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巴斯卡三角形的幾個性質

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Academic year: 2021

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(1)

巴斯卡三角形的幾個性質

許介彥

大葉大學 電信工程學系

一個魔術

請讓我為你變一個魔術。首先,請你在紙 上將任意六個阿拉伯數字寫在同一列上(數字 可重複),例如: 8 3 7 6 4 5 在你寫完之後我將很快地在另一張紙上 寫下一個數字(不讓你看到是多少),然後我 請你將你所寫的六個數字由左而右兩兩相 加,將每兩個相鄰的數字的和除以9 的餘數 寫在兩個數字的下方;以剛才的六個數字為 例,你將在第二列寫下2,1,4,1,0等五個數 字,因為8+3除以9 的餘數為 2,3+7除以 9 的餘數為 1,7+6除以9 的餘數為 4 等: 2 1 4 1 0 8 3 7 6 4 5 接著我請你依此類推,用相同的方式由 第 二 列 產 生 第 三 列 , 由 第 三 列 產 生 第 四 列,……,直到第六列為止;第六列將只剩 一個數字(以本例而言為7): 3 5 5 1 8 1 6 0 7 7 2 1 4 1 0 8 3 7 6 4 5 此時我向你展示我當初寫在紙上的數, 它竟然是 7,因此我老早就知道最後的數字 會是7 了。你知道我是怎麼知道的嗎?

巴斯卡三角形

以上所述是一個和數學上有名的「巴斯卡 三角形」(Pascal’s triangle)有關的魔術;下圖 顯示了巴斯卡三角形的最上面幾列(往下可無 限延伸): 70 56 56 28 28 8 8 1 11 7 21 35 35 21 7 1 15 20 6 1 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 11 3 3 1 1 2 1 1 1 1 126 84 126 84 36 36 9 9 1 1 如果我們將最上面一列稱為第零列,其下 依序為第一列、第二列、……,那麼巴斯卡三 角形的第n 列含有以下(n+1)個數:       0 n ,       1 n ,       2 n , … ,       n n 其中 )! ( ! ! r n r n r n − =       , 0≤rn. 數學上也常將rn記作C( rn, )。 由於C(n ,0)=C(n,n)=1,因此每一列的 左右兩端一定都是1。如果我們定義當r<0或 n r > 時C(n,r)的值為 0(也就是將上圖位於 三角形區域外的空白處都視為 0,本文以下皆 採此定義),那麼巴斯卡三角形除了第零列的1

(2)

之外,位於其他列上的每個數都滿足下面的遞 迴關係:       − +       − − =       r n r n r n 1 1 1 . 巴斯卡三角形自古以來即吸引了眾多數 學家的目光,在它看似平淡無奇的外表下隱含 著諸多奇妙的性質,即便時至今日仍不時有新 的性質被「挖掘」出來;本文接下來將介紹巴 斯卡三角形的幾個有趣而又不難理解的性質。

同一列中的公因數

經由觀察巴斯卡三角形的最上面幾列,您 也許注意到對某些特定的n 而言,第 n 列除了 頭尾兩端的1 之外的其他(n−1)個數全部都是 n 的倍數;例如當 n 為 7 時,第七列的 7, 21, 35, 35, 21, 7 等全都是 7 的倍數。以下我們証明當 n 為質數時必定如此。 定理一: 當p 為質數且0<r< pC(p,r)必是p 的倍數。 証明: 1 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( L L − − + − − − =       r r r r p p p p r p 上面的分數中,分子是p 的倍數,但分 母卻一定不是p 的倍數(因為分母的每個因 數都小於p,都與 p 互質),由此可知C(p,r) 一定是p 的倍數。我們還可推知第 p 列除了 頭尾兩端的1 之外的其他(p−1)個數的最大 公因數一定是p(因為C(p ,1)= p)。 經由觀察巴斯卡三角形中的數,您也許還 注意到對每一列而言,除了頭尾兩端的 1 之 外,位於同一列上的任意兩數之間似乎都不會 互質,是否真的如此呢?答案是肯定的,以下 我們加以証明。 定理二: 當 n≥3 且 0<i< j<nC(n,i) 與 ) , (n j C 必有大於1 的公因數。 証明: 下式是一個恆等式(由組合的觀點不難說 明此式為何正確):       −       =       −       i j n j n j i n i n 如果C(n,i)與C(n,j)互質,等號右邊的 ) , (n j i C − 一定會是左邊的C(n,i)的倍數,然 而實際上C(nj,i)根本就比C(n,i)還小,因 此C(n,i)與C(n,j)不可能互質。 上面的論述其實還不完整,因為並沒有考 慮到等號兩邊有可能同時為 0,這在n<i+j 時確實會發生;不過既然巴斯卡三角形的每一 列都是左右對稱,只要我們限定i 與 j 都不大

n/2

就可以將等號兩邊都是0 的情形排除 了。(

 

為數學上的 floor function 慣用的記 號;對任意實數x,

 

x 的值為所有小於或等於 x 的 整 數 中 最 大 的 整 數 , 例 如

 

4.3 =4,

 

5 =5,

−4.3

=−5等。) 以下我們看一個相關的例題。 例題: 求出下面的數列的最大公因數:       1 2n ,       3 2n ,       5 2n ,...,       −1 2 2 n n .

(3)

解: 由二項式定理知 n n n n n n C C x C x x)2 02 12 22 2 1 ( + = + +L+ 將x 以 1 代入得 n n n n n n C C C C2 2 2 2 2 1 2 0 2 2 = + + +L+ 將x 以−1代入則為 n n n n n C C C C 2 2 2 2 2 1 2 0 0= − + −L+ 兩式相減,得 1 2 2 1 2 2 5 2 3 2 1n+C n+C n+ +C nn− =2 nC L . 如果題目所求的最大公因數為 d,由上式 可知d 一定是 2 的某個整數次方。 如果我們將 n 表為2kq,其中的 q 為奇 數,那麼C(2n ,1)=2n=2k 1+ q,因此d 不可能 大於2k+1。以下我們將說明 d 其實就等於 1 2k+,也就是說,當r=1 ,3 ,5, ,(2n1) K ,2k+1 一定能整除C(2n,r),這由下式不難得知:       r n 2 )! 2 ( )! 1 ( )! 1 2 ( 2 )! 2 ( ! )! 2 ( r n r n r n r n r n − − − ⋅ = − =       − − =       − − = + 1 1 2 2 1 1 2 2 1 r n r q r n r n k 由於r為奇數,2k+1一定與r 互質,而 q 與 ) 1 , 1 2 ( nrC 都 是 整 數 , 因 此2k+1一 定 是 ) , 2 ( n r C 的因數。

巴斯卡三角形中的奇數

巴斯卡三角形的第零列有一個奇數,第一 列與第二列各有兩個奇數,第三列則有四個奇 數;如果我們由三角形的頂端一列一列往下 看,各列中的奇數個數分別是1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, …,它們「似乎」都是 2 的整數次方; 本文接下來將証明的確是如此,不過我們先証 明以下定理: 定理三: 當 n 為偶數且 r 為奇數,C( rn, )必為偶 數。當n 為奇數或 r 為偶數,C( rn, )為偶數若 且唯若C(

n/2

  

, r/2 ) 為偶數。 証明: 依n 與 r 為奇數或偶數總共有四種可能的 組合: (I) n 為偶數且 r 為奇數 (II) n 與 r 皆為偶數 (III) n 與 r 皆為奇數 (IV) n 為奇數且 r 為偶數 以下我們針對各種情形分別討論。 (I) n 為偶數且 r 為奇數 此時的r 一定大於 0。當0<rn時,下 式一定成立:       r n )! ( )! 1 ( )! 1 ( )! ( ! ! r n r n r n r n r n − − − ⋅ = − =       − − = 1 1 r n r n 由於C( rn, )等於n(一個偶數)除以 r(一 個奇數)再乘以C(n−1,r−1)(一個整數),因 此C( rn, )必為偶數。 (II) n 與 r 皆為偶數 r>0時, 1 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( L L − − + − − − =       r r r r n n n n r n 上式分子的(n−1),(n−3),K,(nr+1)等 數及分母的(r−1),(r−3),K ,1等數都是奇數; 由 於 我 們 的 目 標 是 要 判 斷C( rn, )是 否 為 偶 數,因此所須在意的只是分子與分母中的偶數 (更明確地說,我們須在意的是分子中的因數 2 是否會全部與分母中的 2 抵消),至於式子中

(4)

的奇數則無關大局,不妨先將它們剔除,因此 ) , ( rn C 為偶數若且唯若 2 ) 4 )( 2 ( ) 2 ( ) 4 )( 2 ( L L − − + − − − r r r r n n n n 為偶數;此分數的分子與分母各有r/2個 偶數相乘,將分子與分母中的各項都除以2 得 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 L L                         +                   r r r r n n n n 這 其 實 就 是 C(n/2,r/2) , 也 就 是

/2

  

, /2 ) ( n r C ( 因 為n/2與 r/2 都 是 整 數),因此當n 與 r 皆為偶數(且r>0)時, ) , ( rn C 為偶數若且唯若C(

n/2

  

, r/2 ) 為偶 數;此說法在 r 為 0 時其實也成立,因為當 0 = rC(n,r)=C(

n/2

  

, r/2 )=1。 (III) n 與 r 皆為奇數 再次利用下式:       − − =       1 1 r n r n r n 由於n 與 r 皆為奇數,因此C( rn, )為偶數若且 唯若C(n−1,r−1)為偶 數; 此時 的(n−1)和 ) 1 (r− 都是偶數,因此這其實回到了我們剛看 過的情形(II),所以C(n−1,r−1)為偶數若且唯 若

C

((

n

1

)

/

2

,

(

r

1

)

/

2

)

為偶數;又由於對任 意奇數k 而言,

k/2

必等於(k−1)/2,因此 當n 與 r 皆為奇數時,C( rn, )為偶數若且唯若

/2

  

, /2 ) ( n r C 為偶數。 (IV) n 為奇數且 r 為偶數 此時的n 一定不等於 r;將C( rn, )表為分 式並將分子與分母同時乘以(nr),得       r n ! )! 1 ( )! 1 ( ! )! ( )! 1 ( r r n n r n n r r n n n r n r n − − − ⋅ − = − − ⋅ − − =       − − = r n r n n 1 既然n 與(nr)都是奇數,C( rn, )為偶數若且 唯若C(n−1,r)為偶數,而此時的(n−1)和 r 都是偶數,因此又回到了情形(II);由於此時

(n−1)/2

 

= n/2

, 因 此 我 們 同 樣 得 到 ) , ( rn C 為偶數若且唯若C(

n/2

  

, r/2 ) 為偶 數的結論。 既然我們已經考慮過n 與 r 所有四種可能 的奇偶組合,定理三的証明於焉完成。

判別奇偶的演算法

定理三提供了我們一個可以不用實際算 出C( rn, )就能判斷C( rn, )是奇數或偶數的方 法:如果n 為偶數且 r 為奇數,C( rn, )一定是 偶數,否則依C(

n/2

  

, r/2 ) 是奇數或偶數而 定 ; 如 果

n/2

為 偶 數 且

r/2

為 奇 數 , 則

/2

  

, /2 ) ( n r C 為 偶 數 ( 因 此 C( rn, ) 為 偶 數),否則依

/2 /2

  

,

/2 /2

) ( n r C 是奇數或偶數而定;如果

n

/2

/2

為偶數且

 

r/2 /2

為奇數,則C( rn, )為偶數,否則依

/2 /2 /2

,

 

/2 /2

/2

) ( n r C 是奇數或偶數而定;……,只要我們在某個步 驟能確定C( rn, )是偶數,判斷過程即告終止, 而如果我們一直無法作出C( rn, )是偶數的判 斷,由於數字會越來越小,我們終將面臨須決 定C(0 ,0)是奇數或偶數的工作,而這是很簡單 的,因為C(0 ,0)=1為奇數。 上述判斷過程可以簡潔地表達成以下的

(5)

遞迴演算法: OddOrEven(n, r) if n = r = 0 return 「答案為奇數」 else if n 為偶數且 r 為奇數 return 「答案為偶數」 else return OddOrEven( , )n/2 r/2

與二進制的關係

上述演算法雖然可行,不過判斷過程有可 能須歷經好幾個階段才能得出結果;以下我們 將說明:如果我們在開始判斷之前先將n 與 r 表為二進位數,其實一眼就能看出C( rn, )是奇 數或偶數。 首先,我們注意到對任意非負整數 k,如k 被表成了二進位數,我們可以由 k 的個位 數很快地判斷出k 是偶數或奇數:0 為偶數,1 則是奇數;另外,當k 被表為二進位數時,將 k 的個位數刪去(不管是 0 或是 1)的結果一定 就等於

k/2

。 有了上述認識後,如果我們將n 與 r 表為 二進位數,那麼前面的遞迴演算法中要判斷是 否「n 為偶數且 r 為奇數」其實只須觀察 n 與 r 的個位數是否分別為0 和 1 即可;如果不是, 我們接著要判斷C(

n/2

  

, r/2 ) 是否為偶數 時只須觀察

n/2

r/2

的個位數(也就是nr 的倒數第二位數)是否分別為 0 和 1 即可; 如果不是,我們接著觀察n 與 r 的倒數第三位 數是否分別為0 和 1;如果不是,我們接著觀 察 n 與 r 的倒數第四位數是否分別為 0 和 1,……。因此,表為二進位數後的 n 與 r 有任 何一個位數分別為0 和 1 若且唯若C( rn, )為偶 數。 舉例來說,43=1010112,18=100102, 由於這兩個二進位數的倒數第五位數分別為 0 和1: 43 = 1 0 1 0 1 1 18 = 1 0 0 1 0 因此C(43 ,18)一定是偶數。

某一列中的奇數個數

有了以上準備工作,我們終於可以回到我 們先前要探討的問題:巴斯卡三角形的第n 列 中有多少個奇數?如果C( rn, )的n 與 r 都被表 成了二進位數,這個問題相當於:第n 列中, n 與 r 沒有任何一個位數分別為 0 和 1 的 r 有 幾個?也就是說,每當n 的某位數為 0,r 的同 一位數也必是0 的 r 有幾個? 如果C( rn, )是奇數,每當 n 的某位數為 0,r 的同一位數一定是 0,但是當 n 的某位數1 時,r 的同一位數可以是 0 或 1,因此 n 的每一個1 都對應到兩個可能的 r 值;我們由 此推知,如果d(n)代表被表為二進位數後的n 所含1 的個數,那麼巴斯卡三角形的第 n 列中 的奇數個數必為2d(n);正如我們之前所言,一 定是2 的某個整數次方。 舉例來說,巴斯卡三角形的第 18 列一定 含有正好22=4個奇數,因為 2 10010 18= 含有 兩個1;我們甚至能很快地指出是哪四個 r,它 們 分 別 是 000002=0 , 000102=2 , 16 100002 = 及100102 =18,對應到第18 列中 的C(18 ,0),C(18 ,2),C(18 ,16),C(18 ,18)等四 個數。

(6)

請讀者留意「當 n 的某位數為 0,r 的同 一位數也必是0」的另一個說法是「當 r 的某 位數為1,n 的同一位數也必是 1」,因此C( rn, ) 為奇數若且唯若r 為 1 之處 n 也為 1,這通常 稱為 Lucas’ theorem,因法國數學家 Édouard Lucas(1842−1891)而得名;數學上著名的河 內塔問題也是由這位數學家提出的(事實上, 河內塔問題與巴斯卡三角形中的奇數間存在 著有趣的關連,本文暫不討論)。 如果我們將巴斯卡三角形中的每個奇數 以一個小黑格表示,每個偶數以一個小白格表 示,所得的圖形將具有相當美妙的結構;下圖 所示為巴斯卡三角形的最上面 64 列(第零列 至第63 列)所對應的圖形: 此 圖 與 數 學 上 一 個 稱 為 Sierpinski triangle(或稱 Sierpinski gasket)的碎形相當 類似。如果我們將一個正三角形的內部塗成 黑色,然後將各邊中點連線所形成的三角形 「挖掉」,並將類似的動作對剩下的三角形重 複無窮多次,所得即為 Sierpinski triangle; 下圖所示為最初幾個步驟所得的結果: 當上述動作重複了無窮多次後,黑色部 份的面積將趨近於0(不難証明);因此如果 我們從巴斯卡三角形中隨機選出一數,該數 為奇數的機率幾乎等於0。

Lucas 定理

上面的討論將巴斯卡三角形中的數分成 了奇數與偶數兩大類,以算術的觀點來看,這 相當於是將巴斯卡三角形中的數依除以2 的餘 數是1 或 0 分成兩類;由於 0 1 0 =       且 1 0 0 0 1 1 1 =       =       =       如果我們將n 與 r 分別表為二進位數: 2 0 1 1 2 0 1 1 ) ( ) ( b b b b r a a a a n m m m m L L − − = = (0≤ai,bi <2),那麼當n 與 r 有任何一個位 數分別為0 和 1(C( rn, )為偶數)時, 2) (mod 0     

Π

=m ii i b a 必為0,否則一定為 1,因此下式成立: 2) (mod 0      ≡      

Π

= i i m i b a r n . 一般而言,對任意質數 p,如果我們將 nr 分別表為「p 進位數」: p m m p m m b b b b r a a a a n ) ( ) ( 0 1 1 0 1 1 L L − − = = (0≤ai,bi <p),那麼下式一定成立: ) (mod 0 p b a r n i i m i      ≡      

Π

= . 這可說是一般化的Lucas’ theorem;以下是此定 理的一個簡要的証明。 首先,我們注意由於 n=(amLa1a0)p =(amLa1)pp+a0

n/p

p+a0 =

(7)

r/p

p b0 r= ⋅ + 只要我們能夠証明

/

(mod ) / 0 0 p b a p r p n r n             ≡       剩下的工作由歸納法即可完成(讀者不難 看出定理三就是此式在p=2時的特例)。 我們在前面的定理一看過,對任意質數 p,巴斯卡三角形的第 p 列中除了頭尾兩端的 1 之外的每個數一定都是p 的倍數,因此對任意 整數x, ) (mod 1 ) 1 ( +x p ≡ +xp p 一定成立。對模p 而言, n x) 1 ( + =(1+x)pn/p(1+x)a0  (1 ) 0 ) 1 ( +xp n/p +x a

                ⋅               =

= = 0 0 0 / 0 / a j j p n i pi x j a x i p n 上式左右兩邊的xr的係數對模 p 而言一定同 餘,其中左邊的xr的係數為C( rn, ),而由於a0b0都小於p,右邊的xr(=xpr/p+b0)一 定 是 由 xpr/p xb0 相 乘 而 得 ( 即 發 生 於

r p

i= / 且j=b0時),因此我們有了

/

(mod ) / 0 0 p b a p r p n r n             ≡       的結論。 舉個例子。假設我們想知道C(216 ,159)除 以 7 的 餘 數 是 多 少 ; 由 於 216=4267 且 7 315 159= ,我們可以由上述定理很快算出答 案為6:       159 216       ⋅       ⋅       ≡ 5 6 1 2 3 4 7) (mod 6 6 2 4⋅ ⋅ ≡ ≡ 由模2 推廣至模 n 的觀念也可以應用到我 們前面利用小黑格和小白格組成的三角形圖 案中;下面幾個圖是當n 分別為 3、4、5、6、 7、9 時的圖形,其中的小白格與小黑格分別對 應到巴斯卡三角形中與0 同餘及不與 0 同餘的 數的位置;讀者不難看出其中許多圖形同樣隱 含著遞迴的概念。 mod 3 mod 4 mod 5 mod 6 mod 7 mod 9 如果讀者熟悉程式設計的話不難利用電 腦畫出當模為其他數時的圖形,甚至可以在圖 形中使用更多顏色,例如當模為3 時可以將除 以3 的餘數為 0、1、2 的數分別以三種顏色來 顯示;只要搭配得宜,這類圖形看起來常令人 賞心悅目,您甚至可能從圖形的觀察中推測出 巴斯卡三角形的更多不為人知的性質。

(8)

練習題

以下是幾個與本文相關的問題,提供讀者 參考。 1.說明為什麼巴斯卡三角形的第2n−1列一定 全為奇數,而第2n列除了頭尾兩端的1 之外 一定全為偶數。 2.求証:對任意正整數 n,C(n ,0),C(n ,1),

/2

) , ( , ), 2 , (n C n n C K 為嚴格遞增數列。 3. 利 用 巴 斯 卡 三 角 形 : (1) 說 明 為 什 麼 14641 114= 。(2)將 104060401 作質因數分 解。 4.求証:對任意大於 1 的奇數 n,數列       1 n ,       2 n ,       3 n ,K,       −1)/2 (n n 中的奇數個數必為奇數。 5.求証:對任意質數 p,C(2p,p)除以p2的餘 數必為2。(提示:利用Vandermonde’s identity 將C(p+p,p)展開) 6.以下是一個與巴斯卡三角形的構造類似的三 角形,它的兩條「腰」不是全由 1 組成而是 由1, 2, 3, 4, 5, …依序遞增: 1 2 2 3 3 4 4 7 7 4 11 5 11 14 5 如果我們將此三角形的第n列由左邊算起的 第r個數記作D( rn, )(假設列的編號及同一 列 中 位 置 的 編 號 都 是 由 1 算 起 ), 那 麼 n n n D n D( ,1)= ( , )= ,而且對介於1 與 n 之 間的r 而言, ) 1 , 1 ( ) , 1 ( ) , (n r =D nr +D nrD 試求出D( rn, )的通式。 7.以下的三角形中,除了最上面一列外,其他 列上的每一個數都是該數的上一列的相鄰兩 數之差。請問:此三角形最底端的數是多少? 12 1 12 1 3 1 2 1 6 1 2 1 3 1 4 1 1 2003 1 2004 1 2004 2003 1 ⋅ 8.以下的三角形中,除了最頂端的 1 外,其他 列上的每一個數都是該數正上方的數與其左 右兩邊的數的和(亦即上一列的連續三數之 和,空白處當作是0): 19 16 16 10 10 4 1 1 4 6 7 3 1 6 1 3 1 2 3 1 2 1 1 1 1 試証:除了最上面的兩列外,此三角形的 每一列都有偶數。

結語

巴斯卡三角形中的數常被稱為「二項式係 數」(binomial coefficients),因它們出現於二項 式定理中而得名。 將x=1代入(1+x)n的展開式可知巴斯卡 三角形的第n 列的(n+1)個數的和為2n;當n 為質數時我們又知道第n 列除了頭尾兩端的 1 之外的其他數都是 n 的倍數,因此第 n 列的 ) 1 (n+ 個數之和必定是n 的某個倍數加 2,也 就是對任意質數p,2p−2必為p 的倍數,這

(9)

其實是費瑪小定理(Fermat’s little theorem)的 一個特例。 在本文結束前讓我們回頭看看本文一開 始提及的魔術;這個魔術不見得要從六個數開 始,以下我們先看由四個數開始的情形。假設 最初的四數為A,B,C,D;如果在各階段先不 做除以9 取餘數的動作,整個計算過程將如下: A+3B+3C+D A+2B+C B+2C+D A+B B+C C+D A B C D 因此這個魔術最後一列的數一定會等於 D C B A, , , 分別乘以(1 ,3 ,3 ,1)後全部相加再除 以9 的餘數,而(1 ,3 ,3 ,1)正是巴斯卡三角形的 第三列;這當然並非偶然,讀者不難看出如果 此魔術是從n 個數開始,最後一列的數一定會 是一開始的n 個數分別乘上巴斯卡三角形的第 ) 1 (n− 列的 n 個數後全部相加再除以 9 的餘 數。 以本文一開始的8, 3, 7, 6, 4, 5 六數為例, 最後一列的數將是它們分別乘上1, 5, 10, 10, 5, 1 後全部相加再除以 9 的餘數;由於我們在意 的只是除以9 的餘數,因此計算過程中所有的 數都可以用除以9 之後的餘數(或是對模 9 而 言同餘的數)取代;以本例而言,我們很快就 能算出(甚至用心算)最後的數字為 9) (mod 7 5 2 6 2 3 1 1 5 5 4 1 6 1 7 5 3 1 8 ≡ + + + − − − ≡ × + × + × + × + × + × 讀者不難看出這個魔術中的9 其實並無特 殊之處,即使是除以8、除以 3 或是除以任何 其他數此魔術都依然可行,只是數字恰當的話 算起來較快而已。舉個例子,如果在一開始我 請你將任意八個阿拉伯數字寫在同一列上,而 且在計算過程中對所有的數做除以7 取餘數的 動作,那麼我不須具備任何特殊的心算技巧就 一定能在看到你所寫的八個數之後的半秒鐘 內知道最後一列的數字會是多少;既然你已經 看完了這篇文章,你一定知道我是怎麼知道的 了。

參考資料

1.許介彥(2001),遞迴演算法簡介,科學教育 月刊,第245 期。 2.許介彥(2003),同餘的基本概念,科學教育 月刊,第261 期。

3.R. P. Grimaldi, Discrete and Combinatorial Mathematics, 4th edition, Addison-Wesley, 1999.

4.D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume One, Fundamental Algorithms, 2nd edition, Addison-Wesley, 1973.

參考文獻

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