資訊科技融入高中數學資優教育的實務研究

國

立

交

通

大

學

理學院網路學習學程

碩 士 論 文

資 訊 科 技 融 入 高 中 數 學 資 優 教 育 的 實 務 研 究

A Study of Applying Info-technology

to Mathematical Gifted High School Students

研 究 生：李吉彬

指導教授：黃大原 教授

資訊科技融入高中數學資優教育之實務研究

A Study of Applying Info-technology

to Mathematical Gifted High School Students

研 究 生：李吉彬 Student：Chi-Pin Lee

指導教授：黃大原 Advisor：Tayuan Huang

國 立 交 通 大 學

理學院網路學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Degree Program of E-Learning June 2006

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

資訊科技融入高中數學資優教育的實務研究

學生：李吉彬

指導教授： 黃

大

原

國立交通大學理學院網路學習碩士在職專班

摘 要

資訊科技融入各科教學已是時代趨勢，高中數學資優教育中的加速教育與充實教 育更是需要資訊科技的輔助，本研究主要針對加速教育與充實教育此二方面，作資訊 科技融入教學設計的探討。 加速教育部分，運用資訊科技作教學素材的開發，以提升教學素材品質與學生學 習效率，包含平面環境下與立體環境下的教學素材開發。範圍包括積化和差與餘弦定 理的動態圖說證明(Dynamic Proof without Words)，讓學生在正規嚴謹的數學證明之 外，多些不同的觀點去體會數學之美；並利用 MathPS 提供的準確定位與按鈕式互動 功能，實作了排容原理等重要觀念。立體環境下的教學素材開發，以 Cabri-3D 為主要 開發工具，用動態立體幾何的方式，模擬呈現立體圖形，協助學生培養清楚的空間概 念。 充實教育部分，在 GSP 動態平面幾何環境下，引導學生作專題導向式學習研究， 選定的題材是圓錐曲線，讓學生透過自己動手實作，對圓錐曲線的各種基本性質有更 深刻的體會，再探討圓錐曲線的各種進階性質。並將圓錐曲線的性質應用到面積平分 的研究，進而推廣到體積平分。體積平分部份改以 Maple 軟體環境下作立體曲面的呈 現。 關鍵字：數學簡報系統、動態幾何、專題導向式研究

A Study of Applying Info-technology

to Mathematical Gifted High School Students

student：Chi-Pin Lee

Advisors: Dr. Tayuan Huang

Degree Program of e-Learning

National Chiao Tung University

Abstract

It is an inevitable tendency to apply info-technology to the school teaching. This is especially true to mathematical gifted education in high schools. With the assistance of info-technology, it becomes easy to accelerate the teaching programs and enrich the teaching materials. In this thesis, there are particular discussions referring to how info-technology contributes to the acceleration and enrichment in mathematical gifted education.

To accelerate learn programs, the application of some softwares such as PowerPoint with MathPS, GSP, Cabri-3D are recommended. With these softwares, mathematics teaching materials are not only presented on plane but also displayed in three-dimensional pictures, which no doubt enhances the quality of teaching materials and students’ learning efficiency. For example, in addition to strict mathematical proofs, Dynamic Proof without Words of Product-Sum/Difference Identities enables learners to appreciate the insights of mathematics from various view points. Moreover, the mighty interactive functions in MathPS make it easier to illustrate some important concepts such as inclusion-exclusion principle, while Cabri-3D can help students to build clear ideas about dimension through dynamic solid geometry.

As for the enrichment of teaching materials, GSP is a quite powerful dynamic

geometry software to encourage students to explore projects. For instance, students would understand conic sections better by sketching the geometric patterns on their own with the help of this software. If students gain better understanding about the properties of conic sections, they could go further to such categories as area bisection and volume bisection. Besides, by using Maple, students can even sketch solid geometric patterns to help themselves comprehend the solid curves in volume bisection.

誌謝

論文能夠順利完成，首先最要感謝指導教授黃大原老師，兩年來辛苦指導與費心 指正，不只給予我許多寶貴的建議，並讓我學會從事研究的態度與方法，使我獲益良 多，在此致上最誠摯的謝忱。感謝陳明璋老師引領我們在資訊領域成長，他靈活的技 術、超強的研發功力、對軟體系統的熟悉，充分利用各種軟體的優勢，使資訊科技完 美融入數學教學，讓我學到許多資訊上的實用教學技術。 感謝專班主任莊祚敏老師對我們的諄諄教誨，及專班所有教授認真且精彩的課程 內容，讓我入寶山滿載而歸。感謝清華大學全任重老師引領我進入動態立體幾何的世 界，讓我在幾何教學方面多所成長。感謝交大應數所李榮耀教授對論文的指導與建議。 感謝中原大學袁媛老師帶領我們進入數學教育的領域，提供許多寶貴的教材與資訊， 指導我們從學生學習的角度，來思考教學的方向與素材設計的內容。感謝白啟光教授 帶領我們順利突破在 Maple 所遇到的瓶頸。 感謝台中一中蔡炳坤校長與所有同仁，對我的支持與關懷，讓我能在工作之餘順 利完成進修。感謝政樺、主安、心怡及專班所有同學一起陪我走過這段忙碌卻充實的 日子。尤其每當開車往返台中與新竹之間時，彼此的討論切磋讓我獲得許多寶貴的意 見。 由衷地感謝我的家人，尤其是愛妻櫻珍的體諒與支持，讓我無後顧之憂而能専心 完成課業；還有我疏於照顧的兩位小寶貝—冠蓁、冠穎，因為妳們的乖巧懂事，讓為 人父的我得以順利完成學業。以及我親愛的父母親、岳父母及所有家人們，你們都是 支持我完成進修的幕後功臣。 二年的研究所生涯中，要感謝的人很多，無法在此一一表達，謹向所有關心我、 協助我的人，表達最誠摯的謝意。

目錄

中文摘要 ...i 英文摘要 ...ii 誌謝 ...iii 目錄 ...iv 圖目錄 ...v 一、 緒論 ...1 1.1 研究背景 ...1 1.2 研究動機與目的 ...2 1.3 研究方法 ...2 1.4 研究範圍與限制 ...2 1.5 論文結構 ...3 二、 文獻探討 ...4 2.1 資優教育 ...4 2.2 資訊科技融入教學 ...5 2.3 數學簡報系統MathPS ...6 2.4 相關軟體簡介 ...8 三、 平面環境下的教學素材開發 ...9 3.1 積化和差 ...10 3.2 餘弦定理(MathPS版)...17 3.3 餘弦定理(GSP版) ...23 3.4 排容原理 ...28 3.5 複數的n次方根...32 四、 立體環境下的教學素材開發 ...37 4.1 常見立體觀念 ...38 4.2 三垂線定理 ...44 4.3 空間中的歪斜線 ...46 4.4 正四面體的高 ...48 4.5 圓錐截痕 ...49 五、 資訊科技輔助專題導向式學習 ...55 5.1 圓錐曲線的基本性質 ...56 5.2 圓錐曲線的配極 ...60 5.3 圓錐曲線與直線的交點 ...64 5.4 決定圓錐曲線的條件 ...66 5.5 多邊形面積平分 ...69 5.6 四面體體積平分 ...77 參考文獻 ...88 附錄 ...90

圖目錄

圖 3.1.1 積化和差(一) ... 11

圖 3.1.2 積化和差(二) ... 11

圖 3.1.3sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2 α β = α β+ + α β− 圖解步驟(1)~(6) ... 12

圖 3.1.4sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2 α β = α β+ + α β− 圖解步驟(7)~(14) ... 13

圖 3.1.5sin sin 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2 α β = α β− − α β+ 圖解步驟(1)~(12) ... 14

圖 3.1.6cos cos 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2 α β = α β+ + α β− 圖解步驟(1)~(12) ... 15

圖 3.1.7cos sin 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2 α β = α β+ − α β− 圖解步驟(1)~(12) ... 16 圖 3.2.1 餘弦定理(一) ... 17 圖 3.2.2 餘弦定理(二) ... 17 圖 3.2.3 餘弦定理圖解步驟(1)~(11)... 18 圖 3.2.4 餘弦定理圖解步驟(12)~(23)... 19 圖 3.2.5 餘弦定理圖解步驟(24)~(35)... 20 圖 3.2.6 餘弦定理圖解步驟(36)~(47)... 21 圖 3.2.7 餘弦定理圖解步驟(48)~(53)... 22 圖 3.3.1 餘弦定理(一) ... 23 圖 3.3.2 餘弦定理(二) ... 23 圖 3.3.3 餘弦定理圖解步驟(1)~(12)... 24 圖 3.3.4 餘弦定理圖解步驟(13)~(24)... 25 圖 3.3.5 餘弦定理圖解步驟(25)~(36)... 26 圖 3.3.6 餘弦定理圖解步驟(37)~(44)... 27 圖 3.4.1 二個事件的排容原理圖解步驟(1)~(6)... 29 圖 3.4.2 三個事件的排容原理圖解步驟(1)~(10)... 30 圖 3.5.1 一的ㄧ次方根x1 =1... 32 圖 3.5.2 一的二次方根x2 =1... 32 圖 3.5.3 一的三次方根x3 =1... 32 圖 3.5.4 一的四次方根x4 =1... 32 圖 3.5.5 一的五次方根x5 =1... 33 圖 3.5.6 一的六次方根x6 =1... 33 圖 3.5.7 一與二的五次方根 ... 34 圖 3.5.8 二的五次方根第 1 根 ... 34 圖 3.5.9 二的五次方根第 2 根 ... 34 圖 3.5.10 二的五次方根第 3 根 ... 34 圖 3.5.11 二的五次方根第 4 根 ... 34 圖 3.5.12 二的五次方根第 5 根 ... 34 圖 3.5.13 二的五次方根所成正五邊形 ... 34 圖 3.5.14 求 1 的五次方根 ... 35 圖 3.5.15 求 2 的五次方根 ... 35 圖 3.5.16 求− +1 3i的五次方根 ... 35

圖 4.1.2 平面截正立方體 ... 38 圖 4.1.3當0< <R 2 交點 0 個... 39 圖 4.1.4當R= 2 交點 12 個 ... 39 圖 4.1.5當 2< <R 3 交點 24 個 ... 39 圖 4.1.6 當R= 3交點 8 個... 39 圖 4.1.7 當R> 3交點 0 個... 39 圖 4.1.8平面截正立方體的截面為四邊形... 40 圖 4.1.9平面截正立方體的截面為六邊形... 40 圖 4.1.10 正八面體(一) ... 41 圖 4.1.11 正八面體(二) ... 41 圖 4.1.12 正八面體(三) ... 41 圖 4.1.13 四角錐展開圖 ... 42 圖 4.1.14 四角錐 ... 42 圖 4.1.15 四角錐的高 ... 42 圖 4.1.16 正立方體 ... 43 圖 4.1.17 四面體 ... 43 圖 4.1.18 四面體 ... 43 圖 4.2.1 三垂線定理 ... 44 圖 4.2.2 作輔助線 ... 44 圖 4.2.3 側視圖 ... 44 圖 4.2.4 後視圖 ... 44 圖 4.2.5 紅三角形全等 ... 44 圖 4.2.6 藍三角形全等 ... 44 圖 4.2.7 綠三角形全等 ... 45 圖 4.2.8 三個垂直 ... 45 圖 4.3.1 歪斜線(一) ... 46 圖 4.3.2 歪斜線(二) ... 46 圖 4.4.1 正四面體底面中線 ... 48 圖 4.4.2 正四面體的高 ... 48 圖 4.4.3 正四面體內切球 ... 48 圖 4.4.4 正四面體外接球 ... 48 圖 4.4.5 正四面體分解圖 ... 48 圖 4.4.6 正四面體分解圖 ... 48 圖 4.5.1 圓錐截痕橢圓模型... 49 圖 4.5.2 圓錐截痕雙曲線模型... 49 圖 4.5.3 圓錐截痕拋物線模型... 49 圖 4.5.4 平面截圓錐 ... 50 圖 4.5.5 作二切球 ... 50 圖 4.5.6 切線段軌跡 ... 50 圖 4.5.7 切線段等距 ... 50 圖 4.5.8 距離和定值 ... 50 圖 4.5.9 橢圓定義 ... 50 圖 4.5.10 平面截圓錐 ... 51 圖 4.5.11 作二切球 ... 51 圖 4.5.12 切線段軌跡 ... 51 圖 4.5.13 切線段等距 ... 51 圖 4.5.14 距離差定值 ... 51 圖 4.5.15 雙曲線定義 ... 51

圖 4.5.19 切線段等長 ... 52 圖 4.5.20 作準線 ... 52 圖 4.5.21 過P作垂足... 52 圖 4.5.22 同位角相等 ... 53 圖 4.5.23 同位角相等 ... 53 圖 4.5.24d P F

(

,

)

=d P L

(

,

)

... 53 圖 4.5.25 拋物線定義 ... 53 圖 4.5.26 平面截圓柱 ... 54 圖 4.5.27 作二切球 ... 54 圖 4.5.28 切線段軌跡 ... 54 圖 4.5.29 切線段等距 ... 54 圖 4.5.30 距離和相等 ... 54 圖 4.5.31 距離和定值 ... 54 圖 4.5.32 橢圓定義 ... 54 圖 5.1.1 拋物線定義 ... 57 圖 5.1.2 拋物線光學性質 ... 57 圖 5.1.3 拋物線切線 ... 57 圖 5.1.4 拋物線切線作圖 ... 57 圖 5.1.5 橢圓定義 ... 58 圖 5.1.6 橢圓光學性質 ... 58 圖 5.1.7 橢圓切線 ... 58 圖 5.1.8 橢圓切線作圖 ... 58 圖 5.1.9 雙曲線定義 ... 59 圖 5.1.10 雙曲線光學性質 ... 59 圖 5.1.11 雙曲線切線 ... 59 圖 5.1.12 雙曲線切線作圖 ... 59 圖 5.2.1 圓外點反演 ... 60 圖 5.2.2 圓內點反演 ... 60 圖 5.2.3 圓外點配極軸 ... 60 圖 5.2.4 圓內點配極軸 ... 60 圖 5.2.5 線配極點(ㄧ) ... 61 圖 5.2.6 線配極點(二) ... 61 圖 5.2.7 圓錐曲線的極軸(內) ... 62 圖 5.2.8 圓錐曲線的極軸(外) ... 62 圖 5.2.9 極軸(曲線上點) ... 63 圖 5.2.10 極軸(曲線外點) ... 63 圖 5.2.11 極軸(曲線內點) ... 63 圖 5.3.1 伸縮求橢圓與直線交點 ... 64 圖 5.3.2 配極求橢圓與直線交點 ... 64 圖 5.3.3 配極求雙曲線與直線交點 ... 65 圖 5.3.4 配極求拋物線與直線交點 ... 65 圖 5.4.1PQR共線... 66 圖 5.4.2 作定點P ... 66 圖 5.4.3 作動線(PQR所在直線) ... 66 圖 5.4.4 作動點Q ... 66 圖 5.4.5 作動點R ... 67 圖 5.4.6 作動點B₃... 67 圖 5.4.7 拋物線的三切線 ... 68 圖 5.4.8 斜拋物線的三切線 ... 68 圖 5.5.1 平行作面積平分線 ... 69

圖 5.5.3 面積平分線軌跡 ... 70 圖 5.5.4 解析幾何求面積平分線 ... 70 圖 5.5.5 面積平分包絡曲線 ... 72 圖 5.5.6 三角形內部面積平分包絡曲線 ... 72 圖 5.5.7曲線內側單邊面積平分線... 73 圖 5.5.8曲線內側全部面積平分線... 73 圖 5.5.9曲線外側面積平分線... 73 圖 5.5.10 不平行線段包絡軌跡 ... 74 圖 5.5.11 作輔助線成三角形 ... 74 圖 5.5.12 平行線段包絡軌跡 ... 75 圖 5.5.13 降低邊數 ... 76 圖 5.5.14 凸四邊形面積平分線 ... 76 圖 5.6.1 四面體 1-3 分... 79 圖 5.6.2 曲面 1 54 xyz= 的圖形... 80 圖 5.6.3 雙曲面 ... 80 圖 5.6.4 單片包絡曲面 ... 80 圖 5.6.5 四片包絡曲面 ... 80 圖 5.6.6 斜三角柱 ... 82 圖 5.6.7 四面體 2-2 分... 82 圖 5.6.8 第一片包絡曲面 ... 83 圖 5.6.9 第二片包絡曲面 ... 83 圖 5.6.10 第三片包絡曲面 ... 83 圖 5.6.11 三片包絡曲面 ... 83 圖 5.6.12 七片包絡曲面 ... 83 圖 5.6.13 七片包絡曲面 ... 83 圖 5.6.14 包絡曲面邊線 ... 85 圖 5.6.15 包絡曲面邊線 ... 86 圖 5.6.16 正四面體的包絡曲面 ... 86

一、

緒論

本章旨在說明研究的背景、研究動機、研究目的、研究方法及研究範圍與限 制，並概略說明整個論文的結構。

1.1 研究背景

在 1960 年代，美國伊利諾大學發展 PLATO(Programmed Logic for Automatic Teaching Operation)系統，首度將電腦應用帶入教育，開啟了電腦輔助教學( Computer Assisted Instruction, CAI)的時代(李映良，2005)。隨著時代逐漸演變，傳統的教學模式， 已經無法符合現代教學的需求。教育也漸漸失去獨立思考的啟發，使得學習數學變成 以追求考試高分為目的，而不是以互動討論來研究數學。學生僅能單方面自教師的講 述中獲得數學知識，與教師之互動不足，讓學習數學變得越來越枯燥乏味，而為了應 付考試，學生被迫背誦大量的公式，對數學逐漸失去興趣。因此，將資訊科技融入數 學教學以提升教學品質與提高學生對數學的興趣，是今後必然之趨勢。 對教師而言，隨著資訊科技的快速變遷，電腦技術不斷更新，再加上知識的多元 化、多量化，確實為教育界帶來很大的影響。由於資訊科技的發達，使得數學的實作 學習活動除了紙筆運算、摺紙活動(幾何作圖)、模型教具外，還可利用動態幾何系統 與電腦代數系統來進行數學實驗。NCTM(National Council of Teachers of Mathematics) 也指出數學的教與學當中，電腦是不可或缺的，它不但影響了數學教學的方式，也提 高了學生的學習能力，因此 NCTM 建議各層級的老師教導數學技能與概念時，為了讓 學生達到有效的學習，都應該使用科技的工具，NCTM 並提到電腦繪圖技術，使我們 能更便利的探討代數與幾何的關連性(郭亮偉，2005)。而資優教育在學習的速度、深 度、廣度各方面的需求更是迫切，更需要資訊科技融入數學教學，以協助課程的發展 與教材的開發。

在資訊科技融入數學的教學上，經常利用 GSP、Cabri-3D、Cabri Geometry II plus、 Maple、Flash、Excel、…等軟體進行輔助教學。為了學習新的軟體來輔助教學，教師 常需配合時代潮流，不斷學習新的軟體技術，但當千辛萬苦熟鍊一套軟體之後，可能 已經推出另一套更新的軟體，教師只得又開始學習另一套新的軟體，這樣的情形讓教 師疲於奔命，也嚴重影響教師使用資訊科技融入教學的意願。但現在情形逐漸改觀， 因為 Microsoft 的 Office 套裝軟體內含的 PowerPoint 本身是一個商業簡報軟體，簡報 軟體的特點就在於視覺上多樣化的呈現，而且新的版本又增加了互動式呈現的功能， 這些特點便可利用成為課堂上教學用的工具。再者 PowerPoint 的普及率高、製作成本 低，對於一般非資訊專業的教師而言，可以無需花費太多心力在軟體的學習與使用上， 只需專心於教學素材專業領域上的開發，即可完成互動式電腦輔助教學媒體。因此， PowerPoint 已成為目前眾多的電腦輔助教學軟體中一個很不錯的選擇。

1.2 研究動機與目的 傳統講述式的教學法，學生單方向的聽教師講述，被動地接受大量的知識，少有 機會師生互動與同儕互動，或是透過積極主動的參與各種學習活動來達成教學目標。 偏重講述的教學雖然可以讓學生獲得知識，但對於培養學生在真實生活中應用知識解 決問題的技巧與能力仍顯不足。 利用電腦視覺化的增強有利於學生在幾何上的學習，電腦產生的具體圖像能對學 生的視覺化學習產生激勵的影響。建議在幾何學習上可採用適當的電腦軟體來輔助學 習。現在電腦已是日常生活的一部份，電腦輔助教學將可更廣泛地運用在各階段的數 學教學上(郭亮偉，2005)。而多數教師所面臨的難題是，如何將資訊技術完整的應用 在教學上，一方面提升教學效率，另一方面使得學生具有主動思考探索的能力。透過 電腦的輔助教學，將使學生對於數學的概念有更具體的了解。 本研究希望在資訊科技的輔助下能在數學教學上達成以下目的：了解電腦套裝軟 體在數學教學上的應用，以動態具體效果呈現教材來提升學習效率，以及引導學生具 有個人主動思考探索能力。 1.3 研究方法 先由高中課程中可加速加廣加深的部份，找出適合的教材內容，針對教學目標， 視需要搭配各種相關軟體，來設計教學活動，使學生更容易理解課程內容，並進一步 藉由資訊科技輔助，呈現出紙本無法展現的內容。舉例來說，關於餘弦定理，嚴謹的 推導證明是必須的，除此之外，再利用數學軟體，做出動態變換的效果，更能加深學 生對此定理的了解。另外，立體空間中的圖形，黑板難以真實呈現三維空間圖形，以 致於學生對於空間圖像僅能憑空想像，故無法得到很好的學習效果，如果我們使用數 學立體幾何軟體來輔助課程進行，會得到更好的教學效果，也會使學生對空間的概念 更加理解。諸如此類的探討將陸續在本論文後續章節中呈現。而且，資訊科技融入數 學教學之中，學生在家中也可以自行利用相關軟體研究數學概念，激發學生對數學研 究的興趣。 本研究主要針對兩方面的教學設計加以探討。其一是運用資訊科技作教學素材的 開發，以提升教學效率與教學素材品質，達到加速的目標；其二是在數學軟體輔助下， 引領學生作專題導向式的學習探索，達到加廣加深的目標。 1.4 研究範圍與限制 資訊科技融入教學能對數學教學方式有所助益，但不能完全取代傳統教學，電腦 模擬產生的許多現象性質，仍須經過數學的嚴謹推導論證方能成立。模擬產生的相關 性質對於正規推論有幫助，但勿以軟體模擬的部份情形套用於所有情形。 本研究主要針對台中一中的學生為教學對象，學生多屬高學習成就的族群，部分

1.5 論文結構

本論文除第一章緒論、第二章文獻探討之外，分三個章節概述如下。

第三章探討平面環境下的教學素材開發，主要是利用 MathPS 來開發，包含數個 圖說證明(Proof without Words)的呈現，讓學生在正規嚴謹的數學證明之外，多些不同 的觀點去體會數學之美。本文挑選了積化和差與餘弦定理二種素材來實作，其中餘弦 定理更以二種軟體 MathPS 與 GSP 分別製作教學素材來討論比較。另外利用 MathPS 提供的精準定位與按鈕式強大互動功能，實作了排容原理以及複數的n次方根等重要 觀念。 第四章探討立體環境下的教學素材開發，用 Cabri-3D 為開發工具，以動態立體幾 何的方式，讓學生可以實際看到空間立體圖形，而非看著黑板上粉筆留下的二維圖形 再自行努力想像對應的立體圖形。Cabri-3D 提供的功能讓學生可以從多種不同的視角 觀察同一個圖形，讓學習立體觀念不再瞎子摸象，協助學生培養清楚的空間概念。本 章節將挑選幾個實際應用的例子，包含近幾年大學入學考試中相關的立體空間概念試 題，以及三垂線定理、歪斜線、正四面體、圓錐截痕等相關素材作立體展示。 第五章是作專題導向式學習研究，選定的題材是高二的圓錐曲線部分，透過 GSP 軟體的協助，讓學生經由自己動手操作摸索，對圓錐曲線的各種性質有更深入的了解， 對於課程內容能有更深的體會，並熟悉尺規作圖的規則。然後將圓錐曲線的性質應用 到面積的平分研究，在軟體的輔助下，嘗試將平面的性質推廣到立體的體積平分，立 體部份是以 Maple 為輔助工具，作立體圖形的的呈現。

二、

文獻探討

本章旨在探討資優教育、資訊科技融入教學、數學簡報系統 MathPS 與數學 軟體的相關文獻。 2.1 資優教育 由於科技發展迅速、資訊快速流通及社會邁向多元化的腳步加遽，人類正迎接第 三次產業革命，一個以腦力決勝負，「知識經濟」時代的來臨。面臨「知識經濟」時 代的挑戰，如何提昇教育品質來進行全方位人才之培育，以增進國家競爭優勢，儼然 成為新世紀教育的重要指標。而一向以「發展個體潛能、培育優秀人才，進而造福國 家社會」為目標的資優教育，恰與當前政府所強調「全方位人才培育，以提昇國家競 爭力」之教育目標相輔相成；因此，資優教育品質的提昇將強化我國競爭力，資優教 育的落實推展便成為開創新世紀教育的重要指標。(臺北市資優教育白皮書，2004) 資優教育之教材設計，依相關課程標準及學生個別學習需要，由教師整合各類學 習資源，自編加深、加廣之教材及教學活動，以提供資優學生區分性充實課程。資優 教育因無課程綱要，亦缺乏可參考選用的教材，大多仰賴資優班教師自行設計，故多 數充實教學模式缺乏系統性及銜接性。(資優教育簡訊第 27 期，2005) 學校為協助資優生發揮最大潛能，必須安排能增進學習經驗的課程，為使資優生 有效學習，有些以正式課程呈現，有些則以潛在課程的方式呈現，由於資優生和普通 生有其共同之處和相異之處，所以學校所安排的課程，除普通課程外，尚需特殊課程， 以滿足資優生的特殊需求。資優學生擁有傑出的心智能力與學習潛能，於是他們可以 學得比較快、比較深、比較廣，為因應他們這樣的特質，在資優學生的課程安排上， 可採「加速教育」以滿足他們學得快的需求；可採「充實教育」以符合他們學得深學 得廣的特質。(吳武雄，2000) 「加速教育」在資優教育中所扮演的角色是在幫助學生發揮學習潛能，使他們不 受限於普通的課程及教學進度，而能在較短時間內修讀完一般課程，以多餘的時間學 習適合他們能力的課程。課程濃縮是一個能夠讓加速學習的學生更有效精熟正規課程 的方法，課程濃縮的最大好處之一就是節省時間，學生濃縮了課程，多出的時間可以 去參加資優方案，從事獨立研究，閱讀自選讀物，或做其他選擇。 配合「充實教育」在現行的中學資優課程中有各種專題課程以提供資優學生更寬 廣的學習機會。專題式學習是一種「做中學」(learning by doing)的學習方式，整個歷 程以專題為學習主軸，在相關情境的引導下，根據主題，經由學生的設計、問題的解 決、決策的擬定或是研究的行動，給予學生機會，在一段期間內從事相關的工作，並 且完成研究報告。專題式學習是以學生為主體，並以小組方式進行的學習策略，而教 師則是一個輔助者，而非講述者，教師引導學生到一個能引發其興趣的問題，學生即 針對此問題進行一連串的探索，包括提出問題或假設、規劃研究計畫、蒐集可以驗證

2.2 資訊科技融入教學 二十世紀最大的改變就是資訊科技以及網路的蓬勃發展，隨著科技的進步，教學 工具(個人筆記型電腦、單槍投影機)逐步普及便宜，部分都會學校教師更是人手一台 筆記型電腦，每間教室有桌上型電腦、單槍投影機、都能連接上校園網路。在這條件 下，傳統的教學方式，開始受到衝擊。(邱建偉，2005) Roblyer 和 Edwards(2000)認為有以下原因可解釋為何要將資訊科技融入學科： 1.資訊科技可增加學生學習動機。 2.資訊科技具備特殊的教學潛力。 3.資訊科技可支援不同的教學型態。 4.資訊科技可增加教師的工作績效。 5.資訊科技可培養學生資訊時代所需的技能。 Jonassen(2000)以建構學習的觀點，認為資訊科技融入教學可以在學生的學習上的 提供以下五項 5 支援： 1.電腦支援知識建構(Knowledge Construction)。 2.電腦支援知識探索(Knowledge Explorations)。 3.電腦支援做中學(Learning by Doing)。 4.電腦支援合作學習(Collaborative Learning)。 5.電腦支援反思學習(Learning by Reflection)。 Jonassen(2000)指出資訊科技的發展有三個階段，分別是「從電腦學(learning from computer)」、「學電腦(learning about computer)」和「用電腦學(learning with computer)」。 將此三階段與我國資訊教育發展的進程對照，分別是電腦輔助教學、電腦課程的實施、 資訊科技融入教學。 我國資訊教育的發展是從電腦輔助教學起，經由電腦課程的實施，到九年一貫課 程中的資訊融入教學。這種脈絡正符合現今學習科技的發展，也滿足學習觀點的改變 (張國恩，2002)。其中，學習觀點受到建構論主張知識是經學生探索等思考活動而建 立的影響，強調以學生為中心的學習環境，老師的角色由知識傳遞者轉變為知識建立 的協助者；學習科技則由早期注重如何利用科技建立一個學習環境，提供一些教學資 源，讓學生從中獲得知識，轉變為注重如何把科技當作學習工具、伙伴，利用這些工 具發展知識。(蘇柏奇，2006) 「資訊科技融入教學」不但是國內教學的新型態，也是世界各先進國家教學的趨 勢，但是教師要如何將科技融入課程、教材、教學及學習之中，才能使電腦成為教學 環境中不可缺少的工具(邱貴發，1990)而且由於資訊科技日漸普及且軟體操作介面親 和，目前輔助教學的實施大多利用電腦科技來完成。尤其在數學的教學上，經常利用 PowerPoint、GSP、Cabri-II、Cabri-3D、Maple、Excel、Flash、…軟體進行輔助教學。 (李進福，2006)因此使用數學軟體輔助數學教學，已經不再是困難重重的了。

2.3 數學簡報系統 MathPS 2.3.1 簡介

在考量降低數位落差以及提升普及性的前提下，交通大學陳明璋教授自 2001 年開 始積極開發「數學簡報系統(Mathematical Presentation System, MathPS)」。該系統以高 普及的軟體 Microsoft PowerPoint 為平台，運用簡單的介面，重組 PowerPoint 的互動 功能，提供一個按鈕式動態呈現(Button-based Animation)的教材呈現環境。此一兼具 繪圖及互動的教學環境，結合數學教材多元呈現之特性，建構了一個數學教材的編輯 及課堂授課的環境，提供數學教師們整體性的協助(陳明璋，2006)。MathPS 的研發主 要用來解決 PowerPoint 對於數學處理能力不足之缺陷，透過 MathPS 可以強化 PowerPoint 對於繪圖系統、複雜結構、數學物件、互動功能，可以滿足數學媒體設計 的需求(邱建偉，2005)。

MathPS 上的 Geometer 功能提供簡單的介面以協助幾何構圖。PowerPoint 的動態 呈現提供自訂動畫，處理物件出現、強調、消失、及移動路徑等功能；在 2002 版之後， 更提供觸發程序的重要互動功能，提供藉由觸動一個物件，啟動一系列的動態呈現。 MathPS 上按鈕式動態呈現一系列功能就是建立在 PowerPoint 的前述基礎之上(陳明 璋，2006)。以下簡單介紹 MathPS 的幾何構圖功能與互動按鈕功能。 2.3.2 幾何構圖功能 在安排一個簡報呈現時，首先選取擬處理的物件，再處理包含幾何變換、屬性設 定、以及動態呈現等動作。其中處理物件的幾何變換(Geometrical Transformations)包含 平移(Translation)、縮放(Scaling)、旋轉(Rotation)、及鏡射(Reflection)等。MathPS 提供 結構式自我複製的環境，透過定位機制及磁力作用的協助，使幾何變換能有效定位。 定位機制包含格線、格點、輔助線來呈顯全座標系統定位，MathPS 系統另外提供了自 訂格線、顯示等分點來呈顯區域座標定位；以鏡框法處理大小不一的圖案；磁力作用 則包含貼齊格線及貼齊物件等功能，它們協助滑鼠準確的定位，本系統另外提供了自 訂磁力點的功能，以彌補 PowerPoint 上沒有幾何繪圖能力的弱點。(陳明璋，2006) 在幾何上，點可決定線，線可決定面，而面中有線的訊息，線中有點的訊息。點、 線、面之間訊息的轉換及取得，是 MathPS 構圖環境上的一個重要的環節；掌握點、 線、面之間訊息的轉換及取得，再搭配本系統所提供的結構式複製法，我們可以運用 滑鼠，透過點、線、面所提供的訊息處理複雜結構。最後我們以結合 PowerPoint 及 MathPS 所提供的環境為基礎，針對數學教材的特性，開發一系列的方法，讓整個系統 的運作簡易而流暢，發揮強大的效果。(陳明璋，2006)

2.3.3 互動按鈕式動態呈現(Button-based Animation) 多媒體動態呈現普遍被用來引導學習者的注意力，然而在運用上有諸多的問題。 比如：呈現速度太快以致於學習者無法吸收，或訊息太多以致於學習者無法分辨，或 訊息無法步驟化呈現，造成訊息的消失等教學上的障礙。按鈕式動態呈現可以克服上 述的困難。按鈕式動態呈現是 MathPS 的特點之一，可以提供步驟化呈現以及隨意呈 現兩種方式，其特點是在一張投影片上可以設定許多的觸動程序之動畫，操作者可以 在投影片上，視需要觸動不同按鈕，彈性呈現動畫，對教材的適性化有相當的效果。(陳 明璋，2006)

PowerPoint(2002 版以後)的動畫呈現方式，可初分為主程序(main sequences)及觸 動程序(interactive sequences)兩種。主程序在處理每一張投影片時，其動畫循序出現； 而觸動程序則允許在投影片上設置按鈕，以操控不同物件的動態呈現。循序呈現適用 於一般的簡報用途；但對滿足課堂上課的需求，則力有未逮。MathPS 系統基於數學教 學的需求，組合 PowerPoint 動畫中的「出現」及「消失」兩功能，運用簡單的介面來 取代 PowerPoint 上的複雜設定，根據不同的按鈕與訊息呈現模式，設計了一組包含「開 關、關開、多元開關設定、序列開關、分層開關、照亮、線開關、接龍，全開關」的 按鈕動態設定，稱之為按鈕式動態呈現，以及有關動態物件的複製和維護等功能。(陳 明璋，2006) 按鈕式動態呈現的特質包含訊息的步驟化呈現，以及由操作者觸動按鈕啟動步驟 化呈現。這樣的設計可以將複雜的訊息步驟化切割處理，再透過觸動，讓訊息由簡而 繁的逐一以動態方式呈現。按鈕設計的功能可用來協助設計教材，讓投影片上的資訊 可以隨著課堂教學活動的進行，在教師的掌握下，選擇性的運作，以步驟化、非循序 的方式呈現，達到動態呈現以及適性教學的效果。這樣的環境也可以強化一般簡報的 互動性，提升簡報的效果。(陳明璋，2006)

2.4 相關軟體簡介 1.PowerPoint:由 Microsoft 公司開發，是一個簡報系統的軟體，可以呈現非常多樣的效 果，後來增加了互動的功能，使得簡報呈現效果更加豐富。針對 PowerPoint 原先 數學特性不足的缺點，交通大學的陳明璋教授研發的 MathPS 系統為 PowerPoint 增強了很多的功能，使得 PowerPoint 在數學教學活動的素材設計與視覺化圖像的 呈現效果愈來愈精采與多元，是一個普及化且上手容易的軟體。

2.GSP(The Geometer's Sketchpad)：是一個尺規作圖功能強大的平面幾何構圖電腦輔助 教學軟體，可精確地構造動態幾何。學生經由動態幾何圖形的變換及度量來描述 他們所發現的一些幾何關係，增強開放式的猜測與研究，適合處理一些動態幾何 圖形的模擬實驗與觀察。可對結構性作圖作巨集建構、文字說明，形成簡易操作 鈕，提供使用者一個最佳化幾何學習環境。 3.Cabri-3D: 這個軟體是一套動態立體幾何軟體，延續尺規作圖的方式，讓使用者透過 視覺及滑鼠完成立體幾何圖形，點選工具列可以構作並操作一些立體幾何物件； 從功能表中可以對所構作的立體幾何圖形作屬性及視角的改變，並且可以同時開 啟多個觀看視窗以及各種角度的透視圖像，還可以拖曳滑鼠右鍵，來作立體視角 的改變。透過這個 Cabri-3D 立體幾何軟體的輔助與視覺呈現的優勢，相信在立體 幾何課程的資訊融入教學設計會有令人驚艷的效果。 4.Maple:是由加拿大滑鐵廬大學發展出的一套計算功能強大的數學代數軟體，其可用 來作代數方面的一些高等代數計算，讓使用者可解決複雜與高難度的數學問題。 也可用參數式來繪製二維、三維空間的幾何圖形，更具備符號計算的功能，可說 是一個計算強、繪圖功能大的軟體，但其操作使用對中學生而言上手不易。 5.Flash:是由 MacroMedia 公司推出的一個呈現動畫功能強大的互動式動畫設計工具軟 體，可以將音樂，聲效，動畫等融合在一起，以製作出高品質的網頁動態效果， 適合製作數學模型教具的圖像，如球、圓柱、圓錐。由於互動性高，也很適合製 作數學遊戲，但呈現數學的精確性或計算的功能比較弱一點，所以，在高層次的 數學就少使用。轉換成執行檔的動畫(.swf)檔非常小，幾 K 位元組的動畫檔已經 可以實現許多令人心動的動畫效果，網路流通性非常好。

6.Cabri-II:是由著名的法國大學 Universite Joseph Fourier 與法國國家研究所和 Texas Instruments 合作設計而成的新一代數學幾何電腦軟體，是動態幾何軟體的先驅。 專門為平面幾何作圖而設計，具有動態變換、幾何量的測量、軌跡方法求解等對 學習幾何非常有幫助的功能。可以快捷地生成各種幾何圖形。平面曲線、自動計 算軌跡，可用於解析幾何、代數與物理的學習與教學。

三、

平面環境下的教學素材開發

本章主要應用資訊科技輔助平面環境下的教學素材開發，主要是利用 MathPS 來開發，包含數個「圖說證明」(Proof without Words)的呈現，讓學習者在正 規嚴謹數學證明之外，多些不同的觀點去輔助了解。另外利用 MathPS 提供 的準確定位性與按鈕式強大互動功能，實作了排容原理以及複數的n次方根 等學習難度較高的單元。 數學教師常常用盡心思把數學公式證明得嚴謹而周全，這當然是數學教育中一項 重要的訓練，也是學生必備的基本素養之ㄧ。然而難以從直觀的角度來理解抽象的數 學公式，卻也是高中學生學習數學的困難源之ㄧ(李政豐，2003)。在數學中，一個公 式或定理的證明有各種不同方式，其中的「圖說證明」(Proof without Words)，具有直 觀輕巧雅緻之趣(蔡聰明，2000)。由美國數學協會 (The Mathematical Association of America, MAA)發行的期刊「Mathematics Magazine」推出「Proof Without Words」專 欄深受各方好評，並由 Roger B. Nelsen 教授兩度集結成單行本發行。幾何圖形具有直 觀易明的優點，「一個圖勝過千言萬語」這就是圖說證明之最佳寫照(顏貽隆，2003)。 交通大學理學院網路學習專班的作品集「萬腦奔騰數學網」也有不少相關研究探討。 然而並非每一個靜態的圖形都能讓大部分的學生「一看就懂」，如今的資訊科技 發達，若能化靜態的圖形為動態方式呈現，一個步驟接一個步驟的出現在學習者的眼 前，不僅能達到學習的效果，也讓學生能有更深刻的印象(黃國忠，2006)。利用現今 很普及的軟體 PowerPoint 將三角函數部分的圖說證明賦予動態(Dynamic)呈現的效 果，更能突顯「圖說ㄧ體，不證自明」的本質。

本章將應用動態圖說證明(Dynamic Proof Without Words)步驟式呈現高中數學中 的兩個三角函數主題：積化和差與餘弦定理，並利用 MathPS 來增強 PowerPoint 在數 學方面的不足，以達到更好的呈現效果。除此之外，也以 GSP 製作餘弦定理的動態圖 說證明，比較分析兩種呈現方式的不同。另外利用 MathPS 提供的準確定位性與按鈕 式強大互動功能，實作了排容原理以及複數的n 次方根等學習難度較高的單元。

3.1 積化和差 (黃國忠，2006)在其碩士論文中，對高中數學三角函數部分的圖說證明有相當完 整的探討與整理，文中提到，唯一的限制就是未能完成積化和差的部份。本節將對四 個積化和差公式分別討論如後。 高中數學課程中的積化和差公式是由和角公式推導而得，一般的推導過程如下： 由正弦函數與餘弦函數的和角公式

sin( ) sin cos cos sin (1) sin( ) sin cos cos sin (2) cos( ) cos cos sin sin (3) cos( ) cos cos sin sin (4)

α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + = + ⎧ ⎪ _{− = −} ⎪ ⎨ _{+ = −} ⎪ ⎪ _{− = +} ⎩ 將上述四式加以運算 (1) (2) 2 +

得sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ + α β−

(1) (2) 2 −

得cos sin 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ − α β−

(3) (4) 2 +

得cos cos 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

α β = α β+ + α β−

(4) (3) 2 −

得sin sin 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

α β = α β− − α β+

以上過程雖然不難，但學生的理解度卻不高，另外這些公式的相似度很高，更讓 學生容易混淆。本節中將以圖形化的觀點來協助學生的理解。

3.1.1 積化和差的圖說證明 本公式的主要觀念如下，如圖 3.1.1 與圖 3.1.2,假設圓的直徑AB= ,圓周角1 CAB α ∠ = ,圓周角 DAB∠ = .β OE垂直CD交CD於F,過 B 分別作CD、OE垂足於G,H, 過A 作AJ垂直CD於J,過 O 作OK垂直AJ於K. 2β α +β α -β β β α H E G F B O A C D α -β β 2β α +β α -β β α K J E F B O A C D 圖 3.1.1 積化和差(一) 圖 3.1.2 積化和差(二) 在圖 3.1.1 中，

由CG CF FG= + 得sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ + α β− ，

由FH OH OF= − 得sin sin 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

α β = α β− − α β+ 。

在圖 3.1.2 中，

由AJ =KJ AK+ 得cos cos 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

α β = α β+ + α β− ，

由CJ CF JF= − 得cos sin 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ − α β−

相關限制：用到直角三角形的性質，故限定在α,β均為銳角的情形

為求更好的動態呈現效果以提升學生學習效率，將圖 3.1.1 與 3.1.2 的觀念由 PowerPoint 呈現，輔以 MathPS 來製作，在 PowerPoint 的呈現請參閱 3.1.2 節至 3.1.5 節

3.1.2 積化和sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ + α β−

在圖 3.1.1 中，由CG CF FG= + 得sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2 α β = α β+ + α β− ，在 PowerPoint 裡的呈現情形詳述如下(圖 3.1.3~圖 3.1.4)： (1)以AB= 為直徑作圓 1 (2)作圓周角∠CAB=α ，圓周角 DAB β ∠ = (3)連BC，因AB 為直徑， 0 90 ACB ∠ = (4)作圓心角∠COB=2α，圓心角 2 DOB β ∠ = (5)作∠COD=2α +2β的角平分線 (6) 1 2 COE COD α β ∠ = ∠ = + 圖 3.1.3sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

(7)∠BOE= ∠COB− ∠COE 2α α β( ) α β = − + = − (8)連CD垂直OE， BCD BAD β ∠ = ∠ = (對同弧BD) (9)過 B 作CD、OE垂足於 ,G H (10)ΔACB中，AB= ⇒1 BC=sinα (11)ΔCGB中， sin sin cos

BC= α ⇒CG= α β (12)ΔOFC中，

(

)

1 1 sin 2 2 OC= ⇒CF= α β+ (13)ΔOHB中， 1 2 OB=

(

)

1 sin 2 FG BH α β ⇒ = = − (14)CG CF FG= +

(

)

(

)

1 1

sin cos sin sin

2 2

α β α β α β

⇒ = + + −

圖 3.1.4sin cos 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ + α β− 圖解步驟(7)~(14)

3.1.3 積化差sin sin 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

α β = α β− − α β+

如圖 3.1.1，由FH OH OF= − 得sin sin 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2 α β = α β− − α β+ 。 PowerPoint 呈現如下(圖 3.1.5) (1)直徑作圓 (2)圓周角 (3)圓心角 (4)角平分線 (5)和角差角 _(6)連CD (7)垂足線 (8)ΔACB (9)ΔCGB (10)ΔOFC (11)ΔOHB _{(12)FH =OH OF−} 圖 3.1.5sin sin 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

3.1.4 積化和cos cos 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

α β = α β+ + α β−

如圖 3.1.2，由AJ =KJ AK+ 得cos cos 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2 α β = α β+ + α β− 。 PowerPoint 呈現如下(圖 3.1.6) (1)直徑作圓 (2)圓周角 (3)圓心角 (4)角平分線 (5)和角差角 _(6)連CD (7)垂足線 (8)ΔACB (9)ΔAJC (10)ΔOFC (11)ΔAKO _{(12)AJ = KJ+AK} 圖 3.1.6cos cos 1cos

(

)

1cos

(

)

2 2

3.1.5 積化差cos sin 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

α β = α β+ − α β−

如圖 3.1.2，由CJ CF JF= − 得cos sin 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2 α β = α β+ − α β− PowerPoint 呈現如下(圖 3.1.7) (1)直徑作圓 (2)圓周角 (3)圓心角 (4)角平分線 (5)和角差角 _(6)連CD (7)垂足線 (8)ΔACB (9)ΔAJC (10)ΔOFC (11)ΔAKO _{(12)CJ =CF JF−} 圖 3.1.7cos sin 1sin

(

)

1sin

(

)

2 2

3.2 餘弦定理(MathPS 版) 談幾何非談餘弦定理不可。餘弦定理既承畢氏定理於先，又啟內積的概念於後， 在幾何學中具樞紐的地位，它的證明值得ㄧ提(張海潮，2004)。(黃國忠，2006)對餘弦 定理提出了兩個不同版本的圖說證明，一個應用相似形的邊成比例關係，另一則利用 托勒密定理(Ptolemy’s Theorem)，二者皆是利用邊長關係去探討餘弦定理。本文採用 張海潮先生所提出的面積觀點來圖解餘弦定理，並進一步利用平面變換中推移與旋轉 來詮釋面積恆定。在 MicrosoftPowerPoint 中輔以 MathPS 來作動態呈現。 Q₄ Q₃ Q₂ Q₁ Q₅ Q₆ H P₂ P₁ P₄ P₃ P₆ P₅ A B C Q₄ Q₃ Q₂ Q₁ Q₅ Q₆ H P₂ P₁ P₄ P₃ P₆ P₅ A B C 圖 3.2.1 餘弦定理(一) 圖 3.2.2 餘弦定理(二) 圖 3.2.1 中，矩形CP Q Q 的面積為_{5 6 5} 2 cos b −bc A，矩形BQ Q P 的面積為_{1 2 2} 2 cos c −bc A，正方形BCP P 的面積為_{4 3} 2 a 。餘弦定理 2 2 2 2 cos a =b + −c bc A在此的幾何 意義為矩形CP Q Q 與矩形_{5 6 5} BQ Q P 的面積和為正方形1 2 2 CBP P 的面積。 3 4 因為三角形比較適合在推移與旋轉上處理，所以將圖 3.2.1 的四個矩形，調整成八 個三角形分別處理。如圖 3.2.2. 將矩形CP Q Q 分割為二個三角形_{5 6 5} ΔCP Q_{5 6}與ΔCQ Q_{6 5}， 將矩形BQ Q P 分割為二個三角形_{1 2 2} ΔBQ Q_{1 2}與ΔBQ P_{2 2}， 將矩形BPQ Q 分割為二個三角形_{3 4 3} ΔBPQ_{3 4}與ΔBQ Q_{4 3}， 將矩形CQ Q P 分割為二個三角形_{3 4 4} ΔCQ Q_{3 4}與ΔCQ P_{4 4}。 原先應該是連續動畫的平移與旋轉，因論文書面呈現的關係，僅擷取局部圖片表 示，每個變換約取三個圖片呈現。另外，因為 PowerPoint 目前尚未能完整呈現推移的 動畫效果，故本素材開發時，推移的呈現採用非連續動畫，就像卡通動畫ㄧ樣，用多 個分隔片段逐步呈現以達動畫效果，一個推移變換約取五到八個分段點來處理，因為 書面呈現的關係，每個推移變換亦僅取三個圖片呈現。

以下是圖說證明動態呈現部份 (1)給定ΔABC _{(2)過 B 對AC作高 (3)過C對AB 作高} (4)以AC為邊作正方形 (5)得面積bccosA (6)得面積 2 cos b −bc A (7)以 AB 為邊作正方形 (8)得面積bccosA (9)得面積c2−bccosA (10)以BC為邊作正方形 (11)得基本面積結構 圖 3.2.3 餘弦定理圖解步驟(1)~(11)

依四色三角形分別處理推移旋轉等變換 (12)紅色沿邊推移頂點 (13)推移過程 (14)推移終點 (15)紅色以頂點為中心旋轉 (16)旋轉過程 (17)旋轉終點 (18)紅色沿邊推移頂點 (19)推移過程 (20)推移終點 (21)藍色沿邊推移頂點 (22)推移過程 (23)推移終點 圖 3.2.4 餘弦定理圖解步驟(12)~(23)

(24)藍色沿邊推移頂點 (25)推移過程 (26)推移終點

(27)藍色以頂點為中心旋轉 (28)旋轉過程 (29)旋轉終點

(30)藍色沿邊推移頂點 (31)推移過程 (32)推移終點

(33)紫色沿邊推移頂點 (34)推移過程 (35)推移終點 圖 3.2.5 餘弦定理圖解步驟(24)~(35)

(35)紫色以頂點為中心旋轉 (36)旋轉過程 (37)旋轉終點 (38)紫色沿邊推移頂點 (39)推移過程 (40)推移終點 (42)綠色沿邊推移頂點 (43)推移過程 (44)推移終點，推移另ㄧ邊 (45)推移過程 (46)推移終點，綠色以頂點 為中心旋轉 (47)旋轉過程 圖 3.2.6 餘弦定理圖解步驟(36)~(47)

(48)旋轉過程 (49)旋轉終點， 綠色沿邊推移頂點 (50)推移過程 (51)推移終點，推移另ㄧ邊 (52)推移過程 (53)推移終點 圖 3.2.7 餘弦定理圖解步驟(48)~(53) 由圖 3.2.3 至圖 3.2.7 的動態過程中，因為推移與旋轉均保持面積不變，所以可得 四組同色的三角形面積相等(如圖 3.2.2)，亦即餘弦定理 2 2 2 2 cos a =b + −c bc A。 相關限制：用到三角形的性質，故限定∠ ∈A

(

0,π

)

的情形

3.3 餘弦定理(GSP 版)

GSP4 的新增功能中動作按鈕(Action Buttons)的 Movement 與 Presentation 對於教 學素材的動態呈現上頗有助益，本節中將以 GSP 來實作餘弦定理的圖說證明，與 3.2 節作對照比較分析。 Q₄ Q₃ Q₂ Q₁ Q₅ Q₆ H P₂ P₁ P₄ P₃ P₆ P₅ A B C Q₄ Q₃ Q₂ Q₁ Q₅ Q₆ H P₂ P₁ P₄ P₃ P₆ P₅ A B C 圖 3.3.1 餘弦定理(一) 圖 3.3.2 餘弦定理(二) 圖 3.3.1 中，矩形CP Q Q 的面積為_{5 6 5} 2 cos b −bc A，矩形BQ Q P 的面積為_{1 2 2} 2 cos c −bc A，正方形BCP P 的面積為_{4 3 a 。餘弦定理}2 2 2 2 2 cos a =b + −c bc A在此的幾何 意義為矩形CP Q Q 與矩形_{5 6 5} BQ Q P 的面積和為正方形_{1 2 2} CBP P 的面積。 _{3 4} 因為三角形比較適合在推移與旋轉上處理，所以將圖 3.3.1 的四個矩形，調整成八 個三角形分別處理。如圖 3.3.2. 將矩形CP Q Q 分割為二個三角形_{5 6 5} ΔCP Q_{5 6}與ΔCQ Q_{6 5}， 將矩形BQ Q P 分割為二個三角形_{1 2 2} ΔBQ Q_{1 2}與ΔBQ P_{2 2}， 將矩形BPQ Q 分割為二個三角形_{3 4 3} ΔBPQ_{3 4}與ΔBQ Q_{4 3}， 將矩形CQ Q P 分割為二個三角形_{3 4 4} ΔCQ Q_{3 4}與ΔCQ P_{4 4}。 GSP 軟體中的動畫，主要是取一個半自由點，在其所屬軌跡上移動，所造成的效 果，因此在製作時，選取的軌跡若是直線，則能呈現平移或推移的效果，選取的軌跡 若是圓弧，則能呈現旋轉的效果。GSP 作教材呈現的優點是可以隨時動態調整，整個 相關架構會隨之修正，而且圖形非常精準。 原先應該是連續動畫的平移、旋轉與推移，因論文書面呈現的關係，僅擷取局部 圖片表示，每個變換約取三個圖片呈現。

以下依四色分別處理推移旋轉等變換，來呈現餘弦定理的圖說證明。 A B C A B C A B C (1)紅色沿邊推移頂點 (2)推移過程 (3)推移終點 A B C A B C A B C (4)紅色以頂點為中心旋轉 (5)旋轉過程 (6)旋轉終點 A B C A B C A B C (7)紅色沿邊推移頂點 (8)推移過程 (9)推移終點 A B C A B C A B C (10)藍色沿邊推移頂點 (11)推移過程 (12)推移終點 圖 3.3.3 餘弦定理圖解步驟(1)~(12)

A B C A B C A B C (13)藍色沿邊推移頂點 (14)推移過程 (15)推移終點 A B C A B C A B C (16)藍色以頂點為中心旋轉 (17)旋轉過程 (18)旋轉終點 A B C A B C A B C (19)藍色沿邊推移頂點 (20)推移過程 (21)推移終點，推移另ㄧ邊 A B C A B C A B C (22)推移過程 (23)推移終點 (24)紫色沿邊推移頂點 圖 3.3.4 餘弦定理圖解步驟(13)~(24)

A B C A B C A B C (25)推移過程 (26)推移終點 (27)紫色以頂點為中心旋轉 A B C A B C A B C (28)旋轉過程 (29)旋轉終點 (30)紫色沿邊推移頂點 A B C A B C A B C (31)推移過程 (32)推移終點 (33)綠色沿邊推移頂點 A B C A B C A B C (34)推移過程 (35)推移終點 (36)綠色以頂點為中心旋轉 圖 3.3.5 餘弦定理圖解步驟(25)~(36)

A B C A B C A B C (37)旋轉過程 (38)旋轉終點 (39)綠色沿邊推移頂點 A B C A B C A B C (40)推移過程 (41)推移終點，推移另ㄧ邊 (42)推移過程 A B C Q4 Q3 Q2 Q1 Q5 Q6 H P2 P1 P4 P3 P6 P5 A B C (43)推移終點 (44)完整四色圖形 圖 3.3.6 餘弦定理圖解步驟(37)~(44) 相關限制：用到三角形的性質，故限定∠ ∈A

(

0,π

)

的情形

3.4 排容原理 關於排容原理，我們先看二個常見的排列組合例題如下： 例 1：ABCDE 五個字母排成一列，A 不排首位，B 不排次位的方法數有幾種？ 解法： (1)任意排列有5! 120= 種 (2)當 A 排在首位時，有1 4!× =24種 (3)當 B 排在次位時，有1 4!× =24種 (4)當 A 排在首位且 B 排在次位，有1 1 3!× × =6種 第(2)(3)種情形屬違規，應當扣除ㄧ次 第(4)種情形屬違規，應當扣除，但(2)(3)被扣除二次，應當加回ㄧ次 因此總方法數應該為5! 2 4! 3!− × + =78 例 1 裡的(4)要加還是減，對部分學生已經有點猶豫了，如果限制條件再增加一個， 情況就更複雜了。 例 2：ABCDE 五個字母排成一列，A 不排首位，B 不排次位，C 不排第三位的方法數 有幾種？ 解法： (1)任意排列有5! 120= 種 (2)當 A 排在首位時，有1 4!× =24種 (3)當 B 排在次位時，有1 4!× =24種 (4)當 C 排在第三位時，有1 4!× =24種 (5)當 A 排在首位且 B 排在次位，有1 1 3!× × =6種 (6)當 B 排在次位且 C 排第三位，有1 1 3!× × =6種 (7)當 C 排在第三位且 A 排在首位，有1 1 3!× × =6種 (8)當 A 排在首位且 B 排在次位且 C 排第三位，有1 1 1 2!× × × =2種 第(2)(3)(4)種情形屬違規，應當扣除ㄧ次 第(5)(6)(7)種情形屬違規，應當扣除，但被扣除二次，應當加回ㄧ次 第(8)種情形屬違規應扣除，但被扣除三次又加回三次相當於沒扣，應補扣ㄧ次 因此總方法數應該為5! 3 4! 3 3! 2!− × + × − =64 排容原理是在排列組合裡很基本的一個性質，但是在反反覆覆的加加減減之後， 學生常無法理解為何要如此操作，本節中將利用 MathPS 的互動功能來開發教學素材， 以期讓學生能更容易了解排容原理的精神。利用互動功能的好處之ㄧ是教師可以視教 學現場的需求，隨時改變素材呈現速度與順序。而不像看教學影片ㄧ樣從頭播到尾， 無法適當掌控教學內容。

3.4.1 二個事件的排容原理：

(

) ( ) ( ) (

)

n A B∪ =n A +n B −n A B∩ (1)以紅粗線凸顯 A∪ 部分 B (2)以底色凸顯 A 集合 並在每個區域內畫記 (3)以底色凸顯 B 集合 並在每個區域內畫記 (4)以藍粗線凸顯 A∩ 部分 B 取消內部一次畫記 (5)完成畫記， A∪ 部分內 B 恰各畫記ㄧ次 (6)項數之間的關係 恰為巴斯卡三角形 1,2,1 圖 3.4.1 二個事件的排容原理圖解步驟(1)~(6)

3.4.2 三個事件的排容原理

(

) ( ) ( ) ( ) (

) (

) (

) (

)

n A B C∪ ∪ =n A +n B +n C −n A B∩ −n B C∩ −n C∩A +n A B C∩ ∩ (1)以紅粗線凸顯 A∪ ∪B C部分 (2)以底色凸顯 A 集合 並在每個區域內畫記 (3)以底色凸顯 B 集合 並在每個區域內畫記 (4)以底色凸顯C集合 並在每個區域內畫記 (5)以藍粗線凸顯 B∩C部分 取消內部一次畫記 (6)以藍粗線凸顯 A∩C部分 取消內部一次畫記 (7)以藍粗線凸顯 A∩ 部分 B 取消內部一次畫記 (8)以藍粗線凸顯 A∩ ∩B C部分 在區域內畫記 (9)完成畫記， A∪ ∪B C部分內 恰各畫記ㄧ次 (10)項數之間的關係 恰為巴斯卡三角形 1,3,3,1 圖 3.4.2 三個事件的排容原理圖解步驟(1)~(10)

如果對排容原理能有清楚的認識，剛剛的例子不管幾個限制條件都很容易想通。 例 3：ABCDE 五個字母排成一列，A 不排首位，B 不排次位，C 不排第三位，D 不排 第四位，E 不排第五位，的方法數有幾種？ 解法： 5 5 5 5 5 5 0 5! 1 4! 2 3! 3 2! 4 1! 5 0! C × −C × +C × −C × +C × −C × 1 5! 5 4! 10 3! 10 2! 5 1! 1 0! 44 = × − × + × − × + × − × =

3.5 複數的n次方根 本節將介紹 1 的n次方根並推廣到正實數a的n次方根與複數的n次方根。 3.5.1 1 的n次方根 1 的n次方根，在複數平面上恰構成單位圓上正n邊形的頂點，且有一頂點在x 軸正向上，透過 MathPS 的精準定位與互動式按鈕呈現，實作簡報呈現如下： 當n=1時，恰一根x1 =cos 00 +isin 00 = +1 0i= , 如圖 3.5.1 1 當n=2時，恰二根 0 0 1 0 0 2 cos 0 sin 0 1 0 1 cos180 sin180 1 0 1 x i i x i i ⎧ = + = + = ⎨ _{= + = − + = −} ⎩ , 如圖 3.5.2 圖 3.5.1 一的ㄧ次方根 1 1 x = 圖 3.5.2 一的二次方根 2 1 x = 當n=3時，恰三根 0 0 1 0 0 2 0 0 3 cos 0 sin 0 cos120 sin120 cos 240 sin 240 x i x i x i ⎧ = + ⎪ _{= +} ⎨ ⎪ = + ⎩ , 如圖 3.5.3 當n=4時，恰四根 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 cos 0 sin 0 cos 90 sin 90 cos180 sin180 cos 270 sin 270 x i x i x i x i ⎧ = + ⎪ _{= +} ⎪ ⎨ _{= +} ⎪ ⎪ = + ⎩ , 如圖 3.5.4 圖 3.5.3 一的三次方根 3 1 x = 圖 3.5.4 一的四次方根 4 1 x =

當n=5時，恰五根 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 cos 0 sin 0 cos 72 sin 72 cos144 sin144 cos 216 sin 216 cos 288 sin 288 x i x i x i x i x i ⎧ = + ⎪ = + ⎪⎪ _{= +} ⎨ ⎪ = + ⎪ ⎪ = + ⎩ , 如圖 3.5.5 當n=6時，恰六根 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 cos 0 sin 0 cos 60 sin 60 cos120 sin120 cos180 sin180 cos 240 sin 240 cos 300 sin 300 x i x i x i x i x i x i ⎧ = + ⎪ = + ⎪ ⎪ = + ⎪ ⎨ = + ⎪ ⎪ = + ⎪ = + ⎪⎩ , 如圖 3.5.6 圖 3.5.5 一的五次方根 5 1 x = 圖 3.5.6 一的六次方根 6 1 x = 依此類推，可得xn = 的1 n個根為cos2k isin2k , k 0,1, 2,...,n 1 n n π ₊ π _{= − ，圖形恰構} 成單位圓上的正n邊形

3.5.2 正實數a的n次方根 正實數a的n次方根在複數平面上也構成圓上正n邊形的頂點，且有一頂點在x 軸正向上，圓的半徑為n _{a ，可將 1 的n次方根經過伸縮變換之後得到，以五次方根為} 例，利用 MathPS 的精準定位與互動式按鈕呈現，實作簡報擷取畫面如下： 圖 3.5.7 一與二的五次方根 圖 3.5.8 二的五次方根第 1 根 從圖 3.5.7 不難看出， 5 1 x = 與 5 2 x = ，只是圓的半徑變大而已，且變大的幅度為5 2 倍，所以只要知道 5 1 x = 的五次方根，就可推得 5 2 x = 的五次方根。 圖 3.5.9 二的五次方根第 2 根 圖 3.5.10 二的五次方根第 3 根 圖 3.5.11 二的五次方根第 4 根 圖 3.5.12 二的五次方根第 5 根

3.5.3 複數的n次方根 ㄧ般複數的n次方根，我們以 5 1 3 x = − + i為例討論如下： 首先將 5 1 3 x = − + i改成複數的極式表示法 5

(

0 0

)

2 cos150 sin150 x = +i

由棣美弗定理_⎣⎡r

(

cosθ+isinθ

)

⎤_⎦n =rn_⎣⎡cos

( )

nθ +isin

( )

nθ ⎤_{⎦ 可知}

(

0 0

)

5 1 2 cos 30 sin 30 x = +i 為 5

(

0 0

)

2 cos150 sin150 x = +i 的一根 考慮 0 150 的同界角510 時，0 x5 =2 cos 510

(

0+isin 5100

)

(

0 0

)

5 2 2 cos102 sin102 x = +i ，此根與x 在同一個圓上，但輻角多了₁ 0 72 考慮 0 150 的同界角870 時，0 x5 =2 cos870

(

0+isin 8700

)

(

0 0

)

5 3 2 cos174 sin174 x = +i ，此根與x 在同一個圓上，但輻角又多了₂ 0 72 考慮 0 150 的同界角1230 時，0 x5 =2 cos1230

(

0+isin12300

)

(

0 0

)

5 4 2 cos 246 sin 246 x = +i ，此根與x 在同一個圓上，但輻角又多了₃ 0 72 最後考慮 0 150 的同界角1590 時，0 x5 =2 cos1590

(

0+isin15900

)

(

0 0

)

5 5 2 cos 318 sin 318 x = +i ，此根與x 在同一個圓上，但輻角又多了₄ 0 72 由以上的討論知， 5 1 3 x = − + i的五次方根，仍為圓上的正五邊形，只是起始點不在x 軸正向上了。 圖 3.5.14 求 1 的五次方根 圖 3.5.15 求 2 的五次方根 圖 3.5.16 求 1− + 3i的五次方根 因此，我們可以推得ㄧ般通解，如下：

(

cos sin

)

n x =r θ+i θ ,其中r>0, 0≤ <θ 2π ,的n次方根為 2 2 cos sin , 0,1, 2,..., 1 n k k x r i k n n n θ + π θ+ π ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ = − ⎝ ⎠

臺上十分鐘，臺下十年功，教學素材的製作，耗時費神，幸虧近年來資訊軟體的 發展，已大大降低製作成本，更大幅提升製作出來的品質。 由於 GSP 非簡報軟體，故素材畫面的呈現須由使用者自行逐步處理，動畫部分製 作的負擔較大。並不像 PowerPoint 可以做很多的分頁，依次呈現，GSP 常在同一個頁 面中包含大量物件來處理大量的動作，動畫需製作一堆按鈕，使得後續的維護修改難 度大增。另外，PowerPoint 簡報系統可以前後跳躍至想呈現的分頁，隨時快轉或倒帶， 這是 GSP 的動畫呈現較難處理的部份。

如果是作上課教學素材的呈現，建議用 PowerPoint with MathPS 來開發，腳本維 護會比較容易。如果是作教材內容的探索研究，建議用 GSP。也可以將二者並用，先 利用 GSP 構作ㄧ些基本架構圖形如拋物線或雙曲線，然後將內容複製至 PowerPoint 內貼上，取消群組後，便可在 PowerPoint 內作後續處理呈現。

PowerPoint 的軟體普及率較高，而 GSP 則未必每台電腦都有安裝，因此 GSP 檔 案的流通較不方便。Macromedia 推出了一套 Flash Captivate 的軟體，可以將電腦上的 螢幕畫面直接錄製成 Flash 檔，可以將 GSP 作出來的動畫效果錄製成 Flash 檔播放， 就像在看動畫影片ㄧ樣，可以改善 GSP 檔的流通性，不過，製成 Flash 檔後，就不能 再編修為其缺點。 如果每位教師都得自行開發教學素材，勢必大量重複教學資源，有待商榷，故教 學資源的分享流通是必然的趨勢。但每位教師的上課風格、教學方式不同，很難用同 一套教學素材套用給所有教師使用。因此，在教學素材的流通分享上，必須兼顧可適 性修正調整的功能。由 GSP 或 PowerPoint with MathPS 所開發出來的教材，絕大多數 教師都可迅速上手，並適性調整成適合自己使用的素材。

四、

立體環境下的教學素材開發

本章主要利用立體動態幾何軟體 Cabri-3D 來輔助高中數學立體幾何的教學 課程，挑選幾題相關題目作實例分析，另外，針對課程中的幾個重要觀念作 教學素材開發。 初次接觸 Cabri-3D 這套軟體，是在交通大學理學院在職專班網路學習組素材課程 中，聽清華大學全任重教授演講，如何利用幾何動態繪圖軟體來輔助高中數學圓錐曲 線的教學，全教授示範了幾個立體的構圖範例，從平面切割立體圓錐產生的截痕就是 圓錐曲線，讓我為這套軟體的立體展示功能驚艷不已，也決定要好好學這套 Cabri-3D 軟體來作教學輔助。用 Cabri-3D 為開發工具，以動態立體幾何的方式，讓學生可以實 際看到空間立體圖形，而非看著黑板上粉筆留下的二維圖形再自行努力想像對應的立 體圖形。Cabri-3D 提供的功能讓學習者可以從多種不同的視角觀察同一個圖形，讓學 習立體觀念不再瞎子摸象，協助學生培養清楚的空間概念。Cabri-3D 的相關應用很多， 本文僅著重在高中數學相關部分稍加探討，如有興趣鑽研更深者可在清大全教授的網 站上找到許多寶貴的參考資料。 4.1 節為應用 Cabri-3D 來作大考試題的範例圖形解析，之後是為教學素材開發實 作，探討的主題分別是 4.2 節三垂線定理、4.3 節歪斜線距離、4.4 節正四面體的高、 4.5 節圓錐截痕與圓柱截痕。 各節範例原均為動態幾何效果，可於螢幕上轉換各種不同視角以利觀察，因論文 書面輸出，無法呈現動態效果，故各節中僅擷取代表性靜態圖片展示。

4.1 常見立體觀念 我們先從幾個簡單的範例著手，慢慢推廣到較複雜的圖形，以下我們舉幾題大學 入學考試與立體空間相關的題目，應用 Cabri-3D 來呈現其立體圖形。 例 1.圖 4.1.1 為一正立方體，A,B,C 分別為所在的邊之中點。通過 A,B,C 三點的平面與 此立方體表面相截，問下列何者為其截痕的形狀? (1)直角三角形 (2)非直角的三 角形 (3)正方形 (4)非正方形的長方形 (5)六邊形(88 學測單選第 3 題) 圖 4.1.1 正立方體 圖 4.1.2 平面截正立方體 如圖 4.1.2 所示，截痕為長方形，邊的比例是 2 :1。答案選(4)。 從這個題目可以看出來，其實學習目標未必都需要複雜計算，觀念清楚很重要。

例 2.設一球之球心與一正立方體之中心重合，考慮球面與正立方體所有邊的交點，則 交點的個數 不可能是(A) 0 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 24(90 指考數甲單選第 3 題) 圖 4.1.3 當0< <R 2 交點 0 個 圖 4.1.4 當R= 2 交點 12 個 圖 4.1.5 當 2< <R 3 交點 24 個 圖 4.1.6 當R= 3交點 8 個 圖 4.1.7 當R> 3交點 0 個 假設正立方體的稜長為 2，球半徑為 R，在 Cabri-3D 環境下，將球的半徑逐步放大， 可得圖 4.1.3~4.1.7。故知交點數可能為 0,8,12,24 個。答案選(D)

例 3.在空間中，一平面與一正方體相截，若在平面的兩側各有正立方體的 4 個頂點， 則其截面的形狀可能是下列哪種圖形？(1)三角形(2)四邊形(3)五邊形(4)六邊形(5) 八邊形(93 指考數乙多選第 5 題) 如圖 4.1.8 與 4.1.9，本題答案應選(2)與(4)。 圖 4.1.8 平面截正立方體的截面為四邊形 圖 4.1.9 平面截正立方體的截面為六邊形 如果沒有立體圖形，很難憑空想像，如果能用 Cabri-3D 輔助，如圖 4.1.8 與圖 4.1.9 就很清楚知道有四邊形與六邊形兩種，當然考試時，是不能帶電腦進去跑軟體，平時 若有這種訓練，養成清楚的空間概念，評量時，自然能想像出該立體畫面。 Cabri-3D 這套軟體的操作介面很親合，很容易上手，適合學生摸索操作。

例 4.將一個正四面體的四個面上的各邊中點用線段連接，可得四個小正四面體及一個 正八面體，如圖 4.1.10 所示。如果原四面體 ABCD 的體積為 12，那麼此正八面體 的體積為何？(90 學測填充第 H 題) 圖 4.1.10 正八面體(一) 圖 4.1.11 正八面體(二) 圖 4.1.12 正八面體(三) 如圖 4.1.11 與 4.1.12,從不同的視角觀察圖形，可以發現將四個角落的小正四面體 減掉，剩下的就是正八面體，因為小正四面體的稜長為原正四面體稜長的1 2，而體積 比例是邊長比例的立方，因此其小正四面體體積為原正四面體體積的1 8，正八面體體 積=12 1 4 1 6 8 ⎛ ⎞ × − ×_{⎜ ⎟}= ⎝ ⎠

例 5.如圖 4.1.13 的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長 2 的正方形，四個側面都是腰長 為 4 的等腰三角形，則此四角錐的高度為何？(90 學測填充第 F 題) 圖 4.1.13 四角錐展開圖 圖 4.1.14 四角錐 圖 4.1.15 四角錐的高 將四角錐展開圖摺起，如圖 4.1.14 所示，再將其展開後如圖 4.1.15,等腰三角形的 腰長 4 會對應到圖中紅色直角三角形的斜邊，另ㄧ股為底面正方形對角線的ㄧ半 2， 根據畢氏定理得此四角錐的高為 2

( )

2 4 − 2 = 14