數 理 人 文 8 所 著 的《 阿 耶 波 多 曆 算 書 》（AryabhatIya）； 一 部 包 含 天 文 觀 測 的 宇 宙 論 著《 羅 卡 毗 巴 迦 》 （Lokavibhaga，宇宙的組成），現代學者根據書 中記錄推測該書成於西元458 年 8 月 25 日（參見 [9]）；以及最遲於七世紀前（有些學者認為更古 老）完成的古數學文件〈巴克夏利手稿〉（BakhshAlI manuscript）（參見 [7]、[8]、[2]）。在〈巴克夏利 手稿〉中記載了底下，從某近似值 x0 計算 q 平方 根的有趣演算法： an= q x 2 n 2xn xn+1= xn+ an a2 n 2(xn+ an) 這個算法每遞迴一次，大約能讓正確位數變成前 一次的四倍，因此是四次收斂的。儘管在手稿的例 子裡，遞迴次數都不超過一次（參見[2]）。 西元十世紀，歐里亞克的吉爾伯特（Gerbert of Aurillac）已嘗試將十進位算術引進歐洲，但直到 1202 年費波納契（Fibonacci）的著作《算盤書》 （Liber Abaci）問世前，效果並不顯著。歐洲普遍 接受十進位算術被是數百年後的事情（或許有些太 遲）。吉爾伯特後來被加冕成為教宗席維斯特二世 （Pope Sylvester II），他身處的時代局勢混亂， 在庇護者奧圖三世（Otto III）駕崩後不久，他也 於1003 年撒手人寰。想像如果他能活久一點，歷 史將會如何改寫 2，其實饒富趣味。圖1 是他的數 學著作《幾何學》（De Geometria）中的一頁。 牛頓的年代 有了十進位系統，再加上剛發現的微積分方法所 我們最近剛完成一場非常龐大的計算，發現一 些以前被認為永遠無法計算的東西。我們的計算 源於計算⇡值的BBP 公式，那是 1997 年利用電 腦執行PSLQ 整線性關係演算法（integer relation algorithm）時所發現的。這個絕妙的公式，可從 任意指定的第 d 位數開始，計算 ⇡的二進位數字 （binary digit），完全不需要計算之前的 d 1 位 數 字。 自1997 年開始，許多計算其他數學常 數的BBP 型公式陸續被發現。其中包括 ⇡2（包 含 二 進 位、 三 進 位 ） 和 卡 塔 蘭 常 數（Catalan’s constant）。 在這篇文章中，我們將描述如何計算64 進位與 729 進位的 ⇡2，以及4096 進位的卡塔蘭常數。 每 個 情 形 都 是 從 第 十 兆 位 起 算， 總 共 大 約 需 要 1.549⇥ 1019 個浮點運算。我們也會討論 BBP 型 公式和一些歷史悠久的待解問題之間的關連，譬如 ⇡、⇡2、log 2、卡塔蘭常數是否與為何其數字出現 的模式是「隨機」的。1 歷史巡禮 自從文明肇始，數學家對⇡的著迷便遠勝過其他 數學常數。西元前三世紀，阿基米德（Archimedes） 就發展出一套算法，用圓的內接和外切 3· 2n 邊 形，計算⇡精準至十進位小數點後第二位。然而， 諸如此類的古老數值方法往往受限於原始的算術系 統。 歷史上最重要的科學進展之一，發生在西元六世 紀或更早之前的印度，有一位或一些數學家發展 出包含0 在內的十進位算術。一些最早的文獻， 包括數學家阿耶波多（Aryabhata）於西元 499 年
探索小數點以下十兆位的秘密
從 π 的 BBP 公式浪潮談起
作者：貝利（David H. Bailey）．波宛（Jonathan M. Borwein）．麥廷理（Andrew Mattingly）．外特威克（Glenn Wightwick）
譯者：林真
貝利是勞倫斯柏克萊國家實驗室計算研究部門的資深科學家。波宛是澳大利亞紐卡索大學電腦輔助研究研究與其應用中心的數學教授。 麥廷理是澳大利亞IBM 的資深資訊技術工程師。外特威克是澳大利亞 IBM 研究中心主任。
