 4 × S −（夾在裡面小圓的面積） 2 4(1 ) ( 2 1) 4  _       4 (4 2 2) 。 13. 如圖，扇形的頂角為 45°，其半徑為 2，ABCD 為正方形，求鋪色部分面積。 解答 4 2 5  _ 解析 令正方形 ABCD 的一邊長為 x， 由∠AOB = 45°知OA x ， 直角△OCD 中， 2 2 2 OD CD OC ⇒ (2x)2 + x2 = 22 2 5 x   _， 鋪色部分面積 1 22 ( 2 )2 4 2 4 5 2 5         。 14. 阿龍超級市場中大小相同的罐頭每三罐用塑膠繩捆起來一起販售（如圖所示）。已知罐頭橫截面 的圓半徑為4 公分，試求塑膠繩的長度。 解答 (8π + 24)公分 解析 罐頭橫截面如圖所示， 繩長為4 2 3 2 4 3 8 24 3  _        （公分）。 4 3 － 2 3 x 2 1 1 A D B C O y

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五、混合題

15. 邊長為 2 的正方形，向內作四個等弧，P 為弧上任一點，且∠APB = 135°，如圖 (1) _AB所在的圓，其半徑為何？ (A)1 (B)1 2 (C) 2 (D) 2 2 (E) 3 (2) 試求鋪色部份面積為多少平方單位？ 解答 (1)C (2)8 − 2π 解析 因為∠APB = 135° ⇒∠AOB = 2(180° − 135°) = 90°， 又因為AB2⇒OA OB  2， 所以弓形 面積 = (扇形 − )面積 2 2 1 1 ( 2) ( 2) 1 2 2 2 2          ， 所以所求 ₂2 _{4( 1) 8 2} 2  _      （平方單位）。

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單元二 週期數學模型

㇐、單選題

1. （ ）將函數 y = sinx 的圖形水平伸縮為1 2倍，再向左平移6  個單位，所得新圖形的函數為何？ (A) sin(2 ) 6 y x (B) sin(2 ) 6 y x (C) sin(2 ) 3 y x (D) sin(1 ) 2 3 y x (E) 1 sin( ) 2 6 y x 解答 C 解析 y = sinx水平伸縮為 倍12 y = sin2x 6  向左平移 單位 ysin[2(x₆)] sin(2 x₃)， 所以所得新圖形的函數為 sin(2 ) 3 y x 2. （ ）設 0 ≤ x ≤ 2π，k 是一個常數且 0 < k < 1。已知 y = k 和 y = sinx 的圖形交於兩點，此兩點 的x 坐標和為 (A) 2  _{(B)π (C)}3 2  _{(D)2π (E)}5 2  解答 B 解析 如圖，θ + (π − θ) = π

3. （ ）方程式 π × sinx = x 的實根個數為下列哪一個選項？ (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 (E)無限 多個 解答 C 解析 sinx x   的實根個數 即y = sinx 與y x   圖形的交點個數， y = sinx 的圖形對稱原點，所以在 I、III 象限內交點個數相同， 故實根個數為1 × 2 + 1（原點）= 3（個）

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4. （ ）設 a = sin1，b = sin2，c = sin3，則 a、b、c 的大小關係為下列哪一個選項？ (A)a > b > c (B)a > c > b (C)b > a > c (D)c > a > b (E)c > b > a

解答 C

解析 作圖，

由圖可知sin2 > sin1 > sin3，即 b > a > c

二、填充題

1. 方程式 x 10sinx   中，x 的解共有____________個。 解答 19 解析 10sin sin 10 x x x x      ，畫出y = sinx 與 10 x y   的圖形，求其交點個數， 又y = sinx 與 10 x y   的圖形皆對稱於原點，所以交點個數為9 × 2 + 1 = 19（個）。 2. 已知 y = 4cos2_{x + 4sinx + 3，且} 2 4  x 3   _{，則y 值的範圍為____________。} 解答 7 ≤ y ≤2 2 5

解析 _{4 4sin}2 _{4sin 3 4(sin} 1₎2 ₈

2         y x x x ， 因為 2 4 x 3  _ ，所以 2 sin 1 7 2 2 5 2  x   y  。 3. 若 y = sinx 與 1 3 y 的圖形在0 ≤ x ≤ 2π 之交點為 ( , )1 3 A ， ( , )1 3 B  ，則α + β = ____________。 解答 π 解析 作圖： 由圖可知A，B 兩點對稱於直線 2 x ， 所以 2 2      。

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P9 4. 若 A > 0， 2 2  _     ，函數f (x) = Asin(3x + ϕ)在 12 x  時有最大值4，則 ϕ = ____________。 解答 4  解析 因為 f (x)的最大值為 4 且 A > 0 ⇒ A = 4 ⇒ ( ) 4sin(3 ) 4 12 12 f      ⇒sin( ) 1 4    ⇒ 2 4 2 k  _{  }  _ ，k∈ℤ ⇒ 2 4 k     ，k∈ℤ， 又 2 2  _     ，所以取k = 0 ⇒ 4   。 5. 依據醫學研究，人的體能模式為 P = 50(1 + sinωt)，ω > 0，P%表能量的百分比，t 表示出生後的 天數，如果某人的體能週期是30 天，則在一個週期中，有____________天能量的百分比不小於 75%。 解答 10 解析 P = 50 × sinωt + 50 ⇒ 週期 2 30    ⇒ 15   ， 所以 50 sin 50 15 t P    ，又P% ≥ 75% ⇒50 sin 50 75 15 t     ⇒sin 1 15 2 t  _ ⇒ 5 6 15 6 t  _{ }  ⇒5 25 2 t 2 ⇒ 25 5 10 2  2 ， 故所求為10 天。

三、多選題

1. （ ）有關 ( ) 2sin(2 ) 1 6 y f x  x  （x 為實數）的圖形，下列敘述何者正確？ (A)週期為 π (B) − 2 ≤ f (x) ≤ 2 (C)f (x)在 3 x 時有最大值 (D)其圖形對稱於 y 軸 (E)與直線 y + 1 = 0 之交點有無限多個 解答 ACE 解析 ( ) 2sin(2 ) 1 6 f x  x  ， (A)○：週期 2 2    (B)╳：− 2 + 1 ≤ f (x) ≤ 2 + 1，即 − 1 ≤ f (x) ≤ 3 (C)○：當2 2 6 2 x    k，k時，f (x)有最大值，得 3 x  k，k時，f (x)有最小值 (D)╳ (E)○ 2. （ ）設函數 f (x) = 2sin3x，請問下列選項何者正確？ (A) − 2 ≤ f (x) ≤ 2 (B)f (x)在 2  x  時有 最大值 (C)f (x)的圖形對稱於直線 6  x  (D)f (x)的週期為2 3  (E)f (3) > 0 解答 ACDE 解析 (A)○ (B)╳：f (x)在 2  x  時有最小值 (C)○ (D)○ (E)○

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P10 3. （ ）圖為函數 y = f (x) = asin(bx − c) + d 一個週期的圖形，其中 a、b、c、d 皆為實數且 a > 0、 b > 0、0 < c < 2π，試問：下列哪些選項是正確的？ (A)a = 4 (B)b = 2 (C)c = π (D) 2 c (E)d = − 2 解答 ADE 解析 (I)振幅為 4，所以 a = 4， (II)週期為 4π，所以 1 2 b ，

(III) 4sin(1 ) 4sin[ (1 2 )]

2 2 y x c  d x c d， 所以2 2 c   c  ， (IV)圖形向下平移 2 單位，所以 d = − 2

四、計算題

1. 遊樂區中有一圓形摩天輪，當摩天輪開始運轉時，小龍恰坐在離地最近的位置上，x_{分鐘後，小} 龍離地的高度（公尺）可表為 20sin 2 22 15 2 y _  x_   。問： (1) 摩天輪轉一圈需幾分鐘？ (2) 小龍離地最高為幾公尺？ 解答 (1)15分鐘 (2)42（公尺） 解析 (1) 週期為 2 15 2 15    ，所以摩天輪轉一圈需15 分鐘。 (2) 小龍離地最高為y20 1 22 42   （公尺）。

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單元三 指數函數

㇐、單選題

1. （ ）對任意實數而言， 2 _{2 3} 3  x x _{的最大值為 (A)1 (B)3 (C)9 (D)27 (E)81} 解答 E 解析 2 _{2 3 ( 1)}2 ₄ 3  x x _3 x  當x = 1 時，有最大值 34 _{= 81} 2. （ ）滿足不等式1 ₅2 3 ₁₂₅ 5 x   的整數解x 共有多少個？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4 解答 B 解析 將原不等式化簡成以 5 為底數 ⇒ 5 − 1 < 52x − 3 < 53 ⇒ − 1 < 2x − 3 < 3 ⇒ 2 < 2x < 6 ⇒ 1 < x < 3， 整數解為x = 2，僅有 1 個 3. （ ）下列選項中的數，何者最大？（其中 n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1） (A)10010 (B)10100 (C)5050 _{(D)50! (E)}100! 50! 解答 B 解析 (A)10010 _{= (10}2₎10 _{= 10}20 (C)5050 < 10050 = (102)50 = 10100 (D)50! < 5050 (E)100! _{100 99 51 100}50 ₁₀100 50!       因此由上面的討論可知：最大值為10100 4. （ ）關於函數

 

1 2 x f x _{  }    ，下列哪一個選項正確？ (A)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

1 2 x g x _{  }    的 圖形對稱於y 軸 (B)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

2 x h x   的圖形對稱於y 軸 (C)

 

1 2 x f x _{  }    的圖形和_{k x}

 

_2x 的圖形對稱於y 軸 (D)f



1000



 f



999



解答 C

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P12 解析 (A) ( ) 1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

1 2 x g x _{  }    的圖形對稱於x 軸 (B) 1 ( ) 2 x f x _{  }    的圖形和

 

2 x h x _  的圖形相同 (C) ( ) 1 2 x f x _{  }    的圖形和

 

2 x k x  的圖形對稱於y 軸 (D)因為 1 ( ) 2 x f x _{  }    是嚴格遞減函數，又1000 999 ，所以f



1000



 f



999



5. （ ）坐標平面上滿足10x_100y_1000_的所有點



_{x y,}



_{所形成的圖形為下列哪一個選項？ (A)} 一個點 (B)一直線 (C)兩直線 (D)一個二次多項式的函數圖形 (E)一個圓 解答 B 解析 利用指數律，由10x_100y _1000_可得10x_102y _103_{，化簡得10}x2y _103_， 即x2y3，此為直線方程式 6. （ ）令_a2.610_2.69_，b2.611_2.610_， 11 9 2.6 2.6 2 c  。請選出正確的大小關係 (A) a b c  (B) a c b  (C) b a c  (D) b c a  (E) c b a  解答 D 解析 因為_{a2.6 2.6 1}9



_{ }



_2.69_{1.6，b2.6 2.6}9



2_2.6



_2.69_4.16 ， 2 9 2.6 1 9 2.6 2.6 2.88 2 c _  _    ，所以b c a  7. （ ）放射性物質的半衰期 T 定義為每經過時間 T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製 容器中有兩種放射性物質A，B，開始紀錄時容器中物質 A 的質量為物質 B 的兩倍，而 120 小時後兩種物質的質量相同。已知物質 A 的半衰期為 7.5 小時，請問物質 B 的半衰 期為幾小時？ (A) 8 小時 (B) 10 小時 (C) 12 小時 (D) 15 小時 (E) 20 小時 解答 A 解析 設 B 的半衰期為 T 小時，且開始記錄時 B 的質量為 n。 依題意，得 120 120 7.5 1 1 2 2 2 T n _{ } n _{ }     ，約去n，得 120 16 1 1 2 2 2 T   _          ⇒ 120 15 1 1 2 2 T   _          ， 即15 120 T  ，解得T8

二、填充題

1. 解指數不等式 1 _{2 2} 1 2 ( ) ( ) 9 27 x x  _{ ，得x 的範圍為____________。} 解答 2 3 x 或x < − 2 解析 1 _{2 2} 1 2 ( ) ( ) 9 27 x x  _{  4 4 3}2 3  x_3x _{⇒ − 4 + 4x > − 3x}2 ⇒ 3x2 + 4x − 4 > 0 ⇒ (x + 2)(3x − 2) > 0，所以 2 3 x 或x < − 2。

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P13 2. 已知 x 為實數，若 xx + 4 _{= x}7_{，求x = ____________。} 解答 0，1，− 1，3 解析 (i)x = 0，左 = 04 _{= 0，右 = 0}7 _{= 0，成立} (ii)x = 1，左 = 15 _{= 1，右 = 1}7 _{= 1，成立} (iii)x = − 1，左 = ( − 1)3 _{= − 1，右 = ( − 1)}7 _{= − 1，成立} (iv)x ≠ 0，1，− 1，則 x + 4 = 7 ⇒ x = 3 所以x = 0，1，− 1，3。 3. 解方程式 22x + 1 − 33 × 2x − 2 _{+ 1 = 0____________。} 解答 − 3 或2 解析 22x + 1 − 33 × 2x − 2 + 1 = 0 ⇒ 22x × 21 − 33 × 2x × 2 − 2 + 1 = 0 令t = 2x_{，原式 2}2 33 _{1 0} 4 t t     ⇒ 8t2 − 33t + 4 = 0 ⇒ (8t − 1)(t − 4) = 0 1 8 t   或t = 4， 即₂ 1 ₂3 8 x_{ }  _或2x _{= 4 = 2}2_{，所以x = − 3 或 x = 2。} 4. 設 、 _{為方程式4}x_{16(2 ) 64 0}x1 _{  的兩根，求  ____________。} 解答 6 解析 設_t2x_{（t0），則t}2_{ 16 (2 ) 64 0t    t}2 _{32t64 0 ，} 因為t的兩根為2、2，所以兩根之積為₂_2 _642  _26_{    6。} 5. 設2x_9_，3y_8，則xy_{____________。} 解答 6 解析 ₂x  _{9 2 9}1x，且3y 8 23，故 1 2 3 3 6 3y (9 )x 3y (3 )x _{y xy} 6 x        。 6. 若直線 L y1: 4與 L2:y12，分別交曲線 1 : ( ) 3 x y   於A B、 _{兩點，試求直線} AB的斜率 ____________。 解答 8 解析 設 ( , ( ) ) ( , 4)1 3 a A a  a 、 ( , ( ) ) ( ,12)1 3 b B b  b ，則( )1 4 3 a_{ 、( )}1 ₁₂ 3 b_{ ，} 可得( )1 12 3 1 3 4 b a _{     b a ，故直線} AB的斜率為12 4 8 8 1 b a  _{  }   。 7. 比較 _{( )}1 12 2 a ， 1 3 1 ( ) 3 b ， 1 4 1 ( ) 4 c 的大小關係為____________。 解答 a = c > b 解析 _{(( ) )}1 6 121 ₍ 1₎121 2 64 a  ， 1 1 4 12 12 1 1 (( ) ) ( ) 3 81 b  ， 1 1 3 12 12 1 1 (( ) ) ( ) 4 64 c  ， 故a = c > b。

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P14 8. 方程式 x2 _{= 2}x_{有____________個實根。} 解答 3 解析 令 2 2x y x y       ， x _{2 1 0 2 4} 2 x 4 1 0 4 16 2x 1 4 1 2 1 4 16 作圖如下，知兩圖恰有3 個交點，所以 x2 _{= 2}x_{有3 個實根。}

單元四 對數

㇐、填充題

1. 求log 7 2log 3 log14 5log 2

36  25 ____________。

解答 2

解析 原式 _log 7 _log32 _log14 _{log 2}5

36 25     7 9 32 36 log 14 25    = log100 = 2。

2. 化簡1_{log 3 log 15 log 50}3 3

3   ____________。

解答 1

3

解析 原式 1log3 1log15 1log50

3 3 3

   1(log3 log15 log 50) 3    1log3 50 1log10 1 3 15 3 3     。

3. 求 log 4 − log 50 + 2 log 12.5____________。

解答 0

解析 原式 = log4 − log50 + log( 12.5)2 _{= log}4 12.5

50  _

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P15 4. 2 log5 3− log 7 4+ 2 log 3 + 1 2log 49 = ____________。 解答 2

解析 原式 _{log( )}5 2 _log7 _log32 _{log 49}12

3 4     = log 5 5 9 7 3 3 7 4    log 100 = log 102 _{= 2。} 5. 求₃5log 2log 3 _____________。 解答 32 解析 5 3 5log 2 log 2 log 32 log 3 log 3 3 3 3 32。

6. 設 log102 = a，log103 = b。將下列各式用 a，b 表示：

(1) log36 = ____________。 (2) log35 = ____________。 (3) log318 = ____________。 解答 (1)a b b  (2)1 a b  (3)a 2 b 解析 (1) 10 10 10 3 10 10

log 6 log 2 log 3 log 6 log 3 log 3 a b b      _。 (2) 10 10 10 3 10 10 10 10 log ( ) log 5 ₂ 1 log 2 1 log 5

log 3 log 3 log 3

a b       。 (3) 2 2 10 3 3 3 3 10 log 2

log 18 log (2 3 ) log 2 log 3 2 2 log 3

a b

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P16

7. 求

1 25

log5 log 2 log128 log

2 32

1 2log8 log 45 log16 log15 3log 3          ____________。 解答 1 2  解析 原式 = 1 2 2 3 25 log5 log 2 log128 log

32 log10 log8 log 45 log16 log15 log3

        = 3 2 6 3 5 2 log 25 3 128 _{log10 1} 32 2 10 2 45 15 log10 3 2 log 16 3 3 3               。 8. 對於任何實數 x，欲使 log10(x2 + 4x + a)有意義，則實數 a 的範圍為____________。 解答 a > 4 解析 log10(x2 + 4x + a)有意義，表示真數恆正，x2 + 4x + a > 0 恆成立 即D = 42 − 4a < 0 ⇒ a > 4。 9. 設 2 55 log 8 ( ) log 3 (log 3) 8 _9 _89 (3_ x_3 )x ，求x____________。 解答 0 解析 2 2

log3 3log3 log27 ( )

(log 3) 3 log2 log2 log2 log 27

8 (2 ) 2 2 2 27，

因為 5

5

log8

log 8 log5 log8 log3

log 3 log3 log5

  ，所以 55 3

log 8 log8 2log8 log64

( ) ( ) ( )

log 3 2 log3 log3 log3 log 64

9 (3 ) 3 3 3 64， 因此，原式 2 2 27 64 89 3x 3x 3x 3x 2 (3 )x 2 (3 ) 1 0x (3x 1) 0                 ， 可得₃x_{  1 0 3}x_{ 1 3}0_{ x 0。} 10. 已知 a、b、c 為正整數，若 2 3 5 1 log 120 log 120 log 120

a _ b _ c _

，則(a,b,c) = ____________。

解答 (3 , 1, 1)

解析 原式 log120 log120 log120 1

log 2 log3 log5

a b c

   

log 2 log 3 log 5 ₁ log120 log120 log120

a b c

   

log2 log3 log5 log120 log2a log3b log5c log120

a b c

        _log 2



a_{ }3b 5c



_log120

3

2a 3b 5c 120 2 3 5

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P17

11. 化簡 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 (log )(log )(log )(log )(log )(log )

4 5 6 7 8 9 ____________。

解答 2

解析 所求

1 1 1 1 1 1

log 4 log 5 log 6 log7 log8 log9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

log 3 log 4 log5 log 6 log 7 log8

     

     

(( 1)log 4) (( 1) log5) (( 1)log6) (( 1)log7) (( 1)log8) (( 1)log9) log3 log 4 log5 log 6 log 7 log8

      

     

log9 2log3 2 log3 log 3

   。

12. 設 a、b 均為實數，若 2 和 2 是方程式 alog2x + logx8 + b = 0 的兩根，則數對(a,b) = ____________。

解答 (6, − 9) 解析 因為 2 為方程式的根， 所以alog22 + log28 + b = 0 ⇒ log 2 log8 0 log 2 log 2 a   b ⇒a3log 2_{log 2}  b 0⇒ a + b = − 3。 因為 2為方程式的根， 所以alog2 2 log 8 2  b 0⇒ log 2 log8 0 log 2 log 2 a   b ⇒ 1 log 2 _{3log 2} 2 ₀ 1 log 2 _{log 2} 2 a   b _⇒1 6 0 2a  b ⇒ a + 2b = − 12。 解聯立 3 2 12 a b a b          ，得 6 9 a b       ，數對(a,b) = (6, − 9)。

13. 若alog 32 、blog 53 ，利用a、b表示log 156  ____________。

解答 1 a ab a   解析 因為 2 log 3

log 3 log3 log 2 log 2

a   a _，





3

log 5

log 5 log 5 log 3 log 2 log 2 log 3

b   b b a ab ，

所以 6



 

_

_



log 2 log 2

log15 log 3 log5 ( ) log 2 log 15

log 6 log 2 log3 log 2 log 2 (1 ) log 2 1 a ab a ab a ab a a a               

1091 高二數學 3B 第㇐次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P18

14. 設log5x14，log5y ，則10 log ( )xy

x y ____________。 解答 1 6 解析 因為 5 log

log 14 14 log 14 log 5 log5

x

x    x  ，

5

log

log 10 10 log 10 log 5 log5 y y    y  ， 所以



 





 



log( ) 14 log5 10 log5

log log 4 log5 1 log ( )

log( ) log log 14 log5 10 log5 24 log5 6 xy x x y x y y xy x y                。

二、計算題

1. 在 log91，log92，log93，…，log92011 等 2011 個數值中，

(1) 求共有幾個有理數。 (2) 求所有有理數的和。 解答 (1)7 個有理數 (2)21 2 解析 (1) 討論log x9 為有理數的可能性， 又由換底公式知： 9

log log 1 log log

log9 2log3 2 log3

x x x

x  _{ } _  ，

因此，當x為3的冪次方，

即_x3k_{（k為非負整數）時，}

1 log 1 log3 1 log3 2 log3 2 log3 2 log3 2

k x   k k  _{ }  _             為有理數， 其中1 3_ k_2011_。 故當_{x3 , 3 , 3 , 3 ,}0 1 2 3 _{, 3}6_時， 9 log x為有理數， 共有7個。 (2) 由(1)可知，所有有理數為 0 1 2 6

1 log3 1 log3 1 log3 1 log3 0 1 2 6 21 2 log3 2 log3 2 log3 2 log3 2 2

 _  _  _{ }  _     _        

       

