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4-3-6機率與統計-平均數

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Academic year: 2021

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(1)第四冊 3-6 機率與統計-平均數 【重點】 統計量中形容集中程度的有: 1. 算數平均數(Mean)。 2. 加權平均數(Weight)。 3. 去頭尾平均數。 4. 幾何平均數(G.M.)(geometry mean)。 5. 中位數(Me)(median)。 6. 眾數(Mo)(mode)。 統計量中形容分散程度的有: 1. 全距(R)(range)。 2. 四分位差(Q.D.)(quartile deviation)。 3. 平均絕對離差(M.A.D.)(mean absolute deviation)。 4. 變異數(Variance)。 5. 標準差(S)(standard deviation)。 比較兩筆資料的分散程度: 1. 變異係數(C.V.)(coefficient of variance)。 比較兩筆資料的相關程度: 1. 相關係數(R)(relation coefficient)。 【說明】 統計量有很多種,適用於各種不同類型的資料,並不是一種統計量就可以解釋所 有的各種資料,而要針對不同的資料選取不同的統計量來用。 【定義】 算數平均數: 未分組資料: 設 n 筆資料為 x1 , x2 ,L, x n , 則其算數平均數定義為 X =. n x1 + x 2 + L + x n x =∑ i 。 n i =1 n. 已分組資料: k. 算數平均數定義為 X = ∑ i =1. f i xi ,其中 x1 , x2 ,L, x n 為各組組中值, f1 , f 2 ,L, f n 為 n. 各組次數。 優點: 1. 簡單易算,適於代數處理。 2. 表質量重心。 缺點: 1. 易受極端值影響。 2. 資料要有相等重要性。 3. 看不出資料實際內涵。 性質: n. 1.. ∑ (x i =1. 2.. i. − X ) = 0。. yi = axi + b ⇒ Y = a X + b 。.

(2) 3. 已分組資料用組中點代表。 【問題】 1. 至少一半或一半以上資料 ≥ X ? 2. 至少一半或一半以上資料 > X ? 3. 至少一半資料 ≥ X ? 4. 至少一筆資料 ≥ X ? 5. 分組資料為何以各組組中點代表? 是否會有誤差? 【定義】 加權平均數: 設 n 筆資料為 x1 , x2 ,L, x n ,其權數分別為 w1 , w2 ,L , wn , n. n. i =1. i =1. 則其加權平均數定義為 X = ∑ wi xi ,其中 ∑ wi = 1 。 優點: 1. 可依資料重要性調整權重。 2. 不受極端值影響。 性質: 1. 權重和為 1。 2. 已分組資料用組中點代表。 3. 權重可取 0(即資料不列入計算)。 【定義】 平均成長率: 設 n 年的成長率分別為 r1 , r2 ,L, rn 且 (1 + r1 ), (1 + r2 ),L, (1 + rn ) > 0 , 則平均成長率為 n (1 + r1 )(1 + r2 )L(1 + rn ) − 1 。 幾何平均數: 設 n 筆正數資料為 x1 , x2 ,L, x n , 則其幾何平均數定義為 G.M . = n x1 × x 2 × L × x n 。 優點: 1. 用於求平均成長率或平均漲幅。 缺點: 1. 計算困難,常用對數表求。 性質: 1. 算數幾何平均不等式: x + x2 + L + xn n ≥ x1 × x 2 × L × x n 。 若 x1 , x2 ,L, xn ≥ 0 ,則 1 n 2. 幾何平均數對極端值較不敏感。 【例題】 設本金為 P ,連續兩年之成長率分別為 + 50%, −50% 則本金變化分別為 P, P (1 + 0.5), P (1 + 0.5)(1 − 0.5) 也就是為 P,1.5 P,0.75 P (50%) + ( −50%) 現若以算術平均數 = 0% 來解釋其平均成長率為 0% ,則不恰當 2.

(3) 若以 P (1 + 0.5)(1 − 0.5) = P (1 + r )(1 + r ) 求出 r = 1.5 × 0.5 − 1 ≈ 0.866 − 1 = 0.134 來當成平均成長率解釋較為恰當 此時滿足 P (1 + 0.134)(1 + 0.134) ≈ 0.75 P 【定義】 中位數: 未分組資料: 設 n 筆資料由小到大排序後為 x(1) , x( 2 ) ,L , x( n ) , 則排序最中間的數(或中間兩數的平均),稱中位數。 分 n 奇數與偶數討論如下: 1. 若 n = 2k + 1 ,則 Me = x( k +1) 。 2.. 若 n = 2k ,則 Me =. x( k ) + x( k +1). 已分組資料: 設資料分組後如下: 組別 L1 ~ U 1 L2 ~ U 2 M Li ~ U i. 2. 。. 次數 f1 f2 M fi. 累積次數 S1 = f1 S 2 = f1 + f 2 M Si = f1 + f 2 + L + f i. M fk. M S k = f1 + f 2 + L + f k. M Lk ~ U k. 設某一組滿足 S i −1 = f1 + f 2 + L + f i −1 <. n n 及 S i = f1 + f 2 + L + f i −1 + f i ≥ 2 2. 則 Me 落於此組中 又已假設各組內之資料均勻分布於各組內 Me − Li 故 = U i − Li. 得 Me = Li +. n − Si −1 2. fi n − Si −1 2. fi. 亦可得 Me = U i −. (U i − Li ) Si −. fi. n 2. (U i − Li ). 優點: 1. 不受極端值影響,較不敏感。 注意: 1. 未分組資料找中間的資料。 n 已分組資料(設資料平均分布),用相似三角形概念以 位置求之。 2 【問題】 1. 至少一半或一半以上資料 ≥ Me ? 2. 至少一半或一半以上資料 ≤ Me ?. 2..

(4) 3. 至少有一個資料 ≥ Me ? 【定義】 眾數: 未分組資料: 資料中出現次數最多的數。 已分組資料: 分組中次數最多那一組的組中點。 意義: 1. 表多數決之意。 注意: 1. 資料越對稱,眾數越靠近平均數與中位數。 2. 分組資料以次數最多的那組的組中點當眾數。 3. 若出現次數最多,不只一次,規定以最小者為眾數。 【問題】 1. 眾數必大於平均數? 2. 眾數必大於中位數? 【問題】 1. 若全班每人成績加 3 分,則何種統計量增加 3 分? 2. 若全班每人成績乘 3 倍,則何種統計量變 3 倍? 3. 當資料對稱、左偏與右偏時,試分別討論平均數、中位數與眾數的大小關係? (右偏:平均數<中位數<眾數 左偏:眾數<中位數<平均數).

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參考文獻

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