中學生通訊解題第廿二期題目參考解答與評析

臺北市立建國高級中學 數學科

問題編號 912201 從正三角形 ABC 內部一點 M 向三邊做 垂線 MH,MK,MP，垂足為 H,K,P，請證明： (1) A H2 +BK2 +CP2 = HB2+ KC2 +PA2 (2) AH+BK+CP=HB+KC+PA

參考解答一：

(1)A H2 +BK2 +CP2 = (AM2-HM2) + (BM2-KM2) + (CM2-M P2) = (AM2-MP2) + (BM2-HM2) + (CM2-KM2) = BH2 + A P2 + CK2 [ AH2 _+BK2 _+CP2 _{= HB}2_{+ KC}2 _+PA2 (2)由(1)可知 (A H2-BH2)+(BK2-CK2)+(CP2 -PA2) = 0 [AB(AH-BH) + BC(BK-CK) + AC(CP-PA) = 0 ∵此為一正三角形，AB = BC = AC ∴AB(AH-BH)+BC(BK-CK)+AC(CP- PA) =AB[(A H-BH)+(BK-CK)+(CP-PA)]= 0 ∵AB≠ 0 ∴(AH-BH)+(BK-CK)+(CP-PA)= 0 即 AH+BK+CP = HB+KC+PA

參考解答二：

(1)連接 AM、BM、CM ，如圖一 依畢氏定理 [ A H2 = AM2-HM2 , BK2 = BM2-KM2 , CP2 = CM2-PM2 同理 [ HB2 _{= BM}2_-HM2 _, KC2 = CM2-M K2 , PA2 = AM2-PM2 AH2 + BK2 + CP2 = AM2+BM2 + CM2-HM2-KM2-PM2 HB2 + KC2 + PA2 = BM2 + CM2 + AM2-HM2-M K2-PM2 [ AH2 _+BK2 _+CP2 _{= HB}2_{+ KC}2 _+PA2 (2)設此正三角形的邊長為 x ∵A H2 +BK2 +CP2 = HB2+ KC2 +PA2 ∴A H2 +BK2 +CP2 = (x-AH)2 + (x-BK)2 + (x-PC)2 = 3x2+AH2+BK2+PC2-2x(AH+BK+PC) [ 3x2 = 2x(AH + BK + PC) A B C ● M K P H 圖一

[ 3x = 2(AH + BK + PC) ∵3x 恰為此正三角形的周長 3x = AH + BK + PC + BH + CK + PA = 2(AH + BK + PC) ∴AH+BK+CP=HB+KC+PA

參考解答三：

(1)由畢氏定理知 AM2 = AH2 + MH2 = PA2 + MP2 ______j BM2 = BK2 + MK2 = HB2 + MH2 ______k CM2 = CP2 + MP2 = KC2 + M K2 ______ƒ j+k+ƒ [ AH2 + MH2 + BK2 + MK2 + CP2 + MP2 = PA2 + MP2 + HB2 + MH2 + KC2 + MK2 [ AH2 +BK2 +CP2 = HB2+ KC2 +PA2 (2)從正三角形 ABC 三頂點向三對邊作中垂線 AK’ , BP’ , CH’且 K’, P’, H’各為三邊中點， 如圖二 AH + BK + CP = AH’ + H’H + BK’─ K’K + CP’ + P’P = AH’ + BK’ + CP’ + (H’H + P’P ─ K’K) A H’ + BK’ + CP’為周長的一半，由 M 點作 BC 之平行線 MN，交中垂線 A K’於 X 點，且 MX = XN，由 N 點作 A C 邊的垂線 NP’’ 交 AC 於 P’’點，由 N 點作 MP 之垂線 NY 交 MP 於 Y 點。 [△AXM≡△AXN，△AMH≡△ANP’’， AH = AP’’ ∵AP’=AH’， ∴HH’=P’P’’，PP’’=PP’ + P’P’’=PP’ + HH’， MP//NP’’，NY//AC[YN = PP’’ MP//BP’，MN//BC，△MYN 為直角三角形 ∠NMY =∠CBP’ = 300_， YN = 1 2 MN = MX，PP’’= M X MK//AK’，MN//BC， [MX=KK’，KK’ = PP’’ = PP’ + HH’ PP’+HH’─KK’=0，即 AH+BK+CP=HB+KC+PA

解題重點：

運用代換方法來接近目標，在關於垂直 的 主 題 上 ， 畢 氏 定 理 也 是 常 可 聯 想 到 的 方 式。另外可試試解析法。 評析： 本題徵答人數共有 70 人，其中全對者共 53 人，如徵答情形所列，因人數過多，不再 詳述。平均得分為 5.76 分。其中，答題優良 或 解 法 富 參 考 價 值 者 有 敦 化 國 中 曾 偉 綸 同

K

P

H

A

B

C

●

M

X

P’’

P’

K’

H’

N Y 圖二

學、海山國中江 俊 緯 同學、銘傳國中楊 昀 達 同學、銘傳國中林昱航同學等。 問題編號 912202 正 八 面 體 之 各 面 中 點 連 成 一 多 面 體 1

Ω

， 此 多 面 體 之 各 面 中 點 連 成 一 多 面 體 2

Ω

，求

Ω

₂之內切球。

參考解答：

設此八面體各邊長為 a，如圖三 Q1Q2分 別為 BC 邊及 CD 邊的中點，P1P2分別為△ ABC 及△ACD 的重心，△Q1Q2C 為一等腰直 角三角形， [Q1Q2= 2 2 a [ P1P2= 2 3 Q1Q2= 2 3 a [多面體

Ω

₁是一邊長為 2 3 a 的正立方體，如 圖四 [多面體

Ω

₂是一邊長為 1 3 a 的正八面體，如 圖五 [所以欲求的內切球的球心在 EFGH 平面的中 心 O 上， 此內切球的半徑為中心 O 到各面 的垂直距離，如圖六 O’為 FG 的中點，且 OO’’ 與 A’O’互相垂直，從△A’FO’中去求 OO’’， 即為欲求之內切球半徑，半徑 為 6 18 a

解題重點：

將 圖 形 正 確 地 描 繪 出 並 考 慮 圖 形 (邊 長) 的改變，最重要的是要有空間圖形的觀念及 對正多面體結構的了解，有興趣的同學可以 參考高中教材第三冊第二章會多多少少有些 幫助。 評析： 本題徵答人數共有 3 人，其中全對者共 0 人，本題平均得分為 1.67 分。 問題編號 912203 已知 1 W、W2、W3都是整數且W1＞W2 ＞W₃。 今有重量各為W₁、W2、W3單位之 A 、 B、C 三種金幣各 N 個，分贈甲、乙、丙三人，

A

B

C

D

P

1

P

2

Q

1

Q

2

2

3

a

●

F

G

O’

O

A’

O’’

1

3

a

E

F

G

H

O

●

A’

圖三 圖四 圖五 圖六

每人 N 個。若甲、乙都有拿到 A ；乙、丙都 有拿到 B，甲、丙都有拿到 C，且甲、乙、丙 所得的金幣總重各為 82、35、21 單位，求 N 之值，並問 A、B、C 三種金幣之重各是多少？

參考解答

設甲、乙、丙三人所拿到的金幣如下表 所列： 甲 乙 丙 總個數 重 量 金幣 A X1W1 X2W1 X3W1 N NW1 金幣 B Y1W2 Y2W2 Y3W2 N NW2 金幣 C Z1W3 Z2W3 Z3W3 N NW3 共 重 82 35 21 138 [N(W1+W2+W3)=138 , N≧2(因 為 至 少 要 有 兩人拿到同一種金幣) [N=2 , 3 , 6 , 23 , 46 , 69 , 138 將可能的情形整理如下： j k l m n o p N 2 3 6 23 46 69 138 W1+W2+W3 69 46 23 6 3 2 1 ∵W1、W2、W3都為整數，且 W1>W2>W3 ∴W1+W2+W3≧6 [ nop 不合

j

N=2 , W1+W2+W3=69 ∵N=2,∴甲拿到 W1及 W3 [W1+W3=82→←

k

N=3 , W1+W2+W3=46 由甲所得金幣來觀察： 若 X1=1, Y1=1,Z1=1 ,則 W1+W2+W3=82 →← 若 X1=2 , Y1=1 , Z1=1 , 則 2W1+W2+W3=82 [ W1=36 但由乙來觀察[36>35 →← 若 X1=1 , Y1=0 , Z1=1 , 則 W1+W3=82 →← 若 X1=2 , Y1=0 , Z1=1 , 則 2W1+W3=82 [ W1─W2=36 , W2=4 , W3=2 , W1=40 但由乙來觀察[40>35 →← 若 X1=1 , Y1=1 , Z1=2 , 則 W1+W2+2W3=82 [ W3=36 由丙來觀察 [ 36>21 →← 若 X1=2 , Y1=1 , Z1=2 , 則 2W1+W2+2W3=82 [ W1+W3=36 , W2=10 , 9≧W3≧1 [35≧W1≧27 , 由丙所得金幣來觀察 [ 19<21 →← 若 X1=1 , Y1=0 , Z1=2 , 則 W1+2W3=82 [ W3─W2=36(∵W2>W3) →← 若 X1=2 , Y1=0 , Z1=2 , 則 2W1+2W3=82 [ W1+W3=41 , W2=5 , 4≧W3≧1 [40≧W1≧37 , 由乙所得金幣來觀察 [ 37>35 →←

l

N=6 , W1+W2+W3=23 (W1,W2,W3)的情形共有下列幾種： (20,2,1),(19,3,1),(18,4,1),(18,3,2),(17,5,1), (17,4,2),(16,6,1),(16,5,2),(16,4,3),(15,7,1), (15,6,2),(15,5,3),(14,8,1),(14,7,2),(14,6,3), (14,5,4),(13,9,1)(13,8,2),(13,7,3),(13,6,4), (12,10,1),(12,9,2),(12,8,3),(12,7,4),(12,6,5), (11,10,2),(11,9,3),(11,8,4),(11,7,5),(10,9,4), (10,8,5),(10,7,6),(9,8,6) 同 理 可 驗 證 出 (16,5,2) 為 唯 一 符 合 的 情 形 ， 此 時 甲 得 5A1C、 乙 得 1A3B2C、 丙 得

3B3C。

m

N=23 , W1+W2+W3=6 ∵W1+W2+W3=6 且 W1>W2>W3 ∴W1=3 , W2=2 , W3=1 由金幣 A 可得 3(X1+X2+X3)=23 , 且(X1+X2+X3)為整數 →← →由以上的討論中可得出： N=6， (W1,W2,W3)=(16,5,2)

解題重點：

先找出重量與個數間的關係，再分析情 況來作討論。 評析： 本題徵答人數共有 7 人，其中全對者共 2 人，包含敦化國中曾偉綸；海山國中江 俊 緯 等同學。本題平均得分為 3.86 分。其中，答 題優良或解法富參考價值者有海山國中 江俊 緯同學。 問題編號 912204 X1、X2、X3…、Xn-1、Xn均為-1 或 0 或 1 或 2，n 為正整數，且滿足下列兩個等式： X1+X2+X3+…+Xn-2+Xn-1+Xn=91 X12+X22+X32+…+Xn-22+Xn-12+Xn2=2002 求 X13 +X23+…+Xn-13+Xn3之最大值、最小值。 (1)若無解，請說明原因；若有解，請求出其 最大值與最小值。 (2)若將題目改成 X1+X2+X3+…+Xn-2+Xn-1+Xn=92，是否有 解？若無解，請說明原因；若有解，請求 出其最大值與最小值。

參考解答：

(1)設有 A 個-1 , B 個 0 , C 個 1 , D 個 2 , ABCD 皆為自然數或零 欲求 X13+X23+…+Xn-13+Xn3=8D+C-A 的最 大值與最小值 [ 2D+C-A=91 , 4D+C+A=2002 [ 6D+2C=2093 [ 3D+C = 2093 2 [ ∵CD 為自然數或零 , ∴無解 也可從整數的奇偶性來觀察，∵ X 與 X2要 同奇偶 , ∴無解 (2)由(1)可得 2D+C-A=92 , 4D+C+A=2002 [ 6D+2C=2093 [ 3D+C=1047 [D=349 - C 3 , 且 CD 皆為自然數或零 ∵23>13，∴有愈多的 2 則可以使 X13 +X23+… +Xn-13+Xn3的值愈大 [ 取 C=0 , D=349 A=606 8D+C-A=2792+0 -606=2186______最大值 同 理 ， 愈 少 的 2 則 可 以 使 X13+X23+ … +Xn-13+Xn3的值愈小 [ 取 D=0，C-A=92 , C+A=2002 C=1047 ,

A=955 , C-A=92______最小值

解題重點：

強調奇偶性的重要以及分析的能力。 評析： 本題徵答人數共有 15 人，其中全對者共 4 人，為福和國中林育任、周宣宇；敦化國中 曾偉綸； 銘 傳 國 中楊昀達等同學。本題平均 得分為 3.60 分。其中，答題優良或解法富參 考價值者有福和國中林育任 同學、福和國中 周宣宇同學；敦化國中曾 偉 綸同學；銘傳國 中楊昀達 同學等。 問題編號 912205 一個偶數個頂點的圖上的完美配對 是指 將這些頂點兩個成一組，且同組的兩個點有 邊直接相連。下例上圖(有六個頂點，注意中 間 對 角 線 的 交 點 不 算 頂 點) 的 完 美 配 對 有 四 個，配對法分別如左以實線表示。 試問下圖有幾個完美配對？ (一共有 n 個 正方形並列，對角線的交點不算頂點)

參考解答：

圖七 設 n 個正方形有 an種完美配對 a1：P0─P1 → P0─Q1 → 共 3 種 P0─Q0 →

a

2

：

共 5 種 an：考慮左上角的頂點 P0可與 P1、Q0、Q1相連： 1.若 P0與 P1相連，則 Q0只能與 Q1相連， 其餘頂點有 an-2種連法。 2.若 P0與 Q0相連，其餘頂點有 an-1種連法。 ─ ─

││

P0─P1 P2 → │ P0─Q1 + → │ →3 種 P0─Q0 Q2 → │││ P0 P1─P2 → │ + P1─Q2 → │ →2 種 Q0 P1─Q1 ● ● ● ● ● ●

P0

P1

P2

Pn-

_Pn

Pn

Q0

Q1

Q2

Qn-

Q

n-

Qn

3.若 P0與 Q1相連，則 Q0只能與 P1相連， 其餘頂點有 an-2種連法。 故 an=an-1+2an-2，其中 a1=3，a2=5 設 an可表示為 s x1n + t x2n，則 x2=x+2→x2─x─2=0→(x+1)(x─2)=0→x= -1,2 s (2)1 + t (-1)1 = 3 s (2)2 + t (-1)2 = 5 → s = 4 3 ，t = ─ 1 3 → an= 4 3 (2) n _─ 1 3 (-1) n

解題重點：

看出遞迴的的關係，有興趣者可參考與 遞迴相關的資料。 評析： 本題徵答人數共有 5 人，其中全對者共 2 人，包含江翠國中莊智涵；光華國中范 祐 維 等同學。本題平均得分為 3.80 分。

中學生通訊解題第二十二期徵答情形

區 域 學 校 姓 名 年級 指導老師 912201 912202 912203 912204 912205 總 分 民生國中 曾懷德 2 王士美 0 0 X X X 0 民生國中 金英吉吉 2 王士美 7 X X X X 7 民生國中 顏經豪 2 王士美 7 X X X X 7 民生國中 謝天林 2 王士美 7 X X X X 7 民生國中 李茂霖 2 王士美 7 X X X X 7 民生國中 盧佑樺 2 王士美 7 X X X X 7 民生國中 江肖樊 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 劉宜杰 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 鄭禮衛 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 陳怡潔 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 游雅婷 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 朱天羽 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 林軒毅 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 陳韻竹 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 曾維怡 3 王士美 7 X X X X 7 民生國中 余敏嘉 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 詹易達 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 蔡宜臻 2 程麗娟 7 X X X X 7 台北市 民生國中 黃天劭 2 程麗娟 7 X X X X 7

民生國中 張育唐 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 嚴家弘 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 蔡日昇 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 何昶毅 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 屏 一 旦 洪 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 馮嬿臻 3 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 王又淳 3 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 余岳勳 3 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 葉品萱 3 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 陳奕修 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 吳季衡 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 林健智 2 程麗娟 7 X X X X 7 民生國中 施延興 2 程麗娟 7 X X X X 7 敦化國中 曾偉綸 2 桂雪萍 7 X 7 7 X 21 敦化國中 葉明仁 1 李美惠 X 0 X X X 0 金華國中 謝宜庭 3 7 X X X X 7 金華國中 謝博丞 3 X 2 X X 5 江翠國中 黃豪平 2 陳彩鳳 7 X X 2 X 9 江翠國中 李孟翰 2 陳彩鳳 7 X X 2 X 9 台北縣 江翠國中 陳建宏 2 陳彩鳳 6 X X X X 6 江翠國中 陳建彰 2 陳彩鳳 7 X 5 X X 12 江翠國中 簡志達 2 陳彩鳳 7 X X X X 7 江翠國中 丁 羚 2 陳彩鳳 3 X X 2 X 5 江翠國中 呂亞軒 2 陳彩鳳 0 X X X X 0 江翠國中 黃詩純 2 陳彩鳳 7 X X 2 X 9 江翠國中 黃子誠 2 陳彩鳳 7 X 6 X 5 18 江翠國中 吳宗儒 2 陳彩鳳 7 X X X X 7 江翠國中 張 寧 2 陳彩鳳 7 X X X X 7 江翠國中 莊智涵 3 吳明標 X 5 X X 7 12 海山國中 江俊緯 1 唐家琴 7 X 7 2 X 16 福和國中 林育任 3 鄭釧鋒、 陳明貴 3 X X 7 X 10 福和國中 沈彥汝 3 鄭釧鋒、 陳明貴 X X X 2 X 2 台北縣 福和國中 林佑蓉 2 鄭釧鋒、 蕭素玲 3 X X 5 X 8

福和國中 林佑蒔 2 鄭釧鋒、 蕭素玲 3 X X 5 X 8 福和國中 周宣宇 3 鄭釧鋒 3 X X 7 X 10 福和國中 彭瑋翔 3 鄭釧鋒 7 X X X X 7 福和國中 劉軒志 3 鄭釧鋒 7 X X 2 X 9 福和國中 張引碩 3 鄭釧鋒 7 X X X X 7 新莊國中 劉彥伶 2 林正吉 7 X X X X 7 積穗國中 蕭屹宏 1 林秀美 7 X X X X 7 時雨國中 簡孝竑 3 3 X X X X 3 銘傳國中 楊昀達 1 張麗珠 7 X X 7 X 14 銘傳國中 陳逸菁 2 宋佩玉 X X 0 X X 0 銘傳國中 張凱翔 2 宋佩玉 X X X 0 X 0 銘傳國中 程奕翔 1 宋佩玉 X X X X 0 0 銘傳國中 陳威東 1 宋佩玉 X X X X 0 0 基隆市 銘傳國中 林昱航 3 宋佩玉 7 X X X X 7 銘傳國中 黃品澈 1 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 張瓊文 1 宋佩玉 7 X X X X 7 銘傳國中 張任鋒 1 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 安真漢 1 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 朱哲成 2 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 張凱翔 2 宋佩玉 2 X X X X 2 銘傳國中 許宇函 1 宋佩玉 3 X X X X 3 銘傳國中 許閔翔 1 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 黃冠霖 1 宋佩玉 7 X X X X 7 銘傳國中 鄭宇宏 2 劉鄭文德 7 X X X X 7 銘傳國中 林弘恩 2 劉鄭文德 7 X X X X 7 新竹市 光華國中 范祐維 1 高東獻 X X 0 2 7 9 答 題 人 數 70 3 7 15 5 全 對 人 數 53 0 2 4 2 平 均 得 分 5.76 1.67 3.86 3.60 3.80

提醒徵答同學們：務必以一題一張(或多張)來作答，切勿多題一張，以使我們作

業能更順暢，謝謝！