壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化

國立交通大學

土木工程學系

碩士論文

壓電壓磁纖維複合材料

磁電耦合效應之最佳化

Optimization of magnetoelectricity

in piezoelectric-piezomagnetic

fibrous composites

研 究 生:王 勇 量

指導教授:郭 心 怡 博士

中 華 民 國 一 百 年 七 月

壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化

研 究 生：王勇量 Student：Yong-Liang Wang

指導教授：郭心怡 Advisor：Hsin-Yi Kuo

國 立 交 通 大 學

土 木 工 程 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering

College of Engineering

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Civil Engineering

July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化

研究生：王勇量 指導教授：郭心怡 博士

國立交通大學土木工程學系

中文摘要

本論文探討材料極化方向對壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合行為之影響，並 求得最佳之磁電耦合效應。由於單相多鐵材料的磁電耦合效應微弱，不足以應用 在工程上，因此使用雙相或多相壓電壓磁複合材料形式，藉此得到更佳之磁電耦 合效應。且由於材料性質會隨著極化方向而改變，所以亦可藉由不同極化方向的 組合得到不同的耦合性質，進而得到最佳磁電耦合行為。本論文使用Mori-Tanaka 模式與尤拉角轉換之微觀力學模型求得壓電壓磁纖維複合材料之最佳磁電耦合 效應並與COMSOL Multiphysics 有限元素軟體分析結果相互驗證。 本篇論文發現，對於BaTiO3為內含物、CoFe2O4為母材之複合材料，經由 改變材料的極化方向，其最佳化之αE*,11與 * 33 , E α 可分別提升44 倍與 5 倍；對於 CoFe2O4為內含物、BaTiO3為母材之複合材料，經由改變材料的極化方向，其最 佳化之αE*,11與 * 33 , E α 可分別提升101 倍與 5 倍。 關鍵字:磁電效應、多鐵材料、壓電、壓磁、複合材料、極化方向、Mori-Tanaka 模式、有限元素法、最佳化

ii

Optimization of magnetoelectricity in

piezoelectric-piezomagnetic fibrous composites

Student：Yong-Liang Wang Advisor：Dr. Hsin-Yi Kuo

Department of Civil Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

Magnetoelectric effects refer to the polarization induced by a magnetic field or the magnetization induced by an electric field. However, magnetoelectric coupling is weak in single phase materials. Composite materials, on the other hand, are an alternative to improve the magnetoelectric coupling. In this work, we optimize the effective magnetoelectric voltage coefficient of fibrous composites made of

piezoelectric and piezomagnetic materials. The optimization of magneotelectricity is with respect to the crystallographic orientations and the volume fraction for the two materials. We use Mori-Tanaka micromechanical model, Euler angle transformation, and finite element analysis (COMSOL Multiphysics) to estimate macroscopic properties of the composites.

We show that the effective in-plane ( * 11 , E α ) and out-of-plane ( * 33 , E α ) coupling coefficients can be enhanced many-fold at the optimal orientation compared to those at normal orientation. For example, we show that the constants are 44 and 5 times

iii

larger for the optimal orientation of barium titanate fibers in a cobalt ferrite matrix of the optimized volume fraction compared to the normal orientation, while they are 101 and 5 times larger for cobalt ferrite fibers in a barium titanate matrix.

Keywords: Magnetoelectric Effect; Multiferroic; Piezoelectric; Piezomagnetic; Composites; Crystallographic Orientation; Mori-Tanaka Method; Finite Element Analysis; Optimization

iv

致謝

時光飛逝，七百三十個晝夜已悄悄走過，再回首土研所求學的日子，首要感 謝的是我的恩師 郭心怡教授的栽培與指導，郭老師為學嚴謹、處事細心、思慮 周到，學生深受老師影響，已漸漸擁有處事之耐心與解決問題之能力，為學生在 土研所最大之收穫。恩師雖然嚴謹，但不時給予學生關懷與鼓勵，讓學生備感窩 心。在此，學生要特別感謝恩師您這兩年來的辛勞與付出，您辛苦了，謝謝您! 此外，學生要特別感謝口試委員台大應力所 舒貽忠教授以及交大土木系 陳 誠直教授，感謝兩位教授的指教，使學生的論文更趨完備，於口試中給予的建議 都是相當寶貴的意見，學生會銘記在心，感謝兩位賜教。 接著，亦要感謝 401 實驗室的同學們，感謝你們這些日子的陪伴與鼓勵。自 勝、晟祐、祐旻，碩班的這條路上感謝你們的幫助，不論是歡樂或是悲傷的，點 點滴滴都在我心裡，你們是我的好夥伴。另外也要感謝暨大的同學們，感謝你們 定時地約團吃飯唱歌等娛樂讓我可以暫時忘記煩惱，且在我出遊解悶時收留我， 使我不用擔心沒有去處，感謝你們在最後求學旅途中陪我度過六年。 最後我要感謝我的家人、我的女朋友、我的父母。感謝我的女友惠心，感謝 你這段日子的陪伴，即使你出國在外也不忘叮嚀我日常生活小事，讓我無時無刻 可以感覺到你的關懷，也因為有你的體諒，我才如此順利完成此學業。感謝我的 父母，感謝您們從小到大、不辭辛勞地栽培我，即使求學過程中是如此地艱辛， 因為有您們的鼓勵與關愛，才讓我有奮鬥的意志可以克服困難繼續迎接挑戰，感 謝您們無怨無悔的付出，您們的恩情我真是難以回報，您們辛苦了!

v

目錄

中文摘要... i Abstract ... ii 致謝... iv 目錄... v 表目錄... ix 圖目錄... x 符號表... xiv 第一章 導論... 1 1-1 研究背景與目的 ... 1 1-2 多鐵性材料 ... 1 1-2-1 多鐵性材料 ... 1 1-2-2 壓電材料 ... 2 1-2-3 磁致伸縮材料 ... 3 1-3 文獻回顧 ... 4 1-4 本文架構 ... 7 第二章 理論架構... 8 2-1 材料組成律與等效性質 ... 8 2-1-1 材料組成律與統御方程式 ... 8 2-1-2 等效材料性質 ... 10 2-1-3 材料的選擇 ... 12 2-2 微觀力學模型 ... 12

vi 2-2-1 等效夾雜理論 ... 13 2-2-2 廣義 Eshelby 張量 ... 14 2-2-3 Dilute 模式 ... 15 2-2-4 Mori-Tanaka 模式 ... 16 2-3 張量轉換與尤拉角 ... 18 2-4 有限元素法 ... 20 2-4-1 體積代表元素 ... 20 2-4-2 週期性邊界條件 ... 21 2-4-3 等效性質之計算 ... 22 2-4-4 有限元素法建模流程 ... 24 第三章 特殊極化方向之壓電壓磁纖維複合材料... 26 3-1 模擬案例 ... 26 3-2BaTiO3置入CoFe2O4之壓電壓磁複合材料 ... 31 3-2-1 BTO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

001 ... 31 3-2-2 BTO

[ ]

100 置入CFO

[ ]

001 ... 38 3-2-3 BTO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

100 ... 41 3-2-4 BTO

[ ]

100 置入CFO

[ ]

100 ... 44 3-3CoFe2O4置入BaTiO3之壓電壓磁複合材料 ... 48 3-3-1 CFO

[ ]

001 置入BTO

[ ]

001 ... 48 3-3-2 CFO

[ ]

100 置入BTO

[ ]

001 ... 52 3-3-3 CFO

[ ]

001 置入BTO

[ ]

100 ... 55 3-3-4 CFO

[ ]

100 置入BTO

[ ]

100 ... 58 3-4 結果與討論 ... 62 第四章 磁電耦合效應之最佳化... 66

vii 4-1BaTiO3置入CoFe2O4之最佳磁電耦合效應 ... 66 4-1-1 BTO 置入 CFO 之等效磁電電壓係數 * 11 , E α ... 67 4-1-2 BTO 置入 CFO 之等效磁電電壓係數 * 33 , E α ... 75 4-2CoFe2O4置入BaTiO3之最佳磁電耦合效應 ... 80 4-2-1 CFO 置入 BTO 之等效磁電電壓係數 * 11 , E α ... 80 4-2-2 CFO 置入 BTO 之等效磁電電壓係數 * 33 , E α ... 86 4-3 結果與討論 ... 90 第五章 結論與未來展望... 94 5-1 結論 ... 94 5-2 未來展望 ... 95 參考文獻... 96 附錄A BiFeO3置入CoFe2O4之壓電壓磁複合材料 ... 101

A-1 BFO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

001 ... 102

A-2 BFO

[ ]

100 置入CFO

[ ]

001 ... 106

A-3 BFO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

100 ... 108

A-4 BFO

[ ]

100 置入CFO

[ ]

100 ... 110

A-5 結論 ... 113 附錄B CoFe2O4置入BiFeO3之壓電壓磁複合材料 ... 115 B-1 CFO

[ ]

001 置入BFO

[ ]

001 ... 115 B-2 CFO

[ ]

100 置入BFO

[ ]

001 ... 118 B-3 CFO

[ ]

001 置入BFO

[ ]

100 ... 120 B-4 CFO

[ ]

100 置入BFO

[ ]

100 ... 122

viii B-5 結論 ... 125 附錄C BiFeO3置入CoFe2O4之最佳磁電效應 ... 127 C-1BFO 置入 CFO 之等效磁電電壓係數

α

_E*_,11 ... 127 C-2BFO 置入 CFO 之等效磁電電壓係數

α

_E*_,33 ... 131 C-3 結論 ... 135 附錄D CoFe2O4置入BiFeO3之最佳磁電效應 ... 136 D-1CFO 置入 BFO 之等效磁電電壓係數

α

_E*_,11 ... 136 D-2CFO 置入 BFO 之等效磁電電壓係數

α

_E*_,33 ... 140 D-3 結論 ... 144

ix

表目錄

 

表1 複合材料配置形式... 28 表2 BTO 和 CFO 材料性質[1] ... 28 表3 有限元素網格與 MT 之相對誤差... 37 表4 極化方向與磁電電壓係數之關係... 64 表5 極化方向與磁電耦合係數之關係... 65 表6 磁電耦合效應之最佳化... 93 表A-1 BFO 材料性質[39, 52] ... 101 表A-2 極化方向與磁電電壓係數之關係 ... 113 表A-3 極化方向與磁電耦合係數之關係 ... 114 表B-1 極化方向與磁電電壓係數之關係... 125 表B-2 極化方向與磁電耦合係數之關係... 126 表C-1 磁電耦合效應之最佳化... 135 表D-1 磁電耦合效應之最佳化 ... 144

x

圖目錄

圖1-1 多鐵性材料的磁、電、力相互關係[2]... 2 圖1-2 壓電示意圖[4]... 3 圖1-3 鐵電材料的遲滯曲線[4]... 3 圖1-4 磁電耦合示意圖 ... 4 圖2-1 晶體對稱矩陣示意圖 ... 12 圖2-2 等效夾雜理論示意圖 ... 13 圖2-3 Eshelby 示意圖[41] ... 14 圖2-4 Dilute 示意圖 ... 16 圖2-5 Mori-Tanaka 示意圖 ... 17 圖2-6 極化方向與座標系統示意圖 ... 18 圖2-7 尤拉角示意圖 ... 19 圖2-8 纖維複合結構週期性示意圖[49, 50]... 21 圖2-9 週期性單位晶胞 ... 21 圖2-10 COMSOL 建模流程... 25 圖3-1 模型極化方向配置示意圖 ... 27 圖3-2 座標系統示意圖 ... 29 圖_3-3 與 f 之關係 ... 33 圖3-4 與 f 之關係 ... 34 圖3-5 MT 與有限元素網格之關係 ... 36 * L * E α

xi 圖_{3-6 L}*_{與 f 之關係 ... 40} 圖_3-7 L*與 f 之關係 ... 43 圖3-8 _L*_{與 f 之關係 ... 46} 圖3-9 * E α 與 f 之關係 ... 47 圖3-10 _L*_{與 f 之關係 ... 50} 圖3-11 * E α 與 f 之關係 ... 51 圖3-12 _L*_{與 f 之關係 ... 54} 圖3-13 _L*_{與 f 之關係 ... 57} 圖3-14 _L*_{與 f 之關係 ... 60} 圖3-15 α*_E與 f 之關係 ... 61 圖4-1 * 11 , E α 與β 、_i γ 、_i β 、_m γ 於 f = 0.34 之關係 ... 69 _m 圖4-2 _L*_{與 f 之關係 ... 73} 圖4-3 * E α 與 f 之關係 ... 74 圖4-4 * 33 , E α 與γ 、_i γ 於 f = 0.06 之關係 ... 75 _m 圖4-5 與 f 之關係 ... 78 圖4-6 與 f 之關係 ... 79 圖4-7 * 11 , E α 與β 、_i γ 、_i β 、_m γ 於 f = 0.98 之關係 ... 81 _m 圖4-8 _L*_{與 f 之關係 ... 84} 圖4-9 * E α 與 f 之關係 ... 85 * L * E α

xii 圖4-10 * 33 , E α 與γ 、_i γ 於 f = 0.94 之關係 ... 86 _m 圖4-11 與 f 之關係 ... 88 圖4-12 與 f 之關係 ... 89 圖A-1 _L*_{與 f 之關係 ... 104} 圖A-2 * E α 與 f 之關係 ... 105 圖A-3 _L*_{與 f 之關係 ... 107} 圖A-4 _L*_{與 f 之關係 ... 109} 圖A-5 _L*_{與 f 之關係 ... 111} 圖A-6 * E α 與 f 之關係 ... 112 圖B-1 與 f 之關係 ... 116 圖B-2 * E α 與 f 之關係 ... 117 圖B-3 與 f 之關係 ... 119 圖B-4 與 f 之關係 ... 121 圖B-5 與 f 之關係 ... 123 圖B-6 * E α 與 f 之關係 ... 124 圖C-1 * 11 , E α 與α 、_i β 、_i γ 、_i β 、_m γ 於 f = 0.67 之關係 ... 128 _m 圖C-2 _L*_{與 f 之關係 ... 129} 圖C-3 * E α 與 f 之關係 ... 130 圖C-4 * 33 , E α 與α 、 、 、_i 、 於f = 0.25 之關係 ... 132 圖C-5 _L*_{與 f 之關係 ... 133} * L * E α * L * L * L * L i β γi βm γm

xiii 圖C-6 * E α 與f 之關係 ... 134 圖_D-1 α*_E,11與β 、_i γ 、_i α 、_m β 、_m γ 於 f = 0.51 之關係 ... 137 _m 圖D-2 _L*_{與 f 之關係 ... 138} 圖D-3 * E α 與 f 之關係 ... 139 圖D-4 與 、 、 、 、 於f = 0.76 之關係 ... 141 圖D-5 L*與 f 之關係 ... 142 圖D-6 * E α 與 f 之關係 ... 143 * 33 , E α βi γi αm βm γm

xiv

符號表

a 單位晶胞之邊長 e e_ikl 壓電耦合常數

(

_{C m}2

)

* e * ikl e 等效壓電耦合常數 n 單位法相量 q _{qikl 壓磁耦合常數}

₍

_{N Am}

₎

* q * ikl q 等效壓磁耦合常數 i r 內含物形狀的長短軸 t 單位切線向量

u

ui 彈性位移 1 x 、x 、₂ x₃ 全域座標 1 x′ 、x′ 、₂ x′₃ 局域座標 A 應變集中因子 dilute A Dilute 模式之應變集中因子 MT A Mori-Tanaka 模式之應變集中因子 B Bi 磁通量 C Cijkl 材料彈性係數

(

GPa

)

D Di 電位移 E El 電場 H Hl 磁場 I 單位矩陣 L 材料性質 * L 等效材料性質

xv

(

α,β,γ

)

Q 轉換矩陣 S SMnAb 廣義 Eshelby 張量 * E α α 等效磁電電壓係數 E*,ij

(

V cmOe

)

α 、β 、γ 尤拉角 ε ε _mn 應變 pt ε pt ij ε 內含物造成擾動所產生的應變 * ε * ij ε 特徵應變 κ κ _il 介電常數

(

_C2 _Nm2

)

* κ * il κ 等效介電常數 λ λ il 磁電耦合係數

(

Ns VC

)

* λ * il λ 等效磁電耦合係數 μ _{μ il 磁導率}

(

_Ns2 _C2

)

* μ * il μ 等效磁導率 σ ij σ 應力 ϕ _電位能 ψ 磁位能 Ζ 廣義應變 Ζ 平均廣義應變 0 Ζ 無窮遠邊界上外加的廣義應變 pt Ζ 內含物造成擾動所產生的廣義應變 * Ζ 廣義特徵應變 r Ζ 第r 個內含物的總廣應變義應變 0 Ζ 母材的平均廣義應變 Σ 廣義應力

xvi Σ 平均廣義應力 0 Σ 無窮遠邊界上外加的廣義應力 pt Σ 內含物造成擾動所產生的廣義應力 r Σ 第r 個內含物的總廣義應力 Φ 廣義位移

1

第一章

導論

1-1 研究背景與目的

智能材料擁有類似生物的智能特性，意即擁有感測、驅動和信息處理等功能， 它可以執行感測、診斷、適應和自我修復等動作。其中包含了壓電 (Piezoelectric) 材料、形狀記憶合金(Memory shape alloys)、磁致伸縮(Magnetostriction)材料、和 多鐵性材料(Multiferroics)等。 多鐵性材料是指在單相材料中同時包含了鐵電性(Ferroelectric)、鐵磁性 (Ferromagnetic)、鐵彈性(Ferroelastic)等兩種或是兩種以上的特性。雖然多鐵材料 具有多功性，但是其所能產生之磁電效應太過薄弱，達不到工程應用之要求，因 此科學家從原本單相材料的研究領域，逐漸朝向利用壓電、壓磁材料複合的方式， 希望藉由材料間不同特性的耦合得到更佳的性能。 壓電、壓磁複合材料之磁電耦合效應與材料微觀結構、材料性質、內含物體 積比有關，而材料性質又隨著極化方向的不同而變化。為了提升磁電耦合效應， 本論文探討壓電壓磁纖維複合材料磁電耦合效應之最佳化，利用隨機極化方向組 合之方式，於組合過程中得到最佳磁電耦合效應。於是先利用Li 和 Dunn[1]之 Mori-Tanaka 微觀力學模型驗證有限元素法模擬BTO

[ ]

001 /CFO

[ ]

001之正確性， 再利用Mori-Tanaka 探討壓電壓磁複合於任意極化方向的磁電耦合效應並與有限 元素法之結果相互驗證，而模擬極化方向組合之最佳結果可作為未來實驗之參考 方向。

1-2 多鐵性材料

1-2-1 多鐵性材料 多鐵性材料為單相材料且同時包含了鐵電性(Ferroelectric)、鐵磁性

2

(Ferromagnetic)、鐵彈性(Ferroelastic)等兩種或是兩種以上的特性，所以它在磁-電-彈等特性之間擁有耦合(Coupling)的作用。鐵電性指的是材料擁有自發性電極 化(Spontaneous polarization)的性能特性，且電極化的方向可藉由施加電場而改變； 鐵磁性是材料擁有自發性磁極化(Spontaneous magnetic polarization)的性能特性， 且其磁化的方向可藉由施加磁場而改變；鐵彈性則是材料擁有自發性應變 (Spontaneous strain)的性能特性，且其形變可藉由外加應力場而改變。 多鐵性材料擁有多樣性，當施加應力、電場或是磁場時，可得到相對應的變 化，如圖1-1 所示，如果施加應力則材料產生應變，爾後會造成電極化(磁極化)， 反之施加電場(磁場)則會產生電極化(磁極化)，爾後造成應變或是磁極化(電極化) 等等。現今生活中充滿著各類電性與磁性的科技產品，經由不斷的創新以及善用 材料的特性，才有如此便利的生活。例如感測器是利用鐵電材料自發極化的特性 作為控制訊號。電器、電子設備是利用鐵磁材料的磁極反轉來存取大量的資料訊 息。利用鐵電與鐵彈之特性，可將聲波轉成電子訊號。 圖1-1 多鐵性材料的磁、電、力相互關係[2] 1-2-2 壓電材料 壓電材料是電與力的耦合(圖 1-2)。當對壓電材料提供應力時，材料體因為 受壓而產生電極化，此時可添加伏特計量測產生的電壓值，而此種情況稱作正壓 電現象；反之，當對材料體提供電位能時，材料會產生形變，此稱為逆壓電現象。

3 另外，鐵電材料是壓電材料的一種特例，當鐵電材料處於居禮溫度以下時，材料 擁有自發性極化的特性，而當材料超過居禮溫度時則不具有自發性極化。另外， 當施加電場於鐵電材料時，材料會產生電極化。當去掉電場時，材料有殘餘極化 的現象，殘餘極化又稱永久極化，如圖1-3 表示鐵電材料與電場遲滯曲線關係， 而鐵電材料產生永久極化的部分具有壓電特性。目前知道的壓電材料有BaTiO3、

PbZrO3、PZT、NH4H2PO4、LiNbO3和SiO2[3]。

圖1-2 壓電示意圖[4] 圖1-3 鐵電材料的遲滯曲線[4] 1-2-3 磁致伸縮材料

磁致伸縮是用來描述磁性材料受到磁場作用下產生磁化進而造成物體發生 變形的函數，而壓磁材料是取自函數中的線性項與低次方項。鐵磁材料亦屬於磁 致伸縮的一種，且擁有壓磁效應，其特點是鐵磁材料本身是自發性磁化且具有非

4 常大的永久磁化量，目前已得知某些過渡金屬於鐵磁性材料，例如鐵、鈷、鎳和 稀土金屬釓。目前較常使用的壓磁材料為CoFe2O4和稀土合金鋱鏑鐵(Terfenol)。

1-3 文獻回顧

磁電效應(Magnetoelectricity, ME)是指可利用電場誘發產生磁化或是利用磁 場誘發產生電極化。關於磁電效應的研究文獻可以回溯到 1957 年 Landau 和 Lifshitz[5]提出某些對稱的磁性晶體對於電場和磁場的反應可能呈現線性的關係。 之後，Astrov[6]利用實驗將單晶材料 Cr2O3置入電場可產生磁化現象。隔年Rado 和 Folen[7]實驗將單晶材料 Cr2O3置入磁場可產生電極化。但是，單晶材料所產 生磁電效應的量值不大，Cr2O3在反鐵磁 Neel 溫度 307K[8]時約有 0.02V/cmOe 的電磁效應[9]，除了 Cr2O3 還有一些單晶材料具有反鐵磁、鐵磁等特性例如: TbFeO3和Fe_xGa_2-xO₃，這些材料也都具有微弱的磁電效應[2, 3, 10]。另外，BiFeO3 是少數擁有較大磁電效應的單晶多鐵性材料[11]，但是這些材料所產生的磁電效 應並不足夠使用在大部分的設備儀器上。 為了克服單晶材料產生的磁電效應量過小的問題，許多研究學者的實驗轉而 朝向多相的材料複合方式。當提供磁場給壓磁材料，則壓磁材料會產生磁化並造 成形變，且形變會延伸至壓電材料進而產生電極化，則電極化亦會有電位差而產 生電場(圖 1-4)。 圖1-4 磁電耦合示意圖

5

材料可觀測到磁電效應。之後，Boomgaard 和 Born[13, 14]等使用有助分解複合 材料共晶液形成交替層的單向凝固法(Unidirectional solidification)將 BaTiO3 和

CoFe2O4 兩種材料複合，此複合材料的磁電效應可達 0.13V/cmOe。除了單向凝 固法可用於複合材料外，燒結法(Sintering)在過去的 20 年當中，被廣泛地用在 4 2 12 3 4Ti O CoFe O

Bi − 、 PbZr_0.53Ti_0.47O₃−CuFe₂O₄ 、 BaTiO₃−NiFe₂O₄ 和

8 5

3 LiFeO

BaTiO − 等顆粒組成結構的複合材料[15-20]。Ryu 和 Uchino[21, 22]等實 驗一個顆粒結構的複合物，其材料的組成是含Fe 的 Ni 參雜著 Co、Cu 和 Mn 等 顆粒，而母材為PZT。從複合物的反應中發現，燒結的溫度以及母材與內含物的 交界面是主要影響磁電效應大小的兩個因素，且當燒結溫度達1250°C時含20% 內含物的複合材料可得到的0.115V/cmOe 磁電效應。最後，還有一種用於製作複 合材料的方法，那就是可控制凝結方向(Modified controlled precipitation route)的 方法。將此方法實驗在PZT−10NiFe_1.9Mn_0.1O₄的複合材料上且300°C時，可得 到約0.12V/cmOe 的磁電效應。 另外，近年來鐵電磁材料 BiFeO3也有新的突破。在過去使用BiFeO3的塊狀 晶體作測試，當施加磁場9500Oe 可得到約 6.4×10-5V/cmOe 的磁電效應。現在， 我們可以在BiFeO3與SrTiO3複合物上沿著(001)方向上長出的薄膜找到鐵電特性。 當此薄膜與塊狀晶體皆施加相同的外加場時，薄膜得到的磁電效應大約是塊狀晶 體的20 倍。除了(001)方向的薄膜得到磁電效應外，也找到在(110)和(111)方向的 薄膜具有較大的磁電效應[23]。除了本文提到有關複合材料實驗的文章以外，有 些學者例如Nan、Bichurin、Priya、Dong、Viehland、Srinivasan[24-26]等會將歷 年重要的複合材料實驗與發現詳細的條列並作結語，有助於讀者更容易地了解複 合材料實驗發展的歷史及未來的方向。 除了利用實驗來得知真正的結果外，事先的理論假設也是很重要的。多年來 壓電壓磁複合材料發展至今有著顯著的成果，眾多的理論研究發展出許多微觀力

6 學模型來預測複合材料行為，例如:Harshe 和 Dougherty[27]等模擬物體植入立方 體的母材內，建立壓電壓磁雙相複合材料的模型得到磁電效應。Nan[28]利用高 斯函數理論和擾動理論計算 BaTiO3和 CoFe2O4雙相複合的圓柱纖維結構複合材 料等效性質，並提到數值計算得到的結果是希望能夠在實驗之前選擇可能性較佳 的材料配製和體積比，幫助實驗結果得到較佳的磁電效應。Benveniste[29]假設 材料的極化方向與纖維平行，提出圓柱纖維結構壓電壓磁雙相複合材料的理論。 Li 和 Dunn[1]提出的方法可以準確求得圓柱纖維結構和層板結構的等效磁電效應， 其內容是利用微觀力學模型Mori-Tanaka 方法和廣義 Eshelby 張量分析平均場變 數和複合材料的等效性質。另外，Wu 和 Huang[30]也使用 Mori-Tanaka 方法和廣 義Eshelby 張量分析圓柱纖維、橢柱纖維、圓盤形狀、帶狀等四種結構壓電壓磁 雙相纖維結構複合材料的等效性質。Lee 和 Lagoudas[31]等利用有限元素法分析 圓柱纖維置入立方體結構模型的等效性質。 根據前人的努力成果，可以知道很多有關計算圓柱纖維結構壓電壓磁雙相等 效複合材料的方法和預測結果。但是為了得到更大的等效磁電效應，除了耦合的 結構形式外，還可嘗試利用其他方法找尋更佳的磁電效應發生位置，例如:Zeng 和Kwok 等[32]在實驗中發現當複合材料極化方向與原本極化方向相反時，它的 壓電效應會加強。Sih 和 Song[33, 34]等在磁電耦合效應模擬中提到改變材料極化 方向，會讓複合材料的縫隙成長速度加快或減慢。Shi 和 Nan[35]等在三相多鐵 性複合材料中，將其中一項材料 PZT 的極化方向旋轉，得到不同的耦合因子。 Lee 和 Lagoudas [31] 等在雙相和三相複合材料模擬過程中提到當材料的極化方 向相互垂直，會得到不同的耦合性質。Chen 和 Tianquan[36]等提到當兩項材料的 極化方向相同或方向相反時，耦合因子相對於溫度變化的曲線也有所不同，極化 相同會在同象限產生兩個波峰，而極化方向相反則產生一正一負的波峰且耦合因 子的值比同極化方向的值大。

7 現今複合材料的製作技術提升，在複合材料所生長的薄膜找到磁電耦合效應， 且嘗試透過控制薄膜生長的方向來達到大量的磁電耦合效應。由於實驗往往耗資 甚多，如果在實驗之前加上理論的數據作參考，則可能提高實驗成功的機會。因 此，本文的研究著重在變更材料的極化方向，藉由理論模型得到最佳的磁電耦合 效應，而得到的結果將可作為實驗之參考。

1-4 本文架構

本論文分為五個章節。第一章導論，簡介研究背景與目的、多鐵性複合材料 以及文獻回顧；第二章理論架構，介紹材料組成律與等效材料性質、微觀力學模 型、尤拉角和有限元素分析流程；第三章利用Mori-Tanaka 微觀力學模型與有限 元素法模擬複合材料之磁電耦合效應，並利用兩者結果相互驗證，其中使用之材 料極化方向為沿著

[ ]

001 或是

[ ]

100 的方向；第四章是以任意極化方向組合之方式 求得最佳之磁電耦合效應；第五章則是結論與未來展望。

8

第二章

理論架構

本章介紹模擬複合材料等效行為之理論與方程式。2-1 節闡述複合材料的材 料組成律與統御方程式；2-2 節介紹用來模擬複合材料行為的微觀力學模型，在 眾多的微觀力學模型中選擇Mori-Tanaka 模式作為模擬本文複合材料行為的工具； 2-3 節為張量轉換(Tensor transformation)與尤拉角(Euler angle)，本文藉由改變材 料的極化方向尋找最佳的磁電耦合效應，而為了將局域座標下之材料性質轉換至 全域座標，因此使用張量轉換與尤拉角；最後2-4 節是闡述本文使用有限元素軟 體COMSOL Multiphysics 模擬複合材料行為之流程。

2-1 材料組成律與等效性質

2-1-1 材料組成律與統御方程式 對於一壓電壓磁雙相複合材料而言，其材料組成律為: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + = + + = , , , l il l il kl ikl i l il l il kl ikl i l lij l lij mn ijmn ij H μ E λ ε q B H λ E κ ε e D H q E e ε C σ (2.1)

其中σ_ij應力(Stress) ，為二階張量；D_i電位移(Electric displacement)，為一階張 量；B_i磁通量(Magnetic induction)，為一階張量。ε 應變(Strain)，為二階張量； _mn

l

E 電場(Electric field)，為一階張量；H_l磁場(Magnetic field)，為一階張量。C_ijkl

材料彈性係數(Elasticity)，為四階張量；κ 介電常數(Dielectric permittivity)，為_il 二階張量；μ 磁導率(Magnetic permeability)，為二階張量；_il e_ikl壓電耦合常數 (Piezoelectric coupling coefficient)，為三階張量；q_ikl壓磁耦合常數(Piezomagnetic coupling coefficient)，為三階張量。最後λ 是壓電材料與壓磁材料產生耦合所得_il 的磁電耦合係數(Magnetic-electric coupling coefficient)，為二階張量。

9 來，所以應變、電場和磁場又可表示為:

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + = , , , 2 1 , , , , i i i i i j j i ij H E u u ψ ϕ ε (2.2) 其中u 為三軸方向上的彈性位移，包含了u 、₁ u 和₂ u₃。 為了方便描述複合材料的行為，可將(2.1)式改寫為[37]: Mn iJMn iJ =L Ζ Σ i,n =1,2,3, J,M =1~5, _(2.3) 其中Σ為廣義應力，Ζ為廣義應變，L為材料性質: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = Σ i i ij iJ B D σ , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = J J J ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = Ζ n n mn Mn H E ε , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = = = M M M (2.4) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − = , , , , , , , , , in in imn in in imn ijn ijn ijmn iJMn q e q e C L μ λ λ κ . 5 , 5 , 4 , 5 , 3 , 2 , 1 , 5 , 5 , 4 , 4 , 4 , 3 , 2 , 1 , 4 , 5 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , = = = = = = = = = = = = = = = = = M J M J M J M J M J M J M J M J M J (2.5) 除了使用張量形式的表達方式外也可透過下標的轉換，將材料性質的張量形 式轉換成12×12的矩陣形式。其下標和矩陣對應的關係[37]: , 1 11→ 22→2, 33→3, 23→4, 31→5, 12→6, (2.6) , 7 41→ 42→8, 43→9, 51→10, 52→11, 53→12, 如此一來，廣義應力 、廣義應變 以及材料性質 可寫成: , (2.7) 其中 Σ Ζ L LΖ Σ =

10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = 3 2 1 3 2 1 12 31 23 33 22 11 B B B D D D σ σ σ σ σ σ Σ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − − − − − = 3 2 1 3 2 1 12 31 23 33 22 11 2 2 2 H H H E E E ε ε ε ε ε ε Ζ , (2.8) . 33 32 31 33 32 31 36 35 34 33 32 31 23 22 21 23 22 21 26 25 24 23 22 21 13 12 11 13 12 11 16 15 14 13 12 11 33 23 13 33 32 31 36 35 34 33 32 31 32 22 12 23 22 21 26 25 24 23 22 21 31 21 11 13 12 11 16 15 14 13 12 11 36 26 16 36 26 16 66 65 64 63 62 61 35 25 15 35 25 15 56 55 54 53 52 51 34 24 14 34 24 14 46 45 44 43 42 41 33 23 13 33 23 13 36 35 34 33 32 31 32 22 12 32 22 12 26 25 24 23 22 21 31 21 11 31 21 11 16 15 14 13 12 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = μ μ μ λ λ λ μ μ μ λ λ λ μ μ μ λ λ λ λ λ λ κ κ κ λ λ λ κ κ κ λ λ λ κ κ κ q q q q q q q q q q q q q q q q q q e e e e e e e e e e e e e e e e e e q q q e e e C C C C C C q q q e e e C C C C C C q q q e e e C C C C C C q q q e e e C C C C C C q q q e e e C C C C C C q q q e e e C C C C C C L _(2.9) 而當系統在沒有外力、電荷與磁極的作用下且材料的交界面為完美界面時: 0 B 0 D 0 σ= ∇⋅ = ∇⋅ = ⋅ ∇ , , , (2.10)

[

]

[

Σ⋅n

]

=0,

[

[ ]

Ζ⋅t

]

=0, (2.11) 其中n 代表交界面上之單位法相量、t 代表單位切線向量、 則表示物理量在 雙相交界面之差值。 2-1-2 等效材料性質 等效材料性質 是連接複合材料的平均廣義應力與平均廣義應變的物理量， 其定義為:

[ ]

[ ]

• * L

11 Ζ L Σ ₌ * , (2.12) 其中 是平均廣義應力、 是平均廣義應變，而 dV V _V

∫

• = • 1 表示體積平均。 另外根據(2.9)式 又可表示為: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = * * * * * * * T μ λ q λ κ e q e C L T T * * * . (2.13) 對於含有 N 個內含物的複合材料，其內含物之廣義應變與整體平均廣義應 變之關係: Ζ A Ζr = r , (2.14)

其中A 是第_r r個內含物的應變集中因子(Strain concentration factor)且滿足: I A =

∑

= N r r r f 0 , (2.15) I是一個12×12的單位矩陣、 f 是內含物的體積比、下標0 代表母材、r 代表內 含物的編號。故綜合(2.12)、(2.14)與(2.15)式，N 相複合材料的等效性質可從(2.12) 式改寫為: Ζ A L Σ Σ N _{r r} r r r N r r f f

∑

∑

= = = = 0 0 , (2.16)

(

r

)

r N r r r r N r r f f L A L L L A L ₀ 1 0 0 *

∑

∑

-= = + = = . (2.17)

此外等效磁電電壓係數α*_E V/cmOe(Magnetoelectric voltage coefficient)是作 為複合材料等效性質的一個重要指標參數，其定義是提供每單位的磁場，在單位 厚度的樣品中所產生的電壓，因此等效磁電電壓係數是一個方便應用的物理量， 因為在實驗中直接量測得到是電壓[38]。而等效磁電電壓係數可從等效磁電耦合 係數與等效介電常數的關係得到: * * * , ij ij ij E _κ λ α = . _(2.18) Σ Ζ * L

12

2-1-3 材料的選擇

本文選擇壓電材料鈦酸鋇(BaTiO3, BTO)、鉍鐵氧(BiFeO3, BFO)與壓磁材料

鈷鐵氧(CoFe2O4, CFO)為討論對象，其中 BaTiO3和CoFe2O4是6mm 晶體對稱性

又屬於六角晶系(Hexagonal)，而 BiFeO3是3m 晶體對稱性[39]。利用 IEEE

standard[40]將材料的晶格對稱形式表為圖 2-1，其中左上方是 6×6 的彈性係數矩 陣C、左下方和右上方分別是3×6 和轉置的 6×3 壓電耦合係數矩陣 、右下角是 3×3 的介電常數矩陣 。壓磁材料是將壓電材料中的 3×6 的壓電耦合係數矩陣替 換成壓磁耦合係數矩陣 、3×3 的介電常數矩陣替換成磁導率矩陣μ。 (a) 6mm 晶格對稱形式[40] (b) 3m 晶格對稱形式[40] 圖2-1 晶體對稱矩陣示意圖

2-2 微觀力學模型

微觀力學模型(Micromechanical model)是用來計算等效行為中內含物的應變 集中因子A。它分別有Dilute 模式、Mori-Tanaka (MT)模式和自恰法模式

(Self-consistent method)等。本文選擇 Mori-Tanaka 模式來模擬複合材料的等效性 質，而使用Mori-Tanaka 模式的原因是因為 Mori-Tanaka 模式考慮了內含物彼此 間相互的作用，可以用來模擬沒有內含物到完全充滿了內含物的複合材料行為， 因此適用範圍較廣泛。而使用Mori-Tanaka 模式也會使用到等效夾雜理論、 Eshelby 張量與 Dilute 模式，所以本文將先介紹等效夾雜理論、Eshelby 張量和 Dilute 模式，最後再介紹 Mori-Tanaka 模式。

e

κ

13

2-2-1 等效夾雜理論

等效夾雜理論(Equivalent inclusion method)是將均質物體藉由特徵應變模擬 非均質之行為，如圖2-2 為等效夾雜理論示意圖，其中(a)為非均質物體、(b)為 等效物體。 圖2-2 等效夾雜理論示意圖 假設給予均勻的廣義表面力 ijnj s ijnj 0 Σ = Σ 作為邊界條件，透過廣義虎克定律將 圖2-2(a)之廣義力學行為表示成: pt Σ Σ Σ= 0+ _{, (2.19)} pt Ζ Ζ Ζ= 0+ _{, (2.20)}

(

pt

)

pt _{L Ζ Ζ} Σ Σ Σ= + = 0 + 1 0 _{, Ω} 內部 (2.21) 另外圖2-2(b)之Ω內部廣義力學行為:

(

0 *

)

0 0 _{Σ L Ζ Σ Ζ} Σ Σ= + pt = + pt − , Ω_內部 (2.22) 其中

Σ

0是無窮遠邊界上外加的廣義應力，Σ 是內含物造成擾動(Perturbation)所pt 產生的廣義應力，

Ζ

0是無窮遠邊界上外加的廣義應變，Ζ 是內含物造成擾動所pt 產生的廣義應變，

Ζ

*是廣義特徵應變(Eigenstrain)。 而等效夾雜理論就是令圖 2-2(a)與圖 2-2(b)之內含物的廣義應力相等:

14

(

)

(

0 *

)

0 0 1 Ζ Ζ L Ζ Ζ Ζ L + pt = + pt − . (2.23) 2-2-2 廣義 Eshelby 張量 Eshelby 張量是用來連接因內含物造成擾動所產生的應變εpt和等效模型中 的特徵應變ε*(圖 2-3): * Ab MnAb pt Mn S ε ε = , (2.24) 其中εpt是內含物造成擾動的應變，ε*是特徵應變、屬於非彈性應變，其可為熱 應變、塑性應變、相轉換應變或初始應變等等。 圖2-3 Eshelby 示意圖[41]

Eshelby 張量是 Eshelby[42]於 1957 年利用等向性(Isotropic)的材料求得，此 張量屬於四階張量形式，與母材的材料性質和內含物的形狀有關。而Eshelby 張 量只用於處理力的場變數，本文討論的壓電壓磁複合材料擁有多個場變數，所以 使用廣義的Eshelby 張量並將(2.24)式改為[43]: * Ab MnAb pt Mn =S Ζ Ζ , (2.25) 其中S_MnAb又稱為磁電彈性Eshelby 張量[42, 44]，將其展開:

15

( )

( )

[

]

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

− − − 5, , , 4 , , 3 , 2 , 1 , 2 1 4 1 1 2 0 5 3 1 1 2 0 4 3 1 1 2 0 3 M d d G M d d G M d d G G L S Jin Jin nJim mJin iJAb MnAb π π π ξ θ ξ θ ξ θ π z z (2.26) 其中z_i=ξ_i r_i；r_i為內含物形狀的長短軸；ξ 1 ξ2cosθ 3 1 = − 而ξ 1 ξ sinθ 2 3 2 = − ；

( )

z 1 − = i n MJ MJin zz K G ； −1 MR K 是取K_JR = z_iz_nL_iJRn的反矩陣。

另外廣義 Eshelby 張量可利用高斯積分法(Gauss quadrature method)作數值計 算得到[43]:

( )

( )

[

]

( )

( )

, 5 , , 4 , , 3 , 2 , 1 , 2 1 4 1 1 5 1 1 4 1 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = + =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

= = = = = = U p V q pq pq Jin U p V q pq pq Jin U p V q pq pq nJim pq mJin iJAb MnAb M W G M W G M W G G L S z z z z π (2.27) 其中上標p與q是表示高斯積分點(Abscissas)。當(2.26)式對

ξ

₃積分時，則使用高 斯積分點ξ₃p與權重_Wp ξ ；當(2.26)式對

θ

積分時，則使用高斯積分點

θ

q與權重Wθq。 而高斯積分點之數量U 和 V 分別取 16 與 64。另外高斯權重係數_Wpq _Wp_Wq θ ξ = 。 2-2-3 Dilute 模式 微觀力學模型 Dilute 模式的主要精神在於它忽略了內含物之間彼此的干擾。 當內含物於整體的體積比很小的時候，可以想像在整個複合材料中內含物彼此的 距離很遠，因此內含物與內含物之間幾乎無交互作用，如圖2-4 所示。

16 圖2-4 Dilute 示意圖 利用等效夾雜理論(2.23)式與廣義 Eshelby 張量(2.25)式可得到廣義特徵應變 * Ζ 與邊界條件給予的廣義應變_{Ζ 之關係:} 0

(

)

[

] (

)

(

) (

[

)

]

(

)

(

)

[

]

-1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 -0 1 0 0 1 1 0 0 1 * Ζ L L L S Ζ L S L L L L Ζ L L L S L L Ζ − − − − + − = + − − − = − + − − = , (2.28) 綜合(2.20)、(2.25)與(2.28)式，內含物總廣義應變為:

(

)

[

]

1 0 0 1 1 0 0 _{Ζ I SL L L Ζ} Ζ Ζ= + pt = + − − − _{, (2.29)}

(

)

[

]

1 0 1 1 0 − − ₋ + = I SL L L Adilute _{, (2.30)} 其中Adilute是由Dilute 模式求得的應變集中因子。最後將(2.30)式代回(2.17)式， 即可得到Dilute 模式的等效材料性質。 2-2-4 Mori-Tanaka 模式 Mori-Tanaka 模式模擬複合材料的行為時，考慮了複合材料內顆粒與顆粒之 間的相互作用，而此方法是Tanaka 和 Mori[45]所提出。 如圖 2-5 所示，從複合材料取出的樣品中，它會受到複合材料母材的平均廣 義外力Σ⋅ns = Σ0 ⋅n。利用廣義虎克定律可知道樣品內含物的廣義力學行為:

[

pt

]

r r r L Ζ Ζ Σ = 0 + , (2.31)

17 pt r r Ζ Ζ Ζ = 0 + , (2.32) r Σ 是第r 個內含物的總廣義應力；Ζ_r是第r 個內含物的總廣義應變， Ζ0 是母 材的平均廣義應變， pt r Ζ 是第r 個內含物造成擾動所產生的廣義應變。 圖2-5 Mori-Tanaka 示意圖 利用等效夾雜理論、廣義Eshelby 張量和 Dilute 模式的應變集中因子得到內 含物的平均廣義應變，其過程如下:

[

]

[

* *

]

0 0 * 0 r r r r r L Ζ SΖ L Ζ SΖ Ζ Σ = + = + − , (2.33)

(

)

[

]

0 0 1 0 1 0 0 Ζ I SL L L Ζ A Ζ Ζ Ζ dilute r r pt r r = + = + − = − − _{, (2.34)} 再利用樣品內含物的平均廣義應變 Ζ_r 將樣品內含物的總廣義應變Ζ 與無窮遠_r 邊界上外加的廣義應變Ζ 作連接，即可得到: 0 0 1 1 0 0 I A Ζ Ζ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ =

∑

N r dilute r r f f , (2.35) 0 1 1 0I A Ζ A Ζ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ =

∑

N r dilute r r dilute r r f f , (2.36) 1 1 0 − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ =

∑

N r dilute r r dilute r MT r A f I f A A , (2.37) 最後將(2.37)式代回(2.17)式可得到 Mori-Tanaka 模式求得的等效材料性質。

18

2-3 張量轉換與尤拉角

當描述材料極化方向之局域座標(Local coordinate systems)與結構之全域座 標(Global coordinate systems)不一致時，需要使用張量轉換將材料性質由局域座 標轉換至全域座標(圖 2-6 所示)。 圖2-6 極化方向與座標系統示意圖 使用張量轉換本文的各個材料性質，其過程為: mnop lp ko jn im ijkl Q Q Q Q C C = ′ , (2.38) mno ko jn im ijk Q Q Q e e = ′ , (2.39) mno ko jn im ijk Q Q Q q q = ′ , (2.40) mn jn im ij Q Q κ κ = ′ , (2.41) mn jn im ij Q Q μ μ = ′ , (2.42)

其中C 、_ijkl e 、ijk q 、ijk κij與μij是使用全域座標表示之材料性質；C′ 、mnop e′mno、q′mno、 mn

κ′ 與μ_mn′ 則是使用局域座標表示之材料性質；Q 代表轉換座標矩陣，而轉換矩_ij

19 針旋轉

α

角將(x₁′,x₂′,x₃′)座標系統轉移到(x₁′′,x₂′′,x₃′′)座標系統；再以x ′′ 為旋轉軸，₂ 逆時針旋轉

β

角，將系統轉到(x₁′′′,x₂′′′,x₃′′′)；最後再以x ′′′₃ 為旋轉軸，逆時針旋轉γ 角， 得到(x₁,x₂,x₃)系統。 圖2-7 尤拉角示意圖 每一次的旋轉動作，其旋轉矩陣分別為: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ′ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ) ( 3 α α α α α Q , (2.43) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ′′ β β β β β cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos ) ( 2 Q , _(2.44) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ′′′ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ) ( 3 γ γ γ γ γ Q , (2.45) 對於全部轉換矩陣的描述可將(2.43)、(2.44)、(2.45)式合併，得到: ) ( ) ( ) ( ) , , (α β γ =Q₃′′′ γ Q₂′′ β Q₃′ α Q , _(2.46) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − − − = β β γ β γ α β α γ α β γ α γ α β γ α β α γ α β γ α γ α β γ γ β α cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos , , Q . _(2.47)

20

2-4 有限元素法

2-4-1 體積代表元素

體積代表元素(Representative volume element, RVE)的定義是複合材料中最 小的體積代表元素[47]。 本論文的壓電壓磁雙相複合材料是在滿足週期性條件下，探討其中一個二維 的體積代表元素行為。而二維平面的週期性的單位晶胞有五種，分別是邊長相等、 兩邊夾角為90°的正方形晶胞；邊長不相等、兩邊夾角為90°的長方形晶胞，而 長方形晶胞又分為含中心點與不含中心點兩種；邊長不相等、兩邊夾角不為90° 的平行四邊形晶胞；邊長相等、兩邊夾角為120°的正六邊形晶胞[48]。而本文選 擇正方形和正六邊形兩種週期性單位晶胞作為模擬的對象，如圖2-8(a)是正方形 的週期性單位晶胞示意圖，圓柱纖維的極限體積比為 0.7854 4 ≈ π ，因此設定體積 比f = 0.7 為模擬的極限；圖 2-8(b)是正六邊形的週期性單位晶胞示意圖，圓柱纖 維的極限體積比為 0.9069 3 2 ≈

π

，因此設定體積比f = 0.8 為模擬的極限。由極 限體積比可知正六邊形單位晶胞比正方形單位晶胞模擬的範圍更廣泛。 另外正六邊形可由正三角形組成，而圓柱位於正三角形的頂點，所以圓柱之 間的距離相等；正方形內的圓柱只有在水平和垂直方向的距離相等。這也說明了 正六邊形單位晶胞擁有橫向等向性的特性，而正方形單位晶胞則是橫向異相性 [49]。雖然正方形單位晶胞不具有橫向等向性，但是它操作過程簡單、邊界條件 設定容易，所以它經常被使用[50]。

21 (a) 正方形單位晶胞 (b) 正六邊形單位晶胞 圖2-8 纖維複合結構週期性示意圖[49, 50] 2-4-2 週期性邊界條件 本論文之模型是以符合週期性邊界條件建立，因此在複合材料體積代表元素 內任何一點的位移、電位能、磁位能、應力、電位移和磁通量，與其他的體積代 表元素內位置相同的點上，兩者的值會是一樣的。 (a) (b) 圖2-9 週期性單位晶胞 以圖2-9(a)作為模擬正方形的單位晶胞，此模型的廣義位移以Φ來表示，Φ

22 包含著位移量、電位能和磁位能。在此假設的纖維長度是無限長，所以僅考慮平 面上的週期性條件設定並用(2.48)和(2.49)式和Φ來表示:

(

)

(

)

a x x x a x x a, , , , 2 1 3 2 3 2 _∂ Φ ∂ + − Φ = Φ , (2.48)

(

)

(

)

a x x a x x a x, , , , 2 2 3 1 3 1 _∂ Φ ∂ + − Φ = Φ , (2.49) 其中Φ=u_i,ϕ,ψ 。 對於正六邊形單位晶胞如圖2-9(b)，其週期性條件:

(

)

(

)

a x x x a x x a, , , , 2 1 3 2 3 2 _∂ Φ ∂ + − Φ = Φ , (2.50)

(

) (

)

a x x a x x a x, 3 , , 3 , 2 3 2 3 1 3 1 _∂ Φ ∂ + − Φ = Φ . (2.51) 2-4-3 等效性質之計算 本論文為了使用有限元素法求得等效材料性質，首先是每次僅提供一個負載 條件並設定其他負載為零，例如提供一個均勻的應變 ε₁₁ = ∂u₁ ∂x₁ ，可得到材 料與廣義應力應變場的關係為: 1 * 1 11 * * * * * * * 3 2 1 3 2 1 12 31 23 33 22 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T Ζ L Σ μ λ q λ η e q e C T T * * _{⇔ =} ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε σ σ σ σ σ σ B B B D D D , (2.52)

23 由於(2.52)式僅能得到_{L 的第一個行向量，所以還須將上面的作法重複十二次。}* 當施加十二次不同位置的週期性邊界負載條件後，將得到的十二個廣義應力向量 和十二個廣義應變向量各自組合成一個12×12的矩陣，其廣義應力矩陣與廣義應 變矩陣為:

[

]

12 12 3 2 1 3 2 1 12 31 23 33 22 11 3 2 1 3 2 1 12 31 23 33 22 11 12 1 × ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = B B B D D D B B B D D D σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ L L L L Σ Σ , (2.53)

[

]

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = 3 2 1 3 2 1 12 31 23 33 22 11 12 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H H H E E E ε ε ε ε ε ε Ζ Ζ L . (2.54) 最終求得的等效材料性質為:

[

_{1 12}

][

_{1 12}

]

-1 * _{Σ Σ Ζ Ζ} L = _{L L} . (2.55)

24 2-4-4 有限元素法建模流程 本論文所使用的有限元素軟體為 COMSOL Multiphysics，為了建立壓電壓磁 複合材料模型，首先在COMSOL 軟體內建的結構力學模組中選擇了壓電模組， 這樣一來擁有複合材料中的壓電性質的設定項目。之後再從軟體中內建的 AC/DC 模組裡選擇了靜態磁性無電流模組，此模組是為了提供複合材料中屬於 壓磁材料方面的磁性設定。 建模的流程(圖 2-10)首先繪製體積代表元素的模型結構，輸入材料參數包括 彈性係數、壓電耦合常數、壓磁耦合常數、介電常數和磁導率等，再設定材料組 成率和平衡方程式，之後設定邊界條件，由於體積代表元素是符合週期性條件， 因此除了設定邊界條件是連續且完美交界面外，還要設定週期性邊界條件。當環 境的條件皆設定好之後，可選擇不同粗細的網格得到各種的計算元素數量和自由 度數量，之後再進行求解得到此體積代表元素受到外力後產生的各種反應。最後 對模型作體積分並取平均得到 Σ 與 Ζ 然後可得到等效性質。

25

26

第三章

特殊極化方向之壓電壓磁纖維複合材料

本章利用前述 Mori-Tanaka (MT)微觀力學模型與有限元素軟體 COMSOL Multiphysics 模擬壓電壓磁圓柱纖維複合材料之磁電耦合行為。其中壓電材料為 BaTiO3 (BTO)、壓磁材料為 CoFe2O4 (CFO)，而其極化方向為沿著

[

001 或是

]

[

100

]

的方向。

3-1 模擬案例

本章使用 BTO 與 CFO 作為壓電壓磁纖維複合材料，並將材料之極化方向設 定為

[

001 或是

]

[

100 的方向。其中，當材料性質之局域座標的

]

x′₃軸與全域座標的 3 x 軸同向時，此時的材料極化方向在全域座標下稱為

[

001 ；當材料性質之局域

]

座標的x′₃軸與全域座標的x 軸同向時，此時的材料極化方向在全域座標下稱為₁

[

100 。

]

另外本文選擇正方形與正六邊形單位晶胞模擬複合材料行為，因此擁有不同 極化方向配置的模擬案例(圖 3-1)。其中有內含物與母材極化方向皆為

[

001 、內

]

含物

[

100 與母材

]

[

001 、內含物

]

[

001 與母材

]

[

100 以及內含物與母材皆為

]

[

100 。

]

另外，根據材料配置的方式，本文選擇BTO 與 CFO 作為討論對象，因此共分作 8 種模擬極化方向的案例(表 1)；而 BTO 與 CFO 材料之性質如表 2 所示。

27 (a) 內含物[001]、母材[001] (b) 內含物[100]、母材[001] (c) 內含物[001]、母材[100]

(d) 內含物[100]、母材[100] 圖3-1 模型極化方向配置示意圖

28 表1 複合材料配置形式 案例 母材 內含物 Ⅰ CFO

[ ]

001 BTO

[ ]

001 Ⅱ CFO

[ ]

001 BTO

[ ]

100 Ⅲ CFO

[ ]

100 BTO

[ ]

001 Ⅳ CFO

[ ]

100 BTO

[ ]

100 Ⅴ BTO

[ ]

001 CFO

[ ]

001 Ⅵ BTO

[ ]

001 CFO

[ ]

100 Ⅶ BTO

[ ]

100 CFO

[ ]

001 Ⅷ BTO

[ ]

100 CFO

[ ]

100 表2 BTO 和 CFO 材料性質[1]

BTO CFO BTO CFO

) GPa ( 11 C 166 286 (C2 Nm2) 11 κ _11.2×10−9 _8×10−11 ) GPa ( 12 C 77 173 (C2 Nm2) 33 κ _12.6×10−9 _9.3×10−11 ) GPa ( 13 C 78 170 q15(mA) 0 550 ) GPa ( 33 C 162 269.5 q31(mA) 0 580.3 ) GPa ( 44 C 43 45.3 q33(mA) 0 699.7 ) m C ( 2 15 e 11.6 0 (Ns2 C2) 11 μ _5×10−6 _590×10−6 ) m C ( 2 31 e −4.4 0 (Ns2 C2) 33 μ _10×10−6 _157×10−6 ) m C ( 2 33 e 18.6 0

29 當局域座標之x′₃軸與全域座標之x 軸同向時，根據右手定則將兩者座標系統₁ 繪出(圖 3-2)，利用座標轉換將局域座標下之材料性質轉換至全域座標下。而 2-3 節提及使用尤拉角作為座標轉換工具，因此經過旋轉角

α

=0°、

β

=270°和

γ

=0° 的旋轉後可將局域座標轉至全域座標，其轉換矩陣為: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 Q , (3.1) 圖3-2 座標系統示意圖 根據表 2 的材料性質與轉換矩陣，本章模擬案例之材料性質BTO

[

001

]

、

[

001

]

CFO 、BTO

[

100

]

與CFO

[

100

]

:

[001] = BTO L , 10 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.010 0 0 0 0 0 0 10 26 . 1 0 0 0 0 0 6 . 18 4 . 4 4 . 4 0 0 0 0 10 12 . 1 0 0 0 6 . 11 0 0 0 0 0 0 11.6 0 1.1210 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 45 . 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4.3 10 0 11.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 . 11 0 0 0 10 3 . 4 0 0 0 0 0 0 6 . 18 0 0 0 0 0 10 62 . 1 10 8 . 7 10 8 . 7.7 10 1.6610 7.8 10 0 0 0 0 0 4.4 0 0 0 7 0 0 0 4 . 4 0 0 0 0 0 10 8 . 7 10 7 . 7 10 66 . 1 5 6 6 8 8 8 10 10 10 11 10 10 10 11 10 10 10 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × × − − × × × × × × × × × × − ×× × × − − − − − − − (3.2)

30 [001]= CFO L , 10 57 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 . 699 3 . 580 3 . 580 0 10 9 . 5 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 10 9 . 5 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 0 10 29 . 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 96 . 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 96 . 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 65 . 5 0 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 10 53 . 4 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 10 53 . 4 0 0 0 7 . 699 0 0 0 0 0 0 0 0 10 69 . 2 10 70 . 1 10 70 . 1 3 . 580 0 0 0 0 0 0 0 0 10 70 . 1 10 86 . 2 10 73 . 1 3 . 580 0 0 0 0 0 0 0 0 10 70 . 1 10 73 . 1 10 86 . 2 4 4 4 11 11 11 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × × × × × × × × × × × × × × × × − − − − − − (3.3) [100] = BTO L , 10 0 . 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.0 10 0 0 0 0 10 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11.6 0 0 0 1.1210 0 0 0 0 0 0 0 0 10 12 . 1 0 6 . 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 26 . 1 0 0 0 4 . 4 4 . 4 6 . 180 0 0 0 0 4.310 0 11.6 0 0 0 0 0 0 0 6 . 11 0 0 0 10 3 . 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 45 . 4 0 0 010 7.710 1.6610 0 0 0 4.4 0 0 0 0 0 8 . 7 0 0 0 0 0 4 . 4 0 0 0 10 7 . 7 10 66 . 1 10 8 . 7.6210 7.810 7.810 0 0 0 18.6 0 0 0 0 0 1 6 6 5 8 8 8 10 10 10 11 10 10 10 11 10 10 10 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × × × × − − × × × − × × × × × − ×× × × − − − − − − (3.4) [100]= CFO L . 10 9 . 5 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 10 9 . 5 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 0 10 57 . 1 0 0 0 0 0 0 3 . 580 3 . 580 7 . 699 0 0 0 10 96 . 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 96 . 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 29 . 9 0 0 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 10 53 . 4 0 0 0 0 0 550 0 0 0 0 0 0 10 53 . 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 65 . 5 0 0 0 0 0 3 . 580 0 0 0 0 0 0 10 86 . 2 10 73 . 1 10 70 . 1 0 0 3 . 580 0 0 0 0 0 0 10 73 . 1 10 86 . 2 10 70 . 1 0 0 7 . 699 0 0 0 0 0 0 10 70 . 1 10 70 . 1 10 69 . 2 4 4 4 11 11 11 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ × × × × × × × × × × × × × × × × × × − − − − − − (3.5)

31

3-2 BaTiO

3

置入

CoFe

2

O

4

之壓電壓磁複合材料

3-2-1 BTO

[ ]

001 置入CFO

[ ]

001

本節利用 Mori-Tanaka 微觀力學模型與有限元素法探討BTO

[

001

]

置入

[

001

]

CFO 形式之複合材料(圖 3-3)，並將其表示為BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

，前者 代表內含物使用之材料和極化方向，後者代表母材使用之材料及其極化方向。其 中，因為Mori-Tanaka 可分析從無內含物到完全充滿內含物之複合材料行為，因

此當f = 0 與 f = 1 時，Mori-Tanaka 模擬所得之曲線可得到內含物與母材之材料

性質。例如本複合材料是以BTO 置入 CFO 的形式，所以當 f = 0 時代表材料還 未置入任何的BTO 而呈現完整的 CFO 性質。因此可取其等效材料性質並與材料 表之CFO 性質(表 2)相互驗證；當 f = 1 時，代表 BTO 完全取代 CFO 並呈現完 整的BTO 性質，此時可取等效材料性質並與材料表之 BTO 性質(表 2)相互驗證。 根據材料的性質(表 2)，BTO 之彈性係數、磁導率和壓磁耦合常數比 CFO 小。當 BTO 的體積比越大時，材料的等效彈性係數、等效磁導率與等效壓磁耦合常數 趨勢會逐漸變小；CFO 沒有壓電耦合常數且介電常數比 BTO 小，所以當 BTO 的體積比越大，等效壓電耦合常數與等效介電常數會逐漸增加。另外Mori-Tanaka 曲線並非線性狀態，其隨著內含物逐漸增加相對產生變化，此變化是因為複合材 料內壓電與壓磁材料相互耦合伴隨之效應。由材料晶格對稱性(圖 2-1)可知， * 15 e 等 於 * 24 e 而e 等於₃₁* e ；₃₂* q 等於₁₅* * 24 q 而q 等於₃₁* q ；₃₂* * 11 κ 等於 * 22 κ ； * 11 μ 等於 * 22 μ ； * 11 λ 等於 * 22 λ 。 複合材料受到外加場產生磁電耦合效應得到等效磁電耦合常數_{λ 與作為指}* 標參數的等效磁電電壓係數α*_E。由λ 之結果發現，當提供平均電場*

E

1 給予複

合材料時，BTO 中的e₁₅項會參與耦合的行為，而CFO 材料中的q₁₅項因應BTO 的耦合行為產生平均磁場

H

1 ，因此可以得到複合材料的λ ；如果提供平均電*11

32 BTO 的耦合行為產生平均磁場

H

2 ，因此會得到複合材料的λ ；如果提供平均*22 電場 E₃，則BTO 中的e₃₁、e₃₂、e₃₃項會參與耦合的行為，而CFO 材料中的q₃₁、 32 q 、q₃₃項會因應BTO 的耦合行為產生平均磁場

H

3 ，因此會得到複合材料的 * 33 λ 。 另外指標參數等效磁電電壓係數α*_E，其模擬結果(圖 3-4)發現當內含物的體 積比f = 0.34 時，在 MT 的曲線中得到 * 11 , E α 的極值-0.0306V/cmOe，此時的 * 33 , E α 為 0.7644V/cmOe。由於材料晶格對稱性的關係，

λ

*₂₂會等於

λ

*₁₁且

κ

₂₂* 會等於

κ

₁₁*，所 以α*_E,22也會與α_E*_,11同在f = 0.34 時有極值-0.0306V/cmOe；當 f = 0.06 時，MT 的 曲線找到α*_E,33的極值1.1494V/cmOe，而此時的 * 11 , E α 為-0.0119V/cmOe。而_{λ 最}* 佳處會因為κ 關係，所以不會與* α*_E一致。當f = 0.87 時， * 11 λ 與 * 22 λ 之極值達至 -7.0038×10-12Ns/VC。當 f = 0.44 時， * 33 λ 之極值達至2.7891×10-12Ns/VC。 根據(2.17)式得知等效性質是由母材、內含物之材料性質、內含物體積比計 算得來。為了比較極化方向組成造成複合材料磁電耦合效應之影響，在此將內含 物體積比固定在BTO

[

001

]

/CFO

[

001

]

產生最佳磁電電壓係數之體積比，藉以比 較極化方向之組合。

33 (a) C* (b) _e* (c) _κ * _{(d) q}* (e) _μ* (f) _λ * 圖_3-3 與 f 之關係 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 11

Volume Fraction of Inclusion

C * (P a) MT SQU HEX C* 11 C* 33 C*₁₂ C*₁₃ C*₆₆ C*₄₄ BTO[001]/CFO[001] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -5 0 5 10 15 20

Volume Fraction of Inclusion

e * (C /m 2 ) MT SQU HEX e* 33 e*₁₅ , e*₂₄ e*₃₁ , e*₃₂ BTO[001]/CFO[001] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10 -8

Volume Fraction of Inclusion

κ * (C 2/N m 2) MT SQU HEX κ* 33 κ* 11 , κ * 22 BTO[001]/CFO[001] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -100 0 100 200 300 400 500 600 700

Volume Fraction of Inclusion

q * (N /A m ) MT SQU HEX q*₃₃ q*₁₅ , q*₂₄ q* 31 , q * 32 BTO[001]/CFO[001] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6x 10 -4

Volume Fraction of Inclusion

μ * (N s 2/C 2) MT SQU HEX μ* 33 μ* 11 , μ * 22 BTO[001]/CFO[001] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10 -9

Volume Fraction of Inclusion

λ * (N s/ V C ) MT SQU HEX λ* 33 λ* 11 , λ * 22 BTO[001]/CFO[001] * L

34 (a)

α

*_E,11、

α

*_E,22 (b)

α

*E,33 圖3-4 與 f 之關係 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -0.035 -0.03 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0

Volume Fraction of Inclusion

α * E,11 , α * E,2 2 (V /c m O e ) MT SQU HEX BTO[001]/CFO[001] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Volume Fraction of Inclusion

α * E,33 (V /c m O e ) MT SQU HEX BTO[001]/CFO[001] * E α