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單元二 指數與對數

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Academic year: 2021

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(1)

單元二 指數與對數 2-1

單元二 指數與對數

重點一、指數律 若 a > 0,b > 0,m、n∈ ,則 R 1. m n m n a ⋅a =a + 2. m n n m a a a = 例. m m a 1 a− = 3. m n mn a ) a ( = ⋅ 4. n m n m a a = 例. n 1 n a =a 5. n n n b a ) ab ( = 6. n n n b a ) b a ( = 7. a0 = 1 8. m n n m b a b a = ⇒ = 重點二、指數圖形 1. 底數 > 1 為增函數: af(x) > ag(x) ⇒ f(x) > g(x) 2. 底數 0 < a < 1 為減函數: af(x) > ag(x) ⇒ f(x) < g(x) 重點三、對數律 若 a、b∈R+ −

{ }

1 ,x、y∈R+,則 1. ogax+ogay=oga(x⋅y) 2. ) y x ( og y og x oga  a  a  − = 3. 連鎖律:ogab⋅ogbx =ogax 4. 換底公式: og x a og x og a b b    = ,例 a og 1 b og b a   = 5. m n a a a a 1 og x n og x og x og x m = ⋅ = ⋅   ,  m n a a n og x og x m ⇒  = ⋅ 6. a x ogaan n x oga =  =  , , og b og a a =b 0 (0,1) y = ax(a > 1) y x 0 (0,1) y = ax(0 < a < 1) y x

(2)

單元二 指數與對數 2-2 7. og 1a =0,og aa =1,og 2+og 5 1= 重點四、對數圖形 1. 底數 > 1 為增函數: a a og f (x)> og g(x)   f (x) g(x) f (x) 0 g(x) 0 >   ⇒ >  >  2. 底數 0 < a < 1 為減函數: a a og f (x)> og g(x)   f (x) g(x) f (x) 0 g(x) 0 <   ⇒ >  >  注意:og ba 中,a、b 同時大於 1 或同時小於 1⇒og ba >0 重點五、首數與尾數 1. 首數與尾數:一正數 x = a.10n (其中1 a 10≤ < , n Z∈ ), 若 og x = +n og a,則 (1) n 為 og x 之首數,此數必為整數。 (2) 0≤og a<1為 og x 之尾數,此數必為正純小數或 0。 (3) 首數≤ og x< 首數 + 1 2. 首數的應用: (1) 若 og x 的首數 = n ( n 0≥ ),則 x 的整數部份為 n + 1 位數。 (2) 若 og x 的首數 =n (n > 0),則 x 在小數點後第 n 位出現不為 0 之數字。 重點六、指數、對數方程式 1. 同底型: 題目⇒ af(x) = ag(x) 或og f (x)a =og g(x)a ⇒ f (x) = g (x),求 x 值 2. 不同底型: 令 ax = t > 0(或ax +a−x =t≥2)或ogax=t, 題目 ⇒ At2 + Bt + C = 0,求 t 值 ⇒ 求 x 值 注意:對數方程式:真數 > 0,底數 > 0,底數 1≠ 0 (1,0) y x y=ogax(a > 1) 0 (1,0) y x y=ogax(0 < a < 1)

(3)

單元二 指數與對數 2-3

精選歷屆試題

1.若 2x =3y = ,則6 1 1 x+ = Ⓐ1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4 。 y 2.不等式 2 2 2 4 − x<8x 之解為 Ⓐx< Ⓑ2 2 3 x> Ⓒ 2 3 x> 或x< − Ⓓ2 2 2 3 x − < < Ⓔx> 或2 2 3 x< − 。

3.設log2 1 log 81 log 1253 5

32+ + 等於 Ⓐ 0 Ⓑ1 Ⓒ2 Ⓓ 3 Ⓔ4。 4.化簡log 2 log 15 1log 6

2 + − = Ⓐ−1 Ⓑ 1 2 − Ⓒ 0 Ⓓ1 2 Ⓔ1。 5.log32

(

log 9 等於 Ⓐ 0 Ⓑ 2 Ⓒ 53

)

− Ⓓ 5 Ⓔ1 5。

6.設a=log 62b=log 254c=log 2 7,則 a , b , c 的大小順序應為 Ⓐ

b> > Ⓑ c b aa c > > Ⓒ c a b> > Ⓓ a b c> > 。 7.已知log 2=0.3010,log 3=0.4771,則620是幾位數?Ⓐ15 位數Ⓑ16 位數Ⓒ17 位數Ⓓ18 位數。 8. 已知log1.1≒ 0.0414 ,log 2≒ 0.3010 ,若本金為10000 元,年利率10 %,一 年一期,複利計算,則至少須幾年,本利和始大於 20000 元?Ⓐ10 年 Ⓑ 9 年 Ⓒ 8 年Ⓓ 7 年。

(4)

單元二 指數與對數 2-4

試題解析

1. 解析: 1 1 1 1 1 1 2 6 2 6 1 1 2 3 6 6 6 6 1 3 6 3 6 x x y x y x y y x y +  = ⇒ =  ⇒ × = × ⇒ = ⇒ = +   = ⇒ =  2. 解析:原式 2 4 4 3 2 2 2 2 2 4 4 3 3 4 4 0 (3 2)( 2) 0 3 x x x x x x x x x − ⇒ < ⇒ − < ⇒ + − > ⇒ − + > ⇒ > 或x< − 2 3. 解析: 5 4 3 2 3 5 2 3 5 1

log log 81 log 125 log 2 log 3 log 5 ( 5) 4 3 2 32 − + + = + + = − + + = 4. 解析:原式 1 2 2 15 1

log 2 log 15 log 6 log log 10 log10 2 6  ×  ⇒ + − = = = =   5. 解析:

(

)

(

)

5 2 32 3 32 3 32 2 1 log log 9 log log 3 log 2 log 2

5

= = = =

6. 解析:a=log 62 , 2

2

4 2 2

log 25 log 5 log 5

b= = = , 1 2 1 2 2 2 2

log 7 log 7 log 7

c= = =

7> >6 5

 ,∴log 72 >log 62 >log 52 ⇒ > > c a b

7. 解析: 20

log 6 =20 log 6=20(log 2 log 3)+ =20(0.3010 0.4771)+ =20 0.7781 15.562× = 20

6

∴ 為16 位數

8. 解析:依題意

( )

( )

10000(1.1)n 20000 (1.1)n 2 log 1.1n log 2 nlog 1.1 log 2

⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ > 0.3010 0.0414 0.3010 0.0414 n n ⇒ × > ⇒ > ≒ 7.,n至少為 8

參考文獻

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