國中數學6 1 1二次函數的圖形

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1−1 二次函數的圖形

本節課程學習重點:

◎能理解二次函數的意義。

◎能描繪二次函數 y=ax2 (a≠0)的圖形,並能察覺圖形的對稱軸、開口方向及最高點或最低點。

◎能判斷二次函數 y=ax2圖形的開口大小。

◎能描繪 y=ax2+k (a≠0、k≠0)的圖形,並能察覺圖形與二次函數 y=ax2的圖形之關係。

◎能描繪二次函數 y=a(x-h)2 (a≠0)的圖形,並能察覺圖形與二次函數 y=ax2的圖形之關係。

◎能描繪二次函數 y=a(x-h)2+k (a≠0)的圖形,並能察覺圖形與二次函數 y=ax2的圖形之關係。

◎能知道二次函數 y=a(x-h)2+k (a≠0)的圖形為拋物線,是以直線 x=h (或 x-h=0)為對稱軸的 線對稱圖形。a>0 時,圖形開口向上,其頂點(h , k)是最低點;a<0 時,圖形開口向下,其頂點 (h , k)是最高點。 一、二次函數的意義: ◎函數的概念:在 x、y 兩個變量的關係式中,如果對於每一個 x 值,恰好都有一個 y 值與它對應, 就說 y 是 x 的函數。 ◎二次函數:經化簡後形如 y=ax2+bx+c (a≠0)的函數稱為二次函數。(變數 x 的最高次數都是二次) 練習1:判斷下列 x、y 的關係式中,y 是否為 x 的函數?

(1) y=2x2+1 (2) y=-x2+3x- 12 (3) y=(x-10)2

練習2:以下哪些是常數函數?哪些是一次函數?哪些是二次函數?

(A) y=3x+2 (B) y=5 (C) y=4x2+1 (D) y=- 13 (x-2)2+3 (E) y=0 (F) y=x (G) y=x2+3 (H) y=2(x-1)2-2x2 二、二次函數的圖形: ◎觀察二次函數 y=x2的圖形:利用描點法作圖。 (注意關鍵點的選取,點與點間須以平滑曲線連接) 【說明】(1)先選擇變數 x 的值,再求出所對應的 y 值。 3 2 1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 x y − − − " " " " (2)將這些數對(x , y)所對應的點,描在坐標平面上。 (3)當夠多的點(x , y)逐一描在同一坐標平面上, 可看到所描的點幾乎連成一條平滑的曲線。 (4)觀察發現在 y 軸右側的點,例如(1 , 1)、(2 , 4)、(3 , 9)等,它們以 y 軸為對稱軸的對稱點 (-1 , 1)、(-2 , 4)、(-3 , 9)也都落在圖形上。 (5) y=x2的圖形是以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形,而這個圖形有一個最低點(0 , 0)。 (6)當所選取的 x 絕對值愈大時,所對應的 y 值也愈大,即整個圖形從最低點處的兩邊開始

向上無限延伸,此時我們說這個圖形的開口向上。

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◎描繪二次函數 y=ax2(a>0)的圖形: (1)描繪 y=2x2的圖形。 (2)描繪 y= 12 x2的圖形。 3 2 1 0 1 2 3 18 8 2 0 2 8 18 x y − − − " " " " 3 2 1 0 1 2 3 9 1 1 9 2 0 2 2 2 2 2 x y − − − " " " " 【觀念釐清】觀察發現 y=2x2和 y= 12 x2的圖形都是 (1)平滑曲線,且以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形。 (2)開口向上。 (3)以原點(0 , 0)為最低點。 ◎描繪二次函數 y=ax2(a<0)的圖形:

(1)描繪 y=-x2的圖形。 (2)描繪 y=-2x2的圖形。 (3)描繪 y=- 12 x2的圖形。

【觀念釐清】觀察發現 y=-x2、y=-2x2及 y=- 12 x2等 x2項係數皆為負數,其函數圖形都是

(1)平滑曲線,且以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形。 (2)開口向下。 (3)以原點(0 , 0)為最高點。

◎二次函數

y=ax

2

的圖形及其開口方向:

a>0 a<0 以 y 軸為對稱軸 以 y 軸為對稱軸 開口向上 開口向下 有最低點(0 , 0) 有最高點(0 , 0)

(3)

◎觀察 y=x2和 y=-x2的圖形: x y O y=x2 y=-x2 由上圖可知:(1)若將 y=x2的圖形沿著 x 軸往下摺,則其圖形會和 y=-x2的圖形重合。 (2)二次函數 y=ax2與 y=-ax2的圖形對稱於 x 軸。 ◎二次函數 y=ax2圖形的開口大小: (1)當│a│愈大,圖形的開口愈小。 (2)當│a│愈小,圖形的開口愈大。 【說明】如下圖,可知這三個二次函數圖形開口大小依次為:甲>乙>丙。 O x y y=2x2 y=x2 y= 12 x2 丙 乙 甲 y O x y=-2x2 y=-x2 y=- 12 x2 丙 乙 甲 練習3:試寫出下列二次函數圖形的開口方向,並比較其開口大小。

(A) y=-5x2 (B) y=2x2 (C) y=5x2 (D) y=-x2 (E) y= 32 x2 (F) y=-2x2 (1)圖形開口向上的有 ,將圖形開口由大到小排列: 。 (2)圖形開口向下的有 ,將圖形開口由大到小排列: 。

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◎二次函數 y=ax2+k 的圖形: 形如 y=ax2+k (a≠0、k≠0)的二次函數圖形,是以 y 軸為對稱軸,以(0 , k)為頂點的線對稱圖形: (1)當 k>0 時,其圖形可由 y=ax2的圖形向上平移 k 個單位而得。 (2)當 k<0 時,其圖形可由 y=ax2的圖形向下平移│k│個單位而得。 【說明】(1)觀察二次函數 y=x2+1 的圖形: (-2,5) (0,1) x y O (-1,2) (1,2) (2,5) 可知 y=x2+1 的圖形是以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形,開口向上,以(0 , 1)為最低點。 (2)觀察二次函數 y=-x2+2 的圖形: O (-2,-2) (-1,1) (2,-2) (1,1) (0,2) x y 可知 y=-x2+2 的圖形是以 y 軸為對稱軸的線對稱圖形,開口向下,以(0 , 2)為最高點。 (3)探討圖形的平移關係:(開口方向及大小相同的二次函數圖形,經由平移可使圖形重合。) x y y=x2+1 y=x2 y=x2-2 O y y=-2x2+2 y=-2x2 y=-2x2-3 x O 由上圖發現:(圖形平移不會改變二次函數的開口大小。) 將 y=x2的圖形向上平移1 個單位,可以得到 y=x2+1 的圖形。 將 y=x2的圖形向下平移2 個單位,可以得到 y=x2-2 的圖形。 將 y=-2x2的圖形向上平移2 個單位,可以得到 y=-2x2+2 的圖形。 將 y=-2x2的圖形向下平移3 個單位,可以得到 y=-2x2-3 的圖形。 a>0 a<0 以 y 軸為對稱軸 以 y 軸為對稱軸 開口向上 開口向下 有最低點(0 , k) 有最高點(0 , k)

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練習4:試寫出二次函數 y=2x2-2 的對稱軸方程式、開口方向與最低點坐標。 練習5:試寫出二次函數 y=-3x2-1 的對稱軸方程式、開口方向與最高點坐標。 練習6:將 y=5x2的圖形平移,回答下列問題。 (1)向上平移 7 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最低點坐標為何? (2)向下平移 2 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最低點坐標為何? 練習7:將 y=-4x2的圖形平移,回答下列問題。 (1)向下平移 4 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最高點坐標為何? (2)向上平移 9 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最高點坐標為何? ◎二次函數 y=a(x-h)2的圖形: 形如 y=a(x-h)2 (a≠0、h≠0)的二次函數圖形,是以直線 x=h(或 x-h=0)為對稱軸,以(h , 0)為頂點 的線對稱圖形: (1)當 h>0 時,其圖形可由 y=ax2的圖形向右平移 h 個單位而得。 (2)當 h<0 時,其圖形可由 y=ax2的圖形向左平移│h│個單位而得。 【說明】(1)觀察 y=(x-1)2的圖形。 O (-1,4) (3,4) (2,1) (0,1) (1,0) x y 可知 y=(x-1)2的圖形是以 x=1 為對稱軸的線對稱圖形,開口向上,以(1 , 0)為最低點。 a>0 a<0 以 x=h 為對稱軸 以 x=h 為對稱軸 開口向上 開口向下 有最低點(h , 0) 有最高點(h , 0)

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(2)觀察 y=-(x-1)2的圖形。 (2,-1) (3,-4) (-1,-4) (0,-1) (1,0) O x y 可知 y=-(x-1)2的圖形是以 x=1 為對稱軸的線對稱圖形,開口向下,以(1 , 0)為最高點。 (3)探討圖形的平移關係: O y=(x+2)2 y=(x-1)2 y=x2 x y O y=- 12 (x+3)2 y=- 12 (x-1)2 y=- 12 x2 x y 由上圖發現: 將 y=x2的圖形向右平移1 個單位,可以得到 y=(x-1)2的圖形。 將 y=x2的圖形向左平移2 個單位,可以得到 y=(x+2)2的圖形。 將 y=- 12 x2的圖形向右平移1 個單位,可以得到 y=- 12 (x-1)2的圖形。 將 y=- 12 x2的圖形向左平移3 個單位,可以得到 y=- 12 (x+3)2的圖形。 練習8:試寫出二次函數 y=(x+2)2的對稱軸方程式、開口方向與最低點坐標。 練習9:試寫出二次函數 y=-(x+3)2的對稱軸方程式、開口方向及最高點坐標。 練習10:將 y=3x2的圖形平移,回答下列問題。 (1)向右平移 5 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最低點坐標為何? (2)向左平移 3 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最低點坐標為何? 練習11:將 y=-2x2的圖形平移,回答下列問題。 (1)向左平移 7 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最高點坐標為何? (2)向右平移 4 個單位,會得到哪個二次函數的圖形?此函數的最高點坐標為何?

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◎二次函數 y=a(x-h)2+k (a≠0)的圖形: 二次函數 y=a(x-h)2+k (a≠0)的圖形為拋物線,是以直線 x=h(或 x-h=0)為對稱軸的線對稱圖形。 (1)當 a>0 時,圖形開口向上,其頂點(h , k)為此拋物線的最低點。 (2)當 a<0 時,圖形開口向下,其頂點(h , k)為此拋物線的最高點。 【說明】(1)觀察 y=2(x-3)2+5 的圖形。 (1,13) (5,13) (3,5)

x

y

O (2,7) (4,7) 可知 y=2(x-3)2+5 的圖形是以 x=3 為軸的線對稱圖形,開口向上,以(3 , 5)為最低點。 (2)探討圖形的平移關係: y y=2x2 y=2(x-3)2+5 y=2(x-3)2 x O 由上圖發現: 將 y=2x2的圖形向右平移3 個單位,可得到 y=2(x-3)2的圖形,再將此圖形向上 平移 5 個單位,就可以得到 y=2(x-3)2+5 的圖形了。 練習12:二次函數 y=-2(x+1)2-3 的圖形可由 y=-2x2的圖形如何平移得到? 【觀念釐清】(1)二次函數 y=a(x-h)2+k (a≠0)的圖形稱為拋物線。 (2)拋物線是線對稱圖形,開口向上的拋物線有最低點,開口向下的拋物線有最高點。 (3)不論是最高點或最低點,都是拋物線與其對稱軸的交點,此交點稱為拋物線的頂點。

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練習13:求下列各二次函數圖形的頂點坐標。(1) y=-3(x-5)2-9 (2) y=7(x+4)2+6 練習14:有一個二次函數,其圖形頂點為(-2 , 5),且通過點(1 , -4),試求此二次函數。 (Hint:已知二次函數的頂點(h , k),可以假設二次函數為 y=a(x-h)2+k。) 練習15:有一頂點為(0 , -2)的二次函數圖形,通過點(-1 , 2),試求此二次函數。 練習16:已知二次函數 y=a(x-h)2+k 圖形的最低點為(-1 , -3),且|a|=2,試求此二次函數 及其對稱軸方程式。 練習17:已知二次函數 y=a(x-h)2+k 圖形的最高點為(-2 , 3),且|a|=3,試求此二次函數及其 對稱軸方程式。 練習18:坐標平面上二次函數 y=-3x2的圖形平移後,可得 y=a(x-h)2+k 的圖形,其對稱軸為 直線 x-1=0,且圖形通過點(2 , 1),則此二次函數圖形的頂點為何? 練習19:坐標平面上二次函數 y=2x2的圖形平移後,可得 y=a(x-h)2+k 的圖形,其對稱軸為 直線 x+2=0,且圖形通過點(1 , 13),則此二次函數圖形的頂點為何?

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自我評量

1. 描繪下列各二次函數的圖形,並寫出其圖形的對稱軸方程式、開口方向與最高點或最低點坐標。 (1) y=-3x2 (2) y=x2-4 (3) y=(x+5)2 (4) y=-(x-2)2+3

2. 若將二次函數 y=- 12 x2+5 的圖形向上平移 3 個單位,可得到二次函數 的圖形。 3. 二次函數 y=3x2+4 的圖形是二次函數 y=3(x+7)2+4 的圖形向 平移 個單位得到的 圖形。 4. 已知二次函數 y=a(x-h)2+5 圖形的對稱軸為直線 x+2=0,且圖形經過(0 , 1),求此二次函數 及其頂點。 5. 坐標平面上二次函數 y= 15 x2的圖形平移後可得 y= 15 (x-h)2+k 的圖形,其對稱軸為直線 x+1=0, 且圖形通過點(4 , 8),則此二次函數圖形的頂點為何? 習作 1. 已知一圓心角為 120°的扇形,其半徑為 x 公分,扇形面積為 y 平方公分。 x 與 y 的對應關係如下表。 半徑 x 1 2 3 4 5 面積 y 1 3 π 4 3 π (1)請完成上表。 (2)請寫出 x 與 y 的關係式。 (3) y 是否為 x 的二次函數?

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2. 在坐標平面上描繪下列二次函數的圖形。 (1) y=2x2+3 (2) y=- 12 x2-1

3. 在坐標平面上描繪下列二次函數的圖形,並標示出它們的頂點坐標與對稱軸。 (1) y=-2(x+2)2 (2) y=3(x+1)2-2

4. 在下列空格中填入適當的答案。

二次函數 y=3x2+5 y=- 34 x2- 27 y=3(x+2)2 y=-2(x-4)2+6 開口方向

(向上或向下) 頂點坐標

對稱軸

5. 將下列各二次函數的開口由小到大排列。(以代號填寫)

甲:y=3x2 乙:y=- 13 x2 丙:y= 23 x2 丁:y=-2(x+2)2

6. (1)將二次函數 y= 12 x2的圖形向下移動 52 個單位,可得到二次函數 y= 的圖形。 (2)將二次函數 y=-2x2-6 的圖形向上移動 4 個單位,可得到二次函數 y= 的圖形。 (3)將二次函數 y=-4x2的圖形向右移動3 個單位,可得到二次函數 y= 的圖形。 (4)將二次函數 y=3(x-1)2的圖形向左移動3 個單位,可得到二次函數 y= 的圖形。 (5)將二次函數 y=2x2的圖形向左移動5 個單位,再向上移動 3 個單位,可得到二次函數 y= 的圖形。

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7. 若(2 , 5)為二次函數 y= 12 x2+k 圖形上的一點,則 k=? 8. 已知某二次函數圖形的頂點為(0 ,-4),且通過(-3 ,-1),則此二次函數為何? 9. 已知某二次函數 y=a(x-h)2+k 圖形的頂點(-3 ,-4)為最高點,且|a|=5,則此二次函數為何? 10. 如右圖,甲、乙兩隻螞蟻在坐標平面的原點上,甲往右、乙往左沿著二次函數 y=x2的圖形以相同 的等速度爬行。則當甲到達點(3 , 9)時,乙所在點的坐標為何?

O x y 甲 乙 11. 若將二次函數 y=2(x-5)2+3 的圖形向 (填左或右)平移 個單位, 再向 (填上或下)平移 個單位,可以得到 y=2(x+2)2-1 的圖形。(Hint:觀察頂點) 12. 已知二次函數 y=4x2的圖形經過平移之後,圖形的對稱軸變為 x+3=0,且圖形經過(-4 , 5), 則平移後的圖形之二次函數為何?此時的頂點坐標為何? 類題補充 1. 若二次函數 y=a(x-h)2+k 圖形的頂點為(1 , 5),且通過(-2 , 4),則 3a-2h+k=?

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2. 若二次函數 y=ax2(a≠0)的圖形與直線 y=-3 的交點分別為 A、B 兩點,且 AB =6,求 a=?

3. 已知一二次函數的圖形與 x 軸交於(5 , 0)、(-5 , 0)兩點,與 y 軸交於(0 , 10),求此二次函數。

4. 已知一二次函數的圖形通過(0 , 3)、(2 , 1),且其圖形對稱於 y 軸,求此二次函數。

5. 若 A、B 為二次函數 y=-x2-1 圖形上的兩點,且 A、B 兩點距離 x 軸均為 5 個單位,則 AB =?

6. 坐標平面上 y=x2+bx+c 的圖形通過(1 , 0)、(0 , 3)兩點,則此函數圖形的頂點坐標為 。

7. 如右圖,二次函數 y=ax2、y=bx2、y=cx2、y=dx2的圖形分別為 A、B、C、D,則 a、b、c、d 的大小順序是 。 8. 某二次函數圖形通過(3 , 9)、(0 , 3),且此二次函數圖形以 x=1 為對稱軸,求此二次函數為何? y x A B C D

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加強練習

1. 已知某二次函數的頂點為(0 , -7),且通過(2 , 2),求此二次函數為何? (A) y=- 54 x2+7 (B) y= 94 x2-7 (C) y=- 72 x2+16 (D) y= 81 (x+7)2 2

2. 設直線 y=3 與二次函數 A:y=x2的圖形交於 A1、A2兩點,與二次函數 B:y=3x2的圖形交於 B1、

B2兩點,與二次函數 C:y=5x2的圖形交於 C1、C2兩點,比較 A1A2 、 B1B2 、 C1C2 之大小。 3. 二次函數 y=4x2+1 圖形的頂點到直線 y=-3 的距離=? 4. 在坐標平面上,二次函數 y=-2x2+3 與 y=ax2+b 的圖形開口方向相反,且開口大小相同,頂點 坐標相同,則 a+b=? 5. 二次函數 y=2x2-1 的圖形向上平移 3 單位可得 y=ax2+b,然後再向下平移 5 單位可得 y=cx2+d,求 a+b+c+d=? 6. 若二次函數 y=8-3x2,則下列何者正確? (A)此二次函數的圖形有最低點 (B)此二次函數的圖形開口向上 (C)此二次函數圖形的頂點坐標為(8 , -3) (D)此二次函數圖形的對稱軸是 y 軸 7. 下列哪一個二次函數圖形的開口大小與 y=2x2-1 一樣大?

(A) y=-x2 (B) y=-2x2+1 (C) y=3x2 (D) y=-3x2-1

8. 在坐標平面上,A(-2 , a)與 B(a , b)為二次函數 y=-x2圖形上的兩點,則 ab= 。 9. 右圖可能是下列哪一個二次函數的圖形? (A) y=x2+3 (B) y=2x2-2 (C) y=-x2-3 (D) y=5-3x2 10. 在坐標平面上,二次函數 y=2x2-8 的圖形經由下列哪一種方式移動後, 可得到 y=2(x-5)2+12 的圖形? (A)先向左移 5 單位,再向上移 20 單位 (B)先向右移 5 單位,再向上移 20 單位 (C)先向下移 5 單位,再向右移 20 單位 (D)先向上移 5 單位,再向左移 20 單位 11. 右圖為 y=ax2+c 的圖形,則 (1) a 0。(填入>、=或<) (2) c 0。(填入>、=或<) 12. 已知(1 , a)、(2 , b)、(53 , c)、(44,d)四個點均在 y=2(x-53 )2的圖形上, 則比較 a、b、c、d 的大小關係為何?

13. 如右圖,A、B 分別為 y=x2上的兩點,且¯ AB ⊥y 軸。若¯ AB =8,

則直線 AB 的方程式為何?

14. 將二次函數 y=-3(x+2)2+4 的圖形移動後,使得原圖形上的點(1 , a)

移動到(4 , 2),求新圖形的頂點坐標。

15. 在坐標平面上,直線 y=-4 與 y=- 12 x2交於 A1、A2兩點;與 y=-2x2交於 B1、B2兩點; 與 y=-x2交於 C1、C2兩點,則 ¯ A1A2 、 ¯ B1B2 、 ¯ C1C2 的大小關係為何?

(A) ¯ A1A2 > ¯ B1B2 > ¯ C1C2 (B) ¯ A1A2 > ¯ C1C2 > ¯ B1B2 (C) ¯ B1B2 > ¯ C1C2 > ¯ A1A2 (D) ¯ B1B2 > ¯ A1A2 > ¯ C1C2

16. 直線 y=3 分別與 y= 12 x2的圖形交於 A、B 兩點,與 y=x2的圖形交於 C、D 兩點,與 y=2x2

圖形交於 E、F 兩點,則下列何者正確? (A) ¯ AB <¯ EF (B) ¯ AB =2 3 (C) ¯ CD =2 6 (D) ¯ EF = 6 y x x O y

y

x

O A B y=x2

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Ans:1.(B);2. A1A2 > B1B2 > C1C2 ;3. 4;4. 5;5. 3;6.(D);7.(B);8. 64;9.(D);10.(B); 11.(1)>,(2)<;12. c<b<a<d;13. y=16;14. (1 , 29);15.(B);16.(D)。

數據

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參考文獻

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